Divisibility rule

Original article: w:Divisibility rule

나눔가능성 규칙(divisibility rule)은, 보통 숫자의 자릿수를 검사함으로써, 주어진 정수(integer)가 나눗셈 수행없이 고정된 제수(divisor)로 나뉠 수 있는지 여부를 결정하는 간단한 방법입니다. 비록 임의의 기수(radix) 또는 밑수에 대해 나눔가능성 테스트가 있고, 그것들이 모두 다르지만, 이 기사는 오직 십진(decimal) 또는 밑수 10, 숫자에 대해 규칙과 예제를 제공합니다. 마틴 가드너(Martin Gardner)는 Scientific American의 1962년 9월 "Mathematical Games" 칼럼에서 이들 규칙을 설명하고 대중화했습니다.

Divisibility rules for numbers 1–30

아래에 주어진 규칙은 주어진 숫자를 일반적으로 더 작은 숫자로 변환하지만, 관심있는 제수에 의한 나눗셈을 유지합니다. 그러므로, 달리 명시되지 않은 한, 결과 숫자는 같은 제수로 나눔가능성에 대해 평가되어야 합니다. 어떤 경우에서, 과정은 나눔가능성이 분명해질 때까지 반복될 수 있습니다; (마지막 n 자릿수 검사와 같은) 다른 경우에 대해, 결과는 다른 수단으로 검사되어야 합니다.

여러 규칙을 갖는 제수에 대해, 규칙은 일반적으로 많은 자릿수를 갖는 숫자에 적합한 규칙에 대해 먼저 순서화되며, 그런-다음 그것들은 더 적은 자릿수를 가진 숫자에 유용합니다.

주목: 2ⁿ 또는 5ⁿ으로, 이것에서 n은 양의 정수이며, 표현될 수 있는 임의의 숫자로 나눔가능성 테스트하기 위해, 단지 마지막 n 자릿수를 조사하십시오.

주목: 소수 인수 $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$의 곱으로 표현되는 임의의 숫자로 나눔가능성을 테스트하기 위해, 우리는 각각의 나눔가능성에 대해 적절한 거듭제곱에 대한 각 소수로 개별적으로 테스트될 수 있습니다. 예를 들어, 24 (24 = 8*3 = 2³*3)에 의한 나눔가능성을 테스트하는 것은 8 (2³)과 3에 의한 나눔가능성을 동시에 테스트하는 것과 동등하고, 따라서 우리는 오직 24에 의한 나눔가능성을 입증하기 위해 8과 3에 의한 나눔가능성을 보일 필요가 있습니다.

제수	나눔가능성 조건	예제
1	특별한 조건이 없습니다. 임의의 정수는 1로 나누어질 수 있습니다.	2는 1로 나뉠 수 있습니다.
2	마지막 자릿수가 짝수 (0, 2, 4, 6, 또는 8)입니다.	1294: 4는 짝수입니다.
3	자릿수를 합합니다. 그 결과가 3으로 나뉠 수 있어야 합니다.	405 → 4 + 0 + 5 = 9 및 636 → 6 + 3 + 6 = 15 이것 둘 다는 분명하게 3으로 나뉠 수 있습니다. 16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6는 합해서 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, 이것은 분명하게 3으로 나뉠 수 있습니다.
	숫자에서 자릿수 1, 4, 및 7의 횟수에서 숫자에서 숫자 2, 5, 및 8의 횟수를 뺍니다. 결과는 3으로 나뉠 수 있어야 합니다.	위의 예제를 사용하면: 16,499,205,854,376는 자릿수 1, 4 및 7이 4번 나타나고 자릿수 2, 5 및 8이 4번 나타납니다; 4 − 4 = 0은 3의 배수이므로, 숫자 16,499,205,854,376는 3으로 나뉠 수 있습니다.
4	마지막 두 자릿수가 4로 나뉠 수 있는 것을 형성합니다.	40,832: 32는 4로 나뉠 수 있습니다.
	만약 십 자릿수가 짝수이면, 일 자릿수는 0, 4, 또는 8이어야 합니다. 만약 십 자릿수가 홀수이면, 일 자릿수는 2 또는 6이어야 합니다.	40,832: 3은 홀수이고, 마지막 자릿수는 2이므로, 4로 나뉠 수 있습니다.
	십 자릿수의 두 배에 일 자리를 더한 것이 4로 나뉠 수 있습니다.	40832: 2 × 3 + 2 = 8, 이것은 4로 나뉠 수 있습니다.
5	마지막 자릿수가 0 또는 5입니다.	495: 마지막 자릿수가 5입니다.
6	숫자는 2로 나뉘고 3으로 나뉘어야 합니다.	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18이므로, 그것은 3으로 나뉠 수 있고 마지막 자릿수가 짝수이고, 따라서 숫자는 6으로 나뉠 수 있습니다.
7	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블록을 교대하는 합(alternating sum)을 형성는 것은 7의 배수를 제공합니다.	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	마지막 자릿수를 5배하고 나머지를 합하는 것은 7의 배수를 제공합니다. (49가 7로 나뉠 수 있기 때문에 작동합니다.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	마지막 자릿수를 2배하고 나머지에서 빼는 것은 7의 배수를 제공합니다. (21이 7로 나뉠 수 있기 때문에 작동합니다.)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	마지막 자릿수를 9배하고 나머지에서 빼는 것은 7의 배수를 제공합니다.	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	첫 자릿수에 3배를 하고 다음 자릿수를 더하고, 그런-다음 결과에 숫자의 남은 부분을 뒤에 덧붙인 것이 7의 배수를 제공합니다. (이것은 10a + b − 7a = 3a + b이기 때문에 작동합니다; 마지막 숫자는 10a + b와 같은 나머지를 가집니다.)	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6, 63: 6×3 + 3 = 21.
	마지막 두 자릿수에 숫자의 남은 부분을 두 배한 것을 더하면 7의 배수를 제공합니다. (98이 7로 나뉠 수 있기 때문에 작동합니다.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	(왼쪽에서 오른쪽으로) 이 패턴: 1, 3, 2, −1, −3, −2에서 대응하는 위치에 있는 자릿수를 곱하십시오 (십만 자리를 초과하는 자릿수에 대해 반복하십시오). 결과를 더하면 7의 배수를 제공합니다.	483,595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	7로 나뉠 때 (오른쪽에서 왼쪽으로) 각 자릿수 쌍의 나머지를 계산합니다. 맨 오른쪽 나머지에 1을 곱하고, 왼쪽에 있는 다음 것에 2를 곱하고 그 다음에 4를 곱하며, 십만 자리를 초과하는 자릿수 쌍에 대한 패턴을 반복합니다. 결과를 더하면 7의 배수를 제공합니다.	194,536: 19|45|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27이므로, 7로 나뉠 수 없습니다 204,540: 20|45|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35이므로, 7로 나뉠 수 있습니다.
8	만약 백 자릿수가 짝수이면, 마지막 두 자릿수로 형성된 숫자가 8로 나뉠 수 있어야 합니다.	624: 24.
	만약 백 자릿수가 홀수이면, 마지막 두 자릿수로 얻어진 숫자에 4를 더한 것이 8로 나뉠 수 있어야 합니다.	352: 52 + 4 = 56.
	마지막 자릿수에 숫자의 남은 부분을 두 배한 것을 더합니다. 결과는 8로 나뉠 수 있어야 합니다.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	마지막 세 자릿수가 8로 나뉠 수 있습니다.	34,152: 단지 152의 나눔가능성을 조사합니다: 19 × 8
	백 자릿수를 네 배하고 십 자릿수를 두 배하고 일 자릿수를 전부 더합니다. 결과는 8로 나뉠 수 있어야 합니다.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	자릿수를 더합니다. 결과는 8로 나뉠 수 있어야 합니다.	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	일 자릿수가 0입니다.	130: 일 자릿수가 0입니다.
11	자릿수의 교대하는 합을 형성합니다. 결과가 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	오른쪽에서 왼쪽으로 둘의 블럭에서 자릿수를 더합니다. 결과는 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	마지막 자릿수를 숫자의 남은 부분에서 뺍니다. 결과가 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	마지막 자릿수를 백 자리에 더합니다 (마지막 자릿수에 10배를 하고 숫자의 나머지에 더합니다). 결과가 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	만약 자릿수의 개수가 짝수이면, 숫자의 남은 부분에서 첫 번째 자릿수를 더하고 마지막 자릿수를 뺍니다. 결과가 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	918,082: 자릿수의 개수는 짝수 (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
	만약 자릿수의 개수가 홀수이면, 숫자의 남은 부분에서 첫 번째 자릿수와 마지막 자릿수를 뺍니다. 결과가 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	14,179: 자릿수의 개수는 홀수 (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
12	그것은 3과 4로 나뉠 수 있습니다.	324: 그것은 3과 4로 나뉠 수 있습니다.
	마지막 자릿수를 숫자의 나머지 부분을 두 배한 것에서 뺍니다. 결과는 12로 나뉠 수 있어야 합니다.	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블록의 교대하는 합(alternating sum)을 형성합니다. 결과는 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	2,911,272: 272 - 911 + 2 = -637
	마지막 자릿수를 4배하고 숫자의 남은 부분을 더합니다. 결과는 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남은 부분을 4배한 것에서 뺍니다. 결과는 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	마지막 자릿수를 9배한 것을 숫자의 남은 부분에서 뺍니다. 결과는 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	그것은 2와 7로 나뉠 수 있습니다.	224: 그것은 2와 7로 나뉠 수 있습니다.
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남은 부분을 두 배한 것과 더합니다. 결과는 14로 나뉠 수 있어야 합니다.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	그것은 3와 5로 나뉠 수 있습니다.	390: 그것은 3와 5로 나뉠 수 있습니다.
16	만약 천 자릿수가 짝수이면, 마지막 세 자릿수로 형성된 숫자가 16으로 나뉠 수 있어야 합니다.	254,176: 176.
	만약 천 자릿수가 홀수이면, 마지막 세 자릿수로 형성된 숫자에 8을 더한 것이 16으로 나뉠 수 있어야 합니다.	3408: 408 + 8 = 416.
	마지막 두 자릿수에 숫자의 남은 부분을 4배한 것을 더합니다. 결과는 16으로 나뉠 수 있어야 합니다.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	마지막 네 자릿수는 16으로 나뉠 수 있어야 합니다.	157,648: 7,648 = 478 × 16.
17	마지막 자릿수를 5배한 것을 숫자의 남은 부분에서 뺍니다.	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남은 부분을 2배한 것에서 뺍니다.	4,675: 46 × 2 - 75 = 17.
	마지막 자릿수를 9배한 것과 숫자의 남은 부분을 5배한 것을 더합니다. 후행하는 영들은 버립니다.	4,675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187.
18	그것은 2와 9로 나뉠 수 있습니다.	342: 그것은 2와 9로 나뉠 수 있습니다.
19	마지막 자릿수를 2배한 것과 숫자의 남은 부분을 더합니다.	437: 43 + 7 × 2 = 57.
	마지막 두 자릿수를 4배한 것과 숫자의 남은 부분을 더합니다.	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	그것은 10으로 나뉠 수 있고, 십 자릿수가 짝수입니다.	360: 이것은 10으로 나뉠 수 있고, 6은 짝수입니다.
	마지막 두 자릿수로 형형된 숫자가 20으로 나뉠 수 있습니다.	480: 80은 20으로 나뉠 수 있습니다.
21	마지막 자릿수를 2배한 것을 숫자의 남은 부분에서 빼면 21의 배수를 제공합니다.	168: 16 − 8 × 2 = 0.
	그것은 3과 7로 나뉠 수 있습니다.	231: 이것은 3과 7로 나뉠 수 있습니다.
22	그것은 2와 11로 나뉠 수 있습니다.	352: 이것은 2와 11로 나뉠 수 있습니다.
23	마지막 자릿수에 7배를 하고 숫자의 남은 부분과 더합니다.	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	마지막 두 자릿수를 3배하고 숫자의 남은 부분을 더합니다.	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
24	그것은 3과 8로 나뉠 수 있습니다.	552: 이것은 3과 8로 나뉠 수 있습니다.
25	마지막 두 자릿수로 형성된 숫자를 조사합니다.	134,250: 50은 25로 나뉠 수 있습니다.
26	그것은 2와 13으로 나뉠 수 있습니다.	156: 이것은 2와 13으로 나뉠 수 있습니다.
	마지막 자릿수를 5배한 것을 숫자의 남은 부분을 2배한 것에서 빼면 26의 배수를 제공합니다.	1248 : (124 ×2) - (8×5) =208=26×8
27	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블록에서 자릿수를 더합니다.	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	마지막 자릿수를 8배 한 것을 숫자의 남은 부분에서 뺍니다.	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남은 부분을 8배한 것에서 뺍니다.	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	그것은 4와 7로 나뉠 수 있습니다.	140: 이것은 4와 7로 나뉠 수 있습니다.
29	마지막 자릿수를 3배 한것과 숫자의 남은 부분을 더합니다.	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	마지막 두 자릿수를 9배한 것과 숫자의 남은 부분을 더합니다.	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
30	그것은 3과 10으로 나뉠 수 있습니다.	270: 이것은 3과 10으로 나뉠 수 있습니다

