Divergent series

Original article: w:Divergent series

For the book series, see Divergent (book series). For the film series, see The Divergent Series.

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration. ("Divergent series are in general something fatal, and it is a disgrace to base any proof on them." Often translated as "Divergent series are an invention of the devil …")

N. H. Abel, letter to Holmboe, January 1826, reprinted in volume 2 of his collected papers.

수학(mathematics)에서, 발산 급수(divergent series)는 수렴(convergent)하지 않는 무한 급수(infinite series)이며, 급수의 부분 합(partial sum)의 무한 수열(sequence)이 유한 극한(limit)을 가지지 않음을 의미합니다.

만약 급수가 수렴하면, 급수의 개별 항은 영에 접근해야 합니다. 따라서 개별 항이 영으로 접근하지 않는 임의의 급수는 발산합니다. 어쨌든, 수렴은 더 강력한 조건입니다: 그것의 항이 영에 접근하는 모든 급수가 수렴하는 것은 아닙니다. 반대예제는 조화 급수(harmonic series)입니다.

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

조화 급수의 발산은 중세 수학자 니콜 오렘(Nicole Oresme)에 의해 입증되었습니다.

전문화된 수학적 맥락에서, 값은 급수의 발산의 의미를 만들기 위해 그것의 부분 합의 수열이 발산하는 특정 급수에 객관적으로 할당될 수 있습니다. 합-가능 방법(summability method) 또는 합계 방법(summation method)은 급수의 집합에서 값으로의 부분 함수(partial function)입니다. 예를 들어, 체사로 합(Cesàro summation)은 다음 그란디의 발산 급수(Grandi's divergent series)에 값 1/2을 할당합니다:

$1-1+1-1+\cdots$.

체사로 합은 평균하는(averaging) 방법이며, 그것에서 부분 합의 수열의 산술 평균(arithmetic mean)에 의존합니다. 다른 방법은 관련된 급수의 해석적 연속(analytic continuation)을 포함합니다. 물리학(physics)에서, 다양한 합-가능성 방법이 있습니다; 이것들은 조절(regularization)에 대한 기사에서 더 자세히 논의됩니다.

History

... but it is broadly true to say that mathematicians before Cauchy asked not 'How shall we define 1 − 1 + 1...?' but 'What is 1 − 1 + 1...?', and that this habit of mind led them into unnecessary perplexities and controversies which were often really verbal.

G. H. Hardy, Divergent series, page 6

19세기 이전에, 발산 급수는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 다른 사람들에 의해 널리 사용되었지만, 종종 혼란스럽고 모순된 결과로 이어졌습니다. 주요 문제는 발산 급수의 합이 무엇을 의미하는지 먼저 정의없이 임의의 발산 급수가 자연수 합을 가져야 한다는 오일러의 생각이었습니다. 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는 결국 (수렴) 급수의 합의 엄격한 정의를 제공했고, 그 후 얼마 동안, 발산 급수는 수학에서 대부분 제외되었습니다. 그것들은 1886년 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)의 점근 급수에 대한 연구에서 다시 나타났습니다. 1890년에, 에르네스토 체사로(Ernesto Cesàro)는 일부 발산 급수의 엄격한 정의를 제공할 수 있다는 것을 깨닫고, 체사로 합(Cesàro summation)을 정의했습니다. (이것은 1880년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스(Ferdinand Georg Frobenius)에 의해 암묵적으로 사용되었던 체사로 합의 첫 번째 사용이 아니었습니다; 체사로의 주요 기여는 이 방법의 발견이 아니라, 발산 급수의 합의 명시적 정의를 제공해야 한다는 그의 아이디어였습니다.) 체사로의 논문 이후 몇 년 동안, 여러 다른 수학자들은 발산 급수의 합의 다른 정의를 내놓았지만 이것들이 항상 호환되는 것은 아닙니다: 다른 정의는 같은 발산 급수의 합에 대해 다른 답을 제공할 수 있습니다; 따라서, 발산 급수의 합에 대해 이야기할 때, 사용 중인 합계 방법을 지정해야 합니다.

