Conjugate element (field theory)

수학(mathematics), 특히 필드 이론(field theory)에서, 필드 확장(field extension) L/K에 걸쳐 대수적 원소(algebraic element) α의 켤레 원소는 역시 갈루아 켤레 또는 단순히 켤레라고 불리는 최소 다항식(minimal polynomial)의 근입니다. 통상적으로 α 자체는 α의 켤레의 집합에 포함됩니다.

Example

숫자 일(one)의 세제곱 근은 다음입니다:

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}

후자의 두 근은 다음 최소 다항식을 갖는 $Q [i \sqrt 3]$ 에서 켤레 원소입니다:

\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.

Properties

만약 K가 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field) C 내부에 주어졌으면, 켤레는 C 내부에서 취할 수 있습니다. 만약 그러한 C가 지정되지 않으면, 우리는 어떤 상대적으로 작은 필드 L에서 켤레를 취할 수 있습니다. L에 대해 가장-작은 가능한 선택은 α를 포함하는 p_K,α의 K에 걸쳐 분해 필드(splitting field)를 취하는 것입니다. 만약 L이 α를 포함하는 K의 임의의 정규 확장(normal extension)이면, 정의에 의해 그것은 이미 그러한 분해 필드를 포함합니다.

그때에 자기-동형 그룹(automorphism group) Aut(L/K) = G를 갖고, α를 포함하는, K의 정규 확장 L이 주어지면, G에서 g에 대해 임의의 원소 g(α)는 α의 켤레가 될 것인데, 왜냐하면 자기-동형(automorphism) g는 p의 근을 p의 근으로 보내기 때문입니다. 반대로 α의 임의의 켤레 β는 이 형식의 것입니다: 다른 말로, G는 켤레 위에 전이적(transitively)으로 작용합니다. 이것은 K(α)가 최소 다항식의 기약성에 의해 K(β)에 K-동형적이고, 다항식 p를 p'로 매핑하는 필드 F와 F'의 임의의 동형은, 각각, F에 걸쳐 p와 F'에 걸쳐 p'의 분해 필드의 동형으로 확장될 수 있기 때문에 따릅니다.

요약해서, α의 켤레 원소는 Aut(L/K)에서 g에 대해 원소 g(α)의 집합으로, K(α)를 포함하는 K의 임의의 정규 확장 L에서, 구해집니다. 각 원소의 목록에서 반복의 횟수는 분리-가능 차수 [L:K(α)]_sep입니다.

크로네커(Kronecker)의 정리는, 만약 α가 α와 복소수(complex number)에서 그것의 켤레의 모두가 절댓값(absolute value) 많아야 1을 가지는 것을 만족하는 비-영 대수적 정수(algebraic integer)이면, α는 단위의 근(root of unity)임을 말합니다. 이것의 양적 형식이 있으며, 대수적 정수가 단위의 근임을 암시하는 켤레의 가장 큰 절댓값에 대한 보다 정확한 경계 (차수에 따라 다름)를 말합니다.

References

David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

External links

Weisstein, Eric W. "Conjugate Elements". MathWorld.