Step-by-step examples

Divisibility by 2

먼저 임의의 숫자 (이 예제에서 376)를 취하고 다른 자릿수를 무시하고 숫자에서 마지막 자릿수를 적어둡니다. 그런-다음 숫자의 남은 부분을 무시하고 해당 자릿수 (6)를 가져오고 그것이 2로 나뉠 수 있는지 확인합니다. 만약 그것이 2로 나뉠 수 있으면, 원래 숫자는 2로 나뉠 수 있습니다.

예제

1. 376 (원래 숫자)
2. 37 6 (마지막 자릿수를 가져옵니다)
3. 6 ÷ 2 = 3 (마지막 자릿수가 2로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
4. 376 ÷ 2 = 188 (만약 마지막 자릿수가 2로 나뉠 수 있으면, 정수는 2로 나뉠 수 있습니다)

Divisibility by 3 or 9

먼저, 임의의 숫자 (이 예제에서 492)를 취하고 숫자에서 각 숫자를 함께 더합니다 (4 + 9 + 2 = 15). 그런-다음 해당 합 (15)을 취하고 그것이 3으로 나뉠 수 있는지 확인합니다. 원래 숫자는 3 (또는 9)로 나뉠 수 있는 것과 그것의 자릿수의 합이 3 (또는 9)으로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

숫자의 자릿수를 더하고, 그런-다음 오직 한 자릿수가 남을 때까지 결과에 프로세스를 반복하면, 그것이 9로 나뉠 수 있으면 원래 숫자의 나머지(remainder)를 제공할 것입니다 (만약 단일 자릿수가 자체로 9이면 이 경우에서 그 숫자는 9로 나뉠 수 있고 나머지는 영입니다).

이것은 임의의 표준 위치 시스템(standard positional system)으로 일반화될 수 있으며, 이것에서 문제의 제수는 그런-다음 기수(radix)보다 일만큼 적게 됩니다; 따라서 밑수-12(base-twelve)에서, 자릿수는 11로 나뉘면 원래 숫자의 나머지에 합해질 것이고, 숫자는 만약 자릿수의 합이 11로 나뉠 수 있으면 오직 11로 나뉠 수 있습니다.

만약 숫자가 임의의 순서에서 3 동일한 연속된 자릿수의 곱이면, 해당 숫자는 항상 3으로 나뉠 수 있습니다. 이것은 숫자가 (n × (n − 1) × (n + 1))의 형식을 취할 때 유용합니다.

예제.

1. 492 (원래 숫자)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (각 개별 자릿수를 함께 더합니다)
3. 15는 3으로 나눌 수 있으며 그 지점에서 멈출 수 있습니다. 대안적으로 숫자가 여전히 너무 크면 같은 방법을 계속 사용할 수 있습니다.
4. 1 + 5 = 6 (각 개별 자릿수를 함께 더합니다)
5. 6 ÷ 3 = 2 (받은 숫자가 3으로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
6. 492 ÷ 3 = 164 (만약 규칙을 사용함으로써 얻어진 숫자가 3으로 나뉠 수 있으면, 정수는 3으로 나뉠 수 있습니다)

예제.

1. 336 (원래 숫자)
2. 6 × 7 × 8 = 336
3. 336 ÷ 3 = 112

Divisibility by 4

4로 나뉠 수 있는 기본 규칙은 숫자에서 마지막 두 자리로 형성된 숫자를 4로 나뉠 수 있으면, 원래 숫자가 4로 나뉠 수 있다는 것입니다; 이것은 100이 4로 나뉠 수 있고 따라서 수백, 수천 등을 더하는 것은 단순히 4로 나뉠 수 있는 다른 숫자를 더하는 것이기 때문입니다. 만약 두 자리 숫자로 끝나는 임의의 숫자가 4로 나뉠 수 있다는 것을 알고있으면 (예를 들어, 24, 04, 08 등), 정수는 마지막 두 자릿수 앞의 숫자에 관계없이 4로 나뉠 것입니다.

