Boundary (topology)

일반적으로 토폴로지(topology)와 수학(mathematics)에서, 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 의 부분집합 $S$ 의 경계(boundary)는 $S$ 의 내부(interior)에 속하지 않는 $S$ 의 클로저(closure)에 있는 점들의 집합입니다. $S$ 의 경계의 원소는 $S$ 의 경계 점(boundary point)이라고 불립니다. 경계 연산(boundary operation)이라는 용어는 집합의 경계를 찾거나 취하는 것을 말합니다. 집합 $S$ 의 경계에 사용되는 표기법은 $\operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),$ 및 $\partial S$ 를 포함합니다. 일부 저자 (예를 들어, General Topology에서 Willard)는 대수적 토폴로지(algebraic topology)와 매니폴드(manifolds)의 이론에서 사용되는 다른 정의와 혼동을 피하기 위한 시도로 경계 대신 국경(frontier)이라는 용어를 사용합니다. 경계와 국경이라는 용어의 의미에 대한 광범위한 수용에도 불구하고, 그것들은 때때로 다른 집합을 참조하기 위해 사용되어 왔습니다. 예를 들어, E. T. Copson에 의한 Metric Spaces는 집합과 경계의 교차점으로 정의되는 하우스도르프의 가장자리(border)를 참조하기 위해 경계(boundary)라는 용어를 사용합니다.^[1] 하우스도르프는 역시 잔여(residue)라는 용어를 도입했으며, 이는 집합과 그것의 여집합 가장자리의 클로저와의 교차점으로 정의됩니다.^[2]

$S$ 의 경계의 연결된 성분(connected component)은 $S$ 의 경계 성분(boundary component)이라고 불립니다.

Common definitions

토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합 $S\subseteq X$ 의 경계(boundary)에 대해 몇 가지 동등한 정의가 있으며, 만약 $X$ 가 이해되면 $\partial _{X}S,$ $\operatorname {Bd} _{X}S,$ 또는 간단히 $\partial S$ 로 표시될 것입니다:

그것은 $S$ 의 클로저(closure)에서 $X$ 에 있는 $S$ 의 내부(interior)를 뺀 값입니다: $\partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S$ 여기서 ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ 는 $X$ 에서 $S$ 의 클로저(closure)를 나타내고 $\operatorname {int} _{X}S$ 는 $X$ 에서 $S$ 의 토폴로지적 내부(topological interior)를 나타냅니다.
그것은 $S$ 의 클로저와 그 여집합(complement)의 클로저의 교집합입니다: $\partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$
그것은 $p$ 의 모든 각 이웃(neighborhood)이 적어도 하나의 $S$ 의 점과 적어도 하나의 $S$ 가 아닌 점을 포함함을 만족하는 점 $p\in X$ 의 집합입니다: $\partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.$

집합의 경계 점(boundary point)은 해당 집합의 경계의 임의의 원소를 참조합니다. 위에 정의된 경계 $\partial _{X}S$ 는 단지 몇 가지 예를 들자면 경계를 갖는 매니폴드(manifold with boundary)의 경계 또는 모서리를 갖는 매니폴드(manifold with corners)의 경계와 같은 유사하게 이름 짓는 다른 개념과 구별하기 위해 집합의 토폴로지적 경계(topological boundary)라고 부르기도 합니다.

Properties

집합 $S$ 의 클로저는 집합과 그것의 경계의 합집합과 같습니다: ${\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S$ 여기서 ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ 는 $X$ 에서 $S$ 의 클로저(closure)를 나타냅니다. 집합이 닫혀 있는 것과 그것이 경계를 포함하는 것은 필요충분 조건이고, 열려 있는 것과 그것이 경계와 서로소인 것은 필요충분 조건입니다. 집합의 경계는 닫혀 있습니다;^[3] 이것은 $\partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$ 공식에서 나온 것이며, 이는 $\partial _{X}S$ 를 $X$ 의 두 닫힌 부분집합의 교집합으로 표현합니다.

