Plane (geometry)

수학(mathematics)에서, 평면(plane)은 무한히 멀리 뻗어나가는 평평한(flat), 이-차원 표면(surface)입니다. 평면은 점(point) (영 차원), 선(line) (일 차원), 및 삼-차원 공간(three-dimensional space)의 이-차원 유사체(two-dimensional analogue)입니다. 평면은, 방의 벽 중 하나가 무한히 멀리 연장된 것처럼, 일부 고-차원 공간의 부분-공간으로 발생할 수 있거나, 그것들은 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 설정에서 처럼, 그들의 권리 안에서 독립적인 존재를 즐길 수 있습니다.

독점적으로 이-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 작업할 때, 명확한 기사가 사용되므로, 그 평면은 전체 공간을 참조합니다. 수학, 기하학(geometry), 삼각법(trigonometry), 그래프 이론(graph theory), 및 그래프를 그리는 것(graphing)의 많은 기본 임무는 이-차원 공간에서, 종종 그 평면에서 수행됩니다.

Euclidean geometry

유클리드(Euclid)는 수학적 사상의 최초의 위대한 이정표, 기하학의 공리적 처리를 제시했습니다.^[1] 그는 정의되지 않은 용어 (공통 개념(common notions이라고 함)와 공준 (또는 공리(axiom))의 작은 핵심을 선택하고 그런-다음 다양한 기하학적 명제를 증명하기 위해 그것들을 사용했습니다. 비록 현대적 의미에서 평면은 원론(Elements)의 어느 곳에서도 직접적으로 정의되지는 않을지라도, 그것은 공통 개념의 일부로 생각될 수 있습니다.^[2] 유클리드는 길이, 각도 또는 넓이를 측정하기 위해 숫자를 결코 사용하지 않았습니다. 이런 식으로, 유클리드 평면은 데카르트(Cartesian) 평면과 완전히 같지는 않습니다.

평면은 자로-그은 표면(ruled surface)입니다.

Representation

이 섹션은 다만 3차원, 특히 R³에 삽입된 평면과 관련됩니다.

Determination by contained points and lines

임의의 차원의 유클리드 공간에서, 평면은 다음 중 임의의 하나에 의해 고유하게 결정됩니다:

셋의 비-같은-직선(collinear) 점 (하나의 직선 위에 있지 않은 점들).
하나의 직선과 해당 직선 위에 있지 않은 한 점.
둘의 구별되지만 교차하는 직선.
둘의 구별되지만 평행(parallel) 직선.

Properties

다음 명제는 삼-차원 유클리드 공간에서 유지되지만, 비록 그것들이 더 높은 자원 유사체를 가질지라도, 더 높은 차원에서는 유지되지 않습니다:

둘의 구별되는 평면은 서로 평행하거나 그것들은 하나의 직선(line)에서 교차합니다.
하나의 직선은 평면에 평행하거나, 평면과 단일 점에서 교차하거나, 평면에 포함됩니다.
같은 평면에 직교(perpendicular)하는 둘의 구별되는 직선은 서로 평행해야 합니다.
같은 직선에 직교하는 둘의 구별되는 평면은 서로 평행해야 합니다.

Point–normal form and general form of the equation of a plane

이-차원 공간에서 직선이 방정식에 대해 점-기울기 형식을 사용하여 설명되는 방법과 유사한 방식으로, 삼차원 공간에서 평면은 평면 안의 한 점과 평면의 "기울기"를 나타내기 위한 그것에 직교하는 벡터 (법선 벡터(normal vector))를 사용하여 자연스러운 설명을 가집니다.

구체적으로 특별히, $r 0$ 를 어떤 점 $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ 의 위치 벡터라고 놓고, $n = (a, b, c)$ 를 비-영 벡터로 놓습니다. 점 $P 0$ 와 벡터 $n$ 에 의해 결정되는 평면은 $P 0$ 에서 $P$ 로 그린 벡터가 $n$ 에 수직이 되도록 하는 위치 벡터 $r$ 을 갖는 점 $P$ 로 구성됩니다. 두 벡터가 수직인 것과 그들의 점 곱이 0인 것은 필요충분 조건임을 기억해 내면, 원하는 평면은 다음을 만족하는 모든 점 $r$ 의 집합으로 설명될 수 있음을 따릅니다:

{\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.

점은 여기서 점 (스칼라) 곱을 의미합니다.
이것을 전개하면 다음이 됩니다:

a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,

이것은 평면의 점-법선 형식의 방정식입니다.^[3] 이것은 단지 다음 선형 방정식(linear equation)입니다:

ax+by+cz+d=0,

여기서

d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})

,

이것은 $-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}$ 의 전개된 형식입니다.