대안적으로, 우리는 단순히 숫자를 2로 나눌 수 있고, 그런-다음 결과를 확인하여 2로 나뉠 수 있는지 확인할 수 있습니다. 만약 그렇다면, 원래 숫자는 4로 나뉠 수 있습니다. 게다가, 이 테스트의 결과는 원래 숫자를 4로 나눈 것과 같습니다.

예제.
일반적인 규칙

1. 2092 (원래 숫자)
2. 20 92 (숫자의 마지막 두 자릿수를 취하는데, 임의의 다른 자릿수를 무시합니다)
3. 92 ÷ 4 = 23 (숫자가 4로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (만약 구해진 숫자가 4로 나뉠 수 있으면, 원래 숫자는 4로 나뉠 수 있습니다)

대안적인 예제

1. 1720 (원래 숫자)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (원래 숫자를 2로 나눕니다)
3. 860 ÷ 2 = 430 (결과가 2로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (만약 결과가 2로 나뉠 수 있으면, 원래 숫자는 4로 나뉠 수 있습니다)

Divisibility by 5

5에 의한 나눔가능성은 숫자 (475)에서 마지막 자릿수를 확인하고, 만약 그것이 0 또는 5인지 확인함으로써 쉽게 결정됩니다. 만약 마지막 숫자가 0 또는 5이면, 전체 숫자는 5로 나뉠 수 있습니다.

만약 숫자에서 마지막 자릿수가 0이면, 결과는 남아있는 자릿수에 2를 곱한 값일 것입니다. 예를 들어, 숫자 40은 영 (0)으로 끝나므로, 남아있는 자릿수 (4)를 취하고 그것에 2를 곱합니다 (4 × 2 = 8). 결과는 40을 5로 나눈 결과와 같습니다 (40/5 = 8).

만약 숫자에서 마지막 자릿수가 5이면, 결과는 남아있는 자릿수에 2를 곱하고, 1을 더한 값일 것입니다. 예를 들어, 숫자 125는 5로 끝나므로, 남아있는 숫자 (12)에 2를 취하고, 그것을데 2를 곱하고 (12 × 2 = 24), 그런-다음 1을 더합니다 (24 + 1 = 25). 결과는 125를 5로 나눈 결과와 같습니다 (125/5=25).

예제.
만약 마지막 자릿수가 0이면

1. 110 (원래 숫자)
2. 11 0 (숫자의 마지막 자릿수를 취하고, 그것이 0 또는 5인지 확인하십시오)
3. 11 0 (만약 그것이 0이면, 마지막 것은 무시하여 남아있는 자릿수를 취하십시오)
4. 11 × 2 = 22 (결과에 2를 곱하십시오)
5. 110 ÷ 5 = 22 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 값과 같습니다)

만약 마지막 자릿수가 5이면

1. 85 (원래 숫자)
2. 8 5 (숫자의 마지막 자릿수를 취하고, 그것이 0 또는 5인지 확인하십시오)
3. 8 5 (만약 그것이 5이면, 마지막 것은 무시하여 남아있는 자릿수를 취하십시오)
4. 16 + 1 = 17 (1을 결과에 더하십시오)
5. 85 ÷ 5 = 17 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 것과 같습니다)

Divisibility by 6

6에 의한 나눔가능성은 원래 숫자가 짝수 (2로 나뉨)이고 3으로 나뉠 수 있는지 확인하여 결정됩니다. 이것은 사용하기에 가장 좋은 테스트입니다.

만약 숫자가 6으로 나뉠 수 있으면, 원래 숫자를 (246)을 취하고 그것을 2로 나눕니다 (246 ÷ 2 = 123). 그런-다음 해당 결과를 취하고 그것을 삼으로 나눕니다 (123 ÷ 3 = 41). 이 결과는 원래 숫자를 육으로 나눈 것과 같습니다 (246 ÷ 6 = 41)

예제.

일반적인 규칙

1. 324 (원래 숫자)
2. 324 ÷ 3 = 108 (원래 숫자가 3으로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
3. 324 ÷ 2 = 162 또는 108 ÷ 2 = 54 (원래 숫자 또는 이전 방정식의 결과가 2로 나뉠 수 있는지 확인하십시오)
4. 324 ÷ 6 = 54 (마지막 단계에서 테스트 중 하나가 참이면, 원래 숫자는 6으로 나뉠 수 있습니다. 역시, 두 번째 테스트의 결과는 원래 숫자를 6으로 나눈 것과 같은 결과를 반환합니다)

6으로 나뉠 때 숫자의 나머지를 찾기

(1, −2, −2, −2, −2, 및 −2 이런 식으로 계속됩니다) 주기 없음. -- 최대 크기 수열

(1, 4, 4, 4, 4, 및 4 이런 식으로 계속됩니다) -- 양의 수열

가장 오른쪽 자릿수에 수열의 가장 왼쪽 숫자를 곱하고 두 번째 오른쪽 자릿수에 수열에서 가장 왼쪽의 두 번째 숫자를 곱하고 이런 식으로 계속됩니다.

다음으로, 모든 값의 합을 계산하고 6에 의한 나눗셈에 대한 나머지를 취합니다.

예제: 1036125837가 6으로 나뉘었을 때 나머지는 무엇입니까?

가장 오른쪽 자릿수의 곱셈 = 1 × 7 = 7

두 번째 가장 오른쪽 자릿수의 곱셈 = 3 × −2 = −6

세 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −16

네 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −10

다섯 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −4

여섯 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −2

일곱 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −12

여덟 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −6

아홉 번째 가장 오른쪽 자릿수 = 0

열 번째 가장 오른쪽 자릿수 = −2

합 = −51

−51 ≡ 3 (모드 6)

나머지 = 3

Divisibility by 7

7에 의한 나눔가능성은 재귀적 방법으로 테스트될 수 있습니다. 형식 10x + y의 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것과 x − 2y가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 달리 말해서, 마지막 자릿수를 두 배한 것을 남아있는 자릿수로 형성된 숫자에서 뺍니다. 그것이 7로 나뉠 수 있는지 여부가 알려진 숫자를 얻을 때까지 이것을 계속하십시오. 원래 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것과 이 절차를 사용하여 얻어진 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, 숫자 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7입니다; 따라서, −7은 7로 나뉠 수 있으므로, 371은 7로 나뉠 수 있습니다.

유사하게 형식 10x + y의 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것과 x + 5y가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입나다. 따라서 마지막 자릿수를 5배한 것을 남아있는 자릿수로 형성된 숫자를 더하고, 그것이 7로 나뉠 수 있는지 여부가 알려진 숫자를 얻을 때까지 이것을 계속합니다.

또 다른 방법은 3에 의한 곱셈입니다. 형식 10x + y의 숫자는 3x + y로 7로 나뉠 때 같은 나머지를 가집니다. 우리는 원래 숫자의 가장 왼쪽 자릿수에 3을 곱하고, 다음 자릿수를 더하고, 7으로 나뉘었을 때 나머지를 취하고, 처음부터 계속합니다: 3을 곱하고, 다음 자릿수를 더하는, 등의 작업을 수행합니다. 예를 들어 숫자 371: 3×3 + 7 = 16 나머지 2, 2×3 + 1 = 7. 이 방법은 7에 의한 나눗셈의 나머지를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.

7에 의한 나눔가능성을 테스트하는 보다 복잡한 알고리듬은 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1, ... (모드 7)라는 사실을 사용합니다. 숫자 (371)의 각 자릿수를 역순 (173)으로 취하고, 그것들을 자릿수 1, 3, 2, 6, 4, 5에 연속적으로 곱하는데, 필요한 만큼 이 승수의 수열을 반복하고 (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), 곱을 더합니다 (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). 원래 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것과 이 절차를 사용하여 얻어진 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다 (따라서 371은 7로 나뉠 수 있는데 왜냐하면 28이 그렇기 때문입니다).

이 방법은 곱할 필요를 제거함으로써 단순화될 수 있습니다. 이 단순화를 위해 필요한 것은 위의 수열 (132645...)를 암기하고, 더하고 빼는 것이지 만, 항상 한-자리 숫자로 작업하는 것입니다.

