Series (mathematics)

Original article: w:Series (mathematics)

This article is about infinite sums. For finite sums, see Summation.

수학(mathematics)에서, 급수(series)는, 대략 말해서, 주어진 시작하는 양에, 차례로 하나씩, 무한히 많은 양을 더하는 연산의 설명입니다. 급수에 대한 연구는 미적분학(calculus)과 그의 일반화, 수학적 해석학(mathematical analysis)의 주요 부분입니다. 급수는, 생성 함수(generating function)를 통해, 심지어 (조합론(combinatorics)과 같은) 유한 구조를 연구하는 것에 대해, 수학의 대부분의 분야에서 사용됩니다. 수학의 급수의 편재성 외에도, 무한 급수는 물리학(physics), 컴퓨터 과학(computer science), 통계(statistics) 및 금융(finance)과 같은 다른 양적 분야에서 역시 널리 사용됩니다.

오랫동안, 그러한 잠재적으로 무한한(potentially infinite) 합은 유한 결과를 생성할 수 있다는 아이디어는 역설(paradox)적인 것으로 고려되었습니다. 이 역설은 19세기 동안 극한(limit)의 개념을 사용하여 해결되었습니다. 아킬레스와 거북이(Achilles and the tortoise)의 제논의 역설(Zeno's paradox)은 무한 합의 이런 반-직관적인 속성을 묘사합니다; 아킬레스는 거북이 후에 달리지만, 그가 경주 시작에서 거북이의 위치에 도달했을 때, 거북이는 두 번째 위치에 도달했습니다; 그가 이 두 번째 위치에 도달했을 때, 거북이는 세 번째 위치에 있습니다; 기타 등등. 제논(Zeno)은 아킬레스가 거북이에 결코 도달할 수 없고, 따라서 그런 운동은 존재하지 않는다는 결론을 내렸습니다. 제논은 경주를 무한하게 많은 부분-경주로 나누었으며, 각 경주는 시간의 유한한 양이 요구되므로, 아킬레스가 거북이를 잡기 위한 총 시간은 급수로 제공됩니다. 역설의 해결은, 비록 급수가 항의 무한 숫자를 가질지라도, 아킬레스가 거북이를 잡기 위해 필요한 시간은 유한 합을 제공한다는 것입니다.

현대 용어에서, 항(terms) (즉 숫자(number), 함수(functions), 또는 더해질-수 있는 모든 것)의 임의의 (순서화) 무한 수열(infinite sequence) $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$은 급수를 정의하고, 이것은 $a_{i}$를 하나씩 차례로 더하는 것의 연산입니다. 항의 무한 숫자가 있음을 강조하기 위해, 급수는 무한 급수(infinite series)로 불릴 수 있을 것입니다. 그러한 급수는 다음과 같은 표현(expression)에 의해 표현 (또는 표시)됩니다:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,$

또는, 다음으로 합계 기호(summation sign)를 사용하여 표시됩니다:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$

급수에 의해 암시된 덧셈의 무한 수열은 (적어도 시간의 유한한 양 안에) 효과적으로 수행될 수 절대 없습니다. 어쨌든, 만약 항과 그들의 유한 합이 속한 집합이 극한(limit)의 개념을 가지면, 그것은 급수의 합(sum)으로 불리는, 급수에 대한 값을 때때로 할당할 수 있습니다. 이 값은 n이 무한대로 갈 때 급수의 n개의 처음 항들의 유한 합의 (만약 극한이 존재한다면) 극한이며, 이것은 급수의 n번째 부분 합(nth partial sums)으로 불립니다. 즉,

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$

이 극한이 존재할 때, 우리는 급수가 수렴한다(convergent) 또는 합해질-수-있다(summable), 또는 수열 $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$은 합해질 수 있다(summable)라고 말합니다. 이런 경우에, 극한은 급수의 합(sum of the series)으로 불립니다. 그렇지 않으면, 급수는 발산한다(divergent)고 말합니다.

일반적으로, 급수의 항은 링(ring), 자주 실수(real)의 필드(field) $\mathbf {R}$ 또는 복소수(complex)의 필드 $\mathbf {C}$에서 옵니다. 이런 경우에서, 모든 급수의 집합은 자체로 링 (및 심지어 결합 대수(associative algebra))이며, 이것에서 덧셈은 급수의 항별로 더하는 것으로 구성되며, 곱셈은 코시 곱(Cauchy product)입니다.

Basic properties

무한 급수 또는 단순히 급수는 무한 합이고 다음 형식의 무한 표현(infinite expression)에 의해 묘사됩니다:

$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,$

여기서 $(a_{n})$은, 숫자, 함수(functions), 또는 더해지는 것이 가능한 다른 것 (아벨 그룹)과 같은, 항(terms)의 임의의 순서화 수열(sequence)입니다. 이것은 나란히 그들을 놓는 것, 및 그들을 기호 "+"와 함께 결합하는 것에 의해 항 $a_{0},a_{1},\dots$의 목록으로부터 얻어지는 표현입니다. 급수는 다음과 같이 합계 표기법(summation notation)을 사용하여 역시 표현될 수 있을 것입니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ .

만약 항의 아벨 그룹 A가 극한(limit)의 개념을 가지면 (예를 들어, 만약 그것이 메트릭 공간(metric space)이면), 어떤 급수, 수렴 급수(convergent series)는 급수의 합으로 불리는, A 안의 값을 가지는 것으로 이해될 수 있습니다. 이것은 그룹이 실수의 필드 또는 복소수의 필드인 것에서 미적분학으로부터 공통 경우를 포함합니다. 급수 $s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$가 주어지면, 그의 k번째 부분 합은 다음입니다:

$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.$

정의에 의해, 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$는, 만약 그의 부분 합의 수열이 극한 L을 가지면, 극한 L에 수렴합니다 (또는 간단히 L에 합입니다). 이 경우에서, 우리는 보통 다음으로 씁니다:

$L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

급수는, 만약 그것이 어떤 극한에 수렴하면, 수렴이라고 또는 그것이 그렇지 않을 때 발산이라고 말합니다. 이 극한의 값은, 만약 그것이 존재한다면, 급수의 값입니다.

Convergent series

Illustration of 3 geometric series with partial sums from 1 to 6 terms. The dashed line represents the limit.

급수 ∑a_n은, 부분 합의 수열 (s_k)가 유한 극한(limit)을 가질 때, 수렴(converge) 또는 수렴하게 된다라고 말합니다. 만약 s_k의 극한이 무한 또는 존재하지 않으면, 급수는 발산한다(diverge)고 말합니다. 부분 합의 극한이 존재할 때, 그것은 급수의 값 (또는 합)이라고 불립니다.

