Coordinate system

기하학(geometry)에서, 좌표 시스템(coordinate system)은 유클리드 공간(Euclidean space)과 같은 다양체(manifold) 위의 점 또는 다른 기하학적 원소의 위치를 고유하게 결정하기 위한 하나 이상의 숫자(number), 또는 좌표(coordinates)를 사용하는 시스템입니다.^[1]^[2] 좌표의 순서는 중요하고, 그들은, 순서화된 튜플(tuple)에서 및, "x-좌표"처럼, 때때로 문자에 의해 그들의 위치에 의해 때때로 식별됩니다. 좌표는 기본 수학(elementary mathematics)에서 실수(real number)로 취해지지만, 복소수(complex number) 또는 교환 링(commutative ring)과 같은 보다 추상적 시스템의 원소일 수 있습니다. 좌표 시스템의 사용은 기하학에서 문제점을 숫자에 대한 문제점으로 변환되는 것을 허락하고, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다(vice versa); 이것은 해석 기하학(analytic geometry)의 기초입니다. ^[3]

Common coordinate systems

Number line

좌표 시스템의 가장 간단한 예제는 숫자 직선(number line)을 사용하여 실수를 갖는 직선의 점의 식별입니다. 이 시스템에서, 임의의 점 O (원점)는 주어진 직선 위에 선택됩니다. 점 P의 좌표는 O에서 P까지의 부호화된 거리로 정의되며, 여기서 부호화된 거리는 직선 P의 어느쪽에 놓이는지에 따라 양 또는 음의 거리입니다. 각 점은 고유한 좌표를 제공하고 각 실수는 고유한 점의 좌표입니다.^[4]

The number line

Cartesian coordinate system

좌표 시스템의 원형 예제는 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)입니다. 평면(plane)에서, 두 수직(perpendicular) 직선이 선택되고 점의 좌표는 직선까지의 부호화된 거리로 취합니다.

삼-차원에서, 세 서로 직교(orthogonal) 평면이 선택되고 점의 세 좌표는 각 평면에 대한 부호화된 거리입니다.^[5] 이것은 n-차원 유클리드 공간에서 임의의 점에 대해 n 좌표를 생성하기 위해 일반화될 수 있습니다.

좌표 축의 방향 및 순서에 따라, 삼-차원 시스템은 오른-손(right-handed) 또는 왼-손 시스템일 수 있습니다. 이것은 많은 좌표 시스템 중 하나입니다.

Polar coordinate system

평면에 대해 또 다른 공통 좌표 시스템은 극 좌표 시스템입니다.^[6] 점이 극점(pole)으로 선택되고 이 점으로부터 반직선이 극 축(polar axis)으로 취합니다. 주어진 각도 θ에 대해, 극축과의 각도가 θ인 (축으로부터 직선까지 반-시계방향으로 측정된) 극점을 통과하는 단일 직선이 있습니다. 그런-다음 이 직선 위에 원점으로부터 부호화된 거리가 주어진 숫자 r에 대해 r인 고유한 점이 있습니다. 주어진 좌표 쌍 (r, θ)에 대해, 단일 점이 있지만, 임의의 점은 여러 좌표의 쌍에 의해 표시됩니다. 예를 들어, (r, θ), (r, θ+2π) 및 (−r, θ+π)는 모두 같은 점에 대한 극좌표입니다. 극점은 임의의 θ 값에 대해 (0, θ)에 의해 표시됩니다.

Cylindrical and spherical coordinate systems

극 좌표 시스템을 삼차원으로 확장하는 두 공통적인 방법이 있습니다. 원통 좌표 시스템(cylindrical coordinate system)에서, 데카르트 좌표에서 처럼 같은 의미를 갖는 z-좌표가 r 및 θ 극 좌표에 추가되어 트리플 (r, θ, z)가 제공됩니다.^[7] 구형 좌표는 한 쌍의 원통 좌표 (r, z)를 극좌표 (ρ, φ)로 변환하여 트리플 (ρ, θ, φ)을 제공함으로써 한 단계 더 발전합니다.^[8]

Homogeneous coordinate system

평면에서 점은 트리플 (x, y, z)에 의해 동차 좌표(homogeneous coordinates)로 표현될 수 있으며, 여기서 x/z 및 y/z는 점의 데카르트 좌표입니다.^[9] 이것은 "추가" 좌표를 도입하는데 왜냐하면 오지 둘은 평면 위에 한 점을 지정하기 위해 필요하기 때문이지만, 이 시스템은 무한대(infinity)의 사용없이 투영 평면(projective plane) 위의 임의의 점을 나타내는 것에서 유용합니다. 일반적으로, 동차 좌표 시스템은 오직 좌표의 비율이 중요하고 실제 값이 아닌 시스템입니다.

