Grandi's series

Original article: w:Grandi's series

수학(mathematics)에서, 기하 급수(infinite series) $1-1+1-1+\dotsb$는, 역시 다음으로 쓰이며

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

1703년 이탈리아의 수학자이자 철학자이자 사제인 귀도 그란디(Guido Grandi)의 이름 따서 때때로 그란디의 급수(Grandi's series)라고 불리며, 그는 이 급수의 기억할만한 취급법을 제공했습니다. 그것은 발산 급수(divergent series)이며, 보통의 의미에서 합이 없음을 의미합니다. 다른 한편으로, 그것의 체사로 합(Cesàro sum)은 1/2입니다.

Unrigorous methods

다음 급수를 공격하는 하나의 확실한 방법은

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

그것을 망원 급수(telescoping series)처럼 취급하는 것이고 아래 결정된 위치에서 뺄셈을 수행하는 것입니다:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

다른 한편으로, 유사한 다음 괄호-묶는 절차는 명백하게 모순된 결과를 초래합니다:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

따라서, 다양한 방법에서 그란디의 급수에 괄호를 적용함으로써, 우리는 "값"으로 0 또는 1을 얻을 수 있습니다. (에일렌베르크–마주르 사기(Eilenberg–Mazur swindle)라고 불리는 이 아이디어의 변형은 때때로 매듭 이론(knot theory)과 대수학(algebra)에서 사용됩니다.)

그란디의 급수를 발산 기하 급수(divergent geometric series)로 취급하고 수렴 기하 급수를 평가하는 같은 대수적 방법을 사용하여 세 번째 값을 얻습니다:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., so

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S

1 − S = S

1 = 2S,

결과는 S = 1/2입니다. 같은 결론은 −S를 계산하고, S에서 결과를 빼고, 2S = 1을 풂으로써 나옵니다.

위의 조작은 급수의 합이 실제로 의미하는 것과 상기 대수적 방법이 발산 기하 급수(divergent geometric series)에 어떻게 적용될 수 있는지 고려하지 않았습니다. 그래도, 급수를 대괄호로 마음대로 묶을 수 있는 것이 중요하고 산술을 수행할 수 있는 것이 더 중요한 만큼, 우리는 두 가지 결론에 도달할 수 있습니다:

• 급수 1 − 1 + 1 − 1 + ...는 합을 가지지 않습니다.
• ...그러나 그것의 합은 1/2이어야 합니다.

사실, 이들 두 명제는 모두 정확하고 공식적으로 입증될 수 있지만, 19세기에 등장한 잘-정의된 수학적 개념을 사용해야만 합니다. 17세기 후반 유럽에 미적분학이 도입된 후, 그러나 현대적 엄밀함(rigor)이 도래하기 전에, 이들 답 사이의 긴장은 수학자(mathematician) 사이의 "끝없는" 및 "폭력적인" 논쟁으로 특징지어지는 것을 촉발했습니다.

Relation to the geometric series

구간 $(-1,1)$에서 임의의 숫자 $r$에 대해, 기하 급수의 무한대로의 합은 다음을 통해 평가될 수 있습니다:

$\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.$

임의의 $\varepsilon \in (0,2)$에 대해, 우리는 따라서 다음을 찾습니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},$

그리고 따라서 급수 평가의 극한 $\varepsilon \to 0$은 다음입니다:

$\lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.$

어쨌든, 언급된 것처럼, 극한을 전환함으로써 얻어진 다음 급수는 발산합니다:

$\lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$.

복소 해석학(complex analysis)의 관점에서, ${\tfrac {1}{2}}$는 따라서, 오직 복소 단위 디스크 $|z|<1$ 위에 정의되는 급수 $\sum _{n=0}^{N}z^{n}$의 해석적 연속(analytic continuation)의 $z=-1$에서 값으로 보입니다.

