Differentiable function

(수학의 한 분야) 미적분학(calculus)에서, 하나의 실수(real) 변수의 미분-가능 함수(differentiable function)는 그의 도함수(derivative)가 그의 도메인(domain) 안의 각 점에서 존재하는 함수입니다. 결과적으로, 미분-가능 함수의 그래프(graph)는 그의 도메인 안의 각 점에서 (비-수직(vertical)) 접선(tangent line)을 반드시 가져야 하며, 상대적으로 매끄럽고, 임의의 끊어짐, 굽힘 또는 뾰족-점(cusps)을 절대 포함할 수 없습니다.

보다 일반적으로, 만약 x₀가 함수 f의 도메인 안의 내부 점이면, f는 만약 도함수 f ′(x₀)가 존재하면 x₀에서 미분-가능이라고 말합니다. 이것은 f의 그래프가 점 (x₀, f(x₀))에서 비-수직 접선을 가짐을 의미합니다. 함수 f는 x₀에서 지역적으로 선형(locally linear)이라고 역시 불릴 수 있는데, 왜냐하면 그것은 이 점 근처에서 선형 함수(linear function)에 의해 잘 근사될 수 있기 때문입니다.

Differentiability of real functions of one variable

열린 집합 $U$ 위에 정의된, 함수 $f:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 는 만약 다음 동등한 조건의 임의의 것을 만족시키면 $a\in U$ 에서 미분-가능이라고 말합니다:

도함수 $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ 가 존재합니다.
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-Lh}{h}}=0$ 을 만족하는 실수 $L$ 이 존재합니다. 숫자 $L$ 은, 그것이 존재할 때, $f'(a)$ 와 같습니다.
$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+g(h)$ 및 $\lim _{h\to 0}{\frac {g(h)}{h}}=0$ 을 만족하는 함수 $g:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 가 존재합니다.

Differentiability and continuity

만약 $f$ 가 점 $x 0$ 에서 미분-가능이면, $f$ 는 반드시 $x 0$ 에서 역시 연속(continuous)이어야 합니다. 특히, 임의의 미분-가능 함수는 그의 도메인 안의 모든 점에서 반드시 연속이어야 합니다. 그 반대는 유지되지 않습니다: 연속 함수는 미분-가능일 필요는 없습니다. 예를 들어, 굽힘, 뾰족-점(cusp), 또는 수직 접선(vertical tangent)을 가진 함수는 연속일 수 있지만, 변칙의 위치에서 미분-가능에 실패합니다.

실제에서 발생하는 대부분의 함수는 모든 점 또는 거의 모든 각 점에서 도함수를 가집니다. 어쨌든, 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 결과는 일부 점에서 도함수를 가지는 함수의 집합은 모든 연속 함수 공간에서 마른 집합(meager set)입니다.^[1] 비공식적으로, 이것은 미분-가능 함수가 연속 함수들 사이에서 매우 비전형적인 것을 의미합니다. 어디에서나 연속적이지만 미분-가능인 곳이 없는 함수의 첫 번째 예제는 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)입니다.

Differentiability classes

함수 f는 만약 도함수 f′(x)가 존재하고 자체 연속 함수이면 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이라고 말합니다. 비록 미분-가능 함수의 도함수가 점프 불연속성(jump discontinuity)을 절대 갖지 않을지라도, 도함수에 대해 본질적인 불연속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 함수

f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

는 0에서 미분-가능인데, 왜냐하면

f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,

가 존재하기 때문입니다. 어쨌든, x ≠ 0에 대해, 미분화 규칙(differentiation rules)은 다음임을 의미합니다:

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

이것은 x → 0일 때 극한을 가지지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 다르부의 정리(Darboux's theorem)는 임의의 함수의 도함수가 사잇값 정리(intermediate value theorem)의 결론을 만족시킴을 의미합니다.

연속적으로 미분-가능 함수는 때때로 클래스 C¹의 것으로 말합니다. 함수는 만약 함수의 일차 및 이차 도함수(second derivative) 둘 다가 존재하고 연속이면 클래스 C²의 것입니다. 보다 일반적으로, 함수는 만약 처음 k 도함수 f′(x), f′′(x), ..., f^(k)(x) 모두가 존재하고 연속이면 클래스 C^k의 것으로 말합니다. 만약 도함수 f⁽ⁿ⁾가 모든 양의 정수 n에 대해 존재하면, 함수는 매끄러운(smooth) 또는 동등하게, 클래스 C^∞의 것입니다.

Differentiability in higher dimensions

여러 실수 변수의 함수(function of several real variables) $f : R m \to R n$ 는 만약 다음을 만족하는 선형 맵(linear map) $J : R m \to R n$ 이 존재하면 점 $x 0$ 에서 미분-가능이라고 말합니다:

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

만약 함수가 $x 0$ 에서 미분-가능이면, 부분 도함수(partial derivative)의 모두가 $x 0$ 에서 존재하고, 선형 맵 $J$ 는 야코비 행렬(Jacobian matrix)에 의해 제공됩니다. 고차 도함수의 비슷한 공식화는 단일-변수 미적분에서 발견되는 기본 증분 보조-정리(fundamental increment lemma)에 의해 제공됩니다.

만약 함수의 모든 부분 도함수가 점 $x 0$ 이웃(neighborhood)에 존재하고 점 $x 0$ 에서 연속이면, 함수는 그 점 $x 0$ 에서 미분-가능입니다.

어쨌든, 부분 도함수 (또는 심지어 모든 방향 도함수(directional derivative))의 존재는 함수가 한 점에서 미분-가능일 수 있음을 일반적으로 보증하지 않습니다. 예를 들어, 다음에 의해

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

정의된 함수 $f : R 2 \to R$ 는 $(0, 0)$ 에서 미분-가능은 아니지만, 부분 도함수와 방향 도함수의 모두는 이 점에서 존재합니다. 연속적이 예제에 대해, 함수

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

는 $(0, 0)$ 에서 미분-가능은 아니지만, 다시 부분 도함수와 방향 도함수의 모두는 존재합니다.

Differentiability in complex analysis

복소 해석학(complex analysis)에서, 복소-미분가능성은 단일-변수 실수 함수와 같은 정의를 사용하여 정의됩니다. 이것은 복소수를 나눌 가능성에 의해 허용됩니다. 따라서, 함수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 는 다음일 때 $x=a$ 에서 미분-가능이라고 말합니다:

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

비록 이 정의는 단일-변수 실수 함수의 미분-가능성과 비슷하게 보일지라도, 어쨌든 보다 제한적인 조건이 있습니다. 점 $x=a$ 에서 복소-미분가능인 함수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 는 함수 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 로 보일 때 해당 점에서 자동으로 미분-가능입니다. 이것은 복소-미분가능성이 다음임을 의미하기 때문입니다:

\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.

어쨌든, 함수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 는 여러-변수 함수로 미분-가능일 수 있지만, 복소-미분가능은 아닙니다. 예를 들어 $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ 는 2-변수 실수 함수 $f(x,y)=x$ 으로 보인 모든 각 점에서 미분-가능이지만, 임의의 점에서 복소-미분가능은 아닙니다.

한 점의 이웃에서 복소-미분가능인 임의의 함수는 해당 점에서 정칙(holomorphic)이라고 불립니다. 그러한 함수는 필연적으로 무한하게 미분-가능이고, 사실 해석적(analytic)입니다.