Eisenstein's criterion

수학(mathematics)에서, 아이젠슈타인의 기준(Eisenstein's criterion)은 정수(integer) 계수를 가진 다항식(polynomial)에 대해 유리수(rational number)에 걸쳐 기약(irreducible)이 되는 충분 조건(sufficient condition)을 제공합니다 – 즉, 그것에 대해 유리 계수를 갖는 비-상수 다항식의 곱으로 인수분해될 수 없습니다.

이 기준은 유리수에 걸쳐 기약인 정수 계수를 가진 모든 다항식에 적용할 수는 없지만, 특정 중요한 경우에서 아주 적은 노력으로 기약성에 대해 입증되는 것을 허용합니다. 그것은 직접 또는 원래 다항식의 변환 후에 적용될 수 있습니다.

이 기준은 고트홀트 아이젠슈타인(Gotthold Eisenstein)의 이름을 따서 지어졌습니다. 20세기 초에서, 그것은 슈네만–아이젠슈타인 정리(Schönemann–Eisenstein theorem)로 역시 알려졌는데 왜냐하면 티어도어 슈네만(Theodor Schönemann)이 최초로 그것을 출판했기 때문입니다.^[1]^[2]

Criterion

우리가 정수 계수(coefficients)를 갖는 다음 다항식을 가지는 것으로 가정합니다.

Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

만약 다음 세 조건이 모두 적용됨을 만족하는 소수(prime number) $p$ 가 존재하면:

$p$ 가 $0 \leq i < n$ 에 대해 각 $a i$ 를 나눕니다,
$p$ 는 $a n$ 를 나누지 않습니다, 그리고
$p 2$ 는 $a 0$ 를 나누지 않습니다,

$Q$ 는 유리수에 걸쳐 기약입니다. 만약 그것의 계수가 공통으로 비-자명한 인수를 가지지 않은 한, 그것은 역시 정수에 걸쳐 기약일 것입니다 (이 경우에서 정수 다항식으로 $Q$ 는 필연적으로 $p$ 와 구별되는 기약 인수로 어떤 소수를 가질 것입니다). 후자의 가능성은 먼저 $Q$ 를 원시(primitive)로 만듦으로써, 그것을 그것의 계수 ( $Q$ 의 컨텐츠)의 최대 공통 약수(greatest common divisor)로 나눔으로써 피해질 수 있습니다. 이 나눗셈은 $Q$ 가 유리수에 걸쳐 비-기약인지 아닌지 여부를 변경하지 않고 (자세한 내용에 대해 원시 부분–컨텐츠 인수분해(Primitive part–content factorization)를 참조하십시오), $p$ 에 대해 기준의 가설을 무효화하지 않습니다 (반대로 일부 소수에 대해, 심지어 그것이 나눗셈 전에 그렇지 않았을지라도, 기준을 유지할 수 있습니다).

Examples

아이젠슈타인의 기준은 직접 (즉, 원래 다항식을 사용하여) 또는 원래 다항식의 변환 후 적용될 수 있습니다.

Direct (without transformation)

다항식 $Q(x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ 를 생각해 보십시오. 아이젠슈타인의 기준에 대해 소수 $p$ 에 적용하기 위해, 비-선행 계수 계수 $15$ 와 $10$ 둘 다를 나누어야 하며, 이것은 오직 $p = 5$ 가 작동될 수 있음을 의미하고, 실제로는 그러한데 왜냐하면 $5$ 는 선행 계수 $3$ 을 나누지 않고, 그 제곱 $25$ 는 상수 계수 $10$ 을 나누지 않기 때문입니다. 우리는 따라서 $Q$ 가 $Q$ 에 걸쳐 기약임을 결론내릴 수 있습니다 (그리고 그것이 원시이기 때문에, $Z$ 에 걸쳐 마찬가지입니다). $Q$ 가 차수 4이기 때문에, 이 결론은 $Q$ 가 유리 근을 가지지 않음 (이것은 차수 1의 가능한 인수를 제거함)을 오직 검사함으로써 설립될 수 없는데, 왜냐하면 두 이차 인수로의 분해는 역시 가능할 수 있기 때문입니다.

Indirect (after transformation)

종종 아이젠슈타인의 기준은 임의의 소수에 적용되지 않습니다. 어쨌든 $x$ 에 대해 $x + a$ 를 (일부 정수 $a$ 에 대해) 대체한 후 얻은 다항식에 (일부 소수에 대해) 적용할 수 있습니다. 대체 후 다항식이 기약이라는 사실은 그런-다음 원래 다항식도 마찬가지라는 결론을 내리는 것을 허용합니다. 이 절차는 이동(shift)을 적용하는 것으로 알려져 있습니다.