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}.$

무한 급수가 수렴할 수 있는 쉬운 방법은 모든 a_n이 충분하게 큰 n에 대해 영인 것입니다. 그러한 급수는 유한 합으로 식별될 수 있으므로, 그것은 자명한 의미에서 오직 무한입니다.

비록 무한하게 많은 항이 비-영일지라도, 수렴하는 급수의 속성을 이해하는 것이 급수의 연구의 본질입니다. 다음 예제를 생각해 보십시오:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots .$

그것은 실수 직선(real number line) 위에 그의 수렴을 "시각화"할 수 있습니다: 우리는, 길이 1, ½, ¼ 등등에 표시를 하는 연속적인 선분을 갖는, 길이 2의 직선을 상상할 수 있습니다. 남아있는 선분의 양이 항상 마지막 표시된 선분과 같기 때문에 다음 선분을 표시하기 위한 자리는 항상 있습니다: 우리가 ½을 표시할 때, 우리는 여전히 표시되지 않은 길이 ½의 조각을 가지므로, 우리는 다음  ¼을 확실히 표시할 수 있습니다. 이 논증은 합이 2와 같음을 (비록 그렇더라도) 입증하지 않지만, 그것은 많아야 2라는 것을 입증합니다. 달리 말해서, 급수는 높은 경계(upper bound)를 가집니다. 급수가 수렴하는 것으로 주어지면, 그것이 2와 같음을 증명하는 것은 오직 초등 대수를 요구합니다. 만약 급수가 S로 표시되면, 그것은 다음임을 보일 수 있습니다:

$S/2={\frac {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .$

그러므로,

$S-S/2=1\Rightarrow S=2.$

관용구는 급수의 다른, 동등한 개념으로 확장합니다. 예를 들어, 다음처럼, 반복되는 십진수(recurring decimal)에 대해,

$x=0.111\dots$

다음 급수로 인코딩됩니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}.$

이들 급수는 항상 실수(real)로 수렴하므로 (왜냐하면 실수의 완비화 속성(completeness property)으로 불리는 것 때문입니다), 이런 방법에서 급수에 대해 이야기하는 것은 그들이 위치한 숫자에 대해 이야기하는 것과 같습니다. 특히, 십진 표현 0.111…은 ¹/₉로 식별될 수 있습니다. 이것은 9 × 0.111… = 0.999… = 1이라는 논증으로 이어지며, 이것은 급수에 대해 극한 법칙이 산술 연산을 보존한다는 사실에 오직 의존합니다; 이 논증은 기사 0.999...에서 소개됩니다.

Examples of numerical series

For other examples, see List of mathematical series and Sums of reciprocals § Infinitely many terms.

• 기하 급수(geometric series)는 각 연속 항이 이전 항에 (이런 문맥에서 공통 비율로 불리는) 상수 숫자(constant number)를 곱하여 생성되는 급수입니다. 예제:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

일반적으로, 기하 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

가 수렴인 것과 ${\textstyle |z|<1}$인 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.

• 초기하 급수(Hypergeometric series):

$_{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}$

및 (기본 초기하 급수(basic hypergeometric series) 및 타원형 초기하 급수(elliptic hypergeometric series)와 같은) 그들의 일반화는 자주 적분-가능 시스템(integrable systems) 및 수학적 물리학(mathematical physics)에서 나타납니다..

• 산술-기하 급수(arithmetico-geometric series)는 기하 급수의 일반화이며, 이것은 산술 수열(arithmetic sequence)에서 항들과 같은 공통 비율의 계수를 가집니다. 예제:

$3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.$

• 조화 급수(harmonic series)는 다음 급수입니다:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

조화 급수는 발산(divergent)입니다.

• 교대 급수(alternating series)는 항이 부호를 교대하는 급수입니다. 예제:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad$ (교대 조화 급수)

및

$-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}$

• p-급수(p-series)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

는 만약 p > 1이면 수렴하고 p ≤ 1에 대해 발산하며, 이것은 아래 수렴성 테스트(convergence tests)에서 묘사된 적분 기준과 함께 보일 수 있습니다. p의 함수처럼, 이 급수의 합은 리만의 제타 함수(Riemann's zeta function)입니다.

• 망원 급수(telescoping series)

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

은 만약 수열(sequence) b_n이, n이 무한대로 갈 때, 극한 L로 수렴하면, 수렴합니다. 급수의 값은, 그런 다음, b₁ − L입니다.

• 그의 수렴성이 아직 알져지지/증명되지 않은 일부 기초 급수가 있습니다. 예를 들어, 다음은 그것의 수렴성 여부가 알려지지 않은 플린트 힐즈 급수(Flint Hills series)입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}$

수렴은 $\pi$가 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는지에 달려 있습니다 (아직 알려진 방법이 없습니다). 보다 구체적으로, 합계에 큰 수치 기여를 하는 n의 값은 $\pi$의 연속된 분수 수렴성의 분자, 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (OEIS에서 수열 A046947)로 시작하는 수열입니다. 이들은 어떤 정수 n에 대해 $n\pi$에 가까운 정수이므로, $\sin n\pi$는 0에 가깝고 그의 역수는 큽니다. 알렉세이프(Alekseyev, 2011)는 만약 이 급수가 수렴하면, $\pi$의 무리성 측정(irrationality measure)이 2.5보다 더 작아져, 이것은 7.10320533...의 현재 알려진 경계보다 훨씬 작다는 것을 입증했습니다.

π

Main articles: Pi § Infinite series, Approximations of π, and Harmonic number § Identities involving π

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi$

Natural logarithm of 2

Main article: Natural logarithm of 2 § Series representations

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2$

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2$

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(4i^{2}-1)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2$

$\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2$

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2$

Natural logarithm base e

Main article: e (mathematical constant)

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}$

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$

Calculus and partial summation as an operation on sequences

부분 합은 수열, { a_n }을 입력으로 취하고, 또 다른 수열, { S_N }을 출력으로 제공합니다. 그것은, 따라서, 수열에 대한 단항 연산(unary operation)입니다. 게다가, 이 함수는 선형(linear)이고, 따라서 Σ로 표시되는, 수열의 벡터 공간 위에 선형 연산자(linear operator)입니다. 역 연산자는 유한 차이(finite difference) 연산자, Δ입니다. 이들은 실수 변수의 함수 대신에 (자연수의 함수) 오직 급수에 대해, 적분(integration)과 미분(differentiation)의 이산 아날로그로 행동합니다. 예를 들어, 수열 {1, 1, 1, ...}은 그의 부분 합으로 급수 {1, 2, 3, 4, ...}를 가지고, 이것은 $\int _{0}^{x}1\,dt=x$이라는 사실에 대해 아날로그입니다.