("삼분법") $S\subseteq X$ 의 임의의 부분집합이 주어지면, $X$ 의 각 점은 $\operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,$ 및 $\operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S$ 의 세 집합 중 정확히 하나에 속합니다. 다르게 말하면, $X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)$ 그리고 이들 세 집합은 쌍-별로 서로소(pairwise disjoint)입니다. 결과적으로, 만약 이들 집합이 빈 것이 아니면,^{[note 1]} 그것들은 $X$ 의 분할(partition)을 형성합니다.

점 $p\in X$ 가 집합의 경계 점인 것과 $p$ 의 모든 각 이웃이 그 집합에서 적어도 하나의 점과 그 집합에 없는 적어도 하나의 점을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다. 집합의 내부 경계와 집합의 클로저의 경계는 둘 다 집합의 경계에 포함됩니다.

$\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분집합 $S$ 의 서로 다른 점 사이의 관계를 보여주는 개념적 벤 다이어그램. $A$ = $S$ 의 극한 점의 집합, $B=$ $S$ 의 경계 점의 집합, 녹색 음영 영역 = $S$ 의 내부 점의 집합, 노란색 음영 영역 = $S$ 의 고립된 점의 집합, 검은색 음영 영역 = 빈 집합. $S$ 의 모든 각 점은 내부 점 또는 경계 점입니다. 역시, $S$ 의 모든 각 점은 누적 점 또는 고립된 점입니다. 마찬가지로, $S$ 의 모든 각 경계 점은 누적 점 또는 고립된 점입니다. 고립된 점은 항상 경계 점입니다.

Examples

Characterizations and general examples

집합의 경계는 집합의 여집합의 경계와 같습니다: $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).$

집합 $U$ 가 $X$ 의 조밀한(dense) 열린(open) 부분집합인 것과 $\partial _{X}U=X\setminus U$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

닫힌 집합의 경계 내부는 빈 집합입니다.^{[proof 1]} 결과적으로, 집합의 클로저의 경계의 내부는 빈 집합입니다. 열린 집합의 경계 내부는 역시 빈 집합입니다.^{[proof 2]} 결과적으로, 집합 내부의 경계의 내부는 빈 집합입니다. 특히, $S\subseteq X$ 가 $X$ 의 닫힌 부분집합 또는 열린 부분집합이면, $U$ 가 $X$ 의 역시 열린 부분집합임을 만족하는 임의의 비-빈 부분집합 $U\subseteq \partial _{X}S$ 가 존재하지 않습니다. 이 사실은 그 정의와 아무 데도 조밀하지 않은 부분집합(nowhere dense subsets), 마른 부분집합(meager subsets), 및 베르 공간(Baire spaces)의 사용에 대해 중요합니다.

집합은 어떤 열린 집합의 경계인 것과 그것이 닫혀 있고 아무 데도 조밀하지 않은(nowhere dense) 것은 필요충분 조건입니다. 집합의 경계가 빈 것인 것과 그 집합이 닫혀 있고 동시에 열려 있는 것 (즉, 닫힌-열린 집합)은 필요충분 조건입니다.

Concrete examples

보통의 토폴로지 (즉, 기저 집합이 열린 구간인 토폴로지)와 $\mathbb {Q} ,$ 유리수의 부분집합 ( $\mathbb {R}$ 에서 토폴로지적 내부가 빈 것임)를 갖는 실수 직선 $\mathbb {R}$ 을 생각해 보십시오. 그런-다음

$\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}$
$\partial \varnothing =\varnothing$
$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
$\partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$

이들 마지막 두 예제는 빈 내부를 갖는 조밀한 집합(dense set)의 경계가 그것의 클로저라는 사실을 보여줍니다. 그것들은 역시 부분집합 $S$ 의 경계 $\partial S$ 가 $X:=\mathbb {R}$ 의 비-빈 열린 부분집합을 포함할 수 있음을 보여줍니다; 즉, $X$ 에서 $\partial S$ 의 내부는 비-빈임을 보여줍니다. 어쨌든, 닫힌 부분집합의 경계는 항상 빈 내부를 가집니다.

보통의 토폴로지 ( $\mathbb {R}$ 의 부분공간 토폴로지)를 갖는 유리수의 공간에서, $(-\infty ,a)$ 의 경계는 빈 것이며, 여기서 $a$ 는 무리수입니다.

