Disjoint union

Original article: w:Disjoint union

This article is about the operation on sets. For the computer science meaning of the term, see Tagged union. For the operation on graphs, see disjoint union of graphs.

Not to be confused with Disjunctive union.

수학(mathematics)에서, 집합의 가족 $(A_{i}:i\in I)$의 서로소 합집합(disjoint union) (또는 구별된 합집합(discriminated union))은 이들 단사의 이미지가 $A$의 분할(partition)을 형성함 (즉, $A$의 각 원소가 이들 이미지의 정확하게 하나에 속함)을 만족하는 각 $A_{i}$를 $A$로의 단사 함수(indective function)를 갖는 집합 $A$이며, 종종 $\bigsqcup _{i\in I}A_{i}$로 표시됩니다. 쌍별 서로소 집합(pairwise disjoint sets)의 가족의 서로소 합집합은 그것들의 합집합(union)입니다. 카테고리 이론(category theory)의 관점에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리(category of sets)의 공동-곱(coproduct)입니다. 서로소 합집합은 따라서 전단사까지(up to) 정의됩니다.

서로소 합집합을 건설하는 표준 방법은 $A$를 $x\in A_{i}$와 $x\mapsto (x,i)$에 의한 단사 함수 $A_{i}\to A$를 만족하는 순서쌍(ordered pair) $(x,i)$의 집합으로 정의하는 것입니다.

Example

집합 $A_{0}=\{5,6,7\}$와 $A_{1}=\{5,6\}$을 생각해 보십시오. 다음 결합된 집합을 형성함으로써 집합 기원에 따라 집합 원소를 인덱싱하는 것이 가능합니다: $${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}$$

여기서 각 쌍에서 두 번째 원소는 기원 집합의 아래첨자와 일치합니다 (예를 들어, $(5,0)$에서 $0$은 $A_{0}$, 등의 아래 첨자와 일치합니다). 서로소 합집합 $A_{0}\sqcup A_{1}$는 그런-다음 다음처럼 계산될 수 있습니다: $$A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.$$

Set theory definition

공식적으로, $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$를 $I$에 의해 인덱스된 집합의 가족(family of sets)으로 놓습니다. 이 가족의 서로소 합집합은 다음 집합입니다: $$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$

서로소 합집합의 원소는 순서쌍(ordered pairs) $(x,i)$입니다. 여기서 $i$는 원소 $x$가 어는 $A_{i}$에서 왔는지 나타내는 보조 인덱스 역할을 합니다.

각 집합 $A_{i}$는 정식으로 다음 집합과 동형적입니다: $$A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$

이 동형을 통해, 우리는 $A_{i}$가 서로로 합집합에 정식적으로 삽입된 것임을 고려할 수 있습니다. $i\neq j$에 대해, 집합 $A_{i}^{*}$와 $A_{j}^{*}$는 심지어 집합 $A_{i}$과 $A_{j}$가 그렇지 않을지라도 서로소입니다.

$A_{i}$의 각각이 각 $i\in I$에 대해 일부 고정된 집합 $A$ 와 같은 극단적인 경우에서, 서로소 합집합은 $A$와 $I$의 데카르트 곱(Cartesian product)입니다: $$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.$$

때때로, 다음 표기법은 $$\sum _{i\in I}A_{i}$$

집합의 가족의 서로소 합집합에 사용되거나, 표기법 $A+B$는 두 집합의 서로소 합집합에 사용됩니다. 이 표기법은 서로소 합집합의 카디널리티(cardinality)가 가족에 있는 항의 카디널리티의 합(sum)이라는 사실을 암시하기 위한 것입니다. 이것을 집합의 가족의 데카르트 곱(Cartesian product)에 대한 표기법과 비교하십시오.

서로소 합집합은 역시 때때로 $\biguplus _{i\in I}A_{i}$ 또는 $\ \cdot \!\!\!\!\!\bigcup _{i\in I}A_{i}$로 쓰입니다.

카테고리 이론(category theory)의 언어에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리에서 공동-곱(coproduct)입니다. 그것은 따라서 결합된 보편적 속성(universal property)을 만족시킵니다. 이것은 역시 서로소 합집합이 데카르트 곱(Cartesian product) 구성의 카테고리적 이중(categorical dual)임을 의미합니다. 자세한 내용에 대해 공동-곱(coproduct)을 참조하십시오.

많은 목적을 위해, 보조 인덱스의 특정 선택은 중요하지 않고, 표기법의 남용(abuse of notation)을 단순화함에서, 인덱스된 가족은 단순히 집합의 모음으로 취급될 수 있습니다. 이 경우에서 $A_{i}^{*}$는 $A_{i}$의 사본으로 참조되고 표기법 ${\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A$은 때때로 사용됩니다.

Category theory point of view

카테고리 이론(category theory)에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리에서 공동-곱(coproduct)으로 정의됩니다.

이를테면, 서로소 합집합은 동형까지 정의되고, 위의 정의는 무엇보다도 공동-곱의 하나의 실현일 뿐입니다. 집합이 쌍별 서로소일 때, 보통의 합집합은 공동-곱의 또 다른 실현입니다. 이것은 앞부분의 두 번째 정의를 정당화합니다.

서로소 합집합의 이러한 카테고리적 측면은 $\coprod$가 공동-곱을 나타내기 위해 왜 $\bigsqcup$ 대신에 자주 사용되는지 설명합니다.

See also

• Coproduct – Category-theoretic construction – Category-theoretic construction
• Direct limit
• Disjoint union (topology)
• Disjoint union of graphs
• Partition of a set
• Sum type
• Tagged union
• Union (computer science)

References

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Disjoint Union". MathWorld.