Continuous linear operator

함수형 해석학과 관련된 수학 분야에서, 연속 선형 연산자(continuous linear operator) 또는 연속 선형 매핑(continuous linear mapping)은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) 사이의 연속(continuous) 선형 변환(linear transformation)입니다.

두 노름 공간(normed space) 사이의 연산자가 경계진 선형 연산자(bounded linear operator)인 것과 그것이 연속 선형 연산자인 것은 필요충분 조건입니다.

Continuous linear operators

Characterizations of continuity

$F:X\to Y$ 가 두 개의 토폴로지적 벡터 공간 (TVS) 사이의 선형 연산자(linear operator)라고 가정합니다. 다음은 동등합니다:

$F$ 는 연속입니다.
$F$ 는 일부 점 $x\in X$ 에서 연속입니다.
$F$ 는 $X$ 의 원점에서 연속입니다.

만약 $Y$ 가 지역적으로 볼록(locally convex)이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$Y$ 위에 모든 각 연속 반노름(seminorm) $q$ 에 대해, $q\circ F\leq p$ 임을 만족하는 $X$ 위에 연속 반노름 $p$ 가 존재합니다.^[1]

만약 $X$ 와 $Y$ 가 둘 다 하우스도르프(Hausdorff) 지역적으로 볼록 공간이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$F$ 는 약하게 연속(weakly continuous)이고 그것의 전치(transpose) ${}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 는 $Y^{\prime }$ 의 동등-연속(equicontinuous) 부분집합을 $X^{\prime }$ 의 동등-연속 부분집합으로 매핑합니다.

만약 $X$ 가 (유사-메트릭가능 공간(pseudometrizable space)과 같은) 수열적 공간(sequential space)이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$F$ 가 그것의 도메인의 일부 (또는 동등하게, 모든 각) 점에서 수열적으로 연속(sequentially continuous)입니다.

만약 $X$ 가 (노름 또는 바나흐 공간(Banach space)과 같은) 유사-메트릭가능(pseudometrizable) 또는 메트릭가능이면 우리는 이 목록에 더할 수 있습니다:

$F$ 는 경계진 선형 연산자(bounded linear operator)입니다 (즉, 그것은 $X$ 의 경계진 부분집합을 $Y$ 의 경계진 부분집합으로 매핑합니다).^[2]

만약 $Y$ 가 (노름 공간과 같은) 반-노름가능 공간(seminormable space)이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$F$ 는 0의 일부 이웃을 $Y$ 의 경계진 부분집합으로 매핑합니다.^[3]

만약 $X$ 와 $Y$ 가 둘 다 노름 또는 반노름 공간이면 (여기서 둘 다 $\|\cdot \|$ 에 의해 표시된 반노름), 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

모든 각 $r>0$ 에 대해 다음을 만족하는 일부 $\delta >0$ 가 존재합니다: ${\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.$

만약 $X$ 와 $Y$ 가 $Y$ 유한-차원을 갖는 하우스도르프 지역적으로 볼록 공간이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$F$ 의 그래프는 $X\times Y$ 에서 닫혀 있습니다.^[4]

Continuity and boundedness

전반적으로, $F:X\to Y$ 는 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces) (TVSs) 사이의 선형 맵(linear map)입니다.

Bounded on a set

토폴로지적 벡터 공간에 대해 "경계진 집합"의 개념은 폰 노이만 경계진 집합(von Neumann bounded set)이라는 개념입니다. 만약 공간이 역시 예를 들어 절댓값을 갖는 스칼라 필드와 같이 노름 공간 (또는 반-노름 공간)이 된다면, 부분-집합 $S$ 가 폰 노이만 경계진 것과 그것이 노름 경계진 것은 필요충분 조건입니다; 즉, $\sup _{s\in S}\|s\|<\infty$ 인 것과 필요충분 조건입니다. 만약 $S\subseteq X$ 가 집합이면, $F:X\to Y$ 는 $F(S)$ 가 $Y$ 의 경계진 부분집합이면 $S$ 위에 경계진 것이라고 말하며, 이는 $(Y,\|\cdot \|)$ 가 노름 (또는 반노름) 공간이면 발생하는 것과 $\sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 선형 맵 $F$ 가 집합 $S$ 위에 경계진 것과 그것이 모든 각 $x\in X$ 에 대해 $x+S$ 위에 경계진 것은 필요충분 조건입니다 (왜냐하면 $F(x+S)=F(x)+F(S)$ 이고 경계진 집합의 평행이동은 다시 경계지기 때문입니다).