집합의 경계는 토폴로지적 개념이고 만약 우리가 토폴로지를 변경하면 변경할 수 있습니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 보통의 토폴로지가 주어지면, 닫힌 디스크 $\Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 의 경계는 디스크를 둘러싸는 원: $\Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 입니다. 만약 그 디스크가 자체의 보통 토폴로지를 갖는 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 집합, 즉, $\Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 으로 표시되면, 디스크의 경계는 디스크 자체: $\partial \Omega =\Omega$ 입니다. 만약 그 디스크가 ( $\mathbb {R} ^{2}$ 의 부분공간을 갖는) 자체 토폴로지적 공간으로 표시되면, 디스크의 경계는 빈 것입니다.

Boundary of an open ball vs. its surrounding sphere

이 예제는 반지름 $r>0$ 의 열린 공의 토폴로지적 경계가 (같은 점에 중심을 둔) 반지름이 $r$ 의 대응하는 구와 반드시 같지는 않음을 보여줍니다; 그것은 역시 반지름 $r>0$ 의 열린 공의 클로저가 (다시 한번 같은 점에 중심을 둔) 반지름 $r$ 의 닫힌 공과 반드시 같지는 않음을 보여줍니다. $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)을 다음과 같이 나타냅니다: $d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$ 이는 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 보통의 유클리드 토폴로지(Euclidean topology)를 유도합니다. $X\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 가 $y$ -축 $Y:=\{0\}\times \mathbb {R}$ 과 원점 $\mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ 에 중심을 둔 다음 단위 원의 합집합을 나타낸다고 놓습니다: $S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 즉, $X:=Y\cup S^{1}$ 이며, 이는 토폴로지가 메트릭 $d$ (의 제한)에 의해 유도된 토폴로지와 같은 $\mathbb {R} ^{2}$ 의 토폴로지적 부분공간(topological subspace)입니다.

특히, 집합 $Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},$ 및 $\{0\}\times [-1,1]$ 은 $\mathbb {R} ^{2}$ 의 모든 닫힌 부분집합이고 따라서 부분공간 $X$ 의 닫힌 부분집합이기도 합니다. 이후, 달리 명시되지 않은 한, 모든 각 열린 공, 닫힌 공, 및 구는 원점 $\mathbf {0} =(0,0)$ 에 중심을 둔 것으로 가정되어야 하고 더욱이, 메트릭 공간(metric space) $(X,d)$ 만 고려될 것입니다 (그리고 그것의 초월공간 $(\mathbb {R} ^{2},d)$ 은 아닙니다); 이것은 경로-연결된(path-connected) 및 지역적으로 경로-연결된(locally path-connected) 완비 메트릭 공간(complete metric space)입니다. $r=1$ 일 때 다음이 $y=-1$ 과 $y=1$ 엄격하게 사이의 $y$ -축의 열린 부분-구간이 되도록 $B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}$ 에 의해 $B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}$ 에서 반지름 $r>0$ 의 열린 공을 나타냅니다: $B_{1}=\{0\}\times (-1,1)$ $(X,d)$ 에서 단위 구 ("단위"는 그 반지름이 $r=1$ 임을 의미함)는 다음입니다: $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}$ 반면에 $(X,d)$ 에서 닫힌 단위 공은 열린 단위 공과 이 같은 점에 중심을 둔 단위 구의 합집합입니다: $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).$