컴퓨터 과학(computer science)에서, 그것은 접두 합(prefix sum)으로 알려져 있습니다.

Properties of series

급수는 그들의 수렴 또는 발산 여부에 의해 뿐만 아니라, 항 a_n의 속성 (절대 또는 조건부 수렴); 급수의 수렴의 유형 (점마다, 균등); 항 a_n의 클래스 (그것이 실수, 산술 진행, 삼각 함수인지에 따라); 등에 의해 분류됩니다

Non-negative terms

a_n이 모든 각 n에 대해 비-음의 실수일 때, 부분 합의 수열 S_N은 비-감소입니다. 그것은, 비-음의 항을 갖는 급수 ∑a_n이 수렴하는 것과 부분 합의 수열 S_N이 경계진 것인 것은 필요충분 조건이라는 것을 따릅니다.

예를 들어, 급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

는 수렴인데, 왜냐하면 부등식

${\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,$

및 망원 합 인수는 부분 합이 2로 경계지는 것을 암시합니다. 원래 급수의 정확한 값은 바젤 문제(Basel problem)입니다.

Absolute convergence

Main article: Absolute convergence

급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

는, 만약 절댓값(absolute value)의 다음 급수가 수렴하면, 절대적으로 수렴이라고 말합니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$

이것은 원래 급수가 극한에 수렴 할뿐만 아니라, 그것의 임의의 재순서화도 같은 극한으로 수렴한다는 것을 보장하기에 충분합니다.

Conditional convergence

Main article: Conditional convergence

실수 또는 복수소의 급수는, 만약 그것이 수렴하지만 절대적으로 수렴하지 않으면, 조건적으로 수렴(conditionally convergent) (또는 반-수렴(semi-convergent))이라고 말합니다. 유명한 예제는 다음 교대 급수이며:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots$

이것은 수렴이지만 (및 그의 합은  ln 2와 같습니다), 각 항의 절댓값을 취함으로써 형성된 급수는 발산 조화 급수(harmonic series)입니다. 리만 급수 정리(Riemann series theorem)는, 임의의 조건적으로 수렴 급수는 수렴하는 급수를 만들기 위해 재정렬될 수 있고, 게다가, 만약 a_n이 실수이고 S가 임의의 실수이면, 우리는 재정렬된 급수가 S와 같은 합으로 수렴하도록 재정렬하는 것을 찾을 수 있음을 말합니다.

아벨의 테스트(Abel's test)는 반-수렴 급수를 처리하기 위한 중요한 도구입니다. 만약 급수가 다음 형태를 가지면:

$\sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}$

여기서 부분 합 B_N = b₀ + ··· + b_n은 경계져 있으면, λ_n은 경계진 변형을 가지고, lim λ_n B_n은 존재합니다:

$\sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}$

그런-다음 급수 ∑ a_n는 수렴합니다. 이것은, 0 < x < 2π을 갖는 다음에서 처럼,

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}$

많은 삼각-함수 급수의 점마다 수렴에 적용됩니다. 아벨의 테스트는 b_n+1 = B_n+1 − B_n을 쓰는 것으로 구성되고, (부분에 의한 합(summation by parts)으로 불리는) 부분에 의한 적분(integration by parts)과 비슷한 변환을 수행함으로써, 주어진 급수 ∑ a_n와 절대적으로 수렴하는 다음 급수를 관련 짓습니다:

$\sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.$

Evaluation of truncation errors

잘림 오류의 평가는 수치 해석학(numerical analysis) (특히 검증된 숫자-시스템(validated numerics) 및 컴퓨터-보조 증명(computer-assisted proof))에서 중요한 절차입니다.

Alternating series

교대 급수 테스트(alternating series test)의 조건이 $S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}$에 의해 만족시킬 때, 정확한 오류 평가가 있습니다. $s_{n}$을 주어진 교대 급수 $S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}$의 부분 합으로 설정합니다. 그런-다음 다음 부등식이 유지됩니다:

$|S-s_{n}|\leq u_{n+1}.$

Taylor series

테일러의 정리(Taylor's theorem)는 테일러 급수(Taylor series)가 잘릴 때 오류 항의 평가를 포함하는 명제입니다.

Hypergeometric series

비율(ratio)을 사용함으로써, 우리는 초기하 급수(hypergeometric series)가 잘릴 때 오차 항의 평가를 얻을 수 있습니다.

Matrix exponential

행렬 지수(matrix exponential)에 대해:

$\exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},$

따라오는 오류 평가는 유지됩니다 (스케일링 및 제곱 방법):

$T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).$

Convergence tests

Main article: Convergence tests

특정 급수가 수렴 또는 발산하는지 여부를 결정하기 위해 사용될 수 있는 많은 테스트가 존재합니다.

