Square

Original article: w:Square

This article is about the polygon. For other uses, see Square (disambiguation).

Square
A regular quadrilateral
Type	Regular polygon
Edges and vertices	4
Schläfli symbol	{4}
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	Dihedral (D4), order 2×4
Internal angle (degrees)	90°
Properties	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 정사각형은 그것이 넷의 같은 변과 넷의 같은 각도(angle) (90-도(degree) 각도, π/2 라디안 각도, 또는 직각(right angles))를 가짐을 의미하는 정규(regular) 사변형(quadrilateral)입니다. 그것은 역시 둘의 인접한 변의 같은 길이를 가지는 직사각형(rectangle)으로 정의될 수 있습니다. 꼭짓점(vertices) ABCD를 갖는 정사각형은 $\square$ ABCD로 표시됩니다.

Characterizations

볼록(convex) 사변형(quadrilateral)이 정사각형인 것과 그것이 다음 중 임의의 하나인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

• 둘의 인접한 같은 변을 갖는 직사각형(rectangle)
• 직각 꼭짓점 각도를 갖는 마름모(rhombus)
• 모든 같은 각도를 갖는 마름모(rhombus)
• 하나의 직각 꼭짓점 각도와 둘의 인접한 같은 변을 갖는 평행사변형(parallelogram)
• 넷의 같은 변과 넷의 직각(right angle)을 갖는 사변형(quadrilateral)
• 대각선이 같고, 서로 수직 이등분인 사변형 (즉, 같은 대각선을 갖는 마름모)
• 그것의 넓이가 $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2})$인 연속적인 변 a, b, c, d를 갖는 복록 사변형.

Properties

정사각형은 마름모(rhombus) (같은 변, 반대쪽 같은 각도), 연(kite) (두 쌍의 인접한 같은 변), 사다리꼴(trapezoid) (한 쌍의 반대쪽 변 평행), 평행사변형(parallelogram) (모든 반대쪽 변 평행), 사변형(quadrilateral) 또는 네모꼴 (넷의-변 다각형), 및 직사각형(rectangle) (반대쪽 변 같고, 직각)의 특별한 경우이고, 따라서 모든 이들 모양의 모든 속성, 즉 다음을 가집니다:

• 정사각형의 대각선(diagonal)은 서로를 이등분(bisect)하고 90°에서 만납니다.
• 정사각형의 대각선은 그것의 각도를 이등분합니다.
• 정사각형의 반대쪽 변은 둘 다 평행(parallel)이고 길이에서 같습니다.
• 정사각형의 모든 넷의 각도는 같습니다 (각각은 360°/4 = 90°, 직각입니다).
• 정사각형의 모든 넷의 변은 같습니다.
• 정사각형의 대각선은 같습니다.
• 정사각형은 n-초입방체(hypercubes) 및 n-올소플렉스(orthoplex)의 가족의 n=2 경우입니다.
• 정사각형은 슐래플리 기호(Schläfli symbol) {4}를 가집니다. 잘린(truncated) 정사각형, t{4}는 팔각형(octagon), {8}입니다. 교대된(alternated) 정사각형, h{4}는 이각형(digon), {2}입니다.

Perimeter and area

The area of a square is the product of the length of its sides.

그것의 네 변이 길이 $\ell$을 가지는 정사각형의 둘레(perimeter)는 다음입니다:

$P=4\ell$

그리고 넓이(area) A는 다음입니다:

$A=\ell ^{2}.$

고전 시대(classical times)에서, 두 번째 거듭제곱은 위의 공식에서 처럼 정사각형의 넓이의 관점에서 설명되었습니다. 이것은 두 번째 거듭제곱을 올리는 것을 의미하기 위해 용어 제곱(square)의 사용으로 이어졌습니다.

그 넓이는 역시 다음에 따라 대각선 d를 사용하여 게산될 수 있습니다:

$A={\frac {d^{2}}{2}}.$

둘레반지름(circumradius) R의 관점에서, 정사각형의 넓이는 다음입니다:

$A=2R^{2};$

원의 넓이가 $\pi R^{2}$이기 때문에, 정사각형은 그것의 둘레접된 원(circumscribed circle)의 $2/\pi \approx 0.6366$를 채웁니다.

