Decimal representation

비-음의(non-negative) 실수(real number) $r$ 의 십진 표현(decimal representation)은 단일 분리-기호와 함께 전통적으로 쓰인 십진 자릿수(decimal digit)의 수열(sequence)의 형식에서 표현입니다:

r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots \,,

여기서 $k$ 는 비-음의 정수(nonnegative integer)이고 $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ 는 범위 0, ..., 9에서 정수이며, 이것은 표현의 자릿수라고 불립니다.

이 표현은 무한 합(infinite sum)을 설명합니다:

r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.

$a_{i}$ —점 후의 자릿수—의 수열은 유한일 수 있으며, 이 경우에서 없는 자릿수는 0으로 가정됩니다.

모든 각 비-음의 실수는 적어도 하나의 그러한 표현을 가집니다; 그것이 두 그러한 표현을 가지는 것이 있으며, 하나는 후행하는 무한 수열의 영들을 가지는 것이고, 다른 하나는 후행하는 구의 무한 수열을 가지는 것입니다. 일부 저자는 후행하는 구의 무한 수열을 갖는 십진 표현을 금지하는데 왜냐하면 이것은 비-음의 실수와 십진 표현 사이에 일-대-일 대응을 허용하기 때문입니다.^[1]

정수 $\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}$ 은, 이 가시의 나머지에서 $a 0$ 에 의해 표시되며, $r$ 의 정수 부분이라고 불리고, $a_{i}$ 의 수열은 다음 숫자를 나타냅니다:

0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},

이것은 $r$ 의 분수 부분이라고 불립니다.

Finite decimal approximations

임의의 실수는 유한 십진 표현을 갖는 유리수(rational number)에 의해 임의의 원하는 정확도의 정도에 근사될 수 있습니다.

$x\geq 0$ 을 가정합니다. 그런-다음 모든 각 정수 $n\geq 1$ 에 대해 다음을 만족하는 유한 십진 $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ 이 있습니다:

r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.

증명:

$r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$ 을 정하며, 여기서 $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$ 입니다. 그런-다음 $p\leq 10^{n}x<p+1$ 이고, 그 결과는 모든 변을 $10^{n}$ 로 나눈 것으로부터 따릅니다. ( $r_{n}$ 이 유한 십진 표현을 가진다는 사실은 쉽게 설립됩니다.)

Non-uniqueness of decimal representation and notational conventions

일부 실수 $x$ 는 두 가지 무한 십진 표현을 가집니다. 예를 들어, 숫자 1은 1.000...에 의해 및 0.999...에 의해 같게 표현될 수 있습니다 (여기서 후행하는 0들 또는 9들의 무한 수열은, 각각, "..."에 의해 표현됩니다. 전통적으로, 후행하는 9가 없는 십진 표현이 선호됩니다. 게다가, $x$ 의 표준 십진 표현에서, 십진 점(decimal point) 뒤에 나타나는 후행하는 0의 무한 수열은 만약 $x$ 는 정수이면 십진 점 자체를 따라 생략됩니다.

$x$ 의 십진 확장을 구성하는 것에 대한 특정 절차는 후행하는 구의 문제를 피할 것입니다. 예를 들어, 다음의 알고리듬적 절차는 표준 십진 표현을 제공할 것입니다: $x\geq 0$ 가 주어지면, 우리는 먼저 $a_{0}$ ( $x$ 의 정수 부분)를 $a_{0}\leq x$ (즉, $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ )를 만족하는 가장 큰 정수인 것으로 정의합니다. 만약 $x=a_{0}$ 이면 절차는 종료됩니다. 그렇지 않으면, ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ 에 대해 이미 찾아졌으며, 우리는 귀납적으로 $a_{k}$ 를 다음을 만족하는 가장 큰 정수인 것으로 정의합니다:

$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.\quad \quad (*)$

그 절차는 상등이 $(*)$ 에서 유지됨을 만족하는 $a_{k}$ 가 찾아질 때마다 종료됩니다; 그렇지 않으면, 그것은 십진 자릿수의 무한 수열을 제공하기 위해 무기한 계속됩니다. 그것은 ${\textstyle x=\sup _{k}\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\}}$ ^[2] (전통적으로 $x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ 으로 쓰임)인 것을 보일 수 있으며, 여기서 $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ 이고, 비-음의 정수 $a_{0}$ 가 십진 표기법(decimal notation)에서 표현됩니다. 이 구성은 위의 절차를 $-x>0$ 에 적용하고 $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ 에 의한 결과적인 십진 확장을 표시함으로써 확장됩니다.

Finite decimal representations

비-음의 실수 x의 십진 확장은 영들 (또는 구들)에서 끝날 것과 x가 그의 분모가 형식 2ⁿ5^m의 것인 유리수인 것은 필요충분 조건이며, m과 n은 비-음의 정수입니다.

증명:

만약 x의 십진 확장이 영들에서 끝나거나, 어떤 n에 대해 $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ 이면, x의 분모는 형식 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ의 것입니다.

반대로, 만약 x의 분모가 형식 2ⁿ5^m의 것이면, 어떤 p에 대해 $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ 입니다. x가 형식 $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ 의 것인 동안, 어떤 n에 대해 $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ 입니다. $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$ 에 의해, x는 영들에서 끝날 것입니다.