예를 들어, $H = x 2 + x + 2$ , 이것에서 $x$ 의 계수 1이 임의의 소수로 나누어질 수 없음을 생각해 보십시오. 아이젠슈타인의 기준은 $H$ 에 적용되지 않습니다. 그러나 만약 우리가 $H$ 에서 $x$ 를 $x + 3$ 으로 대체하면, 우리는 다항식 $x 2 + 7 x + 14$ 을 얻으며, 이것은 소수 $7$ 에 대해 아이젠슈타인의 기준을 만족시킵니다. 대체는 링 $Q [x]$ 의 자기-동형(automorphism)이므로, 우리가 대체 후 기약 다항식을 얻은 사실은 우리가 원래 기약 다항식을 가졌던 것임을 의미합니다. 이 특별한 예제에서, $H$ (차수 2의 일계수)는 만약 그것이 정수 근을 가지면 오직 비-기약일 수 있다고 주장하는 것이 더 간단했을 것이며, 그것은 분명히 그렇지 않습니다; 어쨌든 아이젠슈타인의 기준을 적용하도록 만들기 위해 대체를 시도하는 일반적인 원칙은 그것의 범위를 넓히기 위한 유용한 방법입니다.

이동을 적용하는 것과 결합될 수 있는 기준을 만족시키기 위해 다항식을 변환할 수 있는 또 다른 가능성은 그것의 계수의 순서를 반대로 하는 것이며, 그것의 상수 항이 비-영이라는 조건으로 합니다 (그것없이 어쨌든 $x$ 로 나뉠 수 있습니다). 이것은 따라서 그러한 다항식이 $R [x]$ 에서 비-기약인 것과 그것들이 (임의의 정수 도메인 $R$ 에 대해) $R [x, x -1]$ 에서 비-기약인 것과 필요충분 조건이고, 해당 링에서 $x$ 에 대해 $x -1$ 의 대체는 계수의 순서를 반대로 하기 때문입니다 (상수 계수에 대해 대칭 방식이지만, 지수에서 다음 이동은 단위에 의한 곱셈이 됩니다). 예제로써, $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ 은 그것의 계수를 반대로 한 후 $p = 2$ 에 대해 기준을 만족시키고, (원시임) 따라서 $Z [x]$ 에서 기약입니다.

Cyclotomic polynomials

아이젠슈타인의 기준을 사용하여 그것의 기약성이 설립될 수 있는 다항식의 중요한 클래스는 소수 $p$ 에 대해 원분 다항식(cyclotomic polynomial)의 그것입니다. 그러한 다항식은 다항식 $x p - 1$ 을 선형 인수 $x - 1$ 로 나눔으로써 얻어지며, 그것의 명백한 근 $1$ 에 해당합니다 (그것은 $p > 2$ 이면 그것의 오직 유리 근입니다):

{\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1.

여기서, $H$ 의 이전 예제에서 처럼, 계수 $1$ 은 아이젠슈타인의 기준을 직접 적용하는 것을 막습니다. 어쨌든 그 다항식은 $x$ 에 대해 $x + 1$ 의 대체 후 $p$ 에 대해 기준을 만족시킬 것입니다: 이것은 다음을 제공합니다:

{\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p}{2}}x+{\binom {p}{1}},

그것의 비-선행 계수의 모두는 이항 계수(binomial coefficient)의 속성에 의해 $p$ 로 나뉠 것이고, 그것의 상수 계수는 $p$ 와 같을 것이고, 따라서 $p 2$ 로 나뉘지 않을 것입니다. 이 결론에 도달하기 위한 대안적인 방법은 항등식 $(a + b) p = a p + b p$ 을 사용하는 것이며, 이것은 다항식의 몫의 감소 모듈로 $p$ 를 계산하기 위해, 특성(characteristic) $p$ 에서 유효합니다 (그리고 이것은 이항 계수의 같은 속성을 기초로 하고, 프로베니우스 자기-사상(Frobenius endomorphism)을 불러일으킵니다.):

{\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={\frac {x^{p}}{x}}=x^{p-1}{\pmod {p}},

이것은 몫의 비-선행 계수가 $p$ 에 의해 모두 나뉨을 의미합니다; 몫의 상수 항이 $p$ 라는 남아있는 검증은 전개된 형식 $x p -1 + ... + x + 1$ 에 $x$ 에 대해 ( $x + 1$ 대신에) $1$ 을 대체함으로써 행해질 수 있습니다.

