Minimal polynomial (field theory)

수학(mathematics)의 한 가지, 필드 이론(field theory)에서, 한 필드(field)의 원소 $α$ 의 최소 다항식(minimal polynomial)은, 대략 말해서, $α$ 가 다항식의 근임을 만족하는 필드에서 계수를 가지는 가장 낮은 차수(degree)의 다항식(polynomial)입니다. 만약 $α$ 의 최소 다항식이 존재하면, 그것은 고유합니다. 다항식에서 최고-차수 항의 계수는 1이어야 하고, 남아있는 계수에 대해 유형은 정수(integer), 유리수(rational number), 실수(real number), 등이 될 수 있습니다.

보다 형식적으로, 최소 다항식은 필드 확장(field extension) $E / F$ 와 확장 필드 $E / F$ 의 원소에 상대적으로 정의됩니다. 원소의 최소 다항식은, 만약 그것이 존재하면, $F [x]$ 의 구성원, $F$ 에서 원소를 갖는 변수 $x$ 에서 다항식의 링(ring of polynomials)입니다. $E$ 의 원소 $α$ 가 주어지면, $J α$ 를 $f (α) = 0$ 를 만족하는 $F [x]$ 에서 모든 다항식 $f (x)$ 의 집합으로 놓습니다. 원소 $α$ 는 $J α$ 에서 각 다항식의 근 또는 영이라고 불립니다. 집합 $J α$ 는 $F [x]$ 의 아이디얼(ideal)이기 때문에 그렇게 이름-지어졌습니다. 모든 계수가 0인 영 다항식은 모든 각 $J α$ 에 있는데 왜냐하면 모든 $α$ 와 $i$ 에 대해 $0 α i = 0$ 이기 때문입니다. 이것은 영 다항식을 $α$ 의 다른 값을 유형으로 분류하는 데 쓸모없게 하므로, 그것은 제외됩니다. 모든 $J α$ 에서 임의의 비-영 다항식이 있으면, $α$ 는 $F$ 에 걸쳐 대수적 원소(algebraic element)라고 불리고, $J α$ 에서 최소 차수의 일계수 다항식(monic polynomial)이 존재합니다. 이것은 $E / F$ 에 관한 $α$ 의 최소 다항식입니다. 그것은 $F$ 에 대해 고유하고 기약(irreducible)입니다. 만약 영 다항식이 $J α$ 의 유일한 구성원이면, $α$ 는 $F$ 에 걸쳐 초월적 원소(transcendental element)라고 불리고 $E / F$ 에 관한 최소 다항식을 가지지 않습니다.

최소 다항식은 필드 확장을 구성하고 분석하는 데 유용합니다. $α$ 가 최소 다항식 $a (x)$ 를 갖는 대수적일 때, $F$ 와 $α$ 둘 다를 포함하는 가장 작은 필드는 몫 링(quotient ring) $F [x]/⟨ a (x)⟩$ 와 동형적(isomorphic)이며, 여기서 $⟨ a (x)⟩$ 는 $a (x)$ 에 의해 생성된 $F [x]$ 의 아이디얼입니다. 최소 다항식은 역시 켤레 원소(conjugate elements)를 정의하기 위해 사용됩니다.

Definition

E/F를 필드 확장(field extension), α를 E의 원소, 및 F[x]를 F에 걸쳐 x에서 다항식의 링이라고 놓습니다. 원소 α는 α가 F에 걸쳐 대수적일 때, 즉, F[x]에서 일부 비-영 다항식 f(x)에 대해 f(α) = 0일 때 최소 다항식을 가집니다. 그런-다음 α의 최소 다항식은 α를 하나의 근으로 가지는 F[x]에서 모든 다항식 중 가장 작은 차수의 일계수 다항식으로 정의됩니다.

Uniqueness

a(x)를 E/F에 관한 α의 최소 다항식이라고 놓습니다. a(x)의 고유성은 F[x]에서 x에 대해 α를 대체하는 E로의 링 동형(ring homomorphism) sub_α, 즉, sub_α(f(x)) = f(α)를 고려함으로써 설정됩니다. sub_α의 커널, ker(sub_α)은 α를 근으로 가지는 F[x]에서 모든 다항식의 집합입니다. 즉, 위로부터 ker(sub_α) = J_α입니다. sub_α가 링 동형이기 때문에, ker(sub_α)는 F[x]의 아이디얼입니다. F[x]는 F가 필드일 때마다 주요 링(principal ring)이기 때문에, ker(sub_α)를 생성하는 ker(sub_α)에서 적어도 하나의 다항식이 있습니다. 그러한 다항식은 ker(sub_α)에서 모든 비-영 다항식 중에서 최소 차수를 가질 것이고, a(x)는 이들 중 유일한 일계수 다항식으로 취합니다.

