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Conjecture

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Original article: w:Conjecture
For text reconstruction, see Conjecture (textual criticism).
The real part (red) and imaginary part (blue) of the Riemann zeta function along the critical line Re(s) = 1/2. The first non-trivial zeros can be seen at Im(s) = ±14.135, ±21.022 and ±25.011. The Riemann hypothesis, a famous conjecture, says that all non-trivial zeros of the zeta function lie along the critical line.

수학(mathematics)에서, 추측(conjecture)은 증명(proof) 없이 잠정적 근거 위에 제시된 결론(conclusion) 또는 제안(proposition)입니다.[1][2][3] 리만 가설 (여전히 추측) 또는 페르마의 마지막 정리 (1995년 앤드루 와일스(Andrew Wiles)에 의해 입증할 때까지의 추측)와 같은 일부 추측은 그것들을 입증하기 위해 수학의 새로운 영역이 개발됨에 따라 수학 역사의 많은 부분을 형성해 왔습니다.[4]

Important examples

Fermat's Last Theorem

Main article: Fermat's Last Theorem

숫자 이론(number theory)에서, 페르마의 마지막 정리 (때때로, 특히 오래된 텍스트에서 페르마의 추측이라고 불림)는 세 개의 양의 정수 , , 및 가 2보다 큰 의 임의의 정수 값에 대해 방정식 을 만족시킬 수 없다고 말합니다.

이 정리는 1637년 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 Arithmetica의 복사본의 여백에서 처음 추측되었으며, 여기서 그는 여백에 맞추기에는 너무 큰 증명이 있다고 주장했습니다.[5] 첫 번째 성공적인 증명은 수학자들에 의해 358년 노력 끝에 Andrew Wiles에 의해 1994년에 공개되었고, 1995년에 공식적으로 발표되었습니다. 해결되지 않은 문제는 19세기 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)의 발전과 20세기 모듈성 정리(modularity theorem)의 증명을 자극했습니다. 그것은 수학 역사상 가장 주목할만한 정리 중 하나이고, 증명하기 전에는 "가장 어려운 수학 문제"로 Guinness Book of World Records에 있었습니다.[6]

Four color theorem

Main article: Four color theorem
A four-coloring of a map of the states of the United States (ignoring lakes).

수학(mathematics)에서, 네 가지 색깔 정리(four color theorem), 또는 네 가지 색깔 지도 정리는 평면을 접촉하는 영역으로 임의의 분리가 주어지면, 지도라는 불리는 그림을 생성할 때, 두 개의 인접한 영역이 같은 색깔을 가지지 않도록 지도의 영역을 색칠하는 데 네 가지보다 많은 색깔이 필요하지 않다고 말합니다. 두 개의 영역은 만악 그것들이 모서리가 아닌 공통 경계를 공유하면 인접한(adjacent) 것이라고 불리며, 여기서 모서리는 세 개 이상 영역에 의해 공유된 점입니다.[7] 예를 들어, 미국 지도에서, 유타와 애리조나는 인접해 있지만, 애리조나와 콜로라도에 속하는 지점(point)만 공유하는 유타와 뉴 멕시코는 그렇지 않습니다.

뫼비우스(Möbius)는 일찍이 1840년에 강의에서 그 문제를 언급했습니다.[8] 그 추측은 1852년 10월 23일 Francis Guthrie가 영국 군의 지도에 색칠을 하던 중 오직 네 가지 다른 색이 요구된다는 것을 알아차렸을 때 처음 제안되었습니다. 짧은 기본 증명을 가지는 다섯 가지 색 정리(five color theorem)는 다섯 가지 색이 지도를 색칠하기에 충분하고 19세기 후반에 입증되었다고 말합니다;[9] 어쨌든, 네 가지 색깔상으로 충분하다는 것을 입증하는 것이 상당히 어려운 것으로 판명되었습니다. 1852년 네 가지 색깔 정리가 처음으로 진술된 이후 수많은 잘못된 증명과 거짓 반대-예제(counterexamples)가 나타나 왔습니다.

