Composite number

Original article: w:Composite number

Demonstration, with Cuisenaire rods, of the divisors of the composite number 10

Comparison of prime and composite numbers

합성수는 둘의 더 작은 양의 정수를 곱함으로써 형성될 수 있는 양의 정수(positive integer)입니다. 동등하게, 그것은 1과 자기 자신이 아닌 적어도 하나의 약수(divisor)를 가지는 양의 정수입니다. 모든 각 양의 정수는 합성수, 소수(prime), 또는 단위(unit) 1이므로, 합성수는 정확히 소수도 아니고 단위도 아닌 숫자입니다.

예를 들어, 정수 14는 둘의 더 작은 정수 2 × 7의 곱이기 때문에 합성수입니다. 마찬가지로, 정수 2와 3은 합성수가 아닌데 왜냐하면 그것들 각각은 오직 1과 자신으로 나뉠 수 있기 때문입니다.

150까지 합성수는 다음과 같습니다:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (OEIS에서 수열 A002808)

모든 각 합성수는 둘 이상의 소수의 곱으로 쓸 수 있습니다 (반드시 구별될 필요는 없습니다). 예를 들어, 합성수 299는 13 × 23으로 쓸 수 있고, 합성수 360은 2³ × 3² × 5으로 쓸 수 있습니다; 게다가, 이 표시는 인수의 순서까지(up to) 고유합니다. 이 사실은 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)라고 불립니다.

합성수 입력의 인수분해를 반드시 드러내지 않고도, 숫자가 소수인지 합성수인지 결정할 수 있는 몇 가지 알려진 소수성 테스트(primality test)가 있습니다.

Types

합성수를 분류하기 위한 한 가지 방법은 소수 인수의 개수를 세는 것입니다. 둘의 소수 인수를 갖는 합성수는 반소수(semiprime) 또는 2-거의 소수입니다 (인수가 구별될 필요가 없고, 따라서 소수의 제곱이 포함됩니다). 셋의 구별되는 소수 인수를 갖는 합성수는 스페닉 숫자(sphenic number)입니다. 일부 응용에서, 홀수의 구별되는 소수 인수를 갖는 합성수와 짝수의 구별되는 소수 인수를 갖는 합성수 사이를 구별해야 합니다. 후자에 대해

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

(여기서 μ는 뫼비우스 함수(Möbius function)이고 x는 소수 인수의 전체의 절반입니다), 반면에 전자에 대해

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.$

어쨌든, 소수에 대해, 그 함수는 역시 −1과 $\mu (1)=1$을 반환합니다. 하나 이상 반복된 소수 인수를 갖는 숫자 n에 대해,

$\mu (n)=0$.

만약 숫자의 모든 소수 인수가 반복되면 그것은 강력수(powerful number)라고 불립니다 (모든 완전 거듭제곱(perfect power)은 강력수입니다). 만약 그것의 소수 인수의 어떤 것도 반복되지 않으면, 그것은 제곱-없는(squarefree) 것이라고 불립니다. (모든 소수와 1은 제곱없는 것입니다.)

예를 들어, 72 = 2³ × 3², 모든 소수 인수가 반복되므로, 72는 강력수입니다. 42 = 2 × 3 × 7, 소수 인수의 어떤 것도 반복되지 않으므로, 42는 제곱없는 것입니다.

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

합성수를 분류하기 위한 또 다른 방법은 약수의 개수를 셈으로써 하는 것입니다. 모든 합성수는 적어도 셋의 약수를 가집니다. 소수의 제곱의 경우에서, 그것들 약수는 $\{1,p,p^{2}\}$입니다. 임의의 x < n보다 더 많은 약수를 가지는 숫자 n은 고도로 합성수(highly composite number)입니다 (비록 처음 둘의 그러한 숫자는 1과 2일지라도).

합성수는 역시 "정사각형 숫자(rectangular numbers)"라고 불려 왔지만, 해당 이름은 역시 프로닉 숫자(pronic number), 둘의 연속된 정수의 곱인 숫자를 참조합니다.

합성수를 분류하기 위한 남은 또 다른 방법은 모든 소수 인수가 어떤 고정된 숫자 (소수)보다 모두 낮거나 모두 높은 것인지 여부를 결정하는 것입니다. 그러한 숫자는 각각 매끄러운 숫자(smooth number)와 거친 숫자(rough number)라고 불립니다.

See also

• Canonical representation of a positive integer
• Integer factorization
• Sieve of Eratosthenes
• Table of prime factors

References

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68-15225
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766

External links

• Lists of composites with prime factorization (first 100, 1,000, 10,000, 100,000, and 1,000,000)
• Divisor Plot (patterns found in large composite numbers)