History

티어도어 슈네만(Theodor Schönemann)은, 1846년에 크렐의 저널(Crelle's Journal)에, 기준의 버전을 최초로 발표했으며,^[1] in 1846 in Crelle's Journal,^[3] 이것은 다음과 같이 번역해서 읽습니다:

그것 $(x - a) n + pF (x)$ 는 모듈러스 $p$ 에 대한 $F (x)$ 가 인수 $x - a$ 를 포함하지 않을 때 모듈러스 $p 2$ 에 대한 기약일 것입니다.

이 공식은 이미 $0$ 의 자리에 $a$ 로의 이동을 포함합니다; $F (x)$ 에 대한 조건은 $F (a)$ 가 $p$ 로 나뉠 수 없고, 따라서 $pF (a)$ 는 $p$ 로 나뉠 수 있지만 $p 2$ 로는 나뉠 수 없음을 의미합니다. 언급했듯이, 고려된 다항식이 그것의 표현이 암시하는 차수 $n$ 일 필요가 없도록, 다항식 $F (x)$ 의 차수에 대한 가정을 만들지 않는다는 점에서 전적으로 정확하지는 않습니다; 예제 $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p)(px + 1) mod p 2$ 는 그러한 가설없이 결론이 유효하지 않음을 보여줍니다. $F (x)$ 의 차수가 $n$ 을 초과하지 않는다고 가정하면, 그 기준은 정확하고 어쨌든, 위에 주어진 공식보다 다소 강한데, 왜냐하면 만약 $(x - a) n + pF (x)$ 는 기약 모듈로 $p 2$ 이면, 그것은 확실히 $Z [x]$ 에서 비-상수 인수로 분해할 수 없기 때문입니다.

그 후 아이젠슈타인은 1850년에 역시 크렐의 저널에 약간 다른 버전을 발표했습니다.^[4] 이 버전은 다음과 같이 번역해서 읽습니다:

임의의 차수 $x$ 에서 다항식 $F (x)$ 에서 가장 높은 항의 계수가 1이고, 모든 다음의 계수가 정수 (real, complex)이고, 그것을 특정 (real resp. complex) 소수 $m$ 이 나눌 때, 그리고 마지막 계수가 $εm$ 과 같을 때, 여기서 $ε$ 은 $m$ 으로 나눌 수 없는 숫자를 나타내면, 그런-다음 $F (x)$ 를 다음 형식으로 가져오는 것이 불가능합니다:
$\left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)$

여기서 $μ, ν \geq 1$ , $μ + ν = deg(F (x))$ , 및 모든 $a$ 와 $b$ 는 정수 (실수 각각 복소수)입니다; 방정식 $F (x) = 0$ 은 따라서 기약입니다.

여기서 "whole real numbers"는 보통의 정수(integer)이고 "whole complex numbers"는 가우스 정수(Gaussian integer)입니다; 우리는 "real and complex prime numbers"를 유사하게 해석해야 합니다. 아이젠슈타인이 그의 기준을 개발한 응용은 렘니스케이트(lemniscate)를 같은 호-길이의 조각으로 나누는 연구에서 발생하는 가우스 정수에서 계수를 갖는 특정 다항식의 기약성을 설립하는 것이었습니다.

놀랍게도 슈네만과 아이젠슈타인은 한 때 기약성에 대한 그들 각각의 기준을 공식화한 후, 둘 다 즉시 그것을 소수에 대해 원분 다항식의 기약성의 기본 증명, 가우스는 훨씬 더 복잡한 증명과 함께 그의 Disquisitiones Arithmeticae에서 얻은 결과를 제공하기 위해 적용합니다. 사실, 아이젠슈타인은 가우스의 증명 이외에 그에게 알려진 이 기약성에 대해 유일한 증명이 1845년에 크로네커(Kronecker)에 의해 제시된 증명이라고 각주에 덧붙였습니다. 이것은 그가 슈네만이 그의 1846 기사에서 제시했던 이 명제의 두 가지 다른 증명을 알지 못했음을 보여주며, 그 기사에서 두 번째 증명은 위에서-언급된 기준을 기반으로 합니다. 이것은 두 페이지 나아가서, 아이젠슈타인이 실제로 (다른 문제에 대해) 슈네만의 기사의 첫 번째 부분을 참조한다는 사실을 감안할 때 더욱 놀라운 것입니다. 저널의 다음 호에 실린 노트 ("Notiz")에서,^[5] 슈네만은 이것을 아이젠슈타인에게 지적하고, 후자의 방법이 그가 두 번째 증명에서 사용한 방법과 본질적으로 다르지 않음을 암시합니다.

