Continuous function (set theory)

Original article: w:Continuous function (set theory)

집합 이론(set theory)에서, 연속 함수(continuous function)는 극한 단계에서 가정된 값이 이전 단계에서 모든 값의 극한 (극한 상부 및 극한 하부(limit suprema and limit infima))임을 만족하는 순서-숫자(ordinal)의 수열입니다. 보다 공식적으로, γ를 순서-숫자로, $s:=\langle s_{\alpha }|\alpha <\gamma \rangle$를 순서-숫자의 γ-수열로 놓습니다. 그런-다음 s는 만약 모든 각 극한 순서-숫자 β < γ에서, 연속입니다:

$s_{\beta }=\limsup\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\inf\{\sup\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}$

및

$s_{\beta }=\liminf\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\sup\{\inf\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}\,.$

대안적으로, 만약 s가 증가하는 함수이면 s가 집합이 순서 토폴로지(order topology)를 각각 장착될 때 s: γ → range(s)가 연속 함수(continuous function)이면 연속입니다. 이들 연속 함수는 공끝도(cofinalities) 및 세는-숫자(cardinal numbers)에서 종종 사용됩니다.

정규 함수(normal function)는 연속과 증가하는(increasing) 둘 다인 함수입니다.

References

• Thomas Jech. Set Theory, 3rd millennium ed., 2002, Springer Monographs in Mathematics,Springer, ISBN 3-540-44085-2