Theorems on methods for summing divergent series

합가능성 방법 M은 만약 그것이 모든 수렴 급수(convergent series)에 대한 실제 극한과 일치하면 정규(regular)입니다. 그러한 결과는 원형적인 아벨의 정리(Abel's theorem)에서 M에 대해 아벨 정리(Abelian theorem)라고 불립니다. 더 미묘한 것은 알프레트 타우버(Alfred Tauber)에 의해 입증된 원형에서 타우버 정리(Tauberian theorems)라고 불리는 부분적인 역 결과입니다. 여기서 부분 역(partial converse)은 만약 M이 급수 Σ를 합하고, 일부 부가-조건이 유지되면, Σ가 처음 위치에서 수렴한다는 것을 의미합니다; 임의의 부가-조건없이 그러한 결과는 M이 오직 수렴 급수를 합했다고 말할 것입니다 (그것은 발산 급수에 대해 합계 방법으로 쓸모없게 만듭니다).

수렴 급수의 합을 제공하는 함수는 선형(linear)이고, 그것은 경계진 부분 합을 갖는 임의의 급수를 합하는 합계 방법으로 확장될 수 있다는 한–바나흐 정리(Hahn–Banach theorem)를 따릅니다. 이것은 바나흐 극한(Banach limit)이라고 불립니다. 이러한 사실은 실제로는 그다지 유용하지 않은데, 왜냐하면 많은 그러한 확장이 있고, 서로 일치하지 않기 때문이고, 역시 그러한 연산자가 존재한다는 것을 입증하려면 선택의 공리(axiom of choice) 또는 조온의 보조정리(Zorn's lemma)와 같은 그것의 등가물을 호출해야 하기 때문입니다. 그것들은 따라서 비건설적입니다.

수학적 해석학(mathematical analysis)의 영역으로서 발산 급수의 주제는 주로 아벨 합계(Abel summation), 체사로 합계(Cesàro summation), 및 보렐 합계(Borel summation)와 같은 명시적이고 자연스러운 기술과 그것들의 관계와 관련된 것입니다. 위너의 타우버 정리(Wiener's tauberian theorem)의 출현은 푸리에 해석(Fourier analysis)에서 바나흐 대수학(Banach algebra) 방법에 예기치 않은 연결을 도입하면서 그 주제의 한 시대를 표시했습니다.

발산 급수의 합은 역시 수치적 기법으로서 외삽법(extrapolation)과 수열 변환(sequence transformation)과 관련이 있습니다. 이러한 기술의 예제는 파데 근사(Padé approximant), 레빈-유형 수열 변환(Levin-type sequence transformation), 및 양자 역학(quantum mechanics)에서 큰-차수 섭동 이론(perturbation theory)에 대해 재정규화(renormalization) 기술과 관련된 차수-종속 매핑이 있습니다.

Properties of summation methods

합계 방법은 보통 급수의 부분 합의 수열에 집중합니다. 이 수열은 수렴하지 않지만, 우리가 수열의 초기 항의 더 커짐에 따라 평균을 취할 때, 그 평균이 수렴하고, 극한 대신 이 평균을 급수의 합을 평가하기 위해 사용될 수 있음을 종종 발견할 수 있습니다. 합계 방법은 부분 합의 수열의 집합에서 값으로의 함수로 보일 수 있습니다. 만약 A가 수열의 집합에 값을 할당하는 임의의 합계 방법이면, 이것을 해당 급수에 같은 값을 할당하는 급수-합계 방법 A^Σ로 기계적으로 번역할 수 있습니다. 이들 방법에 대해 만약 그것들이 각각 극한과 합에 해당하는 값에 도달하려면 소유하는 것이 바람직한 특정 속성이 있습니다.

