Unit (ring theory)

대수학(algebra)에서, 링(ring)의 단위(unit)는 링의 곱셈에 대해 역-가능 원소(invertible element)입니다. 즉, 링 $R$ 의 원소 $u$ 는 만약 다음을 만족하는 $R$ 에서 $v$ 가 존재하면 단위입니다:

vu=uv=1

,

여기서 $1$ 은 곱셈의 항등원(multiplicative identity)입니다; 원소 $v$ 는 이 속성에 대해 고유하고 $u$ 의 곱셈의 역(multiplicative inverse)이라고 불립니다.^[1]^[2] $R$ 의 단위의 집합은 곱셈 아래에서 그룹(group) $R \times$ 을 형성하며, $R$ 의 단위의 그룹 또는 단위 그룹이라고 불립니다.^[a] 단위 그룹에 대해 다른 표기법은 $R *$ , $U(R)$ , 및 (독일 용어 Einheit에서) $E(R)$ 입니다.

덜 공통적으로, 용어 단위는 단위를 갖는 링 또는 단위 링, 및 역시 단위 행렬(unit matrix)과 같은 표현에서 링의 원소 $1$ 을 참조하기 위해 때때로 사용됩니다. 이러한 모호성 때문에, $1$ 은 링의 "단일(unity)" 또는 "항등원(identity)"이라고 더 공통적으로 불리고, 문구 "단일을 갖는 링" 또는 "항등원을 갖는 링"은 렁(rng) 대신에 링을 고려하고 있음을 강조하기 위해 사용될 수 있습니다.

Examples

곱셈의 항등원 $1$ 과 그것의 덧셈의 역 $-1$ 은 항상 단위입니다. 보다 일반적으로, 링 $R$ 에서 임의의 단위의 근(root of unity)은 단위입니다: 만약 $r n = 1$ 이면 $r n - 1$ 은 $r$ 의 곱셈의 역입니다. 비-영 링(nonzero ring)에서, 원소 0(element 0)은 단위가 아니므로, $R \times$ 는 덧셈 아래에서 닫혀 있지 않습니다. 모든 각 비-영 원소가 단위인 비-영 링 $R$ (즉, $R \times = R -{0}$ )은 나눗셈 링(division ring) (또는 스큐-필드)라고 불립니다. 교환 나눗셈 링은 필드(field)라고 불립니다. 예를 들어, 실수(real number) $R$ 의 필드의 단위 그룹은 $R - {0$ }입니다.

Integer ring

정수(integers)의 링 $Z$ 에서, 오직 단위는 $1$ 과 $-1$ 입니다.

정수 모듈로 $n$ (integers modulo $n$ )의 링 $Z / n Z$ 에서, 단위는 $n$ 과 서로소인 정수에 의해 표현된 합동 클래스 $(mod n)$ 입니다. 그것들은 정수 모듈로 $n$ 의 곱셈의 그룹(multiplicative group of integers modulo $n$ )을 구성합니다.

Ring of integers of a number field

이차 정수(quadratic integer) $\sqrt 3$ 를 $Z$ 에 인접함으로써 얻어진 링 $Z [\sqrt 3]$ 에서, 우리는 $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ 를 가지므로, $2 + \sqrt 3$ 는 단위이고, 그것의 거듭제곱도 마찬가지이므로, $Z [\sqrt 3]$ 는 무한하게 많은 단위를 가집니다.

보다 일반적으로, 숫자 필드(number field) $F$ 에서 정수의 링(ring of integers) $R$ 에 대해, 디리클레의 단위 정리(Dirichlet's unit theorem)는 $R \times$ 이 다음 그룹에 동형적이라고 말합니다:

\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}

여기서 $\mu _{R}$ 는 $R$ 과 $n$ 엣 단위의 근의 (유한, 순환) 그룹이고, 단위 그룹의 랭크(rank)는 다음입니다:

n=r_{1}+r_{2}-1,

여기서 $r_{1},r_{2}$ 는 각각 실수 삽입의 숫자와 $F$ 의 복소 삽입의 쌍의 숫자입니다.

이것은 $Z [\sqrt 3]$ 예제를 복구합니다: 실수 이차 필드(real quadratic field)(의 정수의 링)의 단위 그룹은 $r_{1}=2,r_{2}=0$ 이기 때문에 랭크 1의 무한대입니다.

Polynomials and power series

교환 링 $R$ 에 대해, 다항식 링(polynomial ring) $R [x]$ 의 단위는 $a_{0}$ 가 $R$ 에서 단위이고 남아있는 계수 $a_{1},\dots ,a_{n}$ 가 거듭제곱영(nilpotent), 즉, 일부 N에 대해 $a_{i}^{N}=0$ 을 만족시킴을 만족하는 다음 다항식입니다:^[4]

p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots a_{n}x^{n}

특히, 만약 $R$ 이 도메인(domain)이면, $R [x]$ 의 단위는 $R$ 의 단위입니다. 거듭제곱 급수 링(power series ring) $R[[x]]$ 의 단위는 $a_{0}$ 가 $R$ 에서 단위임을 만족하는 다음 거듭제곱 급수입니다:^[5]

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

Matrix rings

링 $R$ 에 걸쳐 $n \times n$ 행렬( $n \times n$ matrices)의 링 $M n (R)$ 의 단위 그룹은 역가능 행렬(invertible matrices)의 그룹 $GL n (R)$ 입니다. 교환 링 $R$ 에 대해, $M n (R)$ 의 원소 $A$ 가 역가능인 것과 $A$ 의 행렬식(determinant)이 $R$ 에서 역가능인 것은 필요충분 조건입니다. 해당 경우에서, $A -1$ 는 수반 행렬(adjugate matrix)의 관점에서 명시적으로 제공될 수 있습니다.