단순화는 다음처럼 갑니다:

• 예를 들어 숫자 371을 취합니다.
• 7, 8 또는 9의 모든 발생을 각각 0, 1 및 2로 변경하십시오. 이 예제에서, 우리는 다음을 얻습니다: 301. 이 두 번째 단계는 가장 왼쪽의 자릿수를 제외하고 건너뛸 수 있지만, 그것을 따라오는 것은 나중에 계산을 용이하게 할 수 있습니다.
• 이제 첫 번째 자릿수 (3)를 수열 13264513...에서 다음 자릿수로 변환합니다. 이 예제에서 3은 2가 됩니다.
• 이전 단계 (2)에서 결과를 숫자의 두 번째 자릿수에 더하고, 결과를 자릿수 둘 다로 대체하고, 모든 남아있는 자릿수는 수정하지 않은 상태로 둡니다: 2 + 0 = 2. 따라서 301은 21이 됩니다.
• 인식할 수 있는 7의 배수를 가질 때까지 절차를 반복하거나, 0과 6 사이의 숫자를 확인하십시오. 따라서, 21 (인식가능한 7의 배수)부터 시작하여, 첫 번째 자릿수 (2)를 취하고 그것을 위의 순서에서 따라오는 것으로 변환합니다: 2는 6이 됩니다. 그런-다음 이것을 두 번째 자릿수에 더합니다: 6 + 1 = 7.
• 만약 어느 시점에서 첫 번째 자릿수가 8 또는 9이면, 이것들은, 각각, 1 또는 2가 됩니다. 그러나 만약 그것이 7이면, 오직 다른 자릿수가 뒤따르지 않으면 그것은 0이 되어야 합니다. 그렇지 않으면, 그것은 단순히 버려져야 합니다. 이것은 7이 0이 되었고, 십진 점 앞 적어도 두 자릿수를 갖는 숫자가 0으로 시작하지 않아, 쓸모가 없기 때문입니다. 이에 따라, 7은 0이 됩니다.

만약 이 절차를 통해 0 또는 인식가능한 7의 배수를 얻으면, 원래 숫자는 7의 배수입니다. 만약 1에서 6까지 임의의 숫자를 얻으면, 7의 배수를 얻기 위해 원래 숫자에서 얼마나 빼야 하는지를 나타낼 것입니다. 달리 말해서, 숫자를 7로 나누는 것의 나머지를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 186을 사용합니다:

• 먼저, 8을 1로 변경합니다: 116.
• 이제, 1을 수열에서 따라오는 자릿수 (3)으로 변경하고, 그것을 두 번째 자릿수에 더하고, 둘 대신에 결과를 씁니다: 3 + 1 = 4. 따라서 116은 이제 46이 됩니다.
• 이 절차를 반복하는데, 왜냐하면 숫자가 7보다 더 크기 때문입니다. 이제, 4는 7가 되며, 이것은 6에 더해져야 합니다. 즉, 11.
• 그 절차를 한 번 더 반복하십시오: 1은 3이 되며, 이것은 두 번째 자릿수 (1)에 더합니다: 3 + 1 = 4.

이제 우리는 7보다 낮은 숫자를 가지고, 이 숫자 (4)는 나눗셈 186/7의 나머지입니다. 따라서 186 minus 4는, 이것은 182이며, 7의 배수가 되어야 합니다.

주목: 이것이 작동하는 이유는 우리가 a+b=c를 가지고 b가 주어진 숫자 n의 배수이면, a와 c는 n으로 나뉠 때 반드시 같은 나머지를 생성할 것이기 때문입니다. 다시 말해서, 2 + 7 = 9에서, 7은 7로 나뉠 수 있습니다. 따라서 2와 9는 7로 나뉠 때 같은 나머지를 가져야 합니다. 나머지는 2입니다.

그러므로, 만약 n이 7의 배수이면 (즉: n/7의 나머지가 0이면), 7의 배수를 더하는 것 (또는 빼는 것)은 해당 속성을 변경하지 않습니다.

대부분의 나눔가능성 규칙에 대해 위에서 설명한 것처럼, 이 절차가 수행하는 작업은 그것이 7의 배수인지 기억할 수 있을 만큼 충분히 작은 숫자에 도달 할 때까지 원래 숫자에서 7의 배수를 조금씩 빼는 것입니다. 만약 1이 따라오는 십진 위치에서 3이 되면, 그것은 단지 10×10ⁿ을 3×10ⁿ으로 변환하는 것과 같습니다. 그리고 그것은 실제로 10×10ⁿ에서 7×10ⁿ (분명히 7의 배수)을 빼는 것과 같습니다.

유사하게, 따라오는 십진 위치에서 3을 2로 바꾸면, 30×10ⁿ을 2×10ⁿ으로 바꾸는 것이며, 이것은 30×10ⁿ−28×10ⁿ을 빼는 것과 같고, 이것은 다시 7의 배수를 뺀 것입니다. 같은 이유는 모든 남아있는 변환에 대해 적용됩니다:

• 20×10ⁿ − 6×10ⁿ=14×10ⁿ
• 60×10ⁿ − 4×10ⁿ=56×10ⁿ
• 40×10ⁿ − 5×10ⁿ=35×10ⁿ
• 50×10ⁿ − 1×10ⁿ=49×10ⁿ

첫 번째 방법 예제
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. 답: 1050는 7로 나뉠 수 있습니다.

두 번째 방법 예제
1050 → 0501 (역순) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (곱하고 더함). 답: 1050는 7로 나뉠 수 있습니다.

진동에 의한 나눔가능성의 베다 방법
7에 의한 나눔가능성은 Ekhādika에 의한 곱셈으로 테스트될 수 있습니다. 제수 7을 7에 의한 곱셈으로 9의 가족으로 변환합니다. 7×7 = 49. 일를 더하고 단위 자릿수를 버리고, 5, Ekhādika를 배수로 취하십시오. 오른쪽에서 시작하십시오. 5를 곱하고 왼쪽의 다음 자릿수에 대한 곱을 더합니다. 해당 결과를 해당 자릿수 아래 줄에 적으십시오. 단위 자릿수에 5를 곱하고 해당 곱을 십의 숫자에 더하는 방법을 반복합니다. 그 결과를 왼쪽에 다음 자릿수에 더하십시오. 해당 결과를 그 자릿수 아래에 적으십시오. 끝까지 계속하십시오. 만약 최종 결과가 0 또는 7의 배수이면 예, 그 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다. 그렇지 않으면, 나눌 수 없습니다. 이것은 베다의 아이디얼, 한-줄 표기법을 따릅니다.

베다 방법 예제:

438,722,025는 7로 나눌 수 있습니까?  배수 = 5.
 4  3  8  7  2  2  0  2  5
42 37 46 37  6 40 37 27
예

7에 의한 나눔가능성의 폴만-매스(Pohlman–Mass) 방법
폴만-매스 방법은 대부분의 정수가 3단계 이하로 7로 나뉠 수 있는지 여부를 결정할 수 있는 빠른 해를 제공합니다. 이 방법은 MATHCOUNTS와 같은 수학 대회에서 유용할 수 있으며, 여기서 시간은 스프린트 라운드(Sprint Round)에서 계산기없이 해를 결정하는 인자입니다.

단계 A: 만약 정수가 1,000보다 작으면, 마지막 자릿수를 2배한 것을 남아있는 자릿수에 의해 형성된 숫자에서 뺍니다. 만약 결과가 7의 배수이면, 원래 숫자도 그렇습니다 (반대도 마찬가지입니다). 예를 들어:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4  =  7  예
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  예
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  아니오

1,001이 7로 나뉘기 때문에, 모든 그러한 숫자가 7로 나뉠 수 있다는 점에서 6-자리 숫자 (선행하는 0이 허용됨)를 형성하는 1, 2, 또는 3 자릿수의 반복하는 집합에 대해 흥미로운 패턴이 개발됩니다. 예를 들어:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

위의 모든 예제에 대해, 마지막 세 자릿수에서 처음 세 자릿수를 빼면 7의 배수를 초래합니다. 선행하는 0은 6-자리 패턴을 형성할 수 있습니다.

이 현상은 단계 B와 C의 기초를 형성합니다.

단계 B: 만약 정수가 1,001에서 백만 사이에 있으면, 정수에 가까운 6-자리 숫자를 형성하는 1, 2, 또는 3 자릿수의 반복하는 패턴을 찾습니다 (선행하는 영들은 허용되고 패턴을 시각화하는 데 도움이 될 수 있습니다). 만약 양의 차이가 1,000보다 작으면, 단계 A를 적용합니다. 이것은 마지막 세 자릿수에서 처음 세 자릿수를 뺌으로써 행해집니다. 예를 들어:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7     예
 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7  예

999,999가 7의 배수라는 사실은 정수를 단계 B를 사용하여 결정될 수 있는 6-자리 숫자로 줄임으로써 백만보다 큰 정수의 나눔가능성을 결정하는 데 사용될 수 있습니다. 이것은 처음 6의 왼쪽 자릿수를 마지막 6 자릿수에 더하고 단계 A를 따라감으로써 쉽게 수행될 수 있습니다.