• 정칙성(Regularity). 합계 방법은 만약, 수열 s가 x로 수렴할 때마다. A(s) = x이면 정규(regular)입니다. 동등하게, 대응하는 급수-합계 방법은 A^Σ(a) = x를 평가합니다.
• 선형성(Linearity). A는 만약 그것이 수열 r, s, 및 실수 또는 복소수 스칼라 k에 대해 A(k r + s) = k A(r) + A(s)가 되도록 정의된 수열에서 선형 함수형이면 선형(linear)입니다. 급수 a의 항 a_n+1 = s_n+1 − s_n은 수열 s에 대한 선형 함수이고 그 반대의 경우도 마찬가지이며, 이것은 A^Σ가 급수의 항에 대한 선형 함수형인 것과 동등합니다.
• 안정성(Stability) (역시 평행이동성(translativity)이라고 불림). 만약 s가 s₀에서 시작하는 수열이고 s′이 첫 번째 값을 생략함으로써 얻어진 수열이고 s′_n = s_n+1 − s₀가 되도록 그것을 나머지에서 빼면, A(s)가 정의되는 것과 A(s′)가 정의되고 A(s) = s₀ + A(s′)인 것은 필요충분 조건입니다. 동등하게, 모든 n에 대해 a′_n = a_n+1일 때마다, A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a′)입니다. 이것을 나타내는 또 다른 방법은 이동 규칙(shift rule)이 이 방법에 의해 합-가능인 급수에 대해 유효해야 한다는 것입니다.

세 번째 조건은 덜 중요하고, 보렐 합계(Borel summation)와 같은 일부 중요한 방법은 그것을 보유하지 않습니다.

우리는 마지막 조건에 더 약한 대안을 제공할 수 있습니다.

• 유한 재-인데스가능성(Finite re-indexability). 만약 a와 a′가 모든 i에 대해 a_i = a′_f(i)를 만족하는 전단사(bijection) $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$가 존재함을 만족하는 두 급수이고, 모든 i > N에 대해 a_i = a′_i를 만족하는 일부 $N\in \mathbb {N}$이 존재하면, A^Σ(a) = A^Σ(a′)입니다. (다시 말해서, a′은 재-인덱스된 오직 유한하게 많은 항을 갖는 a와 같은 급수입니다.) 이것은 안정성(stability)보다 약한 조건인데, 왜냐하면 안정성을 나타내는 임의의 합계 방법은 역시 유한 재-인덱싱가능성을 나타내지만, 그 전환은 참이 아니기 때문입니다.)

둘의 구별되는 합계 방법 A와 B에 대해 공유하기 위한 바람직한 속성은 일관성(consistency)입니다: A와 B는 만약 둘 다 값을 할당하는 모든 각 수열 s에 대해, A(s) = B(s)이면 일관적(consistent)입니다. (이 언어를 사용하면, 합계 방법 A가 정규인 것과 그것이 표준 합 Σ과 일관적인 것은 필요충분 조건입니다.) 만약 둘의 방법이 일관적이고, 한 방법이 다른 것보다 더 많은 급수를 합하면, 더 많은 급수를 합산하는 쪽이 더 강력합니다.

예를 들어, 레빈-유형 수열 변환(Levin-type sequence transformation)과 파데 근사(Padé approximant)와 같은 비선형 수열 변환(sequence transformation)과 마찬가지로 재정규화(renormalization) 기술을 기반으로 하는 섭동 급수의 차수-종속 매핑과 같이 정규적도 아니고 선형도 아닌 강력한 수치적 합계 방법이 있습니다.

정칙성, 선형성, 및 안정성을 공리로 취하면, 기본 대수적 조작에 의한 많은 발산 급수를 합산하는 것이 가능합니다. 이것은 왜 많은 다른 합계 방법이 특정 급수에 대해 같은 답을 제공하는지 부분적으로 설명합니다.

예를 들어, r ≠ 1일 때마다, 다음 기하 급수(geometric series)는

${\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}$

수렴의 여부에 관계없이 평가될 수 있습니다. 보다 엄격하게, 이들 속성을 보유하고 기하 급수에 유한 값을 할당하는 임의의 합계 방법은 이 값을 할당해야 합니다. 어쨌든, r이 1보다 큰 실수일 때, 부분 합은 경계없이 증가하고, 평균하는 방법은 무한대의 극한을 할당합니다.

Classical summation methods

급수에 대해 두 가지 고전적인 합계 방법, 보통의 수렴과 절대 수렴은 합을 특정 부분 합의 극한으로 정의합니다. 이것들은 오직 완비성에 대해 포함됩니다. 엄격하게 말하면, 그것들은 발산 급수에 대해 진정한 합계 방법이 아닌데 왜냐하면, 정의에 의해, 오직 이들 방법이 작동하지 않으면 급수가 발산하기 때문입니다. 발산 급수에 대해 모든 합계 방법은 아니지만 대부분은 이들 방법을 수열의 더 큰 클래스로 확장합니다.