네 가지 색깔 정리는 1976년 Kenneth Appel과 Wolfgang Haken에 의해 궁극적으로 입증되었습니다. 그것은 컴퓨터를 사용하여 입증된 최초의 주요 정리(theorem)였습니다. Appel과 Haken의 접근 방식은 1,936개의 특정 지도의 집합이 있음을 보여줌으로써 시작되었으며, 각 지도는 네 가지 색깔 정리에 대한 가장 작은 크기의 반대-예제의 일부가 될 수 없습니다 (즉, 만약 그것들이 나타났으면, 더 작은 반대-예제를 만들 수 있었을 것입니다). Appel과 Haken은 특수-목적의 컴퓨터 프로그램을 사용하여 각 지도에 이 속성이 있는지 확인했습니다. 추가적으로, 잠재적으로 반대-예제가 될 수 있는 임의의 지도는 이들 1,936개의 지도 중 하나처럼 보이는 부분이 있어야 합니다. 수백 페이지에 달하는 수작업 분석으로 이것을 보여주고, Appel과 Haken은 어떤 하나가 이들 1,936 개의 지도 중 하나를 포함해야 하지만 포함하지 않기 때문에 가장 작은 반대-예제가 존재하지 않는다고 결론지었습니다. 이 모순은 반대-예제가 전혀 없고 그 정리가 따라서 참이라는 것을 의미합니다. 처음에는, 컴퓨터-지원 증명(computer-assisted proof)이 인간이 손으로 확인하는 것이 불가능했기 때문에 수학자들은 그들의 증명을 전혀 받아들이지 않았습니다.[10] 어쨌든, 그 증거는 그 이후로 더 널리 받아들여졌지만 여전히 의심은 남아 있습니다.[11]

Hauptvermutung

Main article: Hauptvermutung

기하학적 토폴로지(geometric topology)의 Hauptvermutung (주요 추측에 대한 독일어)은 삼각분할-가능 공간(triangulable space)의 임의의 두 개의 삼각분할(triangulations)이 공통된 세분, 둘 모두의 부분-나눔인 단일 삼각분할을 가진다는 추측입니다. 그것은 원래 Steinitz와 Tietze에 의해 1908년에 공식화되었습니다.[12]

이 추측은 지금 거짓인 것으로 알려져 있습니다. 비-매니폴드 버전은 Reidemeister torsion을 사용하여 1961년 John Milnor에 의해 반증되었습니다.[13]

매니폴드(manifold) 버전은 차원 m ≤ 3에서 참입니다. 경우 m = 2와 3은 각각 1920년대와 1950년대에 Tibor Radó와 Edwin E. Moise에 의해 입증되었습니다.[14]

Weil conjectures

Main article: Weil conjectures

수학(mathematics)에서, 베유 추측은 André Weil (1949)에 의해 유한 필드에 걸쳐 대수적 다양체 위에 점의 수를 세는 것에서 유도된 생성하는 함수 (지역적 제타-함수로 알려짐)에 대한 일부 매우 영향력 있는 제안이었습니다.

q 원소를 갖는 유한 필드에 걸쳐 다양체 V는 해당 필드를 포함하는 qk 원소를 갖는 모든 각 유한 필드에 걸쳐 점뿐만 아니라 유한한 수의 유리 점(rational points)을 가집니다. 생성 함수는 qk 원소를 갖는 (본질적으로 고유한) 필드에 걸쳐 점의 수 Nk에서 유도된 계수를 가집니다.

베유는 그러한 제타-함수가 유리 함수(rational functions)여야 하고, 함수형 방정식(functional equation)의 형식을 만족시켜야 하고, 제한된 위치에서 영들을 가져야 한다고 추측했습니다. 마지막 두 부분은 리만 제타 함수(Riemann zeta function)와 리만 가설(Riemann hypothesis)을 의식적으로 모델링한 것입니다. 유리성은 Dwork (1960)에 의해 입증되었고, 함수형 방정식은 Grothendieck (1965)에 의해 입증되었고, 리만 가설의 아날로그는 Deligne (1974)에 의해 입증되었습니다.

Poincaré conjecture

Main article: Poincaré conjecture

수학(mathematics)에서, 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)은 사-차원 공간에서 단위 공(unit ball)의 경계를 이루는 초구인 3-구(3-sphere)의 특성(characterization)에 대한 정리(theorem)입니다. 그 추측은 다음임을 말합니다:

모든 각 단순 연결된, 닫힌 3-매니폴드는 3-구에 위상동형입니다.

