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Counterexample

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논리(logic)에서 (특히 수학(mathematics)과 철학(philosophy)에 대한 그것의 응용에서), 반대-예제(counterexample)는 제안된 일반적인 규칙 또는 법칙에 대한 예외이고, 종종 보편적인 명제를 반증하는 예제로 나타납니다.[1][2] 예를 들어, 명제 "모든 학생은 게으르다"는 특정 속성 (게으름)이 모든 학생에 대해 보유한다는 주장을 하는 보편적인 명제입니다. 따라서, 게으르지 않은 (예를 들어, 열심히 일하는) 임의의 학생은 해당 명제에 대한 반대-예제가 될 것입니다. 반대-예제는 따라서 보편적인 정량화(universal quantification) ("모든 것에 대한" 명제)의 허위성의 특정 사례입니다.[3]

수학에서, 용어 "반대-예제"는 역시 정리의 완전한 가설의 필요성을 설명하는 예제를 참조하기 위해 (약간의 남용에 의해) 사용됩니다. 이것은 가설의 일부가 만족되지 않고 정리의 결론이 유지되지 않는 경우를 고려함으로써 가장 자주 행해집니다.[citation needed]

In mathematics

수학에서, 반대-예제는 가능한 정리의 경계를 입증하기 위해 종종 사용됩니다. 측정 측정이 거짓임을 보이기 위해 반대-예제를 사용함으로써, 수학적 연구자들은 그런-다음 맹목적인 골목으로 내려가는 것을 피할 수 있고 추측을 입증-가능한 정리로 만들기 위해 수정하는 법을 배울 수 있습니다. 때때로 수학적 발전은 주로 정리와 반대-예제를 찾고 ( 및 증명하는 것)으로 구성된다고 말합니다. [4]

Rectangle example

수학자가 기하학(geometry)과 모양(shape)을 연구하고 있고, 그녀는 그것들에 대한 특정 정리를 증명하고 싶다고 가정해 보십시오. 그녀는 "모든 직사각형(rectangles)은 정사각형(squares)이다"라고 추측(conjecture)하고, 그녀는 이 명제가 참인지 거짓인지 여부를 알고 싶어합니다.

이 경우에서, 그녀는 연역적 추론[(deductive reasoning)을 사용하여 명제의 진실을 증명(prove)하려고 시도하거나, 만약 그녀가 그것이 거짓이라고 의심되면 명제의 반대-예제를 찾으려고 시도할 수 있습니다. 후자의 경우에서, 반대-예제는 길이 5의 두 변과 길이 7의 두 변을 가진 직사각형과 같이 정사각형이 아닌 직사각형이 될 것입니다. 어쨌든, 정사각형이 아닌 직사각형을 찾았음에도 불구하고, 그녀가 찾았었던 모든 직사각형은 네 변을 가집니다. 그녀는 그런-다음 "모든 직사각형은 네 변을 가집니다"라는 새로운 추측을 만듭니다. 이것은 그녀의 원래 추측보다 논리적으로 더 약한데, 왜냐하면 모든 각 정사각형은 네 변을 가지지만, 모든 각 네-변 모양이 정사각형은 아니기 때문입니다.

위의 예제는 수학자가 반례에 직면하여 그녀의 추측을 약화시킬 수 있는 방법을 – 단순화된 방법으로 – 설명했지만, 반대-예제는 역시 특정 가정과 가설(hypothesis)의 필요성을 시연하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 잠시 후, 위의 수학자가 "정사각형이고 같은 길이의 네 변을 가진 모든 모양은 정사각형이다"라는 새로운 추측에 정착했다고 가정해 보십시오. 이 추측은 가설의 두 부분을 가집니다: 그 모양은 '사각형'이어야 하고 '같은 길이의 네 변'을 가져야 한다. 수학자는 그런-다음 만약 그녀가 두 가정 중 하나를 제거하고, 그녀의 추측의 진실을 여전히 유지할 수 있는지 알고 싶어합니다. 이것은 그녀가 다음 두 명제의 진실을 확인할 필요가 있음을 의미합니다:

  1. "직사각형인 모든 모양은 정사각형이다".
  2. "같은 길이의 네 변을 가지는 모든 모양은 정사각형이다".

(1)에 대한 반대-예제는 이미 위에 주어졌었고, (2)에 대한 반대-예제는 비-정사각형 마름모(rhombus)입니다. 따라서, 수학자는 이제 두 가정이 실제로 필요했음을 압니다.