어쨌든, 열린 단위 공 $B_{1}$ 의 $X$ 에서 토폴로지적 경계 $\partial _{X}B_{1}$ 와 토폴로지적 클로저 $\operatorname {cl} _{X}B_{1}$ 는 다음입니다: $\partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].$ 특히, 열린 단위 공의 토폴로지적 경계 $\partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}$ 는 $(X,d)$ 에서 단위 구 $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}$ 의 적절한 부분집합입니다. (X,d)에서. 그리고 열린 단위 공의 토폴로지적 클로저 $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}$ 는 $(X,d)$ 에서 닫힌 단위 공 $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)$ 의 적절한 부분집합입니다. 점 $(1,0)\in X$ 은, 예를 들어, $\operatorname {cl} _{X}B_{1}$ 에 속할 수 없는데 왜냐하면 그것에 수렴하는 $B_{1}=\{0\}\times (-1,1)$ 에서 수열이 존재하지 않기 때문입니다; 동일한 추론은 닫힌 부분-구간 $\{0\}\times [-1,1]$ 의 외부의 $X$ 에서 $\operatorname {cl} _{X}B_{1}$ 에 속하는 점이 없는 이유를 설명하기 위해 일반화합니다. 집합 $B_{1}$ 의 토폴로지적 경계는 항상 $B_{1}$ 의 클로저의 부분집합이기 때문에, $\partial _{X}B_{1}$ 도 $\{0\}\times [-1,1]$ 의 부분집합이어야 함이 따라옵니다.

임의의 메트릭 공간 $(M,\rho )$ 에서, 점 $c\in M$ 에 중심을 둔 반지름 $r>0$ 의 열린 공의 $M$ 에서 토폴로지적 경계는 항상 같은 점 $c$ 에 중심을 둔 반지름 $r$ 의 구의 부분집합입니다; 즉, 다음은 항상 유지됩니다: $\partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}$ 더욱이, $(X,d)$ 에서 단위 구는 $X$ 의 열린 부분집합인 $X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\}$ 를 포함합니다.^{[proof 3]} 이것은, 특히, $(X,d)$ 에서 단위 구 $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}$ 는 $X$ 의 비-빈 열린 부분집합을 포함함을 보여줍니다.

Boundary of a boundary

임의의 집합 $S$ 에 대해, $\partial S\supseteq \partial \partial S$ 이며, 여기서 $\,\supseteq \,$ 은 상등을 유지하는 것과 $S$ 의 경계가 내부 점을 가지는 않는 것이 필요충분 조건이라는 초월집합(superset)을 나타내며, 이는 예를 들어 $S$ 가 닫혀 있거나 열려 있는 것이면 그 경우일 것입니다. 집합의 경계가 닫혀 있기 때문에, 모든 집합 $S$ 에 대해 $\partial \partial S=\partial \partial \partial S$ 입니다. 경계 연산자는 따라서 약화된 종류의 거듭상등(idempotence)을 만족시킵니다.

매니폴드(manifolds) 또는 심플렉스(simplexes)의 경계와 그것들의 단순 복합체(simplicial complexes)를 논의할 때, 우리는 종종 경계의 경계가 항상 빈 것이라는 주장을 만납니다. 실제로, 특이 호몰로지(singular homology)의 구성은 이 사실에 비판적으로 의존합니다. 명백한 불일치에 대한 설명은 토폴로지적 경계 (이 기사의 주제)가 매니폴드 또는 단순 복합체의 경계와 약간 다른 개념이라는 것입니다. 예를 들어, 매니폴드로 보이는 열린 디스크의 경계는 자체의 부분집합으로 보이는 토폴로지적 경계와 마찬가지로 빈 것이고, 반면에 실수 평면의 부분집합으로 보이는 토폴로지적 경계는 디스크를 둘러싼 원입니다. 반대로 매니폴드로 보이는 닫힌 디스크의 경계는 실수 평면의 부분집합으로 보이는 토폴로지적 경계와 마찬가지로 경계 원이고, 반면에 자체의 부분집합으로 보이는 토폴로지적 경계는 빈 것입니다. 특히, 토폴로지적 경계는 주변 공간에 따라 달라지고, 반면에 매니폴드의 경계는 불변입니다.

Notes

^ The condition that these sets be non-empty is needed because sets in a partition are by definition required to be non-empty.

