Composition operator
수학(mathematics)에서, 기호 를 갖는 합성 연산자(composition operator) 는 다음 규칙에 의해 정의된 선형 연산자(linear operator)입니다: 여기서 는 함수 합성(function composition)을 나타냅니다.
합성 연산자에 대한 연구는 AMS 카테고리 47B33에서 다룹니다.
In physics
물리학(physics), 및 특히 동역학적 시스템(dynamical systems)의 영역에서, 합성 연산자는 보통 베르나드 쿠프만(Bernard Koopman)의 이름을 따서 지은 쿠프만 연산자[1][2](Koopman operator, 및 인기 급증을 농담으로[3] "Koopmania"라고도 함[4])라고 참조됩니다. 그것은 프로베니우스-페론(Frobenius–Perron)의 전송 연산자(transfer operator)의 왼쪽-인접(left-adjoint)입니다.
In Borel functional calculus
카테고리 이론(category theory)의 언어를 사용하여, 합성 연산자는 측정-가능 함수(measurable functions)의 공간 위에 당김(pull-back)입니다; 그것은 당김이 밂(push-forward)에 인접하는 것과 같은 방법에서 전송 연산자(transfer operator)에 인접합니다; 합성 연산자는 역 이미지 함수자(inverse image functor)입니다.
여기에서 고려되는 도메인은 보렐 함수(Borel functions)의 도메인이므로, 위의 내용은 보렐 함수형 미적분(Borel functional calculus)에 나타나는 쿠프만 연산자를 설명합니다.
In holomorphic functional calculus
합성 연산자의 도메인(domain)은 종종 정칙 함수(holomorphic functions)로 구성된 일부 바나흐 공간(Banach space): 예를 들어, 일부 하디 공간(Hardy space) 또는 버그먼 공간(Bergman space)으로 보다 좁게 취할 수 있습니다. 이 경우에서, 합성 연산자는 정칙 함수형 미적분(holomorphic functional calculus)과 같은 일부 함수형 미적분(functional calculus)의 영역에 있습니다.
합성 연산자 연구에서 제기된 흥미로운 질문은 종종 연산자의 스펙트럼 속성(spectral properties)이 함수 공간(function space)에 어떻게 의존하는지와 관련이 있습니다. 다른 질문에는 가 컴팩트(compact)인지 트레이스-클래스(trace-class)인지 여부가 포함됩니다; 답변은 전형적으로 일부 도메인의 경계(boundary)에서 함수 가 어떻게 작동하는지에 따라 달라집니다.
전송 연산자가 왼쪽-미는 연산자(shift operator)일 때, 쿠프만 연산자는, 그것의 인접 연산자로, 오른쪽-미는 연산자로 고려될 수 있습니다. 밂을 명시적으로 나타내는 적절한 기저는 종종 직교 다항식(orthogonal polynomials)에서 찾을 수 있습니다. 이것들이 실수 직선 위에 직교하면, 밂은 야코비 연산자(Jacobi operator)에 의해 제공됩니다.[5] 다항식이 복소 평면의 일부 영역 (즉, 버그먼 공간(Bergman space))에서 직교하면, 야코비 연산자는 헤센베르크 연산자(Hessenberg operator)로 대체됩니다.[6]
Applications
수학에서, 합성 연산자는 예를 들어 뷰링-럭스 정리(Beurling–Lax theorem)와 볼 분해(Wold decomposition)와 같은 미는 연산자(shift operators) 연구에서 공통적으로 발생합니다. 미는 연산자는 1차원 스핀 격자(spin lattices)로 연구할 수 있습니다. 합성 연산자는 알렉산드로프–클라크 측정(Aleksandrov–Clark measures)의 이론에 나타납니다.
합성 연산자의 고윳값 방정식은 슈뢰더의 방정식(Schröder's equation)이고, 주요 고유함수 는 종종 슈뢰더의 함수(Schröder's function) 또는 쾨니그즈 함수(Koenigs function)라고도 합니다.
합성 연산자는 합성 연산자의 모드와 고윳값을 근사화하는 동역학적 모드 분해(dynamic mode decomposition) 알고리듬에 의해 동역학적 시스템을 위한 데이터-기반 기술에 사용되어 왔습니다.
See also
- Carleman matrix
- Carleman linearization
- Composition ring
- Multiplication operator
- Transpose of a linear map
- Dynamic mode decomposition
References
- ^ Koopman, B. O. (1931). "Hamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space". Proceedings of the National Academy of Sciences. 17 (5): 315–318. Bibcode:1931PNAS...17..315K. doi:10.1073/pnas.17.5.315. PMC 1076052. PMID 16577368.
- ^ Gaspard, Pierre (1998). Chaos, scattering and statistical mechanics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511628856. ISBN 978-0-511-62885-6.
- ^ Budišić, Marko, Ryan Mohr, and Igor Mezić. "Applied koopmanism." Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 22, no. 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195
- ^ Shervin Predrag Cvitanović, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri, Gregor Tanner, Gábor Vattay, Niall Whelan and Andreas Wirzba, Chaos: Classical and Quantum Appendix H version 15.9, (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure.pdf
- ^ Gerald Teschl, "Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices" (2000) American Mathematical Society. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdf ISBN 978-0-8218-1940-1
- ^ Tomeo, V.; Torrano, E. (2011). "Two applications of the subnormality of the Hessenberg matrix related to general orthogonal polynomials". Linear Algebra and Its Applications. 435 (9): 2314–2320. doi:10.1016/j.laa.2011.04.027.
- C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
- J. H. Shapiro, Composition operators and classical function theory. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7.