Defective matrix

선형 대수(linear algebra)에서, 결함-있는 행렬(defective matrix)은 고유벡터의 완전한 기저를 가지지 않고, 따라서 대각화-가능(diagonalizable)이 아닌 정사각 행렬(square matrix)입니다. 특히, n × n 행렬이 결함-있는 것과 그것이 n개의 선형적으로 독립 고유벡터를 가지지 않는 것은 필요충분 조건입니다.^[1] 완전한 기저는 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations)의 결함-있는 시스템과 기타 문제를 해결하는 데 필요한 일반화된 고유벡터(generalized eigenvectors)로 고유벡터를 보강함으로써 형성됩니다.

n × n 결함-있는 행렬은 구별되는 고윳값이 항상 선형적으로 독립 고유벡터를 가지기 때문에 항상 n개의 구별되는 고윳값보다 적게 가집니다. 특히, 결함-있는 행렬은 대수적 중복도 m > 1 (즉, 그것들은 특성 다항식의 중복 근)를 갖는 하나 이상의 고윳값 λ를 가지지만, λ와 결합된 m개의 선형적으로 독립 고유벡터보다 적습니다. 만약 λ의 대수적 중복도가 기하 중복도 (즉, λ와 결합된 선형적으로 독립 고유 벡터의 개수)를 초과하면, λ는 결함-있는 고윳값(defective eigenvalue)이라고 말합니다.^[1] 어쨌든, 대수적 중복도 m을 갖는 모든 각 고윳값은 항상 m개의 선형적으로 독립 일반화된 고유벡터를 가집니다.

에르미트 행렬 (또는 실수 대칭 행렬의 특수한 경우) 또는 유니태리 행렬(unitary matrix)은 결코 결함-있는 것이 아닙니다; 보다 일반적으로, 정규 행렬 (특수한 경우로 에르미트와 유니태리를 포함)은 켤코 결함-있는 것이 아닙니다.

Jordan block

크기 $2\times 2$ 이상의 임의의 비-자명한 조르당 블록(Jordan block) (즉, 완전하게 대각이 아님)은 결함-있는 것입니다. (대각 행렬은 크기 $1\times 1$ 의 모든 자명한 조르당 블록을 갖는 조르당 정규의 특수한 경우이고 결함-있는 것이 아닙니다.) 예를 들어, 다음 $n\times n$ 조르당 블록은

J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},

대수적 중복도 n (또는 같은 고윳값을 갖는 다른 조르당 블록이 있으면 더 큼)을 갖는 고윳값(eigenvalue)을 가지지만, 오직 하나의 구별되는 고유벡터 $Jv_{1}=\lambda v_{1}$ 를 가지며, 여기서 $v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.$ 다른 정식의 기저 벡터 $v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$ 는 $k=2,\ldots ,n$ 에 대해 $Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}$ 임을 만족하는 일반화된 고유벡터의 체인을 형성합니다.