Other commonly used systems

일부 다른 공통 좌표 시스템은 다음입니다:

곡선 좌표(Curvilinear coordinates)는 일반적으로 좌표 시스템의 일반화입니다; 그 시스템은 곡선의 교차를 기반으로 합니다.
- 직교 좌표(Orthogonal coordinates): 좌표 표면(coordinate surface)이 직각으로 만납니다.
- 꼬인 좌표(Skew coordinates): 좌표 표면(coordinate surface)은 수직이 아닙니다.
로그-극 좌표 시스템(log-polar coordinate system)은 원점으로부터 거리의 로그와 원점과 교차하는 참조 직선으로부터 측정된 각도에 의해 평면의 한 점을 나타냅니다.
플뤼커 좌표(Plücker coordinates)는 동차 좌표(homogeneous coordinates)로 여섯-튜플을 사용하여 3D 유클리드 공간에서 직선을 나타내는 방법입니다.
일반화된 좌표(Generalized coordinates)는 라그랑주(Lagrangian) 역학의 처리에 사용됩니다.
정식 좌표(Canonical coordinates)는 해밀턴(Hamiltonian) 역학의 처리에 사용됩니다.
삼항 그림(ternary plot)에 사용되는 질량-중심 좌표 시스템(Barycentric coordinate system) 및 보다 일반적으로 삼각형(triangle)의 분석에서 사용됩니다.
삼-선형 좌표(Trilinear coordinates)는 삼각형의 문맥에서 사용됩니다.

좌표없이, 곡률(curvature) 및 호 길이(arc length)와 같이 불변 양을 사용하는 본질 방정식(intrinsic equation)을 사용하여, 곡선을 설명하는 방법이 있습니다. 이들은 다음을 포함합니다:

휘웰 방정식(Whewell equation)은 호 길이와 접하는 각도(tangential angle)와 관련시킵니다.
체사로 방정식(Cesàro equation)은 호 길이와 곡률을 관련시킵니다.

Coordinates of geometric objects

좌표 시스템은 종종 점의 위치를 지정하는 데 사용되지만, 직선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 그림의 위치를 지정하기 위해 역시 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 플뤼커 좌표(Plücker coordinates)는 공간에서 직선의 위치를 결정하기 위해 사용됩니다.^[10] 요구가 있을 때, 설명되는 도형의 유형은 좌표 시스템의 유형을 구별하기 위해 사용되며, 예를 들어, 용어 직선 좌표(line coordinates)는 직선의 위치를 지정하는 임의의 좌표 시스템에 대해 사용됩니다.

기하학적 그림의 두 다른 집합에 대해 좌표의 시스템이 그들의 해석의 관점에서 동등한 것으로 발생할 수 있습니다. 이것의 예제는 투영 평면에서 점과 직선에 대해 동차 좌표의 시스템입니다. 이와 같은 경우에서 두 시스템은 이원론적(dualistic)이라고 말합니다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 이월될 수 있는 속성을 가지고 있는데, 왜냐하면 이들 결과는 같은 해석적 결과의 오직 다른 해석입니다; 이것은 이중성(duality)의 원리로 알려져 있습니다.^[11]

Transformations

기하학적 그림을 설명하는 것에 대해 종종 많은 다른 가능한 좌표 시스템이 있기 때문에, 그것들이 어떻게 관련되어 있는지 이해하는 것이 중요합니다. 그러한 관계는 한 시스템에서 좌표에 대해 공식을 또 다른 시스템에서 좌표의 관점에서 제공하는 좌표 변환에 의해 설명됩니다. 예를 들어, 평면에서, 만약 데카르트 좌표 (x, y)와 극좌표 (r, θ)는 같은 원점을 가지고, 극축이 양의 x 축이면, 극좌표에서 데카르트 좌표로의 좌표 변환은 x = r cosθ and y = r sinθ에 의해 제공됩니다.

공간에서 자체로의 모든 각 전단사(bijection)와 함께 두 좌표 변환이 결합됩니다:

각 점의 이미지의 새 좌표가 원래 점의 이전 좌표와 같음을 만족해야 합니다 (매핑에 대해 공식은 좌표 변환에 대한 공식의 역입니다)
각 점 이미지의 이전 좌표가 원래 점의 새 좌표와 같음을 만족해야 합니다 (매핑에 대해 공식은 좌표 변환에 대해 공식과 같습니다)

예를 들어, 1D에서, 만약 매핑이 오른쪽으로 3의 평행이동이면, 첫 번째는 각 점의 좌표가 3보다 작게 되도록, 원점을 0에서 3으로 이동하지만, 두 번째는 각 점의 좌표가 3보다 크도록, 0에서 −3으로 원점을 이동합니다.