단계 C: 만약 정수가 백만보다 크면, 999,999의 가장 가까운 배수를 빼고 그런-다음 단계 B를 적용합니다. 훨씬 더 큰 숫자에 대해, 12-자릿수 (999,999,999,999)와 같은 더 큰 집합을 사용하고, 이런 식으로 계속됩니다. 그런-다음, 정수를 단계 B를 사용하여 풀릴 수 있는 더 작은 숫자로 부러뜨립니다. 예를 들어:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 -> 862 − 442 (단계 B) = 420 -> 42 − (0×2) (단계 A) = 42  예

이것은 7에 의한 나눔가능성을 결정하기 위해 세 자릿수의 교대하는 집합을 더하고 빼는 것을 허용합니다. 이들 패턴을 이해하면 다음 예제에서 볼 수 있듯이 7의 나눔가능성을 빠르게 계산하는 것을 허용합니다:

7에 의한 나눔가능성의 폴만-매스 방법, 예제:

98은 7로 나뉠 수 있습니까?
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  예  (단계 A)

634는 7로 나뉠 수 있습니까?
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  아니오  (단계 A)

355,341는 7로 나뉠 수 있습니까?
355,341 − 341,341 = 14,000 (단계 B) -> 014 − 000 (단계 B) -> 14 = 1 − (4×2) (단계 A) = 1 − 8 = −7  예

42,341,530는 7로 나뉠 수 있습니까?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (단계 C)
341,572 − 341,341 = 231 (단계 B)
231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21  예 (단계 A)

빠른 교대하는 덧셈과 뺄셈을 사용하면:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21  예

7에 의한 나눔가능성의 3에 의한 곱셈 방법, 예제:

98은 7로 나뉠 수 있습니까?
98  -> 9 나머지 2 -> 2×3 + 8 = 14 예

634는 7로 나뉠 수 있습니까?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> 나머지 0 -> 0×3 + 4 = 4 아니오

355,341는 7로 나뉠 수 있습니까?
3 * 3 + 5 = 14 -> 나머지 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> 나머지 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> 나머지 2 -> 2×3 + 1 = 7 예

1036125837를 7로 나눈 나머지를 찾으십시오
1×3 + 0 = 3
3×3 + 3 = 12 나머지 5
5×3 + 6 = 21 나머지 0
0×3 + 1 = 1
1×3 + 2 = 5
5×3 + 5 = 20 나머지 6
6×3 + 8 = 26 나머지 5
5×3 + 3 = 18 나머지 4
4×3 + 7 = 19 나머지 5
답은 5입니다

7로 나뉘어졌을 때 숫자의 나머지를 찾으십시오

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, 주기는 다음 여섯 자릿수에 대해 반복합니다) 주기: 6 자릿수. 되풀이되는 숫자: 1, 3, 2, −1, −3, −2
최소 크기 수열
(1, 3, 2, 6, 4, 5, 주기는 다음 여섯 자릿수에 대해 반복합니다) 주기: 6 자릿수. 되풀이되는 숫자: 1, 3, 2, 6, 4, 5
양의 수열

가장 오른쪽 자릿수에 수열에서 가장 왼쪽 자릿수를 곱하고 두 번째 오른쪽 숫자에 수열에서 가장 왼쪽 두 번째 숫자를 곱하고 이런 식으로 계속됩니다. 다음으로, 모든 값의 합을 계산하고 7의 모듈러스를 취합니다.
예제: 1036125837이 7로 나뉠 때 나머지는 무엇입니까?

가장 오른쪽 자릿수의 곱셈 = 1 × 7 = 7

두 번째 오른쪽 자릿수의 곱셈 = 3 × 3 = 9

세 번째 오른쪽 자릿수 = 8 × 2 = 16

네 번째 오른쪽 자릿수 = 5 × −1 = −5

다섯 번째 오른쪽 자릿수 = 2 × −3 = −6

여섯 번째 오른쪽 자릿수 = 1 × −2 = −2

일곱 번째 오른쪽 자릿수 = 6 × 1 = 6

여덟 번째 오른쪽 자릿수 = 3 × 3 = 9

아홉 번째 오른쪽 자릿수 = 0

열 번째 오른쪽 자릿수 = 1 × −1 = −1

합 = 33

33 모듈러스 7 = 5

나머지 = 5

7에 의한 나눔가능성의 자릿수 쌍 방법

이 방법은 자릿수 쌍에 1, −3, 2 패턴을 사용합니다. 즉, 7에 의한 임의의 숫자의 나눔가능성은 먼저 숫자를 자릿수 쌍으로 분리하고, 그런-다음 알고리듬을 3 자릿수 쌍 (여섯 자릿수)에 적용함으로써 테스트될 수 있습니다. 숫자가 여섯 자리보다 작으면, 여섯 자릿수가 될 때까지 오른쪽에 영을 채웁니다. 숫자가 여섯 자릿수보다 크면, 다음 여섯 자릿수 그룹에서 주기를 반복하고 그런-다음 결과를 더합니다. 결과가 작은 숫자일 때까지 알고리듬을 반복하십시오. 원래 숫자가 7에 의해 나뉠 수 있는 것과 이 알고리듬을 사용하여 얻어진 숫자가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 이 방법은 특히 큰 숫자에 적합합니다.

예제 1:
테스트되려는 숫자는 157514입니다. 먼저 숫자를 세 개의 자릿수 쌍: 15, 75 및 14로 분리합니다.
그런-다음 알고리듬을 적용합니다: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
결과 182가 6 자릿수보다 작기때문에, 그것이 6 자릿수일 때까지 오른쪽에 영을 더합니다.
그런-다음 알고리듬을 다시 적용합니다: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
결과 −42는 7로 나뉠 수 있고, 따라서 원래 숫자 157514는 7로 나뉠 수 있습니다.

예제 2:
테스트되려는 숫자는 15751537186입니다.
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
결과 −77은 7로 나뉠 수 있고, 따라서 원래 숫자 15751537186는 7로 나뉠 수 있습니다.

7에 의한 나눔가능성의 또 다른 자릿수 쌍 방법

방법

이것은 7로 나눈 숫자에 의해 남겨진 나머지를 찾기 위한 비재귀적 방법입니다:

1. 숫자를 일 자리부터 시작하여 자릿수 쌍으로 분리합니다. 필요하면 마지막 쌍을 완료하기 위해 숫자 앞에 0을 덧붙입니다.
2. 7로 나누는 각 자릿수 쌍에 의해 남겨진 나머지를 계산합니다.
3. 나머지에 수열 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...에서 적절한 배수를 곱합니다: 일 자리와 십 자리로 구성된 자릿수 쌍으로부터 나머지는 1에 의해 곱해지고, 2에 의해 수백과 수천, 4에 의해 만과 십만, 다시 1에 의한 백만 그리고 이런 식으로 계속됩니다.
4. 7로 나눌 때 각 곱에 의해 남겨진 나머지를 계산합니다.
5. 이들 나머지를 더합니다.
6. 7에 의해 나누어질 때 합의 나머지가 7에 의해 나뉠 때 주어진 숫자의 나머지입니다.

예를 들어:

숫자 194,536은 7로 나눈 6의 나머지를 남깁니다.

숫자 510,517,813은 7로 나눈 1의 나머지를 남습니다.

방법의 정확성 증명

그 방법은 100이 7로 나뉠 때 2의 나머지를 남긴다는 관찰을 기반으로 합니다. 그리고 숫자를 자릿수 쌍으로 부러뜨리기 때문에, 본질적으로 100의 거듭제곱을 가집니다.

1 모드 7 = 1

100 모드 7 = 2

10,000 모드 7 = 2^2 = 4

1,000,000 모드 7 = 2^3 = 8; 8 모드 7 = 1

10,0000,000 모드 7 = 2^4 = 16; 16 모드 7 = 2

1,000,0000,000 모드 7 = 2^5 = 32; 32 모드 7 = 4

그리고 이런 식으로 계속됩니다.

방법의 정확성은 그런-다음 다음과 부등식의 체인에 의해 설립됩니다:

N을 주어진 숫자 ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$로 놓습니다.