• n-번째 항 테스트(n-th term test): 만약 lim_n→∞ a_n ≠ 0이면 급수는 발산합니다; 만약 lim_n→∞ a_n = 0이면, 테스트는 언제 끝날지 모릅니다.
• 비교 테스트 1 (직접 비교 테스트(direct comparison test)를 참조하십시오): 만약 ∑b_n 은 어떤 숫자 C  및 충분하게 큰 n 에 대해 |a_n | ≤ C |b_n |를 만족하는 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수이면, ∑a_n 은 마찬가지로 절대적으로 수렴입니다. 만약 ∑|b_n |가 발산하고, 모든 충분하게 큰 n 에 대해 |a_n | ≥ |b_n |이면, ∑a_n 은 절대적으로 수렴하는 것이 역시 실패합니다 (비록 그것이 여전히 조건적으로 수렴될지라도, 예를 들어, 만약 a_n 이 부호를 교대하면).
• 비교 테스트 2 (극한 비교 테스트(limit comparison test)를 참조하십시오): 만약 ∑b_n 이 충분하게 큰 n 에 대해 |a_n+1 /a_n | ≤ |b_n+1 /b_n |을 만족하는 절대적으로 수렴 급수이면, ∑a_n 은 마찬가지로 절대적으로 수렴입니다. 만약 ∑|b_n |이 발산하고, 모든 충분하게 큰 n 에 대해 |a_n+1 /a_n | ≥ |b_n+1 /b_n |이면, ∑a_n 은 절대적으로 수렴하는 것을 역시 실패합니다 (비록 그것이 여전히 조건적으로 수렴될지라도, 예를 들어, 만약 a_n 이 부호를 교대하면).
• 비율 테스트(ratio test): 만약 모든 충분하게 큰 n에 대해 |a_n+1/a_n|<C를 만족하는 상수 C < 1가 존재하면, ∑a_n는 절대적으로 수렴입니다. 비율이 1보다 작지만, 1보다 작은 상수보다 작지 않을 때, 수렴은 가능하지만 이 테스트는 그것을 확립하지 않습니다.
• 근 테스트(root tesst): 만약 모든 충분하게 큰 n에 대해 |a_n|^1/n ≤ C를 만족하는 상수 C < 1가 존재하면, ∑a_n는 절대적으로 수렴입니다.
• 적분 테스트(Integral test): 만약 ƒ(x)이 모든 n에 대해 ƒ(n) = a_n을 갖는 구간(interval) [1, ∞) 위에 정의된 양의 단조 감소하는(monotone decreasing) 함수이면, ∑a_n이 수렴하는 것과 적분(integral)  ∫₁^∞ ƒ(x) dx이 유한한 것은 필요충분 조건입니다.
• 코시의 응집 테스트(Cauchy's condensation test): 만약 a_n는 비-음수이고 비-증가이면, 두 급수  ∑a_n 와  ∑2^ka_(2^k)는 같은 본성: 양쪽 수렴, 또는 양쪽 발산입니다.
• 교대 급수 테스트(alternating series test): (a_n > 0을 갖는) 형식 ∑(−1)ⁿ a_n의 급수는 교대라고 불립니다. 그러한 급수는, 만약 수열(sequence) a_n이 단조 감소(monotone decreasing)이고 0에 수렴하면, 수렴입니다. 역은 일반적으로 참이 아닙니다.
• 급수의 일부 특정 유형에 대해, 보다 전문화된 수렴 테스트가 있습니다; 예를 들어, 푸리에 급수(Fourier series)에 대해 디니 테스트(Dini test)가 있습니다.

Series of functions

Main article: Function series

실수- 또는 복소수-값 함수의 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

는, 만약 급수가 실수 또는 복소수의 보통의 급수로 E 안의 각 x에 대해 수렴하면, 집합 E 위의 점마다 수렴(converges pointwise)입니다. 동등하게, 부분 합

$s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)$

은 각 x ∈ E에 대해 N → ∞일 때 ƒ(x)에 대한 수렴입니다.

함수의 급수의 수렴의 더 강한 개념은 균등 수렴(uniform convergence)으로 불립니다. 급수는, 만약 그것이 함수 ƒ(x)에 대해 점마다 수렴이면, 균등하게 수렴이고, N번째 부분 합에 의해 극한을 근사하는 것에서 오차,

$|s_{N}(x)-f(x)|$

는 충분하게 큰 N을 선택함으로써 x와 독립적으로 최소로 만들어질 수 있습니다.

균등 수렴은 극한에 대해 바람직한데 왜냐하면 급수의 항의 많은 속성은 그런-다음 극한에 의해 유지되기 때문입니다. 예를 들어, 만약 연속 함수의 급수가 균등하게 수렴하면, 극한 함수도 역시 연속입니다. 비슷하게, 만약 ƒ_n이 닫혀지고 경계진 구간 Ⅰ 위에 적분-가능(integrable)이고 균등하게 수렴이면, 급수는 I 위에 역시 적분-가능이고 항별로 적분될 수 있습니다. 균등 수렴에 대한 테스트는 바이어슈트라스의 M-테스트(Weierstrass' M-test), 아벨의 균등 수렴 테스트(Abel's uniform convergence test), 디니의 테스트(Dini's test), 및 코시 기준(Cauchy criterion)을 포함합니다.

함수의 급수의 수렴의 보다 정교한 유형은 역시 정의될 수 있습니다. 측정 이론(measure theory)에서, 예를 들어, 함수의 급수는, 만약 그것이 측정 영(measure zero)의 특정 집합을 제외하고 점마다 수렴이면, 거의 모든 곳에서 수렴합니다. 수렴의 다른 모드는 고려사항 아래에서 함수의 공간 위에 다른 메트릭 공간(metric space) 구조에 따라 달라집니다. 예를 들어, 함수의 급수는, N → ∞일 때, 다음으로 제공된 극한 함수 f에 대한 집합 E 위의 평균으로 수렴합니다:

$\int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0$.

Power series

Main article: Power series

거듭제곱 급수(power series)는 다음 형식의 급수입니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.$

함수의 점 c에서 테일러 급수(Taylor series)는 c의 이웃에서 함수에 수렴하는, 많은 경우에서, 거듭제곱 급수입니다. 예를 들어, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

는 원점에서 $e^{x}$의 테일러 급수이고 모든 각 x에 대해 그것에 수렴합니다.

만약 그것이 오직 x=c에서 수렴하지 않으면, 그러한 급수는 복소 평면 안의 점 c를 중심으로 하는 수렴의 특정 열린 디스크 위에 수렴하고, 디스크의 경계의 점의 일부에서 역시 수렴할 수 있습니다. 이 디스크의 반지름은 수렴의 반지름(radius of convergence)으로 알려져 있고, 원칙적으로 계수 a_n의 점근선으로부터 결정될 수 있습니다. 수렴은 수렴의 디스크의 내부의 닫혀지고(closed) 경계진(bounded) (즉, 컴팩트(compact)) 부분-집합 위에 균등합니다: 즉, 그것은 컴팩트 집합 위의 균등하게 수렴입니다.

역사적으로, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 같은 수학자들은, 비록 그들이 수렴하지 않을지라도, 무한 급수와 함께 자유롭게 조작했었습니다. 미적분학은 19세기에서 건전하고 정확한 토대 위에 놓이게 되었을 때, 급수의 수렴의 엄격한 증명은 항상 요구되었습니다.

Formal power series

Main article: Formal power series

거듭제곱 급수의 많은 사용은 그들의 합을 참조하지만, 형식적 합으로 거듭제곱 급수를 처리하는 것이 역시 가능하며, 덧셈 연산이 실제로는 수행되지 않음을 의미하고, 기호 "+"는, 덧셈에 해당하는 것으로 반드시 해석될 필요가 없는, 연결의 추상적인 기호입니다. 이 설정에서, 계수 자체의 수열은 급수의 수렴보다는 관심의 대상입니다. 형식적 거듭제곱 급수는, 예를 들어, 함수를 생성하는(generating function) 방법을 사용하여, 그렇지 않으면 처리가 어려운 수열(sequence)을 묘사하고 연구하기 위해 조합론(combinatorics)에서 사용됩니다. 힐베르트–푸앵카레 급수(Hilbert–Poincaré series)는 등급화된 대수(graded algebra)를 연구하기 위해 사용되는 형식적 거듭제곱 급수입니다.