Other mathematical examples

See also: Counterexamples in topology and Minimal counterexample

명제 "모든 소수(prime number)는 홀수(odd numbers)이다"에 대한 반대-예제는 숫자 2인데, 왜냐하면 그것은 소수이지만 홀수가 아니기 때문입니다.[2] 숫자 7 또는 10 중 어느 것도 반대-예제가 아닌데, 왜냐하면 그것들 중 어는 것도 명제에 모순되기에 충분하지 않기 때문입니다. 이 예제에서, 2는 사실 명제에 대한 유일한 가능한 반대-예제이지만, 그것만으로도 명제에 모순되는 것으로 충분합니다. 비슷한 방식에서, 명제 "모든 자연수(natural number)는 소수(prime) 또는 합성수(composite)이다"는 반대-예제로 숫자 1을 가지는데, 왜냐하면 1이 소수도 합성수도 아니기 때문입니다.

오일러의 거듭제곱의 합 추측(Euler's sum of powers conjecture)은 반대-예제에 의해 반증되었습니다. 그것은 적어도 n n번째 거듭제곱은 또 다른 n번째 거듭제곱과 같기 위해 합하는 것이 필요하다고 주장했습니다. 이 추측은 1966년에, n = 5를 포함하는 반대-예제와 함께, 반증되었습니다;[5] 다른 n = 5 반대-예제는 지금 알려져 있으며, 마찬가지로 일부 n = 4 반대-예제가 알려져 있습니다.[6]

비트센하우슨의 반대-예제(Witsenhausen's counterexample)는 상태 변수(state variable)의 전화의 이차 손실 함수(loss function)와 선형 방정식이 선형인 최적 제어 법칙을 암시한다는 것이 (제어 문제(control problems)에 대해) 항상 참은 아님을 보여줍니다.

다른 예제는 세이퍼트 추측(Seifert conjecture), 폴리야 추측(Pólya conjecture), 힐베르트의 14번째 문제(Hilbert's fourteenth problem)의 추측, 테이트의 추측(Tait's conjecture), 및 가니아 추측(Ganea conjecture)의 반증을 포함합니다.

In philosophy

철학(philosophy)에서, 반대-예제는 보통 특정 철학적 입장이 특정 경우에 적용되지 않음을 보임으로써 잘못되었다고 주장하기 위해 사용됩니다. 대안적으로, 첫 번째 철학자는 반례가 더 이상 적용되지 않도록 자신의 주장을 수정할 수 있습니다; 이것은 수학자가 반대-예제때문에 추측을 수정할 때와 유사합니다.

예를 들어, 플라톤(Plato)의 Gorgias에서, 캘리클스(Callicles)는, 어떤 사람들이 다른 사람들보다 "더 낫다"는 말의 의미를 정의하려고 노력하며, 더 강한 사람들이 더 낫다고 주장합니다.

그러나 소크라테스(Socrates)는, 비록 대중이 더 나쁜 성격의 원시적 얼굴(prima facie)이지만, 그들의 숫자의 힘 때문에, 일반 군중의 계급이 고유한 귀족의 계급보다 더 강하다고 대답합니다. 따라서 소크라테스는 캘리클스가 아마도 예상하지 않았던 영역 – 개별적인 사람보다는 사람들의 그룹을 살펴봄으로써 캘리클스의 주장에 대한 반대-예제를 제안했습니다.

캘리클스는 소크라테스의 반대-예제에 도전할 수 있으며, 일반 군중이 귀족보다 실제로 더 낫다는 것, 또는 심지어 그들의 큰 숫자에서, 그들이 여전히 더 강하지 않다고 주장할 수 있습니다. 그러나 만약 캘리클스가 반대-예제를 받아들이면, 그는 그의 주장을 철회하거나, 반례가 더 이상 적용되지 않도록 수정해야 합니다. 예를 들어, 그는 개인만을 참조하도록 자신의 주장을 수정할 수 있으며, 일반 사람들을 군중이 아닌 개인의 집합으로 생각하도록 요구할 수 있습니다.

그럴 때, 그는 "더 강함" 대신에 "더 현명함"이라고 말하는 자신의 주장을 수정하며, 수치적 우월성이 사람들을 더 현명하게 만들 수 없다고 주장합니다.

See also

References

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Counterexample". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-28.
  2. ^ a b "Mathwords: Counterexample". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-28.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Counterexample". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-28.
  4. ^ "What Is Counterexample?". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-11-28.
  5. ^ Lander, Parkin (1966). "Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 72. Americal Mathematical Society: 1079. doi:10.1090/s0002-9904-1966-11654-3. ISSN 0273-0979. Retrieved 2 August 2018.
  6. ^ Elkies, Noam (October 1988). "On A4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835.

Further reading

External links

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