내반지름(inradius) r의 관점에서, 정사각형의 넓이는 다음입니다:

$A=4r^{2};$

따라서 내접된 원(inscribed circle)의 넓이는 그 정사각형의 넓이의 $\pi /4\approx 0.7854$입니다.

그것이 정규 다각형(regular polygon)이기 때문에, 정사각형은 주어진 넓이를 둘러싸는 최소 둘레의 사변형입니다. 이중적으로, 정사각형은 주어진 둘레 내에서 가장 큰 넓이를 포함하는 사변형입니다. 실제로, 만약 A와 P가 사변형에 의해 둘러싸인 넓이와 둘레이면, 다음 같은-둘레 부등식(isoperimetric inequality)이 유지됩니다:

$16A\leq P^{2}$

여기서 상등인 것과 그 사변형이 정사각형인 것은 필요충분 조건입니다.

Other facts

• 정사각형의 대각선은 ${\sqrt {2}}$ (약 1.414) 곱하기 정사각형의 한 변의 길이입니다. 이 값은, 2의 제곱근(square root of 2) 또는 피타고라스의 상수로 알려져 있으며, 무리수(irrational)임이 입증된 첫 번째 숫자입니다.
• 정사각형은 역시 각도를 이등분하는 같은 대각선을 갖는 평행사변형(parallelogram)으로 정의될 수 있습니다.
• 만약 그림이 직사각형 (직각)이고 마름모 (같은 가장자리 길이) 둘 다이면, 그것은 정사각형입니다.
• 정사각형은 같은 둘레를 갖는 임의의 다른 사변형보다 더 큰 넓이를 가집니다.
• 정사각형 타일링(square tiling)은 평면의 셋의 정규 타일링(regular tilings) 중 하나입니다 (다른 것들은 등변 삼각형(equilateral triangle)과 정규 육각형(regular hexagon)입니다).
• 정사각형은 이 차원에서 폴리토프의 두 가족: 초입방체(hypercube)와 교차-폴리토프(cross-polytope) 안에 있습니다. 정사각형에 대해 슐래플리 기호(Schläfli symbol)는 {4}입니다.
• 정사각형은 고도로 대칭적인 대상입니다. 넷의 반사 대칭(reflectional symmetry)의 직선이 있고 그것은 (90°, 180°, 및 270°를 통한) 순서 4의 회전 대칭(rotational symmetry)을 가집니다. 그것의 대칭 그룹(symmetry group)은 이면체 그룹(dihedral group) D₄입니다.
• 만약 정사각형 ABCD의 내접된 원이 AB 위에 접점 E, BC 위에 F, CD 위에 G, 및 DA 위에 H를 가지면, 내접된 원 위에 임의의 점 P에 대해, 다음입니다:

$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.$

• 만약 $d_{i}$가 평면에서 임의적인 점에서 정사각형의 i-번째 꼭짓점까지의 거리이고 $R$은 정사각형의 둘레반지름(circumradius)이면, 다음입니다:

${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.$

• 만약 $L$과 $d_{i}$가 평면에서 임의적인 점에서 정사각형의 도형중심과 각각 그것의 넷의 꼭짓점까지의 거리이면, 다음입니다:

$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})$

및

$d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),$

여기서 $R$은 정사각형의 둘레반지름입니다.

Coordinates and equations

$|x|+|y|=2$ plotted on Cartesian coordinates.

수직과 수평 변, 원점에 중심을 두고 변 길이 2를 갖는 정사각형의 꼭짓점(vertices)에 대해 좌표는 (±1, ±1)이고, 반면에 이 정사각형의 내부는 −1 < x_i < 1와 −1 < y_i < 1를 갖는 모든 점 (x_i, y_i)로 구성됩니다. 다음 방정식은

$\max(x^{2},y^{2})=1$

이 정사각형의 경계를 지정합니다. 이 방정식은 "x² 또는 y²가, 어느 것이 더 클 때마다, 1과 같음"을 의미합니다. 이 정사각형의 둘레반지름(circumradius) (정사각형의 꼭짓점을 통해 그려진 원의 반지름)은 정사각형의 대각선의 절반이고, ${\sqrt {2}}$와 같습니다. 그런-다음 둘레원(circumcircle)은 다음 방정식을 가집니다:

$x^{2}+y^{2}=2.$

대안적으로, 다음 방정식은

$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.$

역시 중심 좌표(coordinates) (a, b)와 r의 수평 또는 수직 반지름을 갖는 정사각형의 경계를 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 정사각형은 따라서 L₁ 거리 메트릭에 따른 토폴로지적 공(topological ball)의 모양입니다.