비록 거듭제곱 급수의 극한이 고려되지 않더라도, 만약 항이 적절한 구조를 지원하면 그것은 "형식적으로" 거듭제곱 급수에 대해 덧셈(addition), 곱셈(multiplication), 도함수(derivative), 역도함수(antiderivative)와 같은 연산을 정의하는 것이 가능하며, 만약 그것이 덧셈에 해당하는 것처럼 기호 "+"를 처리합니다. 가장 공통적인 설정에서, 항은, 형식적 거듭제곱 급수는 항별로 더해질 수 있고 코시 곱(Cauchy product)을 통해 곱해질 수 있도록, 교환 링(commutative ring)에서 옵니다. 이 경우에서 형식적 거듭제곱 급수의 대수는 밑에 있는 항 링에 걸쳐 자연수(natural numbers)의 모노이드(monoid)의 전체 대수(total algebra)입니다. 만약 밑에-있는 항 링은 미분 대수(differential algebra)이면, 형식적 거듭제곱 급수의 대수는, 항별로 수행된 미분과 함께, 역시 미분 대수입니다.

Laurent series

Main article: Laurent series

로랑 급수는 음수 뿐만 아니라 양수 지수를 갖는 급수에 항을 허용함으로써 거듭제곱 급수를 일반화합니다. 로랑 급수는 따라서 다음 형식의 임의의 급수입니다:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.$

만약 그러한 급수가 수렴하면, 일반적으로 그것은 그래서 디스크라기 보다는 원환(annulus) 안에서, 가능한 일부 경계 점에서 행합니다. 그 급수는 수렴의 원환의 내부의 컴팩트 부분-집합 위에 균등하게 수렴합니다.

Dirichlet series

Main article: Dirichlet series

디리클레 급수(Dirichlet series)는 다음 형태의 하나입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},$

여기서 s는 복소수(complex)입니다. 예를 들어, 만약 모든 a_n이 1과 같으면, 디리클레 급수는 다음 리만 제타 함수(Riemann zeta function)입니다:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

제타 함수와 마찬가지로, 디리클레 급수는 일반적으로 해석적 숫자 이론(analytic number theory)에서 중요한 역할을 합니다. 일반적으로 디리클레 급수는, 만약 s의 실수 부분이 수렴의 앱시서로 불리는 숫자보다 크면, 수렴합니다. 많은 경우에서, 디리클레 급수는 해석적 연속(analytic continuation)에 의해 수렴의 도메인 외부의 해석적 함수(analytic function)로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 제타 함수에 대한 디리클레 급수는 Re s > 1일 때 절대적으로 수렴이지만, 제타 함수는 1에서 단순 극점(pole)을 갖는 $\mathbf {C} \setminus \{1\}$  위에 정의된 정칙 함수(holomorphic function)로 확장될 수 있습니다.

이 급수는 일반적인 디리클레 급수(general Dirichlet series)로 직접 일반화될 수 있습니다.

Trigonometric series

Main article: Trigonometric series

항이 삼각함수(trigonometric function)인 함수의 급수는 삼각함수 급수(trigonometric series)라고 불립니다:

${\tfrac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).$

삼각함수 급수의 가장 중요한 예제는 함수의 푸리에 급수(Fourier series)입니다.

History of the theory of infinite series

Development of infinite series

그리스(Greek) 수학자 아르키메데스(Archimedes)는 오늘 미적분의 영역에서 여전히 사용되는 방법을 갖는 무한 급수의 처음 알려진 합을 산출했습니다. 그는 무한 급수의 합계를 갖는 포물선(parabola)의 호 아래의 넓이(area)를 계산하기 위해 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했었고, π의 두드러지게 정확한 근사를 제공했습니다.

인도 케랄라 출신의 수학자들은 CE 1350년경에 무한 급수를 연구했습니다.

17세기에서, 제임스 그레고리(James Gregory)는 무한 급수 위에 새로운 십진법 시스템에서 작동하고 여러 매클로린 급수(Maclaurin series)를 발표했습니다. 1715년에, 그들이 존재하는 모든 함수에 대해 테일러 급수(Taylor series)를 구성하는 것에 대한 일반적인 방법은 브룩 테일러(Brook Taylor)에 의해 제공되었습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 18세기에, 초기하 급수(hypergeometric series)와 q-급수(q-series)의 이론을 발전시켰습니다.

Convergence criteria

무한 급수의 효력의 조사는 19세기 가우스(Gauss)에서부터 시작한다고 고려됩니다. 오일러는 다음 초기하 급수를 이미 고려해 왔습니다:

$1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots$

가우스가 이것에 대해 1812년 회고록에서 발표했습니다. 그것은 수렴의 더 간단한 기준, 및 나머지와 수렴의 범위의 문제를 수립했습니다.

코시(Cauchy) (1821)는 수렴의 엄격한 테스트를 주장했습니다; 그는, 만약 두 급수가 수렴하면 그들 곱은 반드시 그런 것은 아니고, 그와 함께 효과적인 기준의 발견을 시작한다는 것을 보였습니다. 용어 수렴 및 발산은 그레고리(Gregory) (1668)에 의해 오래 전에 도입되어 왔습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 가우스(Gauss)는 다양한 기준을 제시했었고, 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)은 코시의 발견 중 일부를 예상했었습니다. 코시는 그러한 형식에서 복소 함수(function)의 그의 전개에 의해 거듭제곱 급수(power series)의 이론을 발전시켰습니다.

아벨(Abel) (1826)은 이항 급수(binomial series)에 대한 그의 회고록에서

$1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots$

은 코시의 결론의 특정 부분을 수정했었고, $m$과 $x$의 복소 값에 대해 급수의 완전한 과학적 합을 제공했습니다. 그는 수렴의 문제에서 연속성의 주제를 고려해야 할 필요성을 보여주었습니다.

코시의 방법은 일반적인 기준보다는 특별한 것을 이끌었고, 같은 것은, 주제에 대한 최초의 정교한 조사를 한 하브(Raabe) (1832), 드 모르간(De Morgan) (1842), 그의 로그 테스트 뒤부아-레몽(DuBois-Reymond) (1873) 및 프링스하임(Pringsheim) (1889)은 특정 지역에서 실패한 것으로 보여준 것; 베르트랑(Bertrand) (1842), 보네(Bonnet) (1843), 말스텐(Malmsten) (1846, 1847, 후자는 적분화 없이); 스토크스(Stokes) (1847), 포커(Paucker) (1852), 체비셰프(Chebyshev) (1852), 및 안트(Arndt) (1853)에 대해서도 말할 수 있습니다.