Basic proof

기준의 유효성을 입증하기 위해, $Q$ 가 소수 $p$ 에 대해 기준을 만족하지만, 그럼에도 불구하고 우리가 모순을 얻기를 원하는 것으로부터, $Q [x]$ 에서 비-기약이라고 가정합니다. 가우스의 보조정리(Gauss' lemma)로부터, 그것이 $Q$ 는 마찬가지로 $Z [x]$ 에서 비-기약이고, 실제로 두 비-상수 다항식 $G, H$ 의 곱 $Q = GH$ 로 쓸 수 있음을 따릅니다 ( $Q$ 가 원시가 아닌 경우에서, 우리는 보조정리를 그것으로부터 분해를 얻기 위해 원시 다항식 $Q / c$ 에 적용하고 (여기서 정수 $c$ 는 $Q$ 의 컨텐츠입니다), $c$ 를 $Q$ 에 대해 분해를 얻기 위해 인수의 하나에 곱합니다). 이제 $(Z / p Z)[x]$ 에서 분해를 얻기 위해 $Q = GH$ 모듈로 $p$ 를 줄입니다. 그러나 가설에 의해 $Q$ 에 대해 이 감소는 비-영 상수 $a \in Z / p Z$ 에 대해 형식 $ax n$ 의, 유일한 비-영 항으로, 그것의 선행 항을 남깁니다. 그러나 그때에 반드시 $G$ and $H$ 의 감소 모듈로 $p$ 는 모든 비-선행 항을 사라지게 만드는데 (그리고 그들의 선행 항을 사라지게 만들지 않는데), 왜냐하면 $ax n$ 의 다른 분해는 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)인 $(Z / p Z)[x]$ 에서 가능하기 때문입니다. 특히 $G$ 와 $H$ 의 상수항은 감소에서 사라지므로, 그것들은 $p$ 로 나뉠 수 있지만, 그때에 그것들의 곱인 $Q$ 의 상수항은, 가설과는 반대로, $p 2$ 으로 나뉠 수 있고, 우리는 모순을 가집니다.

아이젠슈타인의 기준의 두 번째 증명은 역시 다항식 $Q (x)$ 가 비-기약이라는 가정으로 시작합니다. 이 가정은 모순을 수반하는 것으로 나타났습니다.

다음이 비-기약이라는 가정은

Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

다음을 만족하는

Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s

다음과 같은 다항식이 있음을 의미합니다:

{\begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{aligned}}

다항식 $Q (x)$ 의 계수 $a 0$ 는 소수 $p$ 로 나뉠 수 있지만, $p 2$ 으로 나뉠 수 없습니다. $a 0 = c 0 d 0$ 이므로, $c 0$ 또는 $d 0$ 를 $p$ 를 나누는 것이 가능하지만, 둘 다를 나누지는 않습니다. 우리는 일반성의 손실 없이 다음을 진행할 수 있습니다:

계수 $c 0$ 와 함께 $p$ 로 나뉠 수 있습니다, 그리고,

계수 $d 0$ 와 함께 $p$ 로 나뉠 수 없습니다

가정에 의해, $p$ 는 $a_{n}$ 을 나누지 않습니다. $a n = c r d s$ 이기 때문에, $c r$ 도 아니고 $d s$ 도 아닌 것은 $p$ 로 나뉠 수 없습니다. 따라서, 만약 $a_{r}$ 이 비-기약 다항식 $Q$ 의 $r$ -번째 계수이면, (아마도 경우 $t>s$ 에서 $d_{t}=0$ 와 함께) 다음입니다

a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}

여기서 $c_{r}d_{0}$ 는 $p$ 로 나뉠 수 없는데, 왜냐하면 $d_{0}$ 도 아니고 $c_{r}$ 도 아닌 것은 $p$ 로 나뉠 수 없기 때문입니다.

우리는 $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}$ 가 $p$ 로 모두 나뉨을 입증할 것입니다. $a_{r}$ 이 역시 (기준의 가설에 의해) $p$ 로 나뉘므로, 이것은 다음 표현이

c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)

$p$ 로 나뉘며, 기준을 입증하는 모순임을 의미합니다.