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7$

=$[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}$

=$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$

=$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})$

Divisibility by 13

나머지 테스트 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, 주기는 계속됩니다.) 만약 음수에 익숙하지 않으면, 이 수열을 사용하십시오. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

숫자의 가장 오른쪽 자릿수에 위에 표시된 수열에서 가장 왼쪽에 있는 숫자를 곱하고 두 번째 오른쪽 자릿수에 수열에서 숫자의 두 번째 왼쪽 자릿수에 곱합니다. 주기는 계속됩니다.

예제: 321을 13으로 나눈 나머지는 얼마입니까?
첫 번째 수열을 사용하여,
답: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
나머지 = −17 모드 13 = 9

예제: 1234567을 13으로 나눈 나머지는 얼마입니까?
두 번째 수열을 사용하여,
답: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 모드 13 = 9
나머지 = 9

Beyond 30

나눔가능성 속성은 제수 유형에 따라 두 가지 방법으로 결정될 수 있습니다.

Composite divisors

숫자는 만약 그것이 각 소수(prime) 인수의 최고 거듭제곱으로 나뉠 수 있으면 주어진 제수로 나뉠 수 있습니다. 예를 들어, 36에 의한 나눔가능성을 결정하기 위해, 4와 9에 의한 나눔가능성을 확인합니다. 3과 12 또는 2와 18을 확인하는 것으로는 충분하지 않음을 주목하십시오. 소수 인수의 테이블(table of prime factors)이 유용할 수 있습니다.

합성수(composite) 제수는 역시 아래에 주어진 소수 제수에 대한 같은 절차를 사용하여 형성된 규칙을 가질 수 있으며, 관련된 조작이 제수에서 존재하는 임의의 인수를 도입되지 않을 수 있다는 주의를 가집니다. 예를 들어, 방정식에 7을 곱하는 것을 포함하는 것을 포함하는 14에 대한 규칙을 만들 수 없습니다. 이것은 더 작은 인수를 가지지 않기 때문에 소수 제수에 대한 문제가 아닙니다.

Prime divisors

목표는 고려중인 소수 (2 또는 5에서는 작동하지 않음)에서 10 모듈로(modulo)의 역수를 찾는 것이고 그것을 배수로 사용하여 해당 소수에 의한 원래 숫자의 나눔가능성이 같은 소수에 의한 새로운 (보통 더 작은) 것의 나눔가능성에 따라 만들어지는 것입니다. 31을 예제로 사용하면, 10 × (−3) = −30 = 1 모드 31이므로, 위의 테이블에서 y − 3x를 사용하는 것에 대해 규칙을 얻습니다. 마찬가지로, 10 × (28) = 280 = 1 모드 31이므로, 같은 종류의 보완적인 규칙 y + 28x를 얻습니다 – 덧셈 또는 뺄셈의 선택은 더 작은 값의 산술 편의성에 따라 규정됩니다. 사실, 2와 5 이외의 소수 제수에 대한 이 규칙은 실제로 10에서 상대적으로 소수인 임의의 정수에 의한 나눔가능성에 대해 하나의 규칙입니다 (33과 39 포함; 아래 테이블을 참조하십시오). 이것이 10에 상대적으로 소수인 임의의 숫자에 대한 위와 아래 테이블에서 마지막 나눔가능성 조건이 같은 종류의 형식을 갖는 이유입니다 (숫자의 남아있는 부분에서 마지막 자릿수의 배수를 더하거나 뺍니다).

Notable examples

다음 테이블은 몇 가지 주목할만한 제수에 대한 규칙을 제공합니다:

제수	나눔가능성 조건	예제
31	숫자의 남아있는 부분에서 마지막 자릿수를 세 번 뺍니다.	837: 83 − 3×7 = 62
32	마지막 다섯 자릿수에 의해 형성된 숫자는 32에 의해 나뉠 수 있습니다.	25,135,520: 35,520=1110×32
	만약 만 자릿수가 짝수이면, 마지막 네 자릿수에 의해 형성된 숫자를 조사합니다.	41,312: 1312.
	만약 만 자릿수가 홀수이면, 마지막 네 자릿수에 의해 형성된 숫자에 16을 더해서 조사합니다.	254,176: 4176+16 = 4192.
	마지막 두 자릿수에 숫자의 남아있는 부분을 4배해서 더합니다.	1312: (13×4) + 12 = 64.
33	마지막 자릿수의 10배를 숫자의 남아있는 부분에 더합니다.	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
	오른쪽에서 왼쪽으로 둘의 블럭에서 자릿수를 더합니다.	2145: 21 + 45 = 66.
	그것은 3과 11에 의해 나뉠 수 있습니다.	627: 62 - 7 = 55 및 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	숫자는 0 또는 5로 끝나는 7에 의해 나뉠 수 있어야 합니다.	595: 59 - (2×5) = 49 = 7×5. 그리고 숫자는 5로 끝납니다.
37	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블록에서 자릿수를 취하고 각 블럭을 더합니다.	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25.
	마지막 자릿수를 11배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	925: 92 − (5×11) = 37.
39	그것은 3과 13에 의해 나뉠 수 있습니다.	351: 35 - 1 = 34 및 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
	마지막 자릿수에 4배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	오른쪽에서 왼쪽으로 다섯의 블록에서 자릿수를 합합니다.	72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589.
	마지막 자릿수의 4배를 숫자의 남아있는 부분으로부터 뺍니다.	738: 73 − 8 × 4 = 41.
43	마지막 자릿수의 13배를 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
	마지막 두 자릿수를 3배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	36,249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	숫자는 0 또는 5로 끝나고 9에 의해 나뉠 수 있어야 합니다.	2025: 5로 끝나고 2+0+2+5=9.
47	마지막 자릿수를 14배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171, 16417 − 14 = 16403, 1640 − 3 × 14 = 1598, 159 − 8 × 14 = 47.
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분에 6배 한 것과 더합니다.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	마지막 자릿수를 5배한 것과 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	1,127: 112+(7×5)=147. 147: 14 + (7×5) = 49
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분에 2배한 것과 더합니다.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	마지막 두 자릿수는 00 또는 50입니다.	134,250: 50.
51	숫자는 3과 17로 나뉠 수 있어야 합니다.	459: 4 × 2 - 59 = -51, 및 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	마지막 자릿수를 5배 한것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	204: 20-(4×5)=0
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분에 2배한 것에서 뺍니다.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	마지막 자릿수를 16배한 것과 숫자의 남아있는 부분에 더합니다.	3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 6배한 것에서 뺍니다.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	숫자는 0 또는 5로 끝나고 11로 나뉠 수 있어야 합니다.	605: 5로 끝나고 60-5=55.
57	숫자는 3과 19로 나뉠 수 있어야 합니다.	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19, 및 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
	마지막 자릿수를 17배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	3591: 359 − 17 = 342, 34 − 2 × 17 = 0.
59	마지막 자릿수를 6배한 것과 숫자의 남아있는 부분에 더합니다.	295: 29 + 5×6= 59
61	마지막 자릿수를 6배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	732: 73-(2×6)=61
64	마지막 여섯 자릿수에 의해 형성된 숫자는 64로 나뉠 수 있어야 합니다.	2,640,000는 64로 나뉠 수 있습니다.
65	숫자는 0 또는 5로 끝나고 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	3,185: 318 + (5×4) = 338 = 13×26. 그리고 숫자는 5로 끝납니다.
67	마지막 두 자릿수를 2배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	9112: 91 - 12×2= 67
	마지막 자릿수를 20배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	4489: 448-9×20=448-180=268.
69	숫자는 3과 23으로 나뉠 수 있어야 합니다.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, 및 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
	마지막 자릿수를 7배한 것과 숫자의 남아있는 부분에 더합니다.	345: 34 + 5×7 = 69
71	마지막 자릿수를 7배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	852: 85-(2×7)=71
73	오른쪽에서 왼쪽으로 넷의 블록의 교대하는 합을 형성합니다.	220,241: 241 - 22 = 219.
	마지막 자릿수를 22배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	숫자는 00, 25, 50 또는 75로 끝나고 3으로 나뉠 수 있어야 합니다.	3675: 75가 끝에 있고 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3×7.
77	숫자는 7과 11로 나뉠 수 있습니다.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6, 및 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블록의 교대하는 합을 형성합니다.	76,923: 923 - 76 = 847.
79	마지막 자릿수를 8배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	711: 71 + 1×8= 79
81	마지막 자릿수의 8배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	162: 16-(2×8)=0
83	마지막 자릿수를 25배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	581: 58+(1×25)=83
	마지막 세 자릿수에 숫자의 남아있는 부분을 4배한 것을 더합니다.	38,014: (4×38) + 14 = 166
85	숫자는 0 또는 5에서 끝나고 17로 나뉠 수 있어야 합니다.	30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17×180. 그리고 숫자는 5에서 끝납니다.
87	숫자는 모든 자릿수의 합이 3으로 나뉠 수 있는 것과 함께 29로 나뉠 수 있어야 합니다.	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
	마지막 자릿수를 26배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	15138: 1513 − 8 × 26 = 1305, 130 − 5 × 26 = 0.
89	마지막 자릿수를 9배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	801: 80 + 1×9 = 89
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 7배한 것에서 뺍니다.	712: 12 + (7×11) = 89
91	마지막 자릿수를 9배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	182: 18 - (2×9) = 0
	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블럭의 교대하는 합을 형성합니다.	5,274,997: 5 - 274 + 997 = 728
	숫자는 7과 13으로 나뉠 수 있습니다.	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828-2=826. 82-12=70.
95	숫자는 0 또는 5에서 끝나고 10으로 나뉠 수 있어야 합니다.	51,585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19×3. 그리고 숫자는 5에서 끝납니다.
97	마지막 자릿수를 29배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	291: 29 - (1×29) = 0
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 3배한 것과 더합니다.	485: (3×4)+ 85 = 97
99	숫자는 9와 11로 나뉠 수 있습니다.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
	오른쪽에서 왼쪽으로 둘의 블럭에서 자릿수를 더합니다.	144,837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	적어도 두 영들에서 끝납니다.	14100: 이것은 끝에 두 영들을 가집니다.
101	오른쪽에서 왼쪽으로 둘의 블럭에서 교대하는 합을 형성합니다.	40,299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	마지막 자릿숫를 31배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분에 3배한 것에서 뺍니다.	5356: (53×3) - 56 = 103
107	마지막 자릿수를 32배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	428: 42 - (8×32) = -214
	마지막 두 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 7배한 것에서 뺍니다.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	마지막 자릿수를 11배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	654: 65 + (11×4) = 109
111	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블럭에서 자릿수를 더합니다.	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	마지막 자릿수를 34배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	마지막 자릿수를 12배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	마지막 세 자릿수에 의해 형성된 숫자는 125로 나뉠 수 있어야 합니다.	2125는 125로 나뉠 수 있습니다.
127	마지막 자릿수를 38배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	4953: 495 - 38 × 3 = 381, 38 - 38 × 1 = 0.
128	마지막 일곱 자릿수에 의해 형성된 숫자는 128로 나뉠 수 있어야 합니다.
131	마지막 자릿수를 13배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	1834: 183 - 13 × 4 = 131, 13 - 13 = 0.
137	오른쪽에서 왼쪽으로 넷의 블럭의 교대하는 합을 형성합니다.	340,171: 171 - 34 = 137.
139	마지막 자릿수를 14배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블럭의 교대하는 합을 형성합니다.	1,774,487: 1 - 774 + 487 = -286
	마지막 자릿수를 43배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
	숫자가 11과 13으로 나뉠 수 있어야 합니다.	2,431: 243 - 1 = 242. 242 = 11 × 22. 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	마지막 자릿수를 15배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	마지막 자릿수를 15배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	66,893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151×44.
157	마지막 자릿수를 47배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	7536: 753 - 47 × 6 = 471, 47 - 47 = 0.
163	마지막 자릿수를 49배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19.
167	마지막 두 자릿수를 5배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	53,774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	마지막 자릿수를 52배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	마지막 자릿수를 18배한 것과 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	마지막 자릿수를 18배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	3258: 325 - 18 × 8 = 181, 18 - 18 = 0.
191	마지막 자릿수를 19배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	3629: 362 - 19 × 9 = 191, 19 - 19 = 0.
193	마지막 자릿수를 58배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	마지막 자릿수를 59배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	마지막 자릿수를 20배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	숫자의 마지막 두 자릿수가 "00"이고, 세 번째 마지막 자릿수가 짝수입니다.	34,400: 세 번째 마지막 자릿수는 4이고, 마지막 두 자릿수는 영들입니다.
211	마지막 자릿수를 21배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431, 443 - 21 × 1 = 422, 42 - 21 × 2 = 0.
223	마지막 자릿수를 67배한 것을 숫자의 남아있는 부분에 더합니다.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	숫자는 "00", "25", "50", 또는 "75"에서 끝나고 9로 나뉠 수 있어야 합니다.	15,075: 75가 끝에 있고 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2×9.
227	마지막 자릿수를 68배한 것과 숫자의 남아있는 부분에서 더합니다.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767, 476 - 68 × 7 = 0.
229	마지막 자릿수를 23배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	마지막 자릿수를 70배한 것과 숫자의 남아있는 부분를 더합니다.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	오른쪽에서 왼쪽으로 일곱의 블럭에서 자릿수를 취하고 각 블럭을 더합니다.	1,560,000,083: 156 + 83 = 239.
	마지막 자릿수를 24배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	마지막 자릿수를 24배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784, 578 - 24 × 4 = 482, 48 - 24 × 2 = 0.
250	마지막 세 자릿수에 의해 형성된 숫자는 250으로 나뉠 수 있어야 합니다.	1,327,750는 250으로 나뉠 수 있습니다.
251	마지막 자릿수를 25배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275, 627 - 25 × 5 = 502, 50 - 25 × 2 = 0.
256	마지막 여덟 자릿수에 의해 형성된 숫자는 256으로 나뉠 수 있어야 합니다.
257	마지막 자릿수를 77배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911, 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	마지막 자릿수를 79배한 것을 숫자의 남아있는 부분과 더합니다.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	마지막 자릿수를 27배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	오른쪽에서 왼쪽으로 다섯의 블럭에서 자릿수를 취하고 각 블럭을 더합니다.	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344.
	마지막 자릿수를 27배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317, 731 - 27 × 7 = 542, 54 - 27 × 2 = 0.
277	마지막 자릿수를 83배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925, 692 - 83 × 5 = 277.
281	마지막 자릿수를 28배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868, 786 - 28 × 8 = 562, 56 - 28 × 2 = 0.
283	마지막 자릿수를 85배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	마지막 자릿수를 88배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	숫자의 마지막 두 자릿수는 "00"이고, 자릿수의 합의 결과는 3으로 나뉠 수 있어야 합니다.	3,300: 자릿수의 합의 결과는 6이고, 마지막 두 자릿수는 영들입니다.
329	마지막 자릿수를 33배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329.
331	마지막 자릿수를 33배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다.	22177: 2217-231=1986. 1986=6×331.
333	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블럭에서 자릿수를 더합니다.	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	오른쪽에서 왼쪽으로 다섯의 블럭에서 자릿수를 취하고 각 블럭을 더합니다.	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119.
	마지막 자릿수를 37배한 것과 숫자의 남아있는 부분을 더합니다.	8487: 848+7×37=848+259=1107.
375	마지막 3 자릿수에 의해 형성된 숫자는 125로 나뉠 수 있어야 하고 모든 자릿수의 합은 3의 배수입니다.	140,625: 625 = 125×5 및 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6×3.
499	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 2배한 것과 더합니다.	74,351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	000 또는 500으로 끝납니다.	47,500는 500으로 나뉠 수 있습니다.
512	마지막 아홉 자릿수에 의해 형성된 숫자는 512로 나뉠 수 있어야 합니다.
625	0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 또는 9375로 끝납니다. 또는, 마지막 네 자릿수에 의해 형성된 숫자는 625로 나뉠 수 있습니다.	567,886,875: 6875.
983	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 17배한 것과 더합니다.	64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983
987	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 13배한 것과 더합니다.	30597: 30×13+597=987
	숫자는 모든 자릿수의 합이 3으로 나뉠 수 있는 것과 함께 329로 나뉠 수 있어야 합니다.	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658. 658=2×329.
989	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 11배한 것과 더합니다.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
	숫자는 23과 43으로 나뉠 수 있어야 합니다.	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43.
993	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 7배한 것과 더합니다.	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
	숫자는 모든 자릿수의 합이 3으로 나뉠 수 있는 것과 함께 331로 나뉠 수 있어야 합니다.	8937: 8+7=15. 15=3×5. (주목: 9와 3은 합에서 제외해도 되는데, 왜냐하면 그것들은 3으로 나뉘기 때문입니다.) 893-231=662. 662=2×331.
997	마지막 세 자릿수를 숫자의 남아있는 부분을 3배한 것과 더합니다.	157,526: 157 × 3 + 526= 997
999	오른쪽에서 왼쪽으로 셋의 블럭에서 자릿수를 더합니다.	235,764: 235 + 764 = 999
1000	적어도 셋의 영들로 끝납니다.	2000은 3 영들로 끝납니다.