Bounded linear maps

정의에 의해, TVS 사이의 선형 맵 $F:X\to Y$ 는 경계진(bounded) 것이라고 말하고 그 도메인의 모든 각 (폰 노이만) 경계진 부분집합 $B\subseteq X$ 에 대해, $F(B)$ 가 그것의 코도메인의 경계진 부분집합이면; 또는 더 짧게 말해서, 그것이 그 도메인의 모든 각 경계진 부분집합에 경계지면 경계진 부분 연산자(bounded linear operator)라고 불립니다. 도메인 $X$ 가 노름 (또는 반노름) 공간이면 원점을 중심으로 하는 열린 또는 닫힌 단위 공에 대해 이 조건을 확인하는 것으로 충분합니다. 명시적으로, $B_{1}$ 이 이 공을 나타내면 $F:X\to Y$ 가 경계진 선형 연산자인 것과 $F\left(B_{1}\right)$ 가 $Y$ 의 경계진 부분집합인 것은 필요충분 조건입니다; 만약 $Y$ 가 역시 (반)노름 공간이면 이것이 발생하는 것과 연산자 노름 $\|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty$ 이 유한한 것은 필요충분 조건입니다. 모든 각 수열적으로 연속 선형 연산자는 경계집니다.^[5]

Bounded on a neighborhood and local boundedness

대조적으로, 맵 $F:X\to Y$ 는 $F(U)$ 가 $Y$ 의 경계진 부분-집합임을 만족하는 $X$ 에서 이 점의 이웃(neighborhood) $U$ 가 존재하면 점 $x\in X$ 의 이웃 위에 경계진) 또는 $x$ 에서 지역적으로 경계진 것이라고 말합니다. 그것은 지역적으로 경계진 그 도메인에서 일부 점 $x$ 가 존재하면 (일부 점의) "이웃 위에 경계진" 것이며, 이 경우에서 이 선형 맵 $F$ 는 그 도메인의 모든 각 점에서 반드시 지역적으로 경계진 것입니다. "지역적으로 경계진"라는 용어는 때때로 그 도메인의 모든 각 점에서 지역적으로 경계진 맵을 참조하기 위해 사용되지만, 일부 함수형 해석학 저자는 "지역적으로 경계진"을 대신 "경계진 선형 연산자"의 동의어로 정의하며, 이는 관련된 것이지만 동등한 개념은 아닙니다. 이러한 이유로, 이 기사는 "지역적으로 경계진"이라는 용어를 피하고 대신 "모든 각 점에서 지역적으로 경계진"이라고 말합니다("한 점에서 지역적으로 경계진"의 정의에 대해서는 이견이 없습니다).

Bounded on a neighborhood implies continuous implies bounded

선형 맵이 (일부 점의) "이웃 위에 경계진" 것과 그것이 그 도메인의 모든 각 점에서 지역적으로 경계진 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 (심지어 그 도메인이 노름 공간이 아니더라도) 반드시 연속적이고^[2] 따라서 역시 경계진 것입니다 (왜냐하면 연속 선형 연산자는 항상 경계진 선형 연산자이기 때문입니다).^[6]

임의의 선형 맵에 대해, 그것이 이웃 위에 경계진 것이면 그것은 연속적이고,^[2]^[7] 그것이 연속적이면 그것은 경계진 것입니다.^[6] 전환 명제는 일반적으로 참이 아니지만 선형 맵의 도메인이 노름 공간일 때 둘 다 참입니다. 예제와 추가적인 세부 정보는 이제 아래에 제공됩니다.