^ Let $S$ be a closed subset of $X$ so that ${\overline {S}}=S$ and thus also $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.$ If $U$ is an open subset of $X$ such that $U\subseteq \partial _{X}S$ then $U\subseteq S$ (because $\partial _{X}S\subseteq S$ ) so that $U\subseteq \operatorname {int} _{X}S$ (because by definition, $\operatorname {int} _{X}S$ is the largest open subset of $X$ contained in $S$ ). But $U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S$ implies that $U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .$ Thus $U$ is simultaneously a subset of $\operatorname {int} _{X}S$ and disjoint from $\operatorname {int} _{X}S,$ which is only possible if $U=\varnothing .$ Q.E.D.
^ Let $S$ be an open subset of $X$ so that $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.$ Let $U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)$ so that $U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,$ which implies that $U\cap S=\varnothing .$ If $U\neq \varnothing$ then pick $u\in U,$ so that $u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.$ Because $U$ is an open neighborhood of $u$ in $X$ and $u\in {\overline {S}},$ the definition of the topological closure ${\overline {S}}$ implies that $U\cap S\neq \varnothing ,$ which is a contradiction. $\blacksquare$ Alternatively, if $S$ is open in $X$ then $X\setminus S$ is closed in $X,$ so that by using the general formula $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)$ and the fact that the interior of the boundary of a closed set (such as $X\setminus S$ ) is empty, it follows that $\operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .$ $\blacksquare$
^ The $y$ -axis $Y=\{0\}\times \mathbb {R}$ is closed in $\mathbb {R} ^{2}$ because it is a product of two closed subsets of $\mathbb {R} .$ Consequently, $\mathbb {R} ^{2}\setminus Y$ is an open subset of $\mathbb {R} ^{2}.$ Because $X$ has the subspace topology induced by $\mathbb {R} ^{2},$ the intersection $X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y$ is an open subset of $X.$ $\blacksquare$

Citations

^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. p. 214. ISBN 978-0-8284-0061-9. Reprinted by Chelsea in 1949.
^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. p. 281. ISBN 978-0-8284-0061-9. Reprinted by Chelsea in 1949.
^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset $A,$ $\operatorname {Bdry} (A)$ is closed.

References

Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Willard, S. (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
van den Dries, L. (1998). Tame Topology. ISBN 978-0521598385.

[4] The condition that these sets be non-empty is needed because sets in a partition are by definition required to be non-empty.

[5] Let $S$ be a closed subset of $X$ so that ${\overline {S}}=S$ and thus also $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.$ If $U$ is an open subset of $X$ such that $U\subseteq \partial _{X}S$ then $U\subseteq S$ (because $\partial _{X}S\subseteq S$ ) so that $U\subseteq \operatorname {int} _{X}S$ (because by definition, $\operatorname {int} _{X}S$ is the largest open subset of $X$ contained in $S$ ). But $U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S$ implies that $U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .$ Thus $U$ is simultaneously a subset of $\operatorname {int} _{X}S$ and disjoint from $\operatorname {int} _{X}S,$ which is only possible if $U=\varnothing .$ Q.E.D.

[6] Let $S$ be an open subset of $X$ so that $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.$ Let $U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)$ so that $U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,$ which implies that $U\cap S=\varnothing .$ If $U\neq \varnothing$ then pick $u\in U,$ so that $u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.$ Because $U$ is an open neighborhood of $u$ in $X$ and $u\in {\overline {S}},$ the definition of the topological closure ${\overline {S}}$ implies that $U\cap S\neq \varnothing ,$ which is a contradiction. $\blacksquare$ Alternatively, if $S$ is open in $X$ then $X\setminus S$ is closed in $X,$ so that by using the general formula $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)$ and the fact that the interior of the boundary of a closed set (such as $X\setminus S$ ) is empty, it follows that $\operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .$ $\blacksquare$

[7] The $y$ -axis $Y=\{0\}\times \mathbb {R}$ is closed in $\mathbb {R} ^{2}$ because it is a product of two closed subsets of $\mathbb {R} .$ Consequently, $\mathbb {R} ^{2}\setminus Y$ is an open subset of $\mathbb {R} ^{2}.$ Because $X$ has the subspace topology induced by $\mathbb {R} ^{2},$ the intersection $X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y$ is an open subset of $X.$ $\blacksquare$

[1] Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. p. 214. ISBN 978-0-8284-0061-9. Reprinted by Chelsea in 1949.

[2] Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. p. 281. ISBN 978-0-8284-0061-9. Reprinted by Chelsea in 1949.

[3] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset $A,$ $\operatorname {Bdry} (A)$ is closed.

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[note 1]

[proof 1]

[proof 2]

[proof 3]