Absolute convergence

절대 수렴은 숫자의 수열 (또는 집합)의 합을, 만약 존재하면, 모든 부분 합 a_k1 + ... + a_kn의 순 극한으로 정의합니다. 그것은 수열의 원소들의 순서에 의존하지 않고, 고전적 정리는 수열이 절대적으로 수렴인 것과 절댓값의 수열이 표준 의미에서 수렴하는 것은 필요충분 조건임을 말합니다.

Sum of a series

급수 a₀ + a₁ + ...의 합의 코시의 고전적 정의는 그 합을 부분 합 a₀ + ... + a_n의 수열의 극한으로 정의합니다. 이것은 수열의 수렴의 기본 정의입니다.

Nørlund means

p_n이 p₀에서 시작하는 양의 항의 수열이라고 가정합니다. 다음임을 역시 가정합니다:

${\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.$

만약 이제 우리가 p를 사용함으로써 가중된 평균을 제공하기 위해, 다음을 설정하여, 수열 s를 변환하면

$t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}$

n이 무한대로 갈 때 t_n의 극한은 뇌룬트(Nørlund) 평균 N_p(s)라고 불리는 평균입니다.

뇌룬트 평균은 정규, 선형, 및 안정입니다. 게다가, 임의의 둘의 뇌룬트 평균은 일관적입니다.

Cesàro summation

뇌룬트 평균 중 가장 중요한 것은 체사로 합입니다. 여기서, 만약 우리가 수열 p^k를 다음에 의해 정의하면,

$p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}$

체사로 합 C_k는 C_k(s) = N_(p^k)(s)에 의해 정의됩니다. 체사로 합은 만약 k ≥ 0이고, 따라서 정규, 선형, 안정, 및 일관적이면 뇌룬트 평균입니다. C₀는 보통의 합계이고, C₁은 보통의 체사로 합계(Cesàro summation)입니다. 체사로 합은 만약 h > k이면, C_h가 C_k보다 더 강한 것이라는 속성을 가집니다.

Abelian means

λ = {λ₀, λ₁, λ₂,...}가 무한대로 향하는 경향인 엄격하게 증가하는 수열이고, λ₀ ≥ 0임을 가정합니다. 다음이 모든 실수 x > 0에 대해 수렴한다고 가정합니다:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}$

그런-다음 아벨 평균(Abelian mean) A_λ는 다음으로 정의됩니다:

$A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$

보다 일반적으로, 만약 f에 대해 급수가 큰 x에 대해 오직 수렴하지만 모든 양의 실수 x로 해석적으로 계속될 수 있으면, 우리는 여전히 위의 극한에 의해 발산 급수의 합을 정의할 수 있습니다.

이 유형의 급수는 일반화된 디리클레 급수(Dirichlet series)로 알려져 있습니다: 물리학에 대한 응용에서, 이것은 열-커널 정규화(heat-kernel regularization)의 방법으로 알려져 있습니다.

아벨 평균은 정규이고 선형이지만, 안정은 아니고 λ의 다른 선택 사이에 항상 일관적인 것은 아닙니다. 어쨌든, 일부 특수한 경우는 매우 중요한 합계 방법이 있습니다.

Abel summation

See also: Abel's theorem

만약 λ_n = n이면, 우리는 아벨 합계의 방법을 얻습니다. 다음입니다:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$

여기서 z = exp(−x)입니다. 그런-다음 x가 양의 실수(positive reals)를 통해 0에 접근할 때 f(x)의 극한은 z가 양의 실수를 통해 아래에서 1에 접근할 때 f(z)에 대해 거듭제곱 급수의 극한이고, 아벨 합 A(s)는 다음과 같이 정의됩니다:

$A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

아벨 합계는 부분적으로 흥미로운데 왜냐하면 그것이 체사로 합계(Cesàro summation)보다 일관적이지만 더 강력하기 때문입니다: 후자가 정의될 때마다 A(s) = C_k(s)입니다. 아벨 합은 따라서 체사로 합계와 정규, 선형, 안정, 및 일관적입니다.