Continuous and bounded but not bounded on a neighborhood

다음 예제는 선형 맵이 연속적 (및 따라서 역시 경계진 것)일 수 있지만 임의의 이웃 위에 경계진 것이 아닐 수 있음을 보입니다. 특히, "이웃 위에 경계진" 것이 "경계진" 것과 동의어가 항상 아님을 시연합니다.

Example: 임의의 이웃 위에 경계진 것이 아닌 연속적이고 경계진 선형 맵: 만약 $\operatorname {Id} :X\to X$ 가 일부 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간(locally convex topological vector space) 위에 항등 맵이면 이 선형 맵은 항상 연속적 (실제로, 심지어 TVS-동형)이고 경계진(bounded) 것이지만, $\operatorname {Id}$ 가 이웃 위에 경계진 것과 $X$ 에서 원점의 이웃이 존재하는 것은 필요충분 조건이며, 이는 $X$ 가 반-노름가능 공간임과 동등한 것입니다 (이는 $X$ 가 하우스도르프이면, 노름가능 공간임과 같습니다). 이것은 선형 맵이 연속적일 수 있지만 임의의 이웃 위에 경계진 것이 아닐 수 있음을 보입니다. 실제로, 이 예제는 반-노름가능이 아닌 모든 각 지역적으로 볼록 공간이 임의의 점의 임의의 이웃 위에 경계진 것이 아닌 선형 TVS-자기동형을 가짐을 보입니다. 따라서 비록 이웃 위에 경계진 모든 각 선형 맵이 반드시 연속적이지만, 그 전환은 일반적으로 보장되지는 않습니다.

Guaranteeing converses

아래 논의를 요약하기 위해, 노름 (또는 반노름) 공간 위에 선형 맵에 대해, 연속적인 것, 경계진 것, 및 이웃 위에 경계진 것은 모두 동등합니다. 도메인 또는 코도메인이 노름-가능 (또는 반-노름가능)인 선형 맵이 연속적인 것과 그것이 이웃 위에 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 그리고 지역적으로 볼록 공간에서 값된 경계진 선형 연산자는 그 도메인이 (유사)메트릭-가능 [2] 또는 경계적(bornological)이면^[6] 연속적일 것입니다.

Guaranteeing that "continuous" implies "bounded on a neighborhood"

TVS는 만약 경계진 집합이기도 한 이웃이 존재하면 지역적으로 경계진 것이라고 말합니다.^[8] 예를 들어, 모든 각 노름 또는 반-노름 공간은 원점을 중심으로 하는 단위 공이 원점의 경계진 이웃이기 때문에 지역적으로 경계진 TVS입니다. 만약 $B$ 가 (지역적으로 경계진) TVS에서 원점의 경계진 이웃이면 임의의 연속 선형 맵 아래의 그 이미지는 경계진 집합이 될 것입니다 (따라서 이 맵은 이 이웃 $B$ 위에 경계진 것입니다). 결과적으로, 지역적으로 경계진 TVS에서 임의의 다른 TVS로의 선형 맵이 연속적인 것과 그것이 이웃 위에 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, 이 속성을 갖는 임의의 TVS는 지역적으로 경계진 TVS여야 합니다. 명시적으로, 만약 $X$ 가 도메인이 $X$ 인 (임의의 TVS로의) 모든 각 연속 선형 맵이 반드시 이웃 위에 경계짐을 만족하는 TVS이면, $X$ 는 지역적으로 경계진 TVS여야 합니다 (왜냐하면 항등 함수 $X\to X$ 는 항상 연속 선형이기 때문입니다).