Coordinate lines/curves and planes/surfaces

이-차원에서, 점 좌표 시스템에서 좌표 중 하나가 일정하게 유지되고 나머지 다른 좌표가 변하는 것을 허용하면, 결과 곡선은 좌표 곡선이라고 불립니다. 데카르트 좌표 시스템에서, 좌표 곡선은, 실제로, 직선이며, 따라서 좌표 직선입니다. 구체적으로, 그것들은 좌표축 중 하나와 평행한 직선입니다. 다른 좌표 시스템에 대해, 좌표 곡선은 일반적인 곡선일 수 있다. 예를 들어, r 상수를 유지함으로써 얻어진 극좌표에서 좌표 곡선은 원점에 중심을 둔 원입니다. 일부 좌표 곡선이 직선이 아닌 좌표 시스템은 곡선 좌표 시스템(curvilinear coordinate system)이라고 불립니다.^[12] 이 절차는 항상 타당하지는 않으며, 예를 들어 동차 좌표 시스템(homogeneous coordinate system)에 좌표 곡선이 없습니다.

삼-차원 공간에서, 만약 한 좌표가 상수로 유지되고 나머지 둘이 변하는 것을 허용되면, 결과 표면은 좌표 표면이라고 불립니다. 예를 들어, 구형 좌표 시스템(spherical coordinate system)에서 ρ 상수를 유지함으로써 얻어진 좌표 표면은 원점에 중심을 둔 구입니다. 삼-차원 공간에서, 두 좌표 표면의 교차는 좌표 곡선입니다. 데카르트 좌표 시스템에서, 우리는 좌표 평면을 말할 수 있습니다.

유사하게, 좌표 초표면은 n-차원 좌표 시스템의 단일 좌표를 고정함으로써 발생하는 (n − 1)-차원 공간입니다.^[13]

Coordinate maps

좌표 맵(coordinate map) 또는 좌표 차트(coordinate chart)의 개념은 매니폴드의 이론의 핵심입니다. 좌표 맵은 본질적으로 각 점이 정확히 하나의 좌표의 집합을 가진다는 속성을 갖는 주어진 공간의 부분-집합에 대해 좌표 시스템입니다. 보다 정확하게, 좌표 맵은 공간 X의 열린 부분-집합에서 Rⁿ의 열린 부분-집합으로의 위상-동형(homeomorphism)입니다.^[14] 전체 공간에 대해 하나의 일관된 좌표 시스템을 제공하는 것이 종종 가능하지 않습니다. 이 경우에서, 좌표 맵의 모음은 공간을 덮는 아틀라스(atlas)를 형성하기 위해 함께 배치됩니다. 그러한 아틀라스를 장착한 공간은 매니폴드라고 불리고 추가적인 구조가 만약 구조가 좌표 맵이 겹치는 위치에 일관되면 매니폴드 위에 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)는 하나의 좌표 맵에서 또 다른 것으로의 좌표 변경이 항상 미분-가능 함수인 매니 폴드입니다.

Orientation-based coordinates

기하학(geometry)과 운동학(kinematics)에서, 좌표 시스템은 점의 (선형) 위치와 축, 평면, 및 강체(rigid bodies)의 각도 위치(angular position)를 설명하기 위해 사용됩니다.^[15] 후자 경우에서, 노드에 고정된 두 번째 좌표 시스템 (전형적으로 "지역"이라고 함)의 방향은 첫 번째 좌표 시스템 (전형적으로 "전역" 또는 "세계" 좌표 시스템라고 함)을 기준으로 정의됩니다. 예를 들어, 강체의 방향은 그것의 세 열에서 세 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 포함하는 방향 행렬(matrix)에 의해 나타낼 수 있습니다. 이들 점은 지역 시스템의 축의 방향을 정의하기 위해 사용됩니다; 그것들은 그들 축과 정렬된 세 단위 벡터(unit vector)의 끝점입니다.

References

Citations

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Sources

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Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry. Ginn and Co. pp. 1ff.
Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometry of Differential Forms. AMS Bookstore. p. 12. ISBN 0-8218-1045-6.

External links

Hexagonal Coordinate Systems

[1] Woods p. 1

[2] Weisstein, Eric W. "Coordinate System". MathWorld.

[3] Weisstein, Eric W. "Coordinates". MathWorld.

[4] Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 0-495-56521-0.

[5] Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.

[6] Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (June 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version ed.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

[7] Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486.

[8] Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.

[9] Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon.

[10] Hodge, W.V.D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.

[11] Woods p. 2

[12] Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. Vol. 2. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9.

[13] Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. p. 38. ISBN 3-540-34235-4.

[14] Munkres, James R. (2000) Topology. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[15] Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Rigid body kinematics". Analytical Mechanics of Space Systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 71. ISBN 1-56347-563-4.

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