In general

링 $R$ 에서 원소 $x$ 와 $y$ 에 대해, 만약 $1-xy$ 가 역가능이면, $1-yx$ 는 역 $1+y(1-xy)^{-1}x$ 을 갖는 역가능입니다;^[6] 이 공식은 추측될 수 있지만, 다음 비교환 거듭제곱 급수의 링에서 다음 계산에 의해 입증되지 않습니다:

(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

유사한 결과에 대해 화의 항등식(Hua's identity)을 참조하십시오.

Group of units

교환 링(commutative ring)은 만약 $R - R \times$ 이 최대 아이디얼(maximal ideal)이면 지역적 링(local ring)입니다.

그것이 밝혀진 바와 같이, 만약 $R - R \times$ 가 아이디얼이면, 최대 아이디얼(maximal ideal)이 $R \times$ 에서 서로소이기 때문에 그것은 필연적으로 최대 아이디얼(maximal ideal)이고 R은 R은 지역적(local)입니다.

만약 $R$ 이 유한 필드(finite field)이면, $R \times$ 은 차수 $|R|-1$ 의 순환 그룹(cyclic group)입니다.

모든 각 링 준동형(ring homomorphism) $f : R \to S$ 은 그룹 준동형(group homomorphism) $R \times \to S \times$ 을 유도하는데, 왜냐하면 $f$ 가 단위를 단위로 매핑하기 때문입니다. 사실, 단위 그룹의 형성이 링의 카테고리(category of rings)에서 그룹의 카테고리(category of groups)로의 함수자(functor)를 정의합니다. 이 함수자는 정수 그룹 링(group ring) 구조인 왼쪽 인접(left adjoint)을 가지고 있습니다.^[7]

그룹 스킴(group scheme) $\operatorname {GL} _{1}$ 은 임의의 기저에 걸쳐 곱셈의 그룹 스킴(multiplicative group scheme) $\mathbb {G} _{m}$ 에 동형적이므로, 임의의 교환 링 $R$ 에 대해, 그룹 $\operatorname {GL} _{1}(R)$ 와 $\mathbb {G} _{m}(R)$ 은 정식적으로 $U(R)$ 에 동형적입니다. 함수자 $\mathbb {G} _{m}$ (즉, $R\mapsto U(R)$ )가 교환 링 R에 대해 $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ 라는 의미에서 대표할 수 있음을 주목하십시오: (이것은 예를 들어 앞서-언급한 그룹 링 구성과의 인접 관계에서 비롯됩니다.) 명시적으로 이것은 링 준동형 $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ 와 R의 단위 원소의 집합 사이에 자연스러운 전단사가 있음을 의미합니다 (대조적으로, $\mathbb {Z} [t]$ 는 덧셈 그룹 $\mathbb {G} _{a}$ , 교환 링의 카테고리에서 아벨 그룹의 카테고리로의 잊기 쉬운 함수자입니다.

Associatedness

$R$ 이 교환적임을 가정합니다. $R$ 의 원소 $r$ 과 $s$ 는 만약 $r = us$ 를 만족하는 $R$ 에서 단위 $u$ 가 존재하면 동료라고 불립니다; 그때에 $r \sim s$ 라고 씁니다. 임의의 링에서, 덧셈의 역(additive inverse) 원소 $x$ 와 $- x$ 의 쌍은 동료(associate)입니다.^[b] 예를 들어, 6과 −6은 $Z$ 에서 동료입니다. 일반적으로 $~$ 는 $R$ 위에 동치 관계(equivalence relation)입니다.

결합성은 역시 곱셈을 통해 $R$ 위의 $R \times$ 의 동작(action)의 관점에서 설명될 수 있습니다: $R$ 의 두 원소는 만약 그것들이 같은 $R \times$ -궤도(orbit)에 있으면 동료입니다.

정수 도메인(integral domain)에서, 주어진 비영 원소의 동료의 집합은 $R \times$ 과 같은 카디널리티(cardinality)를 가집니다.

동치 관계 $~$ 은 교환 링 $R$ 의 곱셈 반그룹(semigroup)으로 특수화된 그린의 반그룹 관계(Green's semigroup relations) 중 임의의 하나로 보일 수 있습니다.

Notes

^ The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.
^ $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

Citations

^ Dummit & Foote 2004.
^ Lang 2002.
^ Weil 1974.
^ Watkins (2007, Theorem 11.1)
^ Watkins (2007, Theorem 12.1)
^ Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.
^ Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

Sources

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
Weil, André (1974). Basic number theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

[4] The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.

[9] $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-2] Lang 2002.

[FOOTNOTEWeil1974-3] Weil 1974.

[5] Watkins (2007, Theorem 11.1)

[6] Watkins (2007, Theorem 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-7] Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.

[8] Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

[1]

[2]

[a]

[4]

[5]

[6]

[7]

[b]

[3]