Early ideas

Main article: History of Grandi's series

Divergence

현대 수학에서, 무한 급수의 합은, 만약 그것이 존재한다면, 그것의 부분 합(partial sum)의 수열의 극한으로 정의됩니다. 그란디 급수의 부분 합 수열은 1, 0, 1, 0, ...,이며, 이것은 분명하게 임의의 숫자에 접근하지 않습니다 (비록 그것이 0과 1에 둘의 누적 점(accumulation point)을 가짐에도 불구하고). 그러므로, 그란디의 급수는 발산(divergent)합니다.

급수가 절대적으로 수렴(absolutely convergent)하지 않은 한, 개별 항을 재정렬하는 것과 같이, 급수에 대해 무해해 보이는 많은 연산을 수행하는 것은 유효하지 않음을 보여줄 수 있습니다. 그렇지 않으면 이들 연산이 합계의 결과를 변경할 수 있습니다. 나아가서, 그란디 급수의 항은 0 또는 1뿐만 아니라 둘 이상의 연속적인 정수의 임의의 구간에서 누적 점을 가지기 위해 재정렬될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 급수는

$1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots$

(이것에서, 다섯 초기 +1 항 후에, 항은 +1과 −1 항의 쌍에서 교대합니다) 재정렬된 급수에서 각 값이 원래 계열에서 그것으로부터 많아야 4자리 떨어진 값에 해당하는 그란디 급수의 순열(permutation)입니다; 그것의 누적 점은 3, 4, 및 5입니다.

Education

Cognitive impact

약 1987년에, 안나 시에르핀스카(Anna Sierpińska)는 바르샤바(Warsaw) 라이시엄(lyceum)에서 17살의 미적분학 준비 과정 학생들의 그룹에게 그란디의 급수를 소개했습니다. 그녀는 그들의 수학적 경험이 수학과 물리학을 공부하는 동료들보다 덜 중요할 것이라는 기대와 함께 인문학 학생들에게 초점을 맞추었으므로, 그들이 나타내는 인식론적(epistemological) 장애는 라이시엄 학생들에게 여전히 존재할 수 있는 장애를 더 잘 대표할 것입니다.

시에르핀스카는 처음에 학생들이 그란디의 급수에 값을 할당하는 것을 주저할 것으로 예상했는데, 이때 그녀는 기하 급수 공식의 결과로 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹⁄₂라고 주장함으로써 학생들을 놀라게 할 수 있었습니다. 이상적으로, 추론의 오류를 찾고 다양한 공통 비율에 대해 공식을 조사함으로써, 학생들은 "두 종류의 급수가 있고 수렴의 암시적 개념이 태어날 것임을 인식"할 것입니다. 어쨌든, 학생들은 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹⁄₂ 또는 심지어 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1이라는 말을 듣고 충격을 받지 않았습니다. 시에르핀스카는 라이프니츠와 그란디가 ¹⁄₂이 그럴듯한 결과라고 생각했다는 점을 감안할 때 이전 경험, 학생들의 반응이 너무 놀라운 것은 아니라고 말합니다.

"이후 경험, 어쨌든, 이러한 충격의 부족에 대한 학생들 측의 설명은 다소 다를 수 있습니다. 그들은 불합리를 침착하게 받아들였는데 왜냐하면, 결국, '수학은 완전하게 추상적이고 현실과 동떨어져 있고', '그것들 수학적 변환과 함께 모든 종류의 넌센스를 증명할 수 있습니다'라고 나중에 한 소년이 말했습니다."

학생들은 궁극적으로 수렴의 문제에서 면역되지 못했습니다; 시에르핀스카는 다음 날 십진 전개와 그것을 연결함으로써 문제에 그들을 참여시키는 데 성공했습니다. 0.999... = 1이 학생들을 놀라게 하자마자, 그녀의 나머지 자료는 "그들의 귀를 지나갔습니다".