일반적인 기준은 쿠머(Kummer) (1835)에서 시작하고, 아이젠슈타인(Eisenstein) (1847), 함수의 연수에 대한 그의 다양한 기여에서 바이어슈트라스(Weierstrass), 디니(Dini) (1867), 뒤부아-레몽(DuBois-Reymond) (1873), 및 많은 다른 사람들에 의해 연구되어 왔습니다. 프링스하임(Pringsheim)의 회고록 (1889)은 가장 완전한 일반 이론을 제시했습니다.

Uniform convergence

균등 수렴(uniform convergence)의 이론은 코시 (1821)에 의해 다루어 졌는데, 그의 한계는 아벨에 의해 지적되었지만, 처음으로 그것을 성공적으로 공격한 것은 자이델(Seidel) 및 스토크스(Stokes)였습니다. 코시는, 아벨의 비판을 인정했었고, 스토크스가 이미 발견한 것과 같은 결론에 도달하면서, 다시 문제를 해결했습니다 (1853). 토메(Thomae)는 교리를 사용했지만 (1866), 함수의 이론의 요구에도 불구하고, 균등과 비-균등의 수렴 사이의 구분하는 것의 중요성을 인식하는 것에 상당한 시간이 걸렸습니다.

Semi-convergence

만약 급수가, 그것이 수렴하지만 절대적으로 수렴(absolutely convergent)이 아니면 반-수렴 (또는 조건적으로 수렴)이라고 말합니다.

반-수렴 급수는 푸아송(Poisson) (1823)에 의해 연구되었으며, 그는 매클로린(Maclaurin) 공식의 나머지에 대해 일반적인 형식을 역시 젝공했습니다. 그 문제의 가장 중요한 해는, 어쨌든, 야코비(Jacobi) (1834)에 기인하며, 그는 다른 견해로부터 나머지의 질문을 공격했었고 다른 공식에 도달했습니다. 이 표현은 역시 작동되었었고, 다른 하나는 말스텐(Malmsten) (1847)에 의해 제공되었습니다. 슐뢰밀히(Schlömilch) (Zeitschrift, Vol.I, p. 192, 1856) 역시 야코비의 나머지를 개선했었고, 나머지와 다음 베르누이의 함수(Bernoulli's function) 사이의 관계를 보였습니다:

$F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.$

제노키(Genocchi) (1852)는 이론에 더 기여했었습니다.

초기 저자 중에는 론스키(Wronski)가 있었으며, 그의 "loi suprême" (1815)는 케일리(Coleley) (1873)가 그것을 중요하게 부각하기 전까지 거의 인식되지 않았습니다.

Fourier series

푸리에 급수(Fourier series)는, 가우스, 아벨, 및 코시가 무한 급수의 이론을 연구하는 같은 시대에 물리적 고려-사항의 결과로 조사되었던 것입니다. 사인과 코사인, 호의 사인과 코사인의 거듭제곱에서 다중 호의 전개에 대한 급수는 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli) (1702)와 그의 형 요한 베르누이(Johann Bernoulli) (1701)에 의해 논의되었고 여전히 비에트(Vieta)에 의해 일찍이 논의되었습니다. 오일러와 라그랑주(Lagrange)는, 푸앵소(Poinsot), 슈뢰터(Schröter), 글레이셔(Glaisher), 및 쿠머(Kummer)가 했었던 것처럼, 주제를 단순화했습니다.

푸리에 (1807)는, 그의 Théorie analytique de la chaleur (1822)에서 구체화한 문제, x의 배수의 사인이나 코사인의 관점에서 x의 주어진 함수를 확장하기 위한, 다른 문제를 자신을 위해 설정했습니다. 오일러는 이미 급수에서 계수를 결정하기 위해 공식을 이미 제공했습니다; 푸리에는 일반적인 정리를 처음으로 주장하고 증명하기 위해 시도했습니다. 푸아송(Poisson) (1820–23)은 다른 관점에서 이 문제를 역시 공략했습니다. 푸리에는, 어쨌든, 그의 급수의 수렴의 문제를 해결하지 못했었고, 문제는 시도하기 위해 코시(Cauchy) (1826) 및 철저하게 과학적 방법으로 처리하기 위해 디리클레 (1829)에 대해 남겨졌었습니다 (푸리에 급수의 수렴(convergence of Fourier series)을 참조하십시오). 삼각-함수 급수의 디리클레의 논법 (크렐레(Crelle), 1829)은 리만 (1854), 하이네, 립시츠(Lipschitz), 슐레플리(Schläfli), 및 뒤 부아-레몽(du Bois-Reymond)의 비평과 개선의 주제였습니다. 삼각-함수와 푸리에 급수의 이론에 대한 다른 저명한 공헌자들 중에는 디니(Dini), 에르미트(Hermite), 할펜(Halphen), 클라우스(Krause), 바이얼리(Byerly) 및 아펠(Appell)이 있었습니다.

Generalizations

Asymptotic series

점근 급수(asymptotic series), 그렇지 않으면 점근 전개(asymptotic expansions)는 그의 부분 합은 도메인의 어떤 점의 극한에서 좋은 근사가 되는 무한 급수입니다. 일반적으로 그들은 수렴하지 않지만, 그들은 근사의 수열로 유용하며, 그것의 각각은 항의 유한한 숫자에 대해 원하는 답에 대한 가까운 값을 제공합니다. 차이는, 점근 급수가, 수렴 급수가 할 수 있는 방법, 원하는 만큼 정확한 답을 생성하기 위해 절대 만들어질 수 없다는 것입니다. 사실, 항의 특정 숫자 후에, 전형적인 점근 급수는 그의 최상의 근사에 도달합니다; 만약 더 많은 항은 포함되면, 대부분의 그러한 급수는 더 나쁜 답을 제공할 것입니다.

Divergent series

Main article: Divergent series

많은 상황 아래에서, 그것은 보통 의미에서 수렴하지 못하는 급수에 대한 극한을 할당하는 것이 바람직합니다. 합-가능성 방법(summability method)은 수렴의 고전적인 개념을 적절하게 확장하는 발산 급수의 집합의 부분-집합에 대한 극한의 그러한 할당입니다. 합-가능성 방법은, 보편성의 증가하는 순서에서 (따라서 증가적으로 발산 급수에 대해 적용-가능한), 체사로 합(Cesàro summation), (C,k) 합, 아벨 합(Abel summation), 및 보렐 합(Borel summation)이 포함됩니다.

