Coordinate vector

선형 대수(linear algebra)에서, 좌표 벡터(coordinate vector)는 특정 순서 기저(ordered basis)의 관점에서 벡터를 설명하는 숫자의 순서화된 목록으로 벡터의 표시입니다.^[1] 좌표는 순서화된 기저를 기준으로 항상 지정됩니다. 기저와 그것과 결합된 좌표 표시는 벡터 공간(vector space)과 선형 변환(linear transformation)을 열 벡터(column vector), 행 벡터(row vector), 및 행렬(matrices)로 구체적으로 실현시키는 것을 허용합니다; 따라서, 그것들은 계산에서 유용합니다.

좌표 벡터의 아이디어는, 아래에 설명하는 것처럼, 무한-차원 벡터 공간에 대해 역시 사용될 수 있습니다.

Definition

V를 필드(field) F에 걸쳐 차원(dimension) n의 벡터 공간(vector space)으로 놓고 다음을 V에 대해 순서화된 기저로 놓습니다:

B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}

.

그런-다음 모든 각 $v\in V$ 에 대해, v와 같은 기저 벡터의 고유한 선형 조합(linear combination)이 있습니다:

v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.

B에 관한 v의 좌표 벡터는 다음 좌표(coordinates)의 수열(sequence)입니다:

[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).

이것은 역시 B에 관한 v의 표시, 또는 v의 B 표시라고 불립니다. α-s는 v의 좌표라고 불립니다. 기저의 순서는 여기서 중요하게 되는데, 왜냐하면 그것이 계수가 좌표 벡터에서 목록화되는 순서를 결정하기 때문입니다.

유한-차원 벡터 공간의 좌표 벡터는 열(column) 또는 행 벡터(row vector)로 행렬(matrices)에 의해 나타낼 수 있습니다. 위의 표기법에서, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}

및

[v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}

여기서 $[v]_{B}^{T}$ 는 행렬 $[v]_{B}$ 의 전치(transpose)입니다.

The standard representation

우리는 모든 각 벡터를 그것의 좌표 표시: $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$ 로 취하는 B에 관한 V의 표준 표시라고 불리는 함수 $\phi _{B}$ 를 정의함으로써 위의 변환을 기계화할 수 있습니다. 그런-다음 $\phi _{B}$ 는 V에서 Fⁿ로의 선형 변환입니다. 사실, 그것은 동형(isomorphism)이고, 그것의 역(inverse) $\phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V$ 는 간단히 다음입니다:

\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.

대안적으로, 우리는 $\phi _{B}^{-1}$ 가 동형임을 인식되는 시작으로부터 위의 함수로 $\phi _{B}^{-1}$ 를 정의하고, $\phi _{B}$ 를 그것의 역으로 정의할 수 있습니다.

Examples

Example 1

P3를 많아야 차수 3의 모든 대수적 다항식(polynomials)의 공간으로 놓습니다 (즉 x의 가장 높은 지수가 3일 수 있습니다). 이 공간은 선형이고 다음 다항식에 의해 확장됩니다:

B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}

다음을 매칭하면

1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}

다음 다항식에 대응하는 좌표 벡터는

p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}

다음입니다:

{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.

해당 표시에 따르면, 우리가 D로 표식해야 하는 미분 연산자(differentiation operator) d/dx는 다음 행렬(matrix)에 의해 표현될 것입니다:

Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

해당 방법을 사용하여 역가능성(invertibility), 에르미트 또는 반-에르미트 또는 둘 다 아님, 스펙트럼 및 고윳값(eigenvalues), 등과 같은 연산자의 속성을 쉽게 탐색할 수 있습니다.

Example 2

스핀(spin) 고유상태(eigenstate)를 벡터 좌표로 변환할 때 스핀 연산자를 나타내는 파울리 행렬(Pauli matrices).

Basis transformation matrix

B와 C를 벡터 공간 V의 둘의 다른 기저로 놓고, 기저 벡터 b₁, b₂, …, b_n의 C 표시로 구성되는 열을 가지는 행렬(matrix) $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}$ 을 다음으로 표시하도록 놓습니다:

\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}

이 행렬은 B에서 C로의 기저 변환 행렬로 참조됩니다. 그것은 $F^{n}$ 에 걸쳐 자기동형(automorphism)으로 고려될 수 있습니다. B에서 표현된 임의의 벡터 v는 다음처럼 C에서 표시로 변환될 수 있습니다:

\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.

기저의 변환 아래에서, 변환 행렬, M에서 위첨자와 좌표 벡터, v에서 아래첨자는 같은 것이고, 겉보기에 취소하여, 남아있는 아래첨자를 남김에 주의하십시오. 이것이 기억 보조 역할을 할 수 있지만, 그러한 취소, 또는 유사한 수학 연산이 발생하지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.

Corollary

행렬 M은 역가능 행렬(invertible matrix)이고 M⁻¹는 C에서 B로의 기저 변환 행렬입니다. 다시 말해서,

{\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}

Infinite-dimensional vector spaces

V가 필드 F에 걸쳐 무한-차원 벡터 공간이라고 가정합니다. 만약 그 차원이 κ이면, V에 대해 κ 원소의 일부 기저가 있습니다. 순서가 선택된 후, 기저는 순서화된 기저로 고려될 수 있습니다. V의 원소는 기저에 있는 원소의 유한 선형 조합으로, 앞에서 설명한 대로 정확하게 고유한 좌표 표시를 생성합니다. 유일한 변경 사항은 좌표에 대해 인덱싱 집합이 유한하지 않다는 것입니다. 주어진 벡터 v는 기저 원소의 유한 선형 조합이므로, v에 대해 좌표 벡터의 오직 비-영 엔트리가 v를 나타내는 선형 조합의 비-영 계수일 것입니다. 따라서 v에 대해 좌표 벡터는 유한하게 많은 엔트리를 제외하고는 영입니다.

무한-차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 유한 차원의 경우와 유사하게 무한 행렬(infinite matrices)로 모델링될 수 있습니다. V에서 V로의 변환의 특별한 경우는 완전 선형 링(full linear ring) 기사에 설명되어 있습니다.

References

^ Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[AntonRorres2010-1] Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[1]