Binomial (polynomial)

대수학에서, 이항식(binomial)은 두 개의 항, 즉, 각각의 항은 단항식으로 표현되는 다항식입니다. ^[1] 그것은 단항식 외에 다항식의 가장 간단한 종류입니다.

Definition

이항식은 다항식으로써 두 개의 단항식(monomial)의 합입니다. (역시 일변수(univariate) 이항식으로 알려진) 하나의 불확정수에서 이항식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다:

ax^{m}-bx^{n}\,,

여기서 $a$ 와 $b$ 는 숫자(number)이고, $m$ 과 $n$ 은 구별되는 비-음의 정수(nonnegative integer)이고 $x$ 는 불확정수(indeterminate) 또는, 역사적 이유에 대해, 변수(variable)라고 불리는 기호입니다. 로랑 다항식(Laurent polynomial)의 문맥에서, 종종 간단히 이항식으로 불리는, 로랑 이항식은 비슷하게 정의되지만, 지수 $m$ 과 $n$ 은 음수일 수 있습니다.

보다 일반적으로, 이항식은 다음으로 쓸 수 있습니다:^[2]

ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}

이항식의 예제는:

3x-2x^{2}

xy+yx^{2}

0.9x^{3}+\pi y^{2}

x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y).

이것은 보다 일반적인 다음 공식의 특별한 경우(special case)입니다:

x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.

복소수에 걸쳐 적용할 때, 이것은 다음으로 역시 확장될 수 있습니다:

x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).

(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.

$n$ ^번째 거듭제곱(power)이 올려진, $(x + y) n$ 으로 표현된, 이항식은 이항 정리(binomial theorem) 또는, 동등하게, 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)을 사용하여 전개될 수 있습니다. 예를 들어, 이항식 $(x + y)$ 의 제곱 $(x + y) 2$ 은 두 항의 제곱의 합과 항의 곱의 두 배의 합과 같습니다, 즉:

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.

이 표현에서 항들에 대해 곱수로 보이는 숫자 (1, 2, 1)는 파스칼의 삼각형의 꼭대기로부터 두 행이 내려간 이항 계수(binomial coefficient)입니다.

n

^번째 거듭제곱의 전개는 삼각형의 꼭대기로부터

n

을 내려간 숫자를 사용합니다.

이항식의 제곱에 대해 위 공식의 응용은 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple:피타고라스 삼조)을 생성하는 " $(m, n)$ -공식"입니다:

m < n

에 대해,

a = n 2 - m 2

,

b = 2 mn

, 및

c = n 2 + m 2

라고 놓으면,

a 2 + b 2 = c 2

.

x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})

x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})

^ Weisstein, Eric. "Binomial". Wolfram MathWorld. Retrieved 29 March 2011. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
^ Sturmfels, Bernd (2002). "Solving Systems of Polynomial Equations". CBMS Regional Conference Series in Mathematics (97). Conference Board of the Mathematical Sciences: 62. Retrieved 21 March 2014.