가능한 합-가능성 방법에 관련하는 다양한 일반적인 결과가 알려져 있습니다. 실버먼–퇴플리츠 정리(Silverman–Toeplitz theorem)는 행렬 합-가능성 방법을 특성화이며, 이것은 무한 행렬을 계수의 벡터에 적용함으로써 발산 급수를 합하는 것에 대한 방법입니다. 발산 급수를 합산하는 것에 대해 가장 일반적인 방법은 비-건설적이고, 바나흐 극한(Banach limit)에 관계합니다.

Summations over arbitrary index sets

정의는 임의의 인덱스 집합 I에 걸쳐 합에 대해 제공될 수 있습니다. 급수의 보통 개념을 갖는 두 가지 주요한 차이가 있습니다: 첫째, 집합 I 위에 주어진 특정 순서가 없습니다; 둘째, 이 집합 I는 셀-수-없은 것일 수 있습니다. 수렴의 개념은 강화되는 것이 필요한데, 조건적 수렴(conditional convergence)의 개념은 인덱스 집합의 순서화에 달려 있기 때문입니다.

만약 $a:I\mapsto G$가 인덱스 집합(index set) I에서 집합 G로의 함수(function)이면, $a$와 결합된 "급수"는 다음에 의해 표시되는 인덱스 원소 $x\in I$에 걸쳐 원소 $a(x)\in G$의 공식 합(formal sum)입니다:

$\sum _{x\in I}a(x).$

인덱스 집합이 자연수 $I=\mathbb {N}$일 때, 함수 $a:\mathbb {N} \mapsto G$는 $a(n)=a_{n}$로 표시하는 수열(sequence)입니다. 자연수 위에 인덱스된 급수는 순서화된 공식 합이고 그래서 우리는 자연수에 의해 유도된 순서화를 강조하기 위해서 $\sum _{n\in \mathbb {N} }$를 $\sum _{n=0}^{\infty }$로 다시-씁니다. 따라서, 우리는 다음처럼 자연수에 의해 인덱스된 급수에 대해 공통 표기법을 획득합니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .$

Families of non-negative numbers

비-음의 숫자의, 가족 {a_i}, i ∈ I를 합했을 때, 우리는 다음으로 정의할 수 있을 것입니다:

$\sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\Bigl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A{\text{ finite, }}A\subset I{\Bigr \}}\in [0,+\infty ].$

상한이 유한할 때, a_i > 0를 만족하는 i ∈ I의 집합은 셀-수 있습니다. 사실, 모든 각 n ≥ 1에 대해, 집합 $A_{n}=\{i\in I\,:\,a_{i}>1/n\}$은 유한한데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

${\frac {1}{n}}\,{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .$

만약 I 가 셈할-수-있는 무한이고 I = {i₀, i₁,...}로 열거되면, 위에서 정의된 합은 다음을 만족시킵니다:

$\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},$

값 ∞는 급수의 합에 대해 허용됨으로써 제공됩니다.

비-음의 실수에 걸쳐 임의의 합은 셈 측정(counting measure)에 관한 비-음의 함수의 적분으로 이해될 수 있으며, 이것은 두 구성 사이의 많은 닮음을 설명합니다.

Abelian topological groups

a : I → X라고 놓으며, 여기서 I 가 임의의 집합이고 X 가 아벨(abelian) 하우스도르프(Hausdorff) 토폴로지적 공간(topological group)입니다. F 를 I의 모든 유한(finite) 부분-집합(subset)의 모음으로 놓습니다. F 가 이음(join)으로 합집합(union)을 갖는 포함(inclusion) 아래에서 순서화된(ordered), 방향화된 집합(directed set)임을 주목하십시오. 만약 그것이 존재하고 가족 a의 무조건적인 합-가능한 것으로 말하면, 다음 극한으로 가족 a의 합 S 을 정의합니다:

$S=\sum _{i\in I}a_{i}=\lim {\Bigl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A\in F{\Bigr \}}$

합계 S 가 유한 부분 합의 극한인 것으로 말하는 것은 X에서 0의 모든 각 이웃 V 에 대해, 다음을 만족하는 I 의 유한 부분-집합 A₀가 존재하는 것을 의미합니다:

$S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V,\quad A\supset A_{0}.$

F 가 전체적으로 순서화(totally ordered)되지 않았기 때문에, 이것은 부분 합의 수열의 극한(limit of a sequence)이 아니지만, 오히려 네트(net)의 극한입니다.

모든 각 W, X에서 0의 이웃에 대해, V − V ⊂ W를 만족하는 더 작은 이웃 V 가 있습니다. 그것은, 무조건적으로 합-가능한 가족 a_i, i ∈ I의 유한 부분 합은 코시 네트를 형성함을 따릅니다, 즉, 모든 각 W, X 안의 0의 이웃에 대해, 다음을 만족하는 I 의 유한 부분-집합 A₀가 존재합니다:

$\sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W,\quad A_{1},A_{2}\supset A_{0}.$

X 가 완비(complete)일 때, 가족 a가 X 에서 무조건적으로 합-가능한 것과 유한 합이 후자의 코시 네트 조건을 만족시키는 것은 필요충분 조건입니다. X 가 완비이고, a_i, i ∈ I가 X에서 무조건적으로 합-가능일 때, 모든 각 부분-집합 J ⊂ I에 대해, 대응하는 부분-가족 a_j, j ∈ J는 역시 X에서 무조건적으로 합-가능입니다.

비-음수의 가족의 합이, 이전에 정의된 확장된 의미에서, 유한할 때, 그것은 토폴로지적 공간 X = R에서 합과 일치합니다.

만약 X 에서 가족 a가 무조건적으로 합-가능이면, 모든 각 W, X에서 0의 이웃에 대해, A₀에 있지 않은 모든 각 i에 대해, a_i ∈ W 를 만족하는 I 의 유한 부분-집합 A₀가 있습니다. 만약 X 가 첫 번째-셀 수 있는(first-countable) 것이면, 그것은 a_i ≠ 0가 셀-수-있는 것을 만족하는 i ∈ I 의 집합인 것을 따릅니다. 이것은 일반적인 아벨 토폴로지적 그룹에서 참일 필요는 없습니다 (아래 예제를 참조하십시오).