수학에서 법선을 단위 벡터(unit vector)로 표현하는 것이 공통적인 관례이지만, 위의 인수는 임의의 비-영 길이 법선 벡터에 대해 유지됩니다.

반대로, $a, b, c$ 및 $d$ 가 상수이고 $a, b$ , 및 $c$ 가 모두 영이 아니면, 다음 방정식의 그래프가 법선으로 벡터 $n = (a, b, c)$ 를 가지는 평면임을 쉽게 보입니다:^[4]

ax+by+cz+d=0

.

평면에 대해 이 친숙한 방정식은 평면 방정식의 일반 형식이라고 불립니다.^[5]

따라서 예를 들어 $y = d + ax + cz$ ( $b = -1$ 일 때) 형식의 회귀 방정식(regression equation)은 두 개의 설명 변수가 있을 때 삼-차원 공간에서 가장 적합한 평면을 설정합니다.

Describing a plane with a point and two vectors lying on it

대안적으로, 평면은 다음 형식의 모든 점 집합으로 매개변수적으로 설명될 수 있습니다:

{\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},

여기서 $s$ 와 $t$ 는 모든 실수에 걸쳐 변하고, $v$ 와 $w$ 는 평면을 정의하는 주어진 선형 독립(linearly independent) 벡터(vectors)이고, $r 0$ 은 평면 위에 임의의 (그러나 고정된) 점의 위치를 나타내는 벡터입니다. 벡터 $v$ 와 $w$ 는 $r 0$ 에서 시작하고 평면을 따라 다른 방향을 가리키는 벡터로 시각화될 수 있습니다. 벡터 $v$ 와 $w$ 는 수직(perpendicular)일 수 있지만, 평행할 수는 없습니다.

Describing a plane through three points

$p 1 =(x 1, y 1, z 1)$ , $p 2 =(x 2, y 2, z 2)$ , and $p 3 =(x 3, y 3, z 3)$ 를 비-같은-직선 점으로 놓습니다.

Method 1

$p 1$ , $p 2$ , 및 $p 3$ 를 통과하는 평면은 다음의 행렬식(determinant) 방정식을 만족하는 모든 점 (x,y,z)의 집합으로 설명될 수 있습니다:

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.

Method 2

형식 $ax+by+cz+d=0$ 의 방정식에 의해 평면을 설명하기 위해, 다음 연립방정식을 풉니다:

\,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0

\,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0

\,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.

이 시스템은 크라메르의 규칙(Cramer's rule)과 기본 행렬 조작을 사용하여 풀릴 수 있습니다. 다음으로 놓습니다:

D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}

.

만약 D가 비-영이면 (원점을 통과하지 않는 평면이 아니면), a, b 및 c에 대해 값은 다음과 같이 계산될 수 있습니다:

a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}

b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}

c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.

이들 방정식은 d에서 매개변수입니다. d를 임의의 비-영 숫자와 같고 놓고 그것을 이들 방정식에 대입하면 하나의 해 집합을 생성할 것입니다.

Method 3

이 평면은 역시 위의 ""점과 법선 벡터" 규정에 의해 설명될 수 있습니다. 적절한 법선 벡터는 다음 교차 곱(cross product)에 의해 제공됩니다:

{\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),

그리고 점 $r 0$ 는 주어진 점 $p 1$ , $p 2$ 또는 $p 3$ ^[6] (또는 평면에서 임의의 다른 점) 중 하나로 취할 수 있습니다.

Operations

Distance from a point to a plane

평면 $\Pi :ax+by+cz+d=0$ 과 평면 위에 놓일 필요는 없는 한 점 ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ 에 대해, ${\boldsymbol {p}}_{1}$ 에서 평면까지 가장 짧은 거리는 다음입니다:

D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

${\boldsymbol {p}}_{1}$ 가 그 평면 위에 놓이는 것과 D=0인 것은 필요충분(iff) 조건임을 따릅니다.

만약 a, b, 및 c가 정규화되었음을 의미하는 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$ 이면^[7], 그 방정식은 다음이 됩니다:

D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.

헤세 법선 형식(Hesse normal form)으로 알려진 평면 방정식에 대해 또 다른 벡터 형식은 매개변수 D에 의존합니다. 이 형식은 다음과 같습니다:^[5]

{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}-D_{0}=0,

여기서 ${\boldsymbol {n}}$ 는 평면에 대한 단위 법선 벡터, ${\boldsymbol {r}}$ 는 평면의 한 점의 위치 벡터이고 D₀는 원점에서 평면의 거리입니다.

