Union (set theory)

Original article: w:Union (set theory)

Union of two sets:
$~A\cup B$

Union of three sets:
$~A\cup B\cup C$

The union of A, B, C, D, and E is everything except the white area.

집합 이론(set theory)에서, 집합(sets)의 모음의 합집합 (∪으로 표시됨)은 모음에서 모든 원소(element)의 집합입니다. 그것은 집합이 서로 결합되고 관련될 수 있는 기본 연산 중 하나입니다.

이 기사에서 사용된 기호의 설명에 대해, 수학 기호의 테이블(table of mathematical symbols)을 참조하십시오.

Union of two sets

두 집합 A와 B의 합집합은 A에 있는, B에 있는, 또는 A와 B 둘 다에 있는 원소의 집합입니다. 기호에서,

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}$.

예를 들어, 만약 A = {1, 3, 5, 7} 및 B = {1, 2, 4, 6, 7}이면 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}입니다. 보다 정교한 예제 (두 무한 집합을 포함)는 다음입니다:

A = {x는 1보다 큰 짝수 정수입니다}

B = {x는 1보다 큰 홀수 정수입니다}

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

또 다른 예제로, 숫자 9는 소수(prime number)의 집합 {2, 3, 5, 7, 11, ...} 및 짝수(even number)의 집합 {2, 4, 6, 8, 10, ...}의 합집합에 포함되지 않는데, 왜냐하면 9는 소수도 아니고 짝수도 아니기 때문입니다.

집합은 절대 중복 원소를 가지지 않으므로, 집합 {1, 2, 3}과 {2, 3, 4}의 합집합은 {1, 2, 3, 4}입니다. 동일한 원소의 중복 발생은 집합 또는 그것의 컨텐츠의 카디널리티(cardinality)에 영향을 미치지 않습니다.

Algebraic properties

이항 합집합은 결합적(associative) 연산입니다; 즉, 임의의 집합 A, B, 및 C에 대해,

$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$

그 연산은 임의의 순서에서 수행될 수 있고, 괄호는 모호성없이 생략될 수 있습니다 (즉, 위의 둘은 A ∪ B ∪ C로 동등하게 표현될 수 있습니다). 비슷하게, 합집합은 교환적(commutative)이므로, 집합은 임의의 순서에서 쓸 수 있습니다.

빈 집합(empty set)은 합집합의 연산에 대해 항등 원소(identity element)입니다. 즉, 임의의 집합 A에 대해, A ∪ ∅ = A입니다. 이것은 논리적 합(logical disjunction)에 대한 비슷한 사실로부터 따릅니다.

합집합과 교집합과 함께 집합은 부울 대수(Boolean algebra)를 형성하므로, 교집합(intersection)은 합집합에 걸쳐 분배되고:

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

합집합은 교집합에 걸쳐 분배됩니다:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ .

주어진 전체 집합(universal set) 이내에서, 합집합은 다음으로 교집합과 여집합(complement)의 연산의 관점에서 쓸 수 있습니다:

$A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}$

여기서 위첨자 ^C는 전체 집합에 관한 여집합을 나타냅니다.

Finite unions

우리는 동시에 여러 집합의 합집합을 취할 수 있습니다. 예를 들어, 세 집합 A, B, 및 C의 합집합은 A의 모든 원소, B의 모든 원소, 및 C의 모든 원소를 포함합니다. 따라서, x가 A ∪ B ∪ C의 원소인 것과 A, B, 및 C 중 적어도 하나에 있는 것은 필요충분 조건입니다.

유한 합집합은 집합의 유한 숫자의 합집합입니다; 그 문구는 합집합은 유한 집합(finite set)임을 의미하지 않습니다.

Arbitrary unions

가장 일반적인 개념은, 때때로 무한적인 합집합(infinitary union)으로 불리는, 집합의 임의의 모음의 합집합입니다. 만약 M이 그의 원소가 집합인 집합 또는 클래스(class)이면, x가 M의 합집합의 원소인 것과 x가 A의 원소임을 만족하는 M의 적어도 한 원소 A가 있는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 기호에서:

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

이 아이디어는 이전 섹션을 포함합니다–예를 들어, A ∪ B ∪ C가 모음 {A, B, C}의 합집합입니다. 역시, 만약 M이 빈 집합이면, M의 합집합은 빈 집합입니다.

Notations

일반적인 개념에 대해 표기법은 상당히 변할 수 있습니다. 집합 $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$의 유한 합집합에 대해, 우리는 종종 $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ 또는 $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$를 씁니다. 임의의 합집합에 대해 다양한 공통 개념은 $\bigcup \mathbf {M}$, $\bigcup _{A\in \mathbf {M} }A$, 및 $\bigcup _{i\in I}A_{i}$을 포함하며, 그것은 마지막은 모음 $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$의 합집합을 참조하며 여기서 I는 인덱스 집합(index set)이고 $A_{i}$는 모든 각 $i\in I$에 대해 집합입니다. 인덱스 집합 I가 자연수(natural number)의 집합인 경우에서, 우리는 급수에서 무한 합(infinite sum)의 표기법과 유사한 표기법 $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$을 사용합니다.

기호 "∪"가 그들 사이에 있는 대신에 다른 기호 앞에 위치되면, 보통 더 큰 크기로 만들어집니다.

See also

• Alternation (formal language theory), the union of sets of strings
• Disjoint union
• Intersection (set theory)
• Iterated binary operation
• Naive set theory
• Symmetric difference

External links

• Weisstein, Eric W. "Union". MathWorld.
• "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.