Lindelöf summation

만약 λ_n = n log(n)이면, (그것으로부터 인덱싱하는) 우리는 다음을 가집니다:

$f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .$

그런-다음 L(s), 린델뢰프 합(Lindelöf sum (Volkov 2001))은 x가 양의 영으로 갈 때 f(x)의 극한입니다. 린델뢰프 합은 미타그-레플레르 별(Mittag-Leffler star)에서 거듭제곱 급수를 합하는 다른 응용 중에서 거듭제곱 급수에 적용될 때 강력한 방법입니다.

만약 g(z)가 디스크에서 영 주위로 해석적이고, 따라서 수렴의 양의 반지름을 갖는 매클로린 급수(Maclaurin series) G(z)를 가지면, 미타그-레플레르 별에서 L(G(z)) = g(z)입니다. 게다가, g(z)에 대한 수렴은 별의 컴팩트 부분집합 위에 균등입니다.

Analytic continuation

여러 합계 방법은 함수의 해석적 연속(analytic continuation)의 값을 취하는 것을 포함합니다.

Analytic continuation of power series

만약 Σa_nxⁿ가 작은 복소수 x에 대해 수렴하고 x = 0에서 점 x = 1까지 일부 경로를 따라 해석적으로 계속될 수 있으면, 급수의 합은 x = 1에서의 값으로 정의될 수 있습니다. 이 값은 경로의 선택에 따라 달라질 수 있습니다. 해석적 연속을 사용하여 발산 급수에 대해 잠재적으로 다른 합의 첫 번째 예제 중 하나는 칼렛(Callet)에 의해 제공되었으며, 그는 만약 $1\leq m<n$이면 다음임을 관찰했습니다:

${\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots$

$x=1$에서 평가할 때, 우리는 다음을 얻습니다:

$1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.$

어쨌든, 급수에서 틈이 핵심입니다. $m=1,n=3$에 대해, 예를 들어, 우리는 실제로 다음임을 얻을 것입니다:

$1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}$,

따라서 다른 합은 $0$의 다른 배치에 해당합니다.

Euler summation

Main article: Euler summation

오일러 합계는 본질적으로 해석적 연속의 명시적 형식입니다. 만약 거듭제곱 급수가 작은 복소수 z에 대해 수렴하고 −1/q + 1에서 1까지 지름을 갖는 열린 디스크로 해석적으로 계속될 수 있고 1에서 연속적이면, q에서의 그것의 값은 오일러 또는 급수 Σa_n의 (E,q) 합이라고 불립니다. 오일러는 해석적 연속이 일반적으로 정의되기 전에 그것을 사용했었고, 해석적 연속의 거듭제곱 급수에 대해 명시적인 공식을 제공했습니다.

오일러 합계의 연산은 여러 번 반복될 수 있고, 이것은 본질적으로 점 z = 1에 대한 거듭제곱 급수의 해석적 연속을 취하는 것과 동등합니다.

Analytic continuation of Dirichlet series

이 방법은 급수의 합을 만약 그것이 존재하고 고유하면 s = 0에서 다음 디리클레 급수의 해석적 연속 값으로 정의합니다:

$f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots$

이 방법은 때때로 제타 함수 정규성과 혼동됩니다.

만약 s = 0가 고립된 특이점이면, 그 합은 로랑 급수 전개의 상수 항에 의해 정의됩니다.

Zeta function regularization

Main article: Zeta function regularization

만약 다음 급수가

$f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots$

(a_n의 양의 값에 대해) 큰 실수 s에 대해 수렴하고 실수 직선을 따라 s = −1까지 해석적으로 연속(analytically continued)될 수 있으면, s = −1에서 그것의 값은 급수 a₁ + a₂ + ...의 제타 정칙화된(zeta regularized) 합이라고 불립니다. 제타 함수 정규성은 비선형입니다. 응용에서, 숫자 a_i는 때때로 컴팩트 분해를 갖는 자기-인접 연산자 A의 고윳값이고, f(s)는 그런-다음 A^−s의 대각합입니다. 예를 들어, 만약 A가 고윳값 1, 2, 3, ...을 가지면, f(s)는 s = −1에서 그것의 값이 −1/12인 리만 제타 함수(Riemann zeta function)이며, 값을 발산 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ...로 할당합니다. s의 다른 값은 역시 값을 발산 합 ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2, ζ(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0, 및 일반적으로 다음으로 할당하기 위해 사용될 수 있습니다:

$\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,$

여기서 B_k는 베르누이 숫자(Bernoulli number)입니다.