추측의 동등한 형식은 호모토피 동등성(homotopy equivalence)이라고 불리는 위상-동형보다 더 거친 형식의 동등성을 포함합니다: 만약 3-매니폴드가 3-구와 동등한 호모토피이면, 그것은 필연적으로 그것과 위상-동형적입니다.

1904년 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)에 의해 원래 추측된, 그 정리는 지역적으로는 보통의 삼-차원 공간처럼 보이지만 연결된, 크기에서 유한하고, 임의의 경계가 없는 공간 (닫힌 3-매니폴드)에 관한 것입니다. 푸앵카레 추측은 만약 그러한 공간이 공간에서 각 루프(loop)가 한 점으로 연속적으로 조여질 수 있다는 추가 속성을 가지고 있으면, 그것은 반드시 삼-차원 구라고 주장합니다. 유사한 결과가 얼마 동안 더 높은 차원에서 알려져 왔습니다.

수학자들이 거의 1세기 동안 노력한 끝에, 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)은 2002년과 2003년에 arXiv에서 사용할 수 있는 세 개의 논문에서 추측의 증명을 제시했습니다. 문제 해결을 시도하기 위해 Ricci flow를 사용하기 위해 Richard S. Hamilton의 프로그램에서 증명이 이어졌습니다. 해밀턴은 나중에 단일 영역이 발달함에 따라 통제된 방식으로 시스템적으로 Ricci flow with surgery이라고 불리는 표준 Ricci flow의 변형을 도입했지만, 이 방법이 삼-차원에서 "수렴"되었음을 증명할 수 없었습니다.[15] 페렐만(Perelman)이 증명의 이 부분을 완료했습니다. 여러 수학자 팀이 페렐만의 증명이 정확함을 검증했습니다.

푸앵카레 추측은, 증명되기 전에, 토폴로지(topology)에서 가장 중요한 열린 질문 중 하나였습니다.

Riemann hypothesis

Main article: Riemann hypothesis

수학(mathematics)에서, Bernhard Riemann (1859)에 의해 제안된 리만 가설(Riemann hypothesis)은 리만-제타 함수의 비-자명한 영(zeros)이 모두 실수 부분 1/2을 가진다는 추측입니다. 그 이름은 유한 필드에 걸쳐 곡선에 대한 리만 가설과 같이 일부 밀접하게 관련된 일부 아날로그에도 사용됩니다.

리만 가설은 소수(prime numbers)의 분포에 대한 결과를 암시합니다. 적절한 일반화와 함께, 일부 수학자들은 그것을 순수 수학(pure mathematics)에서 가장 중요한 미해결 문제로 고려합니다.[16] 리만 가설은, 골드바흐 추측과 함께, 다비트 힐베르트의 23 가지 미해결 문제 목록에서 힐베르트의 여덟 번째 문제의 일부입니다; 그것은 역시 Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problems 중 하나입니다.

P versus NP problem

Main article: P versus NP problem

P 대 NP 문제는 컴퓨터 과학에서 해결되지 않은 주요 문제입니다. 비공식적으로, 그것은 해가 컴퓨터에 의해 신속하게 검증될 수 있는 모든 각 문제도 컴퓨터에 의해 신속하게 해결될 수 있는지 여부를 묻습니다; 대답은 '아니오'라고 널리 추측됩니다. 그것은 본질적으로 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)에 의해 John von Neumann에게 쓴 1956년 편지에서 처음 언급되었습니다. 괴델은 특정 NP-완전 문제가 이차 또는 선형 시간에 풀릴 수 있는지 질문했습니다.[17] P=NP 문제의 정확한 명제는 1971년 스티븐 쿡(Stephen Cook)에 의해 그의 중요한 논문 "The complexity of theorem proving procedures"에서 소개되었고[18] 많은 사람들에 의해 그 분야에서 가장 중요한 열린 문제로 고려됩니다. 그것은 Clay Mathematics Institute에 의해 선정된 7 개의 밀레니엄 상 문제 중 하나이며 첫 번째 해결책에 US$1,000,000의 상금이 걸려 있습니다.

