Conditional convergence

Original article: w:Conditional convergence

수학(mathematics)에서, 급수(series) 또는 적분(integral)이 만약 그것이 수렴하지만, 절대적으로 수렴(converge absolutely)하지는 않으면 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이라고 말합니다.

Definition

보다 정확하게, 실수의 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$는 만약 ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$가 존재하지만 (유한 실수로 ,즉, $\infty$ 또는 $-\infty$가 아님), ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty }$이면 조건적으로 수렴이라고 말합니다.

고전적인 예제는 다음에 의해 제공되는 교대하는(alternating) 조화 급수입니다: $$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},$$

이것은 $\ln(2)$로 수렴이지만, 절대적으로 수렴이지는 않습니다 (조화 급수(Harmonic series)를 참조하십시오).

베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 조건적으로 수렴 급수가 ∞ 또는 −∞를 포함한 임의의 값으로 수렴하기 위해 (rearranged)될 수 있음을 입증했습니다; 리만 급수 정리(Riemann series theorem)를 참조하십시오. 리비–슈타이니츠 정리(Lévy–Steinitz theorem)는 Rⁿ에서 항의 급수가 수렴할 수 있는 값의 집합을 식별합니다.

전형적 조건적으로 수렴 적분은 ${\textstyle \sin(x^{2})}$의 비-음의 실수 축에 대한 적분입니다 (프레넬 적분(Fresnel integral)을 참조하십시오).

See also

• Absolute convergence
• Unconditional convergence

References

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).