$c_{0}d_{r}$ 를 $p$ 로 나누는 것이 가능한데, 왜냐하면 $c_{0}$ 는 $p$ 로 나뉠 수 있기 때문입니다.

초기 가정에 의해, 다항식 $Q (x)$ 의 계수 $a 1$ 를 $p$ 로 나누는 것이 가능합니다. 다음이므로

a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}

그리고 $d 0$ 가 $p$ 의 배수가 아니기 때문에, $c 1$ 를 $p$ 로 나누는 것이 가능해야 합니다. 유사하게, 귀납법에 의해, $c_{i}$ 는 모든 $i<r$ 에 대해 $p$ 의 배수이며, 이것은 증명을 완료합니다.

Advanced explanation

$p$ -진수 숫자( $p$ -adic number) 필드, 아이젠슈타인 다항식에 대해 뉴턴 다각형(Newton polygon)의 이론을 적용하여, 우리는 다음 점들의 아래쪽 볼록 봉투(lower convex envelope)를 취해야 합니다:

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

,

여기서 $v i$ 는 $a i$ 의 $p$ -진수 평가( $p$ -adic valuation) (즉, 그것을 나누는 $p$ 의 가장 높은 거듭제곱)입니다. 이제 우리가 $0 < i < n$ 에 대해 $v i$ 에 주어진 데이터, 즉 그것들이 적어도 하나라는 것은 아래쪽 볼록 봉투가 $(0, 1)$ 에서 $(n, 0)$ 까지의, $-1/ n$ 인 기울기(slope), 정확히 단일 선분이라는 결론을 내리기 위해 필요한 것입니다.

이것은 우리에게 $Q$ 의 각 근이 $p$ -진수 평가 $1/ n$ 을 가지고 따라서 $Q$ 가 $p$ -진수 필드에 걸쳐 기약이고 (왜냐하면, 예를 들어, 근의 임의의 적절한 부분집합의 곱이 정수 평가를 가지지 않기 때문입니다); 유리수 필드에 걸쳐 a fortiori임을 말합니다.

이 논증은 감소 모든 $p$ 에 의한 직접 논증보다 훨씬 더 복잡한 것입니다. 그것은 어쨌든, 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)의 관점에서, 어떤 변수의 변경 후에 얼마나 자주 아이젠슈타인의 기준이 적용될 수 있는지를 볼 수 있게 해줍니다; 그리고 따라서 다항식이 아이젠슈타인 이동을 가질 수 있는 $p$ 의 가능한 선택을 심각하게 제한합니다 (즉, $p$ -번째 원분 다항식의 경우에서 처럼 변수의 덧셈적 변경 후 아이젠슈타인이 됩니다).

사실 $Q$ 의 근에 의해 생성된 $Q$ 의 확장에서 분기화(ramifying)하는 오직 소수 $p$ 가 작동할 가능성을 가집니다. 이것들은 $Q$ 의 판별식(discriminant)의 관점에서 구할 수 있습니다. 예를 들어, 위에 주어진 $x 2 + x + 2$ 의 경우에서, 판별식은 $-7$ 이므로 $7$ 이 기준을 만족시킬 수 있는 가능성을 가진 유일한 소수입니다. 모듈로 $7$ , 그것은 $(x - 3) 2$ 가 됩니다 — 반복된 근이 불가피한데, 왜냐하면 판별식이 $0 모드 7$ 이기 때문입니다. 그러므로 변수 이동은 실제로 어떤 예측-가능한 것입니다.

다시, 원분 다항식에 대해, 그것은 다음이 됩니다:

(x - 1) p -1 mod p

;

판별식은 선형 대수(linear algebra) 방법에 의해, (부호까지) $p p -2$ 가 됨을 보일 수 있습니다.

보다 정확하게, 오직 완전히 분기된 소수가 다항식에 대해 아이젠슈타인 소수가 될 가능성을 가집니다. (이차 필드에서, 분기는 항상 전체이므로, 구별은 위의 $x 2 + x + 2$ 와 같은 이차 경우에서 표시되지 않습니다.) 사실, 아이젠슈타인 다항식은 다음과 같이 완전히 분기된 소수에 직접 연결됩니다: 만약 유리수의 필드 확장이 $p$ 에서 아이젠슈타인인 다항식의 근에 의해 생성되면 $p$ 는 확장에서 완전히 분기화되고, 반대로 만약 $p$ 가 숫자 필드에서 완전히 분기화되면 그 필드는 $p$ 에서 아이젠슈타인 다항식의 근에 의해 생성됩니다.