Other conjectures

Resolution of conjectures

Proof

형식적 수학은 입증-가능한 진리를 기반으로 합니다. 수학에서, 보편적으로 정량화된 추측을 뒷받침하는 임의의 사례의 수는, 아무리 크더라도, 추측의 진실성을 확립하는 데 불충분한데, 왜냐하면 하나의 반대-예제(counterexample)가 즉시 추측을 무너뜨릴 수 있기 때문입니다. 수학 저널은 때때로 연구 팀이 이전보다 더 멀리 반대-예제에 대한 검색을 확장한 사소한 결과를 발표합니다. 예를 들어, 정수(integers)의 특정 수열(sequences)이 종료하는지 여부에 관한 콜라츠 추측(Collatz conjecture)은 1.2 × 1012 (1조 이상)까지의 모든 정수에 대해 테스트되어 왔습니다. 어쨌든, 광범위한 검색 후 반례를 찾지 못했다고 해서 추측이 참이라는 증거가 되지는 않습니다—왜냐하면 추측이 거짓일 수 있지만 매우 큰 최소 반대-예제를 가질 수 있기 때문입니다.

그럼에도 불구하고, 수학자들은 종종 추측이 아직 입증되지 않았음에도 불구하고 증거에 의해 강력하게 뒷받침되는 것으로 고려합니다. 그 증거는 그것의 결과에 대한 검증 또는 알려진 결과와의 강력한 상호 연결과 같은 다양한 종류일 수 있습니다.[20]

추측은 그것에 대해 거짓임이 논리적으로 불가능하다는 것이 입증된 경우에만 입증된 것으로 고려됩니다. 그렇게 하는 다양한 방법이 있습니다; 자세한 내용에 대해 수학적 증명의 방법(methods of mathematical proof)을 참조하십시오.

반대-예제로 이어질 수 있는 유한한 사례의 수가 있을 때 적용할 수 있는 한 가지 증명 방법은 "무차별 대입(brute force)"으로 알려져 있습니다: 이 접근 방식에서, 모든 가능한 경우가 고려되고 반대-예제를 제공하지 않는 것으로 표시됩니다. 일부 사례에서, 경우의 수가 상당히 많으며, 이 경우에서 무차별-대입 증명은 실제 문제로 모든 경우를 확인하기 위해 컴퓨터 알고리듬을 사용해야 할 수 있습니다. 예를 들어, 1976년과 1997년 컴퓨터에 의한 네 가지 색깔 정리(four color theorem)의 무차별-대입 증명의 타당성은 처음에는 의심되었지만, 결국 정리-입증(theorem-proving) 소프트웨어에 의해 2005년에 확인되었습니다.

추측이 입증될 때, 그것은 더 이상 추측이 아니라 정리(theorem)입니다. 기하학화 정리 (이는 푸앵카레 추측을 해결함), 페르마의 마지막 정리, 등과 같은 많은 중요한 정리는 한 때 추측이었습니다.

Disproof

반대-예제를 통해 반증된 추측은 때때로 거짓 추측(false conjectures)이라고 참조됩니다 (폴리야 추측(Pólya conjecture) 및 오일러의 거듭제곱의 합 추측(Euler's sum of powers conjecture)을 참조하십시오). 후자의 경우에서, n=4인 경우에 대해 발견된 첫 번째 반대-예제는 수백만 개의 숫자를 포함했지만, 나중에 최소 반대-예제가 실제로는 더 작다는 것이 발견되었습니다.

Independent conjectures

모든 각 추측이 참 또는 거짓으로 입증되는 것으로 끝나지 않습니다. 특정 무한 집합(infinite sets)의 상대적 카디널리티(cardinality)를 확인하려고 시도하는 연속체 가설(continuum hypothesis)은 결국 일반적으로 받아들여지는 집합 이론의 체르멜로–프렝켈 공리(Zermelo–Fraenkel axioms)의 집합과 독립적인 것으로 나타났습니다. 따라서 이 명제 또는 그 부정을 일관된 방식으로 새로운 공리(axiom)로 채택하는 것이 가능합니다 (유클리드의 평행 공준(parallel postulate)이 기하학에 대한 공리적 시스템에서 참 또는 거짓으로 취할 수 있는 것과 많이 유사합니다).