TVS에서 지역적으로 경계진 TVS로의 임의의 선형 맵 (예를 들어, 임의의 선형 함수형)이 연속적인 것과 그것이 이웃 위에 경계진 것은 필요충분 조건입니다.^[8] 반대로, 만약 $Y$ 가 코도메인 $Y$ 를 갖는 (임의의 TVS에서) 모든 각 연속 선형 맵이 반드시 이웃 위에 경계진 TVS이면, $Y$ 는 지역적으로 경계진 TVS여야 합니다.^[8] 특히, 임의적인 TVS 위에 선형 함수형이 연속적인 것과 그것이 이웃 위에 경계진 것은 필요충분 조건입니다.^[8]

따라서 선형 맵의 도메인 또는 코도메인이 노름-가능 또는 반-노름가능일 때, 연속성은 이웃 위에 경계진 것과 동등할 것입니다.

Guaranteeing that "bounded" implies "continuous"

연속 선형 연산자는 항상 경계진 선형 연산자(bounded linear operator)입니다.^[6] 그러나 중요하게, 임의적인 토폴로지적 벡터 공간 사이의 선형 연산자의 가장 일반적인 설정에서, 선형 연산자가 경계진 것이지만 연속적이지 않을 수 있다는 것입니다.

도메인이 유사메트릭가능 (예를 들어 임의의 노름 공간)인 선형 맵이 경계진 것과 그것인 연속적인 것은 필요충분 조건입니다.^[2] 같은 것은 경계적인 공간(bornological space)에서 지역적으로 볼록 공간으로의 선형 맵도 참입니다.^[6]

Guaranteeing that "bounded" implies "bounded on a neighborhood"

일반적으로, 선형 맵이나 그것의 도메인 또는 코도메인에 대한 추가적인 정보 없이, "경계진" 것인 맵은 "이웃 위에 경계진" 것과 동등하지 않습니다. 만약 $F:X\to Y$ 가 노름 공간 $X$ 에서 일부 TVS로의 경계진 선형 연산자이면 $F:X\to Y$ 는 반드시 연속적입니다; 이것은 $X$ 에서 원점을 중심으로 하는 임의의 열린 공 $B$ 가 경계진 부분집합 ( $F$ 가 경계진 선형 맵이기 때문에 $F(B)$ 가 경계진 것임을 의미함)과 (위에서 언급한 것처럼) 연속성을 보장하는 $F$ 가 따라서 원점의 이러한 이웃 $B$ 위에 경계지도록 $X$ 에서 원점의 이웃이기 때문입니다.

Continuous linear functionals

토폴로지적 벡터 공간 (TVS)의 모든 각 선형 함수형은 선형 연산자이므로 연속 선형 연산자에 대해 위에서 설명한 모든 속성이 그것들에 적용됩니다. 어쨌든, 그것들의 특수한 본성 때문에, 우리는 일반적인 연속 선형 연산자에 대한 것보다 연속 선형 함수형에 대해 더 많이 말할 수 있습니다.

Characterizing continuous linear functionals

$X$ 를 필드 $\mathbb {F}$ 에 걸쳐 토폴로지적 벡터 공간 (TVS)이라고 놓고 ( $X$ 는 하우스도르프 또는 지역적으로 볼록일 필요가 없음) $f:X\to \mathbb {F}$ 를 $X$ 위에 선형 함수형(linear functional)이라고 놓습니다. 다음은 동등합니다:^[1]

