Cusp (singularity)

An ordinary cusp at (0, 0) on the semicubical parabola x³–y²=0

수학(mathematics)에서, 뾰족한 점(cusp)은, 오래된 책에서는 때때로 뾰족한 끝(spinode)이라고 불리며, 움직이는 점이 반드시 방향을 거꾸로 하는 곡선(curve) 위의 점입니다. 전형적인 예제는 오른쪽 그림에서 주어집니다. 뾰족한 점은 따라서 곡선의 특이점(singular point of a curve)의 한 유형입니다.

해석적(analytic) 매개 변수 방정식(parametric equation)에 의해 정의된 평면 곡선(plane curve)에 대해:

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

뾰족한 점은 $f$ 와 $g$ 둘 다의 도함수(derivative)가 영이고, 접선의 방향에서, 방향 도함수(directional derivative)가 부호를 바꾸는 점입니다 (접선의 방향은 기울기 $\lim(g'(t)/f'(t))$ 의 방향입니다). 뾰족한 점은 하나 이상을 값을 포함하는 자기-교차 점과는 달리, 그것들은 매개변수 $t$ 의 오직 하나의 값을 포함한다는 의미에서 지역적 특이점(local singularities)입니다. 일부 맥락에서, 비록, 이런 의미에서, 특이점은 정규 점처럼 보일 수 있지만, 방향 도함수에 대한 조건이 생략될 수 있습니다.

암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의된 곡선에 대해:

F(x,y)=0,

이것은 매끄러운(smooth) 것이며, 뾰족한 점은 $F$ 의 테일러 전개(Taylor expansion)의 가장-낮은 차수의 항들이 선형 다항식(linear polynomial)의 거듭제곱(power)인 점입니다; 어쨌든, 이 속성을 갖는 모든 특이점이 뾰족한 점은 아닙니다. 퓌죄 급수(Puiseux series)의 이론은, 만약 $F$ 가 해석적 함수(analytic function) (예를 들어 다항식(polynomial))이면, 좌표의 선형 변화가, 뾰족한 점의 이웃(neighborhood)에서, 곡선을 다음과 같이 매개변수화(parametrized)되는 것을 허용한다는 의미합니다:

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

여기서 $a$ 는 실수, $m$ 은 양의 짝수(even integer)이고, $S (t)$ 는 $m$ 보다 더 큰 차수(order) $k$ (가장-낮은 차수의 비-영 항의 차수)의 거듭-제곱 급수(power series)입니다. 숫자 $m$ 은 뾰족한 점의 차수(degree) 또는 중복도(multiplicity)라고 때때로 불리고, $F$ 의 가장-낮은 차수의 비-영 부분의 차수와 같습니다.

이들 정의는, 다음과 같은 방법으로, 르네 통(René Thom)과 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)에 의해 미분-가능 함수(differentiable function)로 정의된 곡선으로 일반화되어 왔습니다. 만약, 곡선을 위에-정의된 뾰족한 점 중 하나 위로 매핑하는, 환경 공간에서 점의 이웃(neighborhood)의 미분동형사상(diffeomorphism)이 있으면, 곡선은 한 점에 뾰족한 점을 가집니다.

일부 맥락, 및 이 기사의 나머지 부분에서, 뾰족한 점의 정의는 차수 이의 첨점의 경우—즉 $m = 2$ 인 경우로 제한됩니다.

(차수 2의) 평면 곡선(plane curve) 뾰족한 점은 평면의 미분동형(diffeomorphism)에 의해 다음 형식으로 표현될 수 있습니다: $x 2 - y 2 k +1 = 0$ , 여기서 $k$ 는 양의 정수(positive integer)입니다.^{[citation needed]}

Classification in differential geometry

두 변수(variables)의 매끄러운(smooth) 실수-값 함수(real-valued function), 말하자면 f(x, y)를 생각해 보십시오, 여기서 x와 y는 실수(real number)입니다. 따라서 f는 평면에서 선으로의 함수입니다. 모든 그러한 매끄러운 함수의 공간은 평면의 미분-동형(diffeomorphism)의 그룹(group)과 선의 미분동형, 즉 근원(source)과 목표(target) 둘 다에서 좌표(coordinate)의 미분-동형적 변화에 의해 작용(acted)됩니다. 이 작용은 전체 함수 공간(function space)을 동치 클래스(equivalence class), 즉 그룹 동작(group action)의 궤도(orbit)로 분할합니다.

동치 클래스의 하나의 그러한 가족은 A_k^±로 표시되며, 여기서 k는 비-음의 정수입니다. 이 표기법은 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)에 의해 도입되었습니다. 함수 f는 만약 그것이 x² ± y^k+1의 궤도 안에 있으면, 즉, f를 이들 형식 중 하나로 취하는 근원과 목표에서 좌표의 미분-동형적 변화가 있으면, 유형 A_k^±의 것이라고 말합니다. 이들 간단한 형식 x² ± y^k+1은 유형 A_k^±-특이점에 대해 정규 형식(normal form)을 제공한다고 말합니다. 근원에서 좌표 (x,y) → (x, −y)의 미분-동형적 변화는 x² + y²ⁿ⁺¹를 x² − y²ⁿ⁺¹로 취하기 때문에 A_2n⁺가 A_2n⁻과 같음에 주의하십시오. 따라서 우리는 A_2n^± 표기법에서 ±를 버릴 수 있습니다.