Generalization

Generalized criterion

정수 도메인(integral domain) $D$ 에서 주어진, 다음을

Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

$D [x]$ , $D$ 에서 계수를 갖는 다항식 링(polynomial ring)의 원소로 놓습니다.

다음을 만족하는 $D$ 의 소수 아이디얼 $p$ 가 존재함을 가정합니다:

각 $i \neq n$ 에 대해 $a i \in p$ ,
$a n \notin p$ , 그리고
$a 0 \notin p 2$ , 여기서 $p 2$ 는 자체와 함께 $p$ 의 아이디얼 곱(ideal product)입니다.

그런-다음 $Q$ 는 $D [x]$ 에서 두 비-상수 다항식의 곱으로 쓸 수 없습니다. 만약 게다가 $Q$ 가 원시(primitive)이면 (즉, 그것이 비-자명한 상수 제수를 갖지 않으면), 그것은 $D [x]$ 에서 기약입니다. 만약 $D$ 가 분수의 필드(field of fractions) $F$ 를 갖는 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)이면, 가우스의 보조정리(Gauss's lemma)에 의해, $Q$ 는 그것이 원시인지 여부에 따라 (왜냐하면 상수 인수는 $F [x]$ 에서 역-가능이기 때문입니다), $F [x]$ 에서 기약입니다; 이 경우에서, 소수 아이디얼의 가능한 선택은 $D$ 의 임의의 기약 원소에 의해 생성된 소수 아이디얼입니다. 후자 명제는 $D = Z$ 에 대해 또는 (아이젠슈타인의 공식화에서) $D = Z [i]$ 에 대해 원래 정리를 제공합니다.

Proof

이 일반화의 증명은 계수 모듈로 $p$ 의 감소를 고려하여 원래 명제의 증명과 유사합니다; 핵심은 정수 도메인 $D / p$ 에 걸쳐 단일-항 다항식이 인수의 적어도 하나가 하나 항보다 많은 항을 가지는 곱으로 분해될 수 없다는 것입니다 (왜냐하면 그러한 곱에서 가장 높은 또는 가장 낮은 가능한 차수 중 하나의 계수에서 취소가 없을 수 있기 때문입니다).

Example

$Z$ 후에, 정수 도메인의 기본 예제 중 하나는 필드 $k$ 에 걸쳐 변수 $u$ 에서 다항식 링 $D = k [u]$ 입니다. 이 경우에서, $u$ 에 의해 생성된 소수 아이디얼이 소수 아이디얼입니다. 아이젠슈타인의 기준은 그런-다음 $D [x]$ 에서 $Q (x) = x 3 + ux + u$ 를 만족하는 다항식의 기약성을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다. 실제로, $u$ 는 $a 3$ 을 나누지 않고, $u 2$ 는 $a 0$ 을 나누지 않고, $u$ 는 $a 0, a 1$ 및 $a 2$ 를 나눕니다. 이것은 이 다항식이 소수 아이디얼 $p = (u)$ 에 대해 에이젠슈타인의 기준의 일반화의 가설을 만족시킨다는 것을 보여주는데, 왜냐하면, 소수 아이디얼 $(u)$ 에 대해, $(u)$ 의 원소가 되는 것은 $u$ 로 나뉠 수 있는 것과 동등하기 때문입니다.

Notes

^ ^a ^b Cox 2011.
^ Dorwart 1935.
^ Schönemann (1846), p. 100.
^ Eisenstein (1850), p. 166.
^ Schönemann (1850), p. 188.

References

Cox, David A. (2011), "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first", American Mathematical Monthly, 118 (1): 3–31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003.

Dorwart, H. L. (1935), "Irreducibility of polynomials", American Mathematical Monthly, 42 (6): 369–381, doi:10.2307/2301357, JSTOR 2301357.

Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1850 (39): 160–179, doi:10.1515/crll.1850.39.160.

Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-31249-3.

"Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
Schönemann, Theodor (1846), "Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1846 (32): 93–118, doi:10.1515/crll.1846.32.93.

Schönemann, Theodor (1850), "Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1850 (40): 185–188, doi:10.1515/crll.1850.40.185.

[Cox-1] Cox 2011.

[2] Dorwart 1935.

[3] Schönemann (1846), p. 100.

[4] Eisenstein (1850), p. 166.

[5] Schönemann (1850), p. 188.

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