$f$ 는 연속입니다.
$f$ 는 $X$ 위에 균등하게 연속입니다.
$f$ 는 $X$ 의 일부 점에서 연속(continuous at some point)입니다.
$f$ $f$ 는 원점에서 연속입니다.
- 정의에 의해, $f$ $f$ 는 만약 코도메인 $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ 에서 0에 중심을 둔 반지름 $r>0$ $r>0$ 의 모든 각 열린 (또는 닫힌) 공에 대해, $f(U)\subseteq B_{r}$ $f(U)\subseteq B_{r}$ 임을 만족하는 $X$ $X$ 에서 원점의 일부 이웃(neighborhood) $U$ $U$ 가 존재하면 원점에서 연속이라고 말합니다. 만약 $B_{r}$ $B_{r}$ 이 닫힌 공이면 조건 $f(U)\subseteq B_{r}$ $f(U)\subseteq B_{r}$ 이 유지되는 것과 $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r$ $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r$ 인 것은 필요충분 조건입니다.
  - 어쨌든, $B_{r}$ 이 대신 열린 공이라고 가정하면, $\sup _{u\in U}|f(u)|<r$ 은 $f(U)\subseteq B_{r}$ 에 대해 참이 되는 충분이지만 필요 조건은 아니고 (예를 들어 $f=\operatorname {Id}$ 는 $X=\mathbb {F}$ 위에 항등 맵이고 $U=B_{r}$ 일 때를 생각해 보십시오), 반면에 비-엄격한 부등식 $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r$ 은 대신 $f(U)\subseteq B_{r}$ 에 대해 참이 되는 필요이지만 충분 조건은 아닙니다 (예를 들어, $X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id}$ 이고, 닫힌 이웃 $U=[-r,r]$ 을 생각해 보십시오). 이것은 예를 들어 극 집합(polar sets)과 같은 선형 함수형을 포함하는 많은 정의가 (열린 것이 아닌) 닫힌 이웃과 (엄격 $\,<\,$ 이 아닌) 비-엄격 $\,\leq \,$ 부등식을 포함하는 몇 가지 이유 중 하나입니다.
$f$ $f$ 는 (일부 점의) 이웃 위에 경계진(bounded on a neighborhood) 것입니다. 다르게 말해서, $f$ $f$ 는 그 도메인의 일부 점에서 지역적으로 경계진(locally bounded at some point) 것입니다.
- 명시적으로, 이것은 $f(U)$ 가 $\mathbb {F}$ 의 경계진 부분집합(bounded subset)임을 만족하는; 즉, ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty }$ 를 만족하는 일부 점 $x\in X$ 의 일부 이웃 $U$ 가 존재한다는 것을 의미합니다.^[2] 이웃 $U$ 에 걸쳐 이 상한이 $0$ 과 같은 것은 $f=0$ 인 것과 필요충분 조건입니다.
- 중요하게, "이웃 위에 경계진" 것인 선형 함수형은 일반적으로 "경계진 선형 함수형"인 것과 동등하지 않은데 왜냐하면 (위에서 설명한 것처럼) 선형 맵이 경계진 것이지만 연속적이지 않을 수 있기 때문입니다. 어쨌든, 연속성과 경계성(boundedness)은 그 도메인이 노름 또는 반-노름 공간이면 동등합니다; 즉, 노름 공간 위에 선형 함수형에 대해, "경계진" 것은 "이웃 위에 경계진" 것과 동등합니다.
$f$ $f$ 는 원점의 이웃 위에 경계진(bounded on a neighborhood of the origin) 것입니다. 다르게 말해서, $f$ $f$ 는 원점에서 지역적으로 경계진(locally bounded at the origin) 것입니다.
- 상등 $\sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|$ 은 모든 스칼라 $s$ 에 대해 유지되고 $s\neq 0$ 일 때 $sU$ 는 원점의 이웃일 것입니다. 따라서 특히, ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ 가 양의 실수이면 모든 각 양의 실수 $r>0$ 에 대해, 집합 $N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U$ 은 역시 원점의 이웃이고 $\displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r$ 입니다.
$\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ 임을 만족하는 원점의 일부 이웃 $U$ $U$ 가 존재합니다:
- 부등식이 유지되는 것과 모든 각 실수 $r>0$ 에 대해 $\sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r$ 인 것은 필요충분 조건이며, 이는 이 단일 이웃 $U$ 의 양의 스칼라 배수 $\{rU:r>0\}$ 가 위의 (4)에서 주어진 원점에서 연속성(continuity at the origin)의 정의를 만족시킬 것임을 보입니다.
- $U$ 의 (절대) 극((absolute) polar)이라고 불리는 집합 $U^{\circ }$ 의 정의에 의해, 부등식 $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ 이 유지되는 것과 $f\in U^{\circ }$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 극 집합, 및 따라서 역시 이 특별한 부등식은 이중성 이론(duality theory)에서 중요한 역할을 합니다.
$f$ 는 그 도메인의 모든 각 점에서 지역적으로 경계진(locally bounded at every point) 것입니다.
$f$ 의 커널은 $X$ 에서 닫혀 있습니다.^[2]
$f=0$ 또는 그밖에 $f$ 의 커널은 $X$ 에서 조밀한 것이 아닙니다.^[2]
$|f|\leq p$ $|f|\leq p$ 임을 만족하는 $X$ $X$ 위에 연속 반노름 $p$ $p$ 가 존재합니다.
- 특히, $f$ 가 연속인 것과 반노름 $p:=|f|$ 가 연속인 것은 필요충분 조건입니다.
$f$ 의 그래프는 닫혀 있습니다.^[9]
$\operatorname {Re} f$ 는 연속이며, 여기서 $\operatorname {Re} f$ 는 $f$ 의 실수 부분(real part)을 나타냅니다.