Unconditionally convergent series

I = N인 것을 가정합니다. 만약 가족 a_n, n ∈ N이 아벨 하우스도르프 토폴로지적 공간 X에서 무조건적으로 합-가능이면, 보통 의미에서 그 급수는 수렴하고 같은 합을 가집니다,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbf {N} }a_{n}.$

자연적으로, 무조건적인 합가능성의 정의는 합계의 순서에 둔감합니다. ∑a_n이 무조건적으로 합-가능일 때, 그 급수는 같은 합을 갖는, 인덱스의 집합 N의 임의의 순열 σ 후에 수렴을 유지합니다,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

반대로, 만약 급수 ∑a_n의 모든 각 순열이 수렴하면, 그 급수는 무조건적으로 수렴입니다. X 가 완전일 때, 무조건적인 수렴은 역시 모든 부분-급수가 수렴한다는 사실과 동등합니다; 만약 X 가 바나흐 공간이면, 이것은 기호 ε_n = ±1의 모든 각 수열에 대해, 다음 급수가 X에서 수렴인 것을 말하는 것과 동등합니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}$.

Series in topological vector spaces

만약 X가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) (TVS)이고 $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$가 X에서 (아마도 셀-수-없는(uncountable)) 가족이면, 이 가족은 만약 네트(net) $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$의 극한 $\lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}$이 X에서 수렴이면 합-가능이며, 여기서 ${\mathcal {F}}(A)$는 포함 $\subseteq$과 $x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}$에 의해 방향화된 A의 모든 유한 부분집합의 방향화 집합(directed set)입니다.

그것은 만약 게다가, X에 대한 모든 각 연속 반-노름에 대해, 가족 $\left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}$이 합-가능이면 절대적으로 합-가능(absolutely summable)이라고 불립니다. 만약 x가 노름-가능 공간이고 만약 $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$가 X에서 절대적으로 합-가능 가족이면, $x_{\alpha }$의 셀-수-있는 모음을 제외하고는 반드시 모두 0입니다. 따라서, 노름된 공간에서, 그것은 보통 오직 셀-수-있게 많은 항을 갖는 급수를 고려할 필요가 있습니다.

합-가능 가족은 핵 공간(nuclear space)의 이론에서 중요한 역할을 합니다.

Series in Banach and semi-normed spaces

급수의 개념은 반-노름된 공간(seminormed space)의 경우로 쉽게 확장될 수 있습니다. 만약 x_n은 노름된 공간 X의 원소의 수열이고 만약 x가 X안에 있으면, 급수 Σx_n는, 만약 급수 $\left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }$의 부분 합의 수열이 X 안에 x로 수렴하면 X에서 x로 수렴합니다; 즉, N → ∞일 때,

$\left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0$.

보다 일반적으로, 급수의 수렴은 임의의 아벨(abelian) 하우스도르프(Hausdorff) 토폴로지적 공간(topological group)에서 정의될 수 있습니다. 구체적으로, 이 경우에서, Σx_n는, 만약 부분 합의 수열이 x로 수렴하면, x로 수렴합니다.

만약 (X, |·|) 가 반-노름된 공간(semi-normed space)이면, 절대 수렴의 개념이 됩니다: X 에서 벡터의 수열 $\sum _{i\in \mathbf {I} }x_{i}$이 만약 다음이면 절대적으로 수렴입니다:

$\sum _{i\in \mathbf {I} }\left|x_{i}\right|<+\infty$

이 경우에서 값 $\left|x_{i}\right|$의 많아야 셀-수-있게 많은 것을 제외하고 모두는 반드시 영입니다.

만약 바나흐 공간에서 벡터의 셀-수-있는 급수가 절대적으로 수렴이면, 그것은 무조건적으로 수렴이지만, 그 전환은 오직 유한-차원 바나흐 공간에서 유지됩니다 (Dvoretzky & Rogers (1950)의 정리).

Well-ordered sums

조건적으로 수렴하는 급수는, 만약 I가 바른-순서화(well-ordered) 집합, 예를 들어 순서-숫자(ordinal number) α₀이면, 고려될 수 있습니다. 우리는 초월유한 재귀(transfinite recursion)에 의해 정의될 수 있습니다:

$\sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }$

및 극한 순서-숫자 α에 대해, 만약 이 극한이 존재하면,

$\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }$.

만약 모든 극한이 α₀까지(up to) 존재하면, 급수는 수렴합니다.

Examples

1. 아벨 토폴로지적 그룹 Y를 갖는, 함수 f : X→Y가 주어지면, 모든 각 a ∈ X에 대해 그의 지원(support)이 싱클턴(singleton)인 다음 함수를 정의합니다:

   $f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}$

   그런-다음 점마다 수렴의 토폴로지(topology of pointwise convergence)에서 다음입니다:

   $f=\sum _{a\in X}f_{a}$.

   (즉, 합은 무한 곱 그룹 Y^X 에서 취합니다).
2. 단위의 분할(partitions of unity)의 정의에서, 우리는 임의의 인덱스 집합 I에 걸쳐 함수의 합을 구성합니다:

   $\sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.$

   공식적으로, 이것은 셀수-없는 급수의 합의 개념을 요구하지만, 구성에 의해, 모든 각 주어진 x에 대해, 합에서 오직 유한하게 많은 비-영 항이 있으므로, 그러한 합의 수렴과 관련하는 이슈는 발생하지 않습니다. 실제로, 우리는 보통 더 많은 것을 가정합니다: 함수의 가족은 지역적으로 유한, 즉, 모든 x에 대해 함수의 유한 숫자를 제외한 모두가 사라지는 것에서 x의 이웃이 있습니다. 유한 합 아래에서 보존되는, 연속성, 미분-가능성과 같은 φ_i, 의 임의의 정칙성 속성은 함수의 이 가족의 임의의 부분-모음의 합에 대해 보존되어질 것입니다.
3. 첫 번째 셀 수 없는 순서-숫자(first uncountable ordinal) ω₁은 순서 토폴로지(order topology)에서 토폴로지적 공간으로 보이며, f(α) = 1에 의해 주어진 상수 함수 f: [0,ω₁) → [0,ω₁]는 다음을 만족시킵니다:

   $\sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}$

   (달리 말해서, 1의 ω₁ 사본은 ω₁) 오직 만약 우리가 유한 부분 합이라기 보다는, 모든 셀-수-있는 부분 합에 걸쳐 극한을 취하는 경우에 해당됩니다. 이 공간은 분리할 수 없습니다.

See also

• Continued fraction
• Convergence tests
• Convergent series
• Divergent series
• Infinite compositions of analytic functions
• Infinite expression
• Infinite product
• Iterated binary operation
• List of mathematical series
• Prefix sum
• Sequence transformation
• Series expansion

References

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192–197. Bibcode:1950PNAS...36..192D. doi:10.1073/pnas.36.3.192. PMC 1063182.
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1

MR0033975

External links

• "Series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Infinite Series Tutorial
• "Series-TheBasics". Paul's Online Math Notes.