Generalized divisibility rule

D가 1, 3, 7, 또는 9로 끝나는 곳에서, D에 의한 나눔가능성을 테스트하기 위해, 다음 방법은 사용될 수 있습니다. 9로 끝나는 D의 임의의 배수를 찾으십시오. (만약 D가 각각 1, 3, 7, 또는 9로 끝나면, 9, 3, 7, 또는 1을 곱하십시오.) 그런-다음 1을 더하고 10으로 나누며, 결과를 m으로 표시합니다. 그런-다음 숫자 N = 10t + q가 D로 나뉠 수 있는 것과 mq + t가 D로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 만약 숫자가 너무 크면, 역시 10^e = 1 또는 10^e = -1 (모드 D) 중 하나를 만족시키는 각각 e 자릿수를 갖는 여러 문자열로 나눌 수 있습니다. 숫자의 합 (또는 교대 합)은 원래 숫자와 같은 나눔가능성을 가집니다.

예를 들어, 913 = 10×91 + 3이 11로 나뉠 수 있는지 확인하기 위해, m = (11×9+1)÷10 = 10임을 찾으십시오. 그런-다음 mq+t = 10×3+91 = 121입니다; 이것은 (몫 11과 함께) 11로 나뉠 수 있으므로, 913은 역시 11로 나뉠 수 있습니다. 또 다른 예제로서, 689 = 10×68 + 9가 53으로 나뉠 수 있는지 확인하기 위해, m = (53×3+1)÷10 = 16임을 찾으십시오. 그런-다음 mq+t = 16×9 + 68 = 212이며, 이것은 (몫 4와 함께) 53으로 나뉠 수 있습니다; 따라서 689는 역시 53으로 나뉠 수 있습니다.

대안적으로, 임의의 숫자 Q = 10c + d는 만약 일부 정수에 대해 c + D(n)d = An이면 gcd(n, 2, 5) = 1를 만족하는 n = 10a + b로 나뉠 수 있으며, 여기서:

$D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$

D(n)에 의해 생성된, 수열의 처음 몇 개의 항은 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (OEIS에서, 수열 A333448).

D(n)의 조각 별 형식과 그것에 의해 생성된 수열은 불가리아의 수학자 아이반 스토이코프(Ivan Stoykov)에 의해 2020년 3월에 처음 출판되었습니다.

Proofs

Proof using basic algebra

대부분의 더 간단한 규칙은 오직 대수적 조작을 사용하고, 이항식(binomial)을 생성하고 그것들을 다시-정렬하여 생성될 수 있습니다. 숫자를 각 자릿수 곱하기 10의 거듭제곱의 합을 씀으로써, 각 자릿수의 거듭제곱은 개별적으로 조작될 수 있습니다.

모든 자릿수가 합해지는 경우

이 방법은 10 − 1 = 9의 인수인 제수에 대해 동작합니다.

3을 예제로 사용하여, 3은 9 = 10 − 1를 나눕니다. 그것은 $10\equiv 1{\pmod {3}}$를 의미합니다 (모듈러 산술(modular arithmetic)을 참조하십시오). 10의 모든 더 높은 거듭제곱에 대해 같습니다: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ 그것들은 1 모듈로 3과 모두 일치(congruent)입니다. 합동 모듈로 3인 두 가지가 둘 다 3으로 나눌 수 있거나, 둘 다 아닌 것 중 하나이기 때문에, 합동 모듈로 3인 값을 교환할 수 있습니다. 따라서, 다음과 같은 숫자에서, 10의 모든 거듭제곱을 1로 바꿀 수 있습니다:

$100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}$

이것은 자릿수의 정확하게 합입니다.

자릿수의 교대하는 합이 사용되는 경우

이 방법은 10 + 1 = 11의 인수인 제수에 대해 동작합니다.

11을 예제로 사용하여, 11은 11 = 10 + 1를 나눕니다. 그것은 $10\equiv -1{\pmod {11}}$임을 의미합니다. 10의 더 높은 거듭제곱에 대해, 그것들은 짝수 거듭제곱에 대해 1과 일치하고 홀수 거듭제곱에 대해 −1과 일치합니다:

$10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.$

이전 예제와 마찬가지로, 10의 거듭제곱을 일치 값과 대체할 수 있습니다:

$1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}$

이것은 역시 홀수 위치에서 자릿수의 합과 짝수 위치에서 자릿수의 합 사이의 차이입니다.

오직 마지막 자릿수가 중요한 경우

이것은 10의 거듭제곱의 인수인 제수에 적용됩니다. 이것은 밑수의 충분하게 높은 거듭제곱이 제수의 배수이고 제거될 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 밑수 10에서, 10¹의 인수는 2, 5, 및 10을 포함합니다. 그러므로, 2, 5, 및 10의 나눔가능성은 마지막 1 자리가 그들 제수로 나뉠 수 있는지 여부에 따라 달라집니다. 10²의 인수는 4와 25를 포함하고, 그것들에 의한 나눔가능성은 오직 마지막 2 자릿수에 의존합니다.

오직 마지막 자릿수가 제거되는 경우

대부분의 숫자는 9 또는 10을 균등하게 나누지 않지만, 10ⁿ 또는 10ⁿ − 1의 더 높은 거듭제곱을 나눕니다. 이 경우에서, 숫자는 여전히 10의 거듭제곱으로 쓰이지만, 완전히 확장되지는 않습니다.

예를 들어, 7은 9 또느 10으로 나눌 수 없지만, 99을 나누며, 이것은 100에 가깝습니다. 따라서, 다음에서 진행됩니다:

$100\cdot a+b$

여기서 이 경우에서 a는 임의의 정수이고, b는 0에서 99까지 범위일 수 있습니다. 다음으로,

$(98+2)\cdot a+b$

그리고 다시 전개해서

$98\cdot a+2\cdot a+b,$

그리고 7의 알려진 배수를 제거한 후에, 결과는 다음입니다:

$2\cdot a+b,$

이것은 규칙 "마지막 두 자릿수를 제외한 모든 숫자로 형성된 숫자를 두 배하고, 그런-다음 마지막 두 자릿수를 더합니다"입니다.

마지막 자릿수가 인수에 의해 곱해지는 경우

숫자의 표현은 역시 그것의 나눔가능성 변경없이 제수에 상대적으로 소수인 임의의 숫자로 곱해질 수 있습니다. 7이 21을 나누는 것을 관찰한 후, 다음을 수행할 수 있습니다:

$10\cdot a+b,$

2를 곱한 후에, 이것은 다음이 됩니다:

$20\cdot a+2\cdot b,$

그런-다음

$(21-1)\cdot a+2\cdot b.$

21을 제거하면 다음을 제공합니다.

$-1\cdot a+2\cdot b,$

그리고 −1을 곱하면 다음을 제공합니다:

$a-2\cdot b.$

수행하기 더 쉬운 규칙에 따라 마지막 두 규칙 중 하나가 사용될 수 있습니다. 그것들은 규칙 "마지막 자릿수를 2배한 것을 숫자의 남아있는 부분에서 뺍니다"에 해당합니다.

Proof using modular arithmetic

이 섹션은 기본 방법을 묘사할 것입니다; 모든 규칙은 같은 절차에 따라 유도될 수 있습니다. 다음은 모듈러 산술(modular arithmetic)에서 기초 지식을 요구합니다; 2와 5에 의한 것이 아닌 다른 나눔가능성에 대해, 만약 10과 m이 상대적으로 소수이면 10 모든 m이 역-가능이라는 기본 사실에 근거합니다.

2ⁿ 또는 5ⁿ에 대해:

오직 마지막 n 자릿수가 확인하는 데 필요합니다.

$10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

x를 $10^{n}\cdot y+z$로 나타내면,

$x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

그리고 x의 나눔가능성은 z의 그것과 같습니다.

7에 대해:

10 × 5  ≡  10 × (−2)  ≡ 1 (모드 7)이므로, 다음을 할 수 있습니다:

x를 $10\cdot y+z$로 나타내면

$-2x\equiv y-2z{\pmod {7}},$

따라서 x가 7로 나뉠 수 있는 것과 y − 2z가 7로 나뉠 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

See also

• Division by zero
• Parity (mathematics)

Sources

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
• Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

External links

• Divisibility Criteria at cut-the-knot
• Stupid Divisibility Tricks Divisibility rules for 2–100.