Construction

다음 애니메이션은 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)를 사용하여 정사각형을 구성하는 방법을 보여줍니다. 이것은 4 = 2², 이의 거듭제곱(power of two)으로 가능합니다.

Square at a given circumcircle

Square at a given side length,
right angle by using Thales' theorem

Square at a given diagonal

Symmetry

The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices (d for diagonal) or edges (p for perpendiculars) Cyclic symmetries in the middle column are labeled as g for their central gyration orders. Full symmetry of the square is r8 and no symmetry is labeled a1.

정사각형은 Dih₄ 대칭, 순서(order) 8을 가집니다. 2 이면체 부분그룹: Dih₂, Dih₁이 있고, 3 순환(cyclic) 부분그룹: Z₄, Z₂, 및 Z₁이 있습니다.

정사각형은 많은 더 낮은 대칭 사변형의 특별한 경우입니다:

• 두 인접한 같은 변을 갖는 직사각형
• 넷의 같은 변과 넷의 직각(right angle)을 갖는 사변형
• 하나의 직각과 두 인접한 같은 변을 갖는 평행사변형
• 직각을 갖는 마름모
• 같은 모든 각도를 갖는 마름모
• 같은 대각선을 갖는 마름모

이들 6 대칭은 정사각형에 대한 8 구별되는 대칭을 나타냅니다. 존 콘웨이(John Conway)는 문자와 그룹 순서에 의해 이것들을 분류합니다.

각 부분그룹 대칭은 불규칙한 사변형(quadrilateral)에 대해 하나 이상의 자유도를 허용합니다. r8은 정사각형의 완전한 대칭이고, a1은 대칭이 아닙니다. d4는 직사각형(rectangle)의 대칭이고, p4는 마름모(rhombus)의 대칭입니다. 이것들 두 형식은 서로의 이중(duals)이고, 정사각형의 절반 대칭 순서를 가집니다. d2는 이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid)의 대칭이고, p2는 연(kite)의 대칭입니다. g2는 평행사변형(parallelogram)의 기하학을 정의합니다.

오직 g4 부분그룹이 자유도를 가지지 않지만, 방향화된 가장자리(directed edge)를 갖는 정사각형으로 보일 수 있습니다.

Squares inscribed in triangles

Main article: Triangle § Squares

모든 각 예각 삼각형(acute triangle)은 셋의 내접된(inscribed) 정사각형을 가집니다 (정사각형의 모든 넷의 꼭짓점이 삼각형의 한 변 위에 놓이므로, 그것들 중 둘은 같은 변 위에 놓이고 따라서 정사각형의 한 변은 삼각형의 한 변의 일부와 일치함을 만족하는 그것 내부의 정사각형). 직각 삼각형(right triangle)에서 둘의 정사각형이 일치하고 삼각형의 직각에 꼭짓점에 꼭짓점을 가지므로, 직각 삼각형은 오직 둘의 구별되는 내접된 정사각형을 가집니다. 둔각 삼각형(obtuse triangle)은 삼각형의 가장 긴 변의 일부와 일치하는 한 변을 갖는 오직 하나의 내접된 정사각형을 가집니다.

정사각형에 의해 채워진 삼각형의 넓이의 분수는 1/2보다 크지 않습니다.

Squaring the circle

고대(ancient) 기하학자들(geometers)에 의해 제안된 원의 정사각형화는 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)와 함께 오직 유한 단계의 숫자를 사용함으로써 주어진 원(circle)과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 구성하는 문제입니다.