Preconceptions

2000년경 이탈리아(Italy) 트레비소도(Treviso)에서 수행된 또 다른 연구에서, 과학 고등학교(Liceo Scientifico)의 3학년 및 4학년 학생 (16세에서 18세 사이)에게 다음을 묻는 카드가 주어졌습니다:

"1703년에, 수학자 귀도 그란디는 다음 덧셈을 연구했습니다: 1 – 1 + 1 – 1 + ... (무한하게 많은 합수는 항상 +1과 -1입니다). 그것에 대한 당신의 의견은 무엇입니까?"

학생들은 무한집합의 아이디어를 소개받았지만, 무한급수에 대한 사전 경험은 없었습니다. 그들에게는 책이나 계산기없이 10분이 주어졌습니다. 88개의 응답은 다음과 같이 분류되었습니다:

(26) 결과는 0입니다

(18) 결과는 0 또는 1이 될 수 있습니다

(5) 결과는 존재하지 않습니다

(4) 결과는 ¹⁄₂입니다

(3) 결과는 1입니다

(2) 결과는 무한대입니다

(30) 답이 없습니다

연구원, 조르지오 반니(Giorgio Bagni)는 그들의 추론을 결정하기 위해 몇몇 학생들을 접견했습니다. 그 중 16명은 그란디와 리카티의 논리와 유사한 논리로 0이라는 답을 정당화했습니다. 다른 사람들은 ¹⁄₂을 0과 1의 평균으로 정당화했습니다. 반니는 그들의 추론이, 라이프니츠와 유사하지만, 18세기 수학에 매우 중요한 확률론적 근거가 부족하다고 지적합니다. 그는 문화적 맥락은 다르지만 응답은 역사적 발전과 개인의 발전 사이의 연결과 일치한다고 결론지었습니다.

Prospects

조엘 레만(Joel Lehmann)은 서로 다른 합 개념 사이를 구별하는 과정을 개념적 틈새에 다리를 놓는 것으로 설명합니다: 18세기 수학을 괴롭힌 발산에 대한 혼란입니다.

"급수는 일반적으로 역사없이 및 응용과 분리되어 제시되기 때문에, 학생은 "이게 뭐지?"뿐만 아니라 "이걸 왜 하는 거지?"를 궁금해해야 합니다. 합이 아닌 수렴을 결정하는 데 몰두하는 것은 전체 프로세스를 많은 학생과 마찬가지로 강사에게 인공적이고 무의미하게 보이게 만듭니다."

그 결과, 많은 학생들이 오일러와 유사한 태도를 갖게 됩니다:

"...자연적으로 (즉, 본성에서) 발생하는 문제에는 해결책이 있으므로, 일이 결국 해결될 것이라는 가정은 일종의 증명의 존재의 필요성없이 실험적으로 정당화됩니다. 모든 것이 괜찮다고 가정하고, 만약 도달한 해결책이 작동한다면, 당신이 아마도 옳았거나 적어도 충분히 옳을 것입니다. ...그래서 왜 숙제 문제에만 나타나는 세부 사항을 귀찮게 합니까?"

레만은 칼렛(Calet)에 의한 그란디 급수의 오일러의 취급에 대항하여 진보되었던 동일한 예제를 갖는 이 반대를 충족할 것을 권장합니다.

Summability

Main article: Summation of Grandi's series

Related problems

Main article: Occurrences of Grandi's series

급수 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + .... (무한대까지(up to))는 역시 발산하지만, 일부 방법은 그것을 1⁄4로 합하는 것으로 사용될 수 있습니다. 이것은 대부분의 합계 방법이 그란디 급수에 할당하는 값의 제곱으로, 그란디 급수의 두 사본의 코시 곱(Cauchy product)으로 보일 수 있으므로 합리적입니다.

See also

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• Ramanujan summation
• Cesàro summation
• Thomson's lamp

External links

• One minus one plus one minus one – Numberphile, Grandi's series