Uniqueness of monic polynomial

p와 q가 최소 차수 n > 0의 J_α에서 일계수 다항식이라고 가정합니다. p − q ∈ J_α 및 deg(p − q) < n이므로, p − q = 0, 즉 p = q가 따릅니다.

Properties

최소 다항식은 기약입니다. E/F를 위에서 처럼 F에 걸쳐 필드 확장, α ∈ E, 및 f ∈ F[x]를 α에 대해 최소 다항식이라고 놓습니다. f = gh를 가정하며, 여기서 g, h ∈ F[x]는 f보다 더 차수의 것입니다. 이제 f(α) = 0입니다. 필드는 역시 정수 도메인이므로, 우리는 g(α) = 0 또는 h(α) = 0를 가집니다. 이것은 f의 차수의 최소성과 모순됩니다. 따라서 최소 다항식은 기약입니다.

Examples

Minimal polynomial of a Galois field extension

갈루아 필드 확장 $L/K$ 가 주어지면, $K$ 에 있지 않는 임의의 $\alpha \in L$ 의 최소 다항식은 만약 $\alpha$ 가 갈루아 작용에서 안정기를 가지지 않으면 다음으로 계산될 수 있습니다:

$f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))$

그것이 기약이기 때문에, 이것은 $f'$ 의 근을 봄으로써 추론될 수 있으며, 그것은 최소 다항식입니다. 같은 종류의 공식은 $G={\text{Gal}}(L/K)$ 를 $G/N$ 로 대체함으로써 찾아질 수 있음을 주목하며 여기서 $N={\text{Stab}}(\alpha )$ 는 $\alpha$ 의 안정기 그룹입니다. 예를 들어, 만약 $\alpha \in K$ 이면 그것의 안정기는 $G$ 이고, 따라서 $(x-\alpha )$ 는 최소 다항식입니다.

Quadratic field extensions

Q(√2)

만약 F = Q, E = R, α = √2이면, α에 대해 최소 다항식은 a(x) = x² − 2입니다. 기본 필드 F는 중요한데 왜냐하면 그것이 a(x)의 계수에 대해 가능성을 결정하기 때문입니다. 예를 들어, 만약 우리가 F = R를 취하면, α = √2에 대해 최소 다항식은 a(x) = x − √2입니다.

Q(√d)

일반적으로, 제곱-없는 $d$ 에 의해 주어진 이차 확장에 대해, 원소 $a+b{\sqrt {d}}$ 의 최소 다항식을 계산하면 갈루아 이론을 사용하여 구할 수 있습니다. 그런-다음

${\begin{aligned}f(x)&=(x-(a+b{\sqrt {d}}))(x-(a-b{\sqrt {d}}))\\&=x^{2}-2ax+(a^{2}-b^{2}d)\end{aligned}}$

특히, 이것은 $2a\in \mathbb {Z}$ 와 $a^{2}-b^{2}d\in \mathbb {Z}$ 를 의미합니다. 이것은 모듈러 산술을 사용하여 일련의 관계를 통해 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 를 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.

Biquadratic field extensions

만약 α = √2 + √3이면, Q[x]에서 최소 다항식은 a(x) = x⁴ − 10x² + 1 = (x − √2 − √3)(x + √2 − √3)(x − √2 + √3)(x + √2 + √3)입니다.

만약 $\alpha ={\sqrt {2}}$ 이면 ${\sqrt {3}}$ 위에 갈루아 작용이 $\alpha$ 를 안정시킴을 주의하십시오. 따라서 최소 다항식은 몫 그룹 ${\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )/{\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )$ 을 사용하여 구할 수 있습니다.

Roots of unity

단위원의 근(roots of unity)의 Q[x]에서 최소 다항식은 원분 다항식(cyclotomic polynomial)입니다.

Swinnerton-Dyer polynomials

처음 n 소수의 제곱근의 합의 Q[x]에서 최소 다항식은 유사하게 구성되고, Swinnerton-Dyer 다항식이라고 불립니다.

References

Weisstein, Eric W. "Algebraic Number Minimal Polynomial". MathWorld.
Minimal polynomial at PlanetMath.org.
Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5