뾰족한 점은 그런-다음 A_2n 동치 클래스의 대표의 영-수준-집합에 의해 주어지며, 여기서 n ≥ 1은 정수입니다.^{[citation needed]}

Examples

보통의 뾰족한 점(ordinary cusp)은 x² − y³ = 0, 즉, 유형 A₂-특이점의 영-수준-집합에 의해 주어집니다. f(x, y)를 x와 y에 대해 매끄러운 함수로 놓고, 간단하게, f(0,0) = 0임을 가정합니다. 그런-다음 f at (0,0)의 유형 A₂-특이점은 다음에 의해 특성을 나타냅니다:

퇴화 이차 부분, 즉, f의 테일러 급수(Taylor series)에서 이차 항을 가지면 완전 제곱, 말하자면 L(x, y)²을 형성합니다. 여기서 L(x, y)는 x와 y에서 선형입니다. 그리고
L(x, y)는 f(x, y)의 테일러 급수에서 삼차 항을 나누지 않습니다.

뢈포이드 뾰족한 점(rhamphoid cusp)은 (부리-같음을 의미하는 그리스어로부터), 방정식 $x^{2}-x^{4}-y^{5}=0$ 의 곡선에 대한 것처럼, 원래 두 가지가 접선의 같은 쪽에 있는 것을 만족하는 뾰족한 점을 나타냅니다. 그러한 특이점은 유형 A₄의 특이점인 방정식 $x^{2}-y^{5}=0$ 의 뾰족한 점과 같은 미분 클래스에 있으므로, 그 용어는 모든 그러한 특이점으로 확장되어 왔습니다. 이들 뾰죡한 점은 화선과 파면으로 비-일반적입니다. 뢈포이드 뾰족한 점과 보통의 뾰족한 점은 비-미분동형적입니다. 매개변수 형식은 $x=t^{2},y=ax^{4}+x^{5}$ 입니다.

유형 A₄-특이점에 대해, 우리는 f를 퇴화된 이차 부분을 가지는 것이 필요하며 (이것은 유형 A_≥2를 제공합니다), L은 삼차 항 (이것은 유형 A_≥3를 제공합니다), 또 다른 나눔가능성 조건 (유형 A_≥4를 제공), 마지막의 비-나눔가능성 조건 (유형 정확히 A₄ 제공)을 나눕니다.

이들 여분의 나눔가능성 조건의 출처를 확인하기 위해, f가 퇴화 이차 부분 L²를 가지고 L은 삼차 항을 나눈다고 가정합니다. 그것은 f의 삼차 테일러 급수가 L² ± LQ에 의해 제공함을 따르며, 여기서 Q는 x와 y에서 이차입니다. 우리는 L² ± LQ = (L ± ½Q)² – ¼Q⁴임을 보이기 위해 제곱을 완성할 수 있습니다. 우리는 이제 (L ± ½Q)² − ¼Q⁴ → x₁² + P₁이 되도록 변수의 미분동형적 변화 (이 경우에서 우리는 간단히 선형적으로 독립(linearly independent) 선형 부분을 갖는 다항식을 대체함)를 만들 수 있으며, 여기서 P₁은 x₁와 y₁에서 사차(quartic)입니다. 유형 A_≥4에 대해 나눔가능성 조건은 x₁이 P₁을 나눈다는 것입니다. 만약 x₁이 P₁을 나누지 않으면, 우리는 유형 정확히 A₃를 가집니다 (영-수준-집합은 여기서 태크노드(tacnode)입니다). 만약 x₁이 P₁을 나누면, 우리는 x₁² + P₁에 대한 제곱을 완성하고 우리는 x₂² + P₂를 가지도록 좌표를 변경하며 여기서 P₂는 x₂와 y₂에서 오차(quintic)입니다. 만약 x₂가 P₂를 나누지 않으면 우리는 정확히 유형 A₄을 가지며, 즉, 영-수준-집합은 뢈포이드 뾰족한 점이 될 것입니다.

Applications

An ordinary cusp occurring as the caustic of light rays in the bottom of a teacup.

뾰족한 점들은 삼차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 매끄러운 곡선(smooth curve)을 평면에 투영(projecting)할 때 자연스럽게 나타납니다. 일반적으로, 그러한 투영은 그들의 특이점이 자체-교차하는 점과 보통의 뾰족한 점인 곡선입니다. 자체-교차하는 점은 곡선의 두 다른 점이 같은 투영을 가질 때 나타납니다. 보통의 뾰족한 점은 곡선에 대한 접선이 투영의 방향과 평행할 때 (즉, 접선이 단일 점에서 투영될 때) 나타납니다. 더 복잡한 특이점은 여러 현상이 동시에 발생할 때 발생합니다. 예를 들어, 뢈포이드 뾰족한 점은 접선이 투영의 방향에 평행한 변곡 점(inflection point) (및 파동 점(undulation point))에 대해 발생합니다.

많은 경우에서, 및 전형적으로 컴퓨터 비전(computer vision)과 컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서, 투영되는 곡선은 투영의 (매끄러운) 공간적 대상에 대한 제한의 임계 점(critical point)의 곡선입니다. 뾰족한 점은 따라서 대상 (비전) 또는 그것의 그림자 (컴퓨터 그래픽)의 이미지의 윤곽의 특이점으로 나타납니다.

화선(Caustics)과 파동 전면(wave front)은 실제 세계에서 볼 수 있는 뾰족한 점을 가지는 곡선의 다른 예제입니다.

References

Bruce, J. W.; Giblin, Peter (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42999-3.
Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7.

External links

Physicists See The Cosmos In A Coffee Cup

Classification in differential geometry

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See also

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