1882년에, 그 임무는 린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)의 결과로 불가능한 것으로 입증되었으며, 이것은 파이(pi) (π)가 대수적 무리수(algebraic irrational number)가 아니라 초월적 숫자(transcendental number)임을 입증합니다; 즉, 그것은 유리(rational) 계수를 갖는 임의의 다항식(polynomial)의 근(root)이 아닙니다.

Non-Euclidean geometry

비-유클리드 기하학에서, 정사각형은 보다 일반적으로 4 같은 변과 같은 각도를 갖는 다각형입니다.

구형 기하학(spherical geometry)에서, 정사각형은 그것의 가장자리가 같은 각도에서 만나는 같은 거리의 큰 원(great circle) 호인 다각형입니다. 평면 기하학에서 정사각형과 달리, 그러한 정사각형의 각도는 직각보다 큽니다. 더 큰 구형 사각형은 더 큰 각도를 가집니다.

쌍곡형 기하학(hyperbolic geometry)에서, 직각을 갖는 정사각형은 존재하지 않습니다. 오히려, 쌍곡형 기하학에서 정사각형은 직각보다 작은 각도를 가집니다. 더 큰 쌍곡형 정사각형은 더 작은 각도를 가집니다.

Examples:

Two squares can tile the sphere with 2 squares around each vertex and 180-degree internal angles. Each square covers an entire hemisphere and their vertices lie along a great circle. This is called a spherical square dihedron. The Schläfli symbol is {4,2}.

Six squares can tile the sphere with 3 squares around each vertex and 120-degree internal angles. This is called a spherical cube. The Schläfli symbol is {4,3}.

Squares can tile the hyperbolic plane with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. The Schläfli symbol is {4,5}. In fact, for any n ≥ 5 there is a hyperbolic tiling with n squares about each vertex.

Crossed square

Crossed-square

교차된 정사각형은 정사각형의 팻시딩(faceting)으로, 정사각형의 둘의 반대쪽 가장자리를 제거하고 그것의 두 대각선을 다시 연결함으로써 생성된 자체-교차하는 다각형입니다. 그것은 정사각형, Dih₂, 순서 4의 대칭 절반을 가집니다. 그것은 정사각형과 같은 꼭짓점 배열(vertex arrangement)을 가지고, 꼭짓점-전이적(vertex-transitive)입니다. 그것은 공통 꼭짓점을 갖는 둘의 45-45-90 삼각형(45-45-90 triangle)으로 나타나지만, 기하학적 교차점은 꼭짓점으로 고려되지 않습니다.

교차된 정사각형은 때때로 활 타이(bow tie) 또는 나비(butterfly)에 비유됩니다. 교차된 직사각형(crossed rectangle)은 직사각형의 팻시딩으로, 교차된 사변형(crossed quadrilateral)의 두 가지 특별한 경우와 관련이 있습니다.

교차된 정사각형의 내부는 시계방향 또는 반시계방향으로 감기는 방향에 따라 각 삼각형에서 ±1의 다각형 밀도(polygon density)를 가질 수 있습니다.

정사각형과 교차된 정사각형은 공통으로 다음 속성을 가집니다:

• 반대쪽 변은 길이에서 같습니다.
• 둘의 대각선은 길이에서 같습니다.
• 그것은 둘의 반사적 대칭의 직선을 가지고 (180°를 통한) 순서 2의 회전적 대칭을 가집니다.

그것은 균등 별 다면체, tetrahemihexahedron의 꼭짓점 도형(vertex figure)에 존재합니다.

Graphs

3-simplex (3D)

K₄ 완전한 그래프(complete graph)는 종종 연결된 모든 6 가능한 가장자리를 갖는 정사각형으로 그려지고, 따라서 그려진 둘의 대각선을 갖는 정사각형으로 나타납니다. 이 그래프는 역시 정규 3-심플레스(simplex) (사면체(tetrahedron))의 4 꼭짓점과 6 가장자리의 직교그래픽 투영(orthographic projection)을 나타냅니다.

See also

• Cube
• Pythagorean theorem
• Square lattice
• Square number
• Square root
• Squaring the square
• Squircle
• Unit square

External links

• Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Definition and properties of a square With interactive applet
• Animated applet illustrating the area of a square