더 높은 차원에 대한 일반 공식은 벡터 표기법(vector notation)을 사용하여 빠르게 도달될 수 있습니다. 초평면(hyperplane)이 방정식 ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0$ 을 가진다고 놓으며, 여기서 ${\boldsymbol {n}}$ 는 법선 벡터(normal vector)이고 ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ 는 초평면(hyperplane)에서 한 점에 대한 위치 벡터(position vector)입니다. 우리는 점 ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ 에 대한 수직 거리를 원합니다. 초평면(hyperplane)은 역시 상수 $\{a_{i}\}$ 에 대해 스칼라 방정식 $\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}$ 에 의해 표현될 수 있습니다. 마찬가지로, 대응하는 ${\boldsymbol {n}}$ 은 $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})$ 으로 표현될 수 있습니다. 우리는 ${\boldsymbol {n}}$ 의 방향에서 벡터 ${\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}$ 의 스칼라 투영(scalar projection)을 원합니다. ${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}=-a_{0}$ 임을 주목하면 ( ${\boldsymbol {r}}_{0}$ 가 초평면(hyperplane)의 방정식을 만족할 때) 우리는 다음을 가집니다:

{\begin{aligned}D&={\frac {|({\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0})\cdot {\boldsymbol {n}}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}+a_{0}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{21}+\dots +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{N}^{2}}}}\end{aligned}}

.

Line–plane intersection

해석 기하학에서, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 한 직선(line)과 한 평면의 교차점은 빈 집합(empty set), 한 점(point) 또는 하나의 직선일 수 있습니다.

Line of intersection between two planes

두 평면 $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ 및 $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ 을 교차하는 직선은 다음에 의해 제공됩니다:

{\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})

여기서 ${\boldsymbol {n}}_{i}$ 는 정규화되었고, 다음입니다:

c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}

c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.

이것은 그 직선이 두 평면 법선에 수직이어야 하고, 교차 곱 ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ 에 평행해야 한다는 점에 의해 구해집니다 (이 교차 곱이 영인 것과 그 평면이 평행하고, 따라서 비-교차 또는 완전히 일치함은 필요충분 조건입니다).

표현식의 나머지 부분은 그 직선 위의 임의의 점을 찾음으로써 도달됩니다. 그렇게 하기 위해, 공간에서 임의의 점이 ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ 으로 쓸 수 있음을 생각해 보십시오, 왜냐하면 $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ 는 기저(basis)이기 때문입니다. 우리는 두 평면 (즉, 교차점)에 있는 점을 찾기를 원하므로, 이 방정식을 평면의 각 방정식에 대입하여 $c_{1}$ 과 $c_{2}$ 에 대해 풀릴 수 있는 두 개의 연립 방정식을 얻습니다.

만약 우리가 추가적으로 ${\boldsymbol {n}}_{1}$ and ${\boldsymbol {n}}_{2}$ 가 직교-정규(orthonormal)임을 가정하면 원점에서 교차 직선 위의 가장 가까운 점은 ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ 입니다. 만약 이것은 그 경우가 아니면, 보다 복잡한 절차가 사용되어야 합니다.^[8]

Dihedral angle

$\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ and $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 에 의해 설명된 두 개의 교차하는 평면이 주어지면, 그들 사이에 이면 각도(dihedral angle)는 그들 법선 방향 사이의 각도 $\alpha$ 로 정의됩니다:

\cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.

Planes in various areas of mathematics

친숙한 기하학적(geometric) 구조 외에도, 보통의 내부 곱에 관한 등거리-변환(isometry)인 동형(isomorphism)과 함께, 평면은 다양한 다른 수준의 추상화(abstraction)에서 보일 수 있습니다. 각 추상화 수준은 특정 카테고리(category)에 해당합니다.

한 극단에서, 모든 기하학적 및 메트릭(metric) 개념은 토폴로지적(topological) 평면을 떠나기 위해 버려질 수 있으며, 토폴로지적 평면은 근접성의 개념을 유지하지만 거리를 가지지 않는 이상화된 호모토피적으로(homotopically) 자명한 무한 고무 시트로 생각될 수 있습니다. 토폴로지적 평면은 선형 경로의 개념을 가지지만, 직선의 개념은 가지지 않습니다. 토폴로지적 평면 또는 이에 상응하는 열린 디스크는 낮은-차원 토폴로지(low-dimensional topology)로 분류된 표면(surfaces) (또는 2-다양체)을 구성하기 위해 사용되는 기본 토폴로지적 이웃입니다. 토폴로지적 평면의 동형은 모두 연속(continuous) 전단사(bijection)입니다. 토폴로지적 평면은 평면 그래프(planar graphs)와 네 가지 색깔 정리(four color theorem)와 같은 결과를 다루는 그래프 이론(graph theory)의 가지에 대해 자연스러운 맥락입니다.

평면은 역시 아핀 공간(affine space), 그것의 동형이 평행이동과 비-특이 선형 맵의 조합으로 보일 수 있습니다. 이 관점에서, 거리가 없지만, 임의의 직선 위에 공선성(collinearity)과 거리의 비율이 유지됩니다.