이 경우에서, 만약 증명이 이 명제를 사용하면, 연구자들은 종종 가설을 필요로 하지 않는 새로운 증명을 찾을 것입니다 (유클리드 기하학에서 명제가 중립 기하학의 공리만을 사용하여, 즉 평행 공준 없이 증명되는 것이 바람직한 것과 같은 방식으로). 실제로 이에 대한 한 가지 주요 예외는 선택의 공리(axiom of choice)인데, 왜냐하면 대부분의 연구자는 특히 이 공리를 연구하지 않은 한 결과에 필요한지 여부를 보통 걱정하지 않기 때문입니다.

Conditional proofs

때때로, 다른 결과의 증명에서 가정으로 자주 그리고 반복적으로 사용될 때, 추측은 가설(hypothesis)이라고 불립니다. 예를 들어, 리만 가설(Riemann hypothesis)은 무엇보다도 소수(prime numbers)의 분포에 대한 예측을 하는 숫자 이론(number theory)의 추측입니다. 리만 가설이 참이라는 것을 의심하는 숫자-이론가는 거의 없습니다. 사실, 궁극적인 증명을 기대하면서, 일부는 이 추측의 진실에 따라 더 많은 증명을 개발하기까지 했습니다. 이것들은 조건부 증명(conditional proofs)이라고 불립니다: 가정된 추측은 당분간 정리의 가설에 나타납니다.

이들 "증명"은, 어쨌든, 가설이 거짓으로 판명되면 무너질 것이므로, 이러한 유형의 추측의 진실 또는 거짓을 확인하는 데 상당한 관심이 있습니다.

In other sciences

칼 포퍼(Karl Popper)는 과학적 철학(scientific philosophy)에서 "추측"이라는 용어를 처음으로 사용했습니다.[21] 추측은 과학(science)에서 테스트-가능한 추측을 참조하는 가설(hypothesis)과 관련이 있습니다.

See also

References

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  2. ^ Oxford Dictionary of English (2010 ed.).
  3. ^ Schwartz, JL (1995). Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. p. 93. ISBN 9780195115772.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-12.
  5. ^ Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, pp. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5
  6. ^ "Science and Technology". The Guinness Book of World Records. Guinness Publishing Ltd. 1995.
  7. ^ Georges Gonthier (December 2008). "Formal Proof—The Four-Color Theorem". Notices of the AMS. 55 (11): 1382–1393. From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.
  8. ^ W. W. Rouse Ball (1960) The Four Color Theorem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232.
  9. ^ Heawood, P. J. (1890). "Map-Colour Theorems". Quarterly Journal of Mathematics. 24. Oxford: 332–338.
  10. ^ Swart, E. R. (1980). "The Philosophical Implications of the Four-Color Problem". The American Mathematical Monthly. 87 (9): 697–702. doi:10.2307/2321855. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321855.
  11. ^ Wilson, Robin (2014). Four colors suffice : how the map problem was solved (Revised color ed.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 216–222. ISBN 9780691158228. OCLC 847985591.
  12. ^ "Triangulation and the Hauptvermutung". www.maths.ed.ac.uk. Retrieved 2019-11-12.
  13. ^ Milnor, John W. (1961). "Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct". Annals of Mathematics. 74 (2): 575–590. doi:10.2307/1970299. JSTOR 1970299. MR 0133127.
  14. ^ Moise, Edwin E. (1977). Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. New York: New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.
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  16. ^ Bombieri, Enrico (2000). "The Riemann Hypothesis – official problem description" (PDF). Clay Mathematics Institute. Retrieved 2019-11-12.
  17. ^ Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107
  18. ^ Cook, Stephen (1971). "The complexity of theorem proving procedures". Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. pp. 151–158. doi:10.1145/800157.805047. ISBN 9781450374644. S2CID 7573663.
  19. ^ Richards, Ian (1974). "On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes". Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419–438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.
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  21. ^ Popper, Karl (2004). Conjectures and refutations : the growth of scientific knowledge. London: Routledge. ISBN 0-415-28594-1.

External links

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