Integral function means

만약 J(x) = Σp_nxⁿ가 적분 함수이면, 급수 a₀ + ...의 J 합은 만약 이 극한이 존재한다면 다음으로 정의됩니다:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}}.$

J에 대해 급수가 유한 수렴의 반지름 r을 가지고 x = r에서 발산하는 이 방법의 변형이 있습니다. 이 경우에서, x가 무한대보다 r로 경향일 때 극한을 취하는 것을 제외하고 위에서 처럼 그 합을 정의합니다.

Borel summation

J(x) = e^x인 특별한 경우에서, 이것은 하나의 (약한) 보렐 합계(Borel summation)의 형식을 제공합니다.

Valiron's method

발리롱(Valiron)의 방법은 보렐 합계를 특정 보다 일반적인 적분 함수 J로의 일반화입니다. 발리롱은 특정 조건 아래에서 급수의 합을 다음과 같이 정의하는 것과 동등함을 보였습니다:

$\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})$

여기서 H는 G의 이차 도함수이고 c(n) = e^−G(n), 및 a₀ + ... + a_h는 h < 0일 때 0으로 해석되는 것입니다.

Moment methods

du가 다음 모든 모멘트가 유한임을 만족하는 실수 직선 위의 측정이라고 가정합니다:

$\mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu$

만약 a₀ + a₁ + ...가 다음이

$a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots$

u의 지원에서 모든 x에 대해 수렴함을 만족하는 급수이면, 급수의 (dμ) 합은, 만약 그것이 정의되면, 다음 적분의 값으로 정의됩니다:

$\int a(x)\,d\mu$

(만약 숫자 μ_n가 너무 빠르게 증가하면, 그것들은 측정 μ를 고유하게 결정하지 못합니다.)

Borel summation

예를 들어, 만약 양수 x에 대해 dμ = e^−x dx이고 음수 x에 대해 0이면, μ_n = n!이고, 이것은 보렐 합계(Borel summation)의 버전을 제공하며, 여기서 합의 값은 다음에 의해 제공됩니다:

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.$

(B′,α) 합이라고 불리는 변수 α에 의존하는 이것의 일반화가 있으며, 여기서 급수 a₀ + ...의 합은, 만약 이 적분이 존재하면, 다음으로 정의됩니다:

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt$

추가 일반화는 적분 아래에서 합을 작은 t에서 그것의 해석적 연속으로 대체하는 것입니다.

Miscellaneous methods

BGN hyperreal summation

이 합계 방법은 초실수(hyperreal numbers)로 알려진 실수에 대한 확장을 사용함으로써 작동합니다. 초실수는 구별되는 무한 값을 포함하기 때문에, 이들 숫자는 발산 급수의 값을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 핵심 방법은 합해지려는 특정 무한 값, 보통 무한대의 단위로 사용되는 $\omega$를 지정하는 것입니다. 임의적인 무한대로 합하는 대신 (전형적으로 $\infty$로 수행됨), BGN 방법은 $\omega$ 이름-지정된 특정 초실수 무한 값으로 합합니다. 그러므로, 그 합계는 다음 형식의 것입니다:

$\sum _{x=1}^{\omega }f(x)$

이것은 무한 문맥에서 산술 진행(arithmetic progressions)과 같은 유한 급수에 대해 표준 공식의 사용을 허용합니다. 예를 들어, 이 방법을 사용하여, 진행 $1+2+3+\ldots$의 합은 ${\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}$, 또는 단지 가장 중요한 무한 초실수 부분을 사용하여, ${\frac {\omega ^{2}}{2}}$입니다.