만약 $X$ 와 $Y$ 가 복소 벡터 공간이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$f$ 의 허수 부분은 연속입니다.

만약 도메인 $X$ 가 수열적 공간(sequential space)이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$f$ 는 그 도메인의 일부 (또는 동등하게, 모든 각) 점에서 수열적으로 연속(sequentially continuous)입니다.^[2]

만약 도메인 $X$ 가 메트릭-가능 또는 유사-메트릭가능(metrizable or pseudometrizable) (예를 들어, 프레세 공간(Fréchet space) 또는 노름 공간(normed space))이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$f$ 는 경계진 선형 연산자입니다 (즉, 그것은 경계진 부분집합을 경계진 부분집합으로 매핑합니다).^[2]

만약 도메인 $X$ 가 경계적인 공간(bornological space) (예를 들어, 유사-메트릭가능 TVS)이고 $Y$ 가 지역적으로 볼록(locally convex)이면 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$f$ 는 경계진 선형 연산자(bounded linear operator)입니다.^[2]
$f$ 는 그 도메인의 일부 (또는 동등하게, 모든 각) 점에서 수열적으로 연속입니다.^[10]
$f$ 는 원점에서 수열적으로 연속입니다.

그리고 만약 게다가 $X$ 가 실수(real numbers)에 걸쳐 벡터 공간이면 (이는 특별히, $f$ 가 실수-값임을 의미함) 이 목록은 다음을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다:

$f\leq p$ 임을 만족하는 $X$ 위에 연속 반-노름 $p$ 가 존재합니다.^[1]
일부 실수 $r$ 에 대해, 반-공간 $\{x\in X:f(x)\leq r\}$ 은 닫혀 있습니다.
위의 명제이지만 단어 "일부"가 "임의의"에 의해 대체됩니다.^[11]

따라서, 만약 $X$ 가 복소수이면 $f,$ $\operatorname {Re} f,$ 및 $\operatorname {Im} f$ 의 세 가지 모두가 연속(continuous) (각각. 경계진), 또는 세 가지 모두가 불연속(discontinuous) (각각. 비-경계진)입니다.

Examples

도메인이 유한-차원 하우스도르프 토폴로지적 벡터 공간 (TVS)인 모든 각 선형 맵은 연속입니다. 이것은 유한-차원 TVS가 하우스도르프가 아니면 참이 아닙니다.

$X$ 가 하우스도르프 TVS라고 가정합니다. 그런-다음 $X$ 위의 모든 각 선형 함수형이 반드시 연속인 것과 $X$ 의 모든 각 벡터 부분공간이 닫혀 있는 것은 필요충분 조건입니다.^[12] $X$ 위에 모든 각 선형 함수형이 반드시 경계진 선형 함수형인 것과 $X$ 의 모든 각 경계진 부분집합이 유한-차원 벡터 부분-공간에 포함되는 것은 필요충분 조건입니다.^[13]

Properties

지역적으로 볼록(locally convex) 메트릭-가능 토폴로지적 벡터 공간(metrizable topological vector space)이 노름-가능(normable)인 것과 그것 위에 모든 각 경계진 선형 함수형이 연속인 것은 필요충분 조건입니다.