미분 기하학(Differential geometry)은 평면을 2차원 실수 매니폴드(manifold), 미분 구조(differential structure)와 제공되는 토폴로지적 평면으로 봅니다. 이 경우에도, 거리의 개념은 없지만, 이제 맵의 매끄러움의 개념, 예를 들어 미분-가능(differentiable) 또는 매끄러운(smooth) 경로 (적용된 차동 구조 유형에 따라 다름)가 있습니다. 이 경우 동형은 선택된 미분-가능성의 차수를 가진 전단사입니다.

추상화의 반대 방향에서, 우리는 기하학적 평면에 호환 가능한 필드 구조를 적용할 수 있으며, 복소 평면(complex plane)과 복소 해석학(complex analysis)의 주요 영역을 생성합니다. 복소 필드는 오직 고정된 실수 직선을 그대로 두는 동형, 항등원과 켤레(conjugation)를 가집니다.

실제 경우와 같은 방식에서, 평면은 역시 가장 단순한, 일-차원 (복소수에 걸쳐) 복소 매니폴드(complex manifold)로 볼 수 있으며, 때때로 복소 직선이라고 불립니다. 어쨌든, 이러한 관점은 평면을 2-차원 실수 매니폴드로의 경우와 극명하게 대조됩니다. 동형은 모두 복소수 평면의 등각(conformal) 전단사이지만, 유일한 가능성은 복소에 의한 곱셈과 평행-이동의 합성에 해당하는 맵입니다.

게다가, 유클리드 기하학 (모든 곳에서 영 곡률(curvature)을 가짐)은 평면이 가질 수 있는 유일한 기하학이 아닙니다. 평면은 입체 투영(stereographic projection)을 사용함으로써 구형 기하학(spherical geometry)을 제공할 수 있습니다. 이것은 평면에 구를 배치하고 (마치 바닥에 공처럼), 꼭대기 점을 제거하고, 이 점에서 평면에 구를 투영하는 것으로 생각될 수 있습니다. 이것은 지구 표면의 일부의 평면 지도를 만드는 데 사용될 수 있는 투영법 중 하나입니다. 결과 기하학은 일정한 양의 곡률을 가집니다.

대안적으로, 평면은 역시 쌍곡 평면(hyperbolic plane)을 제공하는 그것에 일정한 음의 곡률을 제공하는 메트릭을 제공할 수 있습니다. 후자의 가능성은 둘의 공간 차원과 하나의 시간 차원이 있는 단순화된 경우에서 특수 상대성(special relativity)에서 응용 프로그램을 찾습니다. (쌍곡 평면은 삼-차원 민코프스키 공간(Minkowski space)에서 시간꼴(timelike) 초표면(hypersurface)입니다.)

Topological and differential geometric notions

평면의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)는 구(sphere)와 동형입니다 (입체 투영(stereographic projection)을 참조하십시오); 열린 디스크는 "북극"이 없는 구와 동형입니다; 그 점을 추가하면 (컴팩트) 구를 완성합니다. 이 컴팩트화의 결과는 리만 구(Riemann sphere) 또는 복소(complex) 투영 직선(projective line)으로 참조되는 매니폴드(manifold)입니다. 유클리드 평면에서 점이 없는 구로의 투영은 미분-동형(diffeomorphism)이고 심지어 등각 맵(conformal map)입니다.

평면 자체는 열린 디스크(disk)에 대한 동형 (및 미분-동형)입니다. 쌍곡 평면(hyperbolic plane)에 대해, 그러한 미분-동형은 등각이지만, 유클리드 평면에 대해 그렇지 않습니다.

Notes

^ Eves 1963, p. 19
^ Joyce, D.E. (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7, Clark University, retrieved 8 August 2009
^ Anton 1994, p. 155
^ Anton 1994, p. 156
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, retrieved 2009-08-08
^ Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III
^ To normalize arbitrary coefficients, divide each of a, b, c and d by ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ (which can not be 0). The "new" coefficients are now normalized and the following formula is valid for the "new" coefficients.
^ Plane-Plane Intersection - from Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. Retrieved 2013-08-20.

References

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, vol. I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

External links

"Plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Plane". MathWorld.
"Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.

[1] Eves 1963, p. 19

[2] Joyce, D.E. (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7, Clark University, retrieved 8 August 2009

[3] Anton 1994, p. 155

[4] Anton 1994, p. 156

[Weisstein2009-5] Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, retrieved 2009-08-08

[PaulsPlanes-6] Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III

[7] To normalize arbitrary coefficients, divide each of a, b, c and d by ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ (which can not be 0). The "new" coefficients are now normalized and the following formula is valid for the "new" coefficients.

[8] Plane-Plane Intersection - from Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. Retrieved 2013-08-20.

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