Hausdorff transformations

Hardy (1949, chapter 11).

Hölder summation

Main article: Hölder summation

Hutton's method

1812년에, 허튼(Hutton)은 부분 합의 수열로 시작하고, 수열  s₀, s₁, ...을 평균의 수열 s₀ + s₁/2, s₁ + s₂/2, ...로 대체하는 연산을 반복적으로 수행하고, 그런-다음 극한을 취함으로써 발산 급수를 합하는 방법을 소개했습니다 (Hardy 1949, p. 21).

Ingham summability

급수 a₁ + ...는 만약 다음이면 s에 대한 잉엄 합-가능이라고 불립니다:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.$

알버트 잉엄(Albert Ingham)은 만약 δ가 임의의 양수이면 (C,−δ) (체사로) 합가능성은 잉엄 합가능성을 의미하고, 잉엄 합가능성은 (C,δ) 합가능성을 의미함을 보여주었습니다 Hardy (1949, Appendix II).

Lambert summability

급수 a₁ + ...는 만약 다음이면 램버트 합가능(Lambert summable)이라고 불립니다:

$\lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.$

만약 급수가 임의의 k에 대해 (C,k) (체사로) 합가능이면 그것은 같은 값으로 램버트 합가능이고, 만약 급수가 램버트 합가능이면 그것은 같은 값으로 아벨 합가능입니다 Hardy (1949, Appendix II).

Le Roy summation

급수 a₀ + ...는 만약 다음이면 s로 르 로아(Le Roy) 합가능이라고 불립니다:

$\lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.$

Hardy (1949, 4.11)

Mittag-Leffler summation

급수 a₀ + ...는 만약 다음이면 s로 미타그-레플레르(Mittag-Leffler) (M) 합가능이라고 불립니다:

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.$

Hardy (1949, 4.11)

Ramanujan summation

Main article: Ramanujan summation

라마누잔 합계는 라마누잔이 사용하는 발산 급수에 값을 할당하는 방법이고 오일러–매클로린 합계 공식(Euler–Maclaurin summation formula)을 기반으로 합니다. 급수 f(0) + f(1) + ...의 라마누잔 합은 정수에서 f의 값뿐만 아니라, 비-정수 점에서 함수 f의 값에도 의존하므로, 이 기사의 의미에서 실제로 합계 방법이 아닙니다.

Riemann summability

급수 a₁ + ...가 다음이면 s로 (R,k) (또는 리만) 합가능이라고 불립니다:

$\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.$

Hardy (1949, 4.17)

급수 a₁ + ...가 다음이면 s로 R₂ 합가능이라고 불립니다:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.$

Riesz means

Main article: Riesz mean

만약 λ_n가 실수의 증가하는 수열을 형성하고 다음이면

$A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}$

급수 a₀ + ...의 리스(Riesz) (R,λ,κ) 합은 다음으로 정의됩니다:

$\lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.$

Vallée-Poussin summability

급수 a₁ + ...는 만약 다음이면 s로 VP (또는 발레-푸생) 합가능이라고 불립니다:

$\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,$

여기서 $\Gamma (x)$는 감마 함수입니다. Hardy (1949, 4.17).

See also

• Silverman–Toeplitz theorem

References

• Arteca, G.A.; Fernández, F.M.; Castro, E.A. (1990), Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics, Berlin: Springer-Verlag.
• Baker, Jr., G. A.; Graves-Morris, P. (1996), Padé Approximants, Cambridge University Press.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. (1991), Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland.
• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J. (1990), Large-Order Behaviour of Perturbation Theory, Amsterdam: North-Holland.
• Volkov, I.I. (2001) [1994], "Lindelöf summation method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Zakharov, A.A. (2001) [1994], "Abel summation method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• "Riesz summation method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Werner Balser: "From Divergent Power Series to Analytic Functions", Springer-Verlag, LNM 1582, ISBN 0-387-58268-1 (1994).
• William O. Bray and Časlav V. Stanojević(Eds.): "Analysis of Divergence", Springer, ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999).
• Alexander I. Saichev and Wojbor Woyczynski:"Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1", Chap.8 "Summation of divergent series and integrals",Springer (2018).