연속 선형 연산자는 경계진 집합(bounded sets)을 경계진 집합으로 매핑합니다.

증명은 선형 토폴로지적 공간에서 열린 집합의 평행이동이 다시 열린 집합이고, $Y$ 의 임의의 부분집합 $D$ 와 임의의 $x\in X$ 에 대해, 다음 상등이 $F$ 의 덧셈성(additivity)으로 인해 참이라는 사실을 사용합니다: $F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x)).$

Properties of continuous linear functionals

만약 $X$ 가 복소 노름 공간이고 $f$ 가 $X$ 위에 선형 함수형이면, $\|f\|=\|\operatorname {Re} f\|$ 입니다^[14] (여기서 특히, 한 변이 무한인 것과 다른 변이 무한인 것은 필요충분 조건입니다).

TVS $X$ 위에 모든 각 비-자명한 연속 선형 함수형은 열린 맵(open map)입니다.^[1] 만약 $X$ 가 실수 벡터 공간이고, $f$ 가 $X$ 위에 선형 함수형이고, $p$ 가 $X$ 위에 반노름이면, $|f|\leq p$ 인 것과 $f\leq p$ 인 것은 필요충분 조건입니다.^[1]

만약 $f:X\to \mathbb {F}$ 가 선형 함수형이고 $U\subseteq X$ 가 비-빈 부분집합이면, 다음 집합을 정의함으로써 $f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},$ 상한 $\,\sup _{u\in U}|f(u)|\,$ 은 보다 간결하게 $\,\sup |f(U)|\,$ 으로 쓸 수 있는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다: $\sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.$ 만약 $s$ 가 스칼라이면, 다음입니다: $\sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|$ 이때 만약 $r>0$ 이 실수이고 ${\overline {B_{r}}}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}$ 이 원점에 중심을 둔 반지름 $r$ 의 닫힌 공이면, 다음입니다: $f(U)\subseteq {\overline {B_{1}}}\quad {\text{ if and only if }}\quad \sup |f(U)|\leq 1\quad {\text{ if and only if }}\quad \sup |f(rU)|\leq r\quad {\text{ if and only if }}\quad f(rU)\subseteq {\overline {B_{r}}}.$

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011, pp. 126–128.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.
^ Wilansky 2013, p. 54.
^ Narici & Beckenstein 2011, p. 476.
^ Wilansky 2013, pp. 47–50.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.
^ Wilansky 2013, pp. 54–55.
^ ^a ^b ^c ^d Wilansky 2013, pp. 53–55.
^ Wilansky 2013, p. 63.
^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.
^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.
^ Wilansky 2013, p. 55.
^ Wilansky 2013, p. 50.
^ Narici & Beckenstein 2011, p. 128.

Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
Dunford, Nelson (1988). Linear operators (in Romanian). New York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Rudin, Walter (January 1991). Functional analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126–128-1] Narici & Beckenstein 2011, pp. 126–128.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.

[FOOTNOTEWilansky201354-3] Wilansky 2013, p. 54.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011476-4] Narici & Beckenstein 2011, p. 476.

[FOOTNOTEWilansky201347–50-5] Wilansky 2013, pp. 47–50.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441–457-6] Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.

[FOOTNOTEWilansky201354–55-7] Wilansky 2013, pp. 54–55.

[FOOTNOTEWilansky201353–55-8] Wilansky 2013, pp. 53–55.

[FOOTNOTEWilansky201363-9] Wilansky 2013, p. 63.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011451–457-10] Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-11] Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.

[FOOTNOTEWilansky201355-12] Wilansky 2013, p. 55.

[FOOTNOTEWilansky201350-13] Wilansky 2013, p. 50.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011128-14] Narici & Beckenstein 2011, p. 128.

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