Elementary matrix

수학(mathematics)에서, 기본 행렬(elementary matrix)은 단일 기본 행 연산에 의해 항등 행렬(identity matrix)과 다른 행렬(matrix)입니다. 기본 행렬은 F가 필드일 때 일반 선형 그룹(general linear group) GL_n(F)을 생성합니다. 기본 행렬에 의한 왼쪽 곱셈 (전-곱셈)은 기본 행 연산(elementary row operations)을 나타내고, 반면에 오른쪽 곱셈 (후-곱셈)은 기본 열 연산(elementary column operations)을 나타냅니다.

기본 행 연산은 가우스 소거법(Gaussian elimination)에서 행렬을 행 사다리꼴 형식(row echelon form)으로 줄이기 위해 사용됩니다. 그것들은 역시 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination)에서 행렬을 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)으로 더 줄이기 위해 사용됩니다.

Elementary row operations

세 가지 유형의 행 연산 (각각 열 연산)에 해당하는 세 가지 유형의 기본 행렬이 있습니다:

Row switching: 행렬 내의 행은 또 다른 행으로 전환될 수 있습니다.; $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Row multiplication: 행에서 각 원소에 비-영 상수를 곱할 수 있습니다. 그것은 역시 행 스케일링(scaling)으로 알려져 있습니다.; $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$

Row addition: 행은 해당 행과 또 다른 행의 배수의 합으로 대체될 수 있습니다.; $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j$

만약 E가, 아래에서 설명하는 바와 같이, 행렬 A에 기본 행 연산을 적용하기 위한 기본 행렬이면, A의 왼쪽 편에 기본 행렬을 곱하여 EA입니다. 임의의 행 연산에 대해 기본 행렬은 단위 행렬(identity matrix)에 대한 연산을 실행함으로써 얻습니다. 이 사실은 행렬의 카테고리에 적용된 요네다 보조정리(Yoneda lemma)의 사례로 이해될 수 있습니다.

Row-switching transformations

행렬 A에 대한 첫 번째 유형의 행 연산은 행 i의 모든 행렬 원소를 행 j의 그것들의 짝과 전환합니다. 대응하는 기본 행렬은 단위 행렬(identity matrix)의 행 i와 행 j를 교환함으로써 얻습니다.

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

따라서 T_ijA는 A의 행 i와 행 j를 교환함으로써 생성된 행렬입니다.

계수 별, 행렬 $T_{i,j}$ 는 다음에 의해 정의됩니다:

[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,k\neq j\\1&k=l,k\neq i,k\neq j\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}

Properties

이 행렬의 역행렬은 자신입니다: T_ij⁻¹ = T_ij.
단위 행렬의 행렬식(determinant)이 단위이므로, det(T_ij) = −1입니다. (정확한 크기의) 임의의 정방 행렬 A에 대해 det(T_ijA) = −det(A)을 가짐을 따릅니다.

Row-multiplying transformations

행렬 A에 대한 다음 유형의 행 연산은 행 i에 대한 모든 원소에 m을 곱하며, 여기서 m은 비-영 스칼라 (보통 실수)입니다. 대응하는 기본 행렬은 m인 i번째 위치를 제외하고 모든 곳에서 대각 엔트리 1을 갖는 대각 행렬입니다.

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

따라서 D_i(m)A는 행 i에 m을 곱함으로써 A에서 생성된 행렬입니다.

계수 별, $D_{i}(m)$ 행렬은 다음에 의해 정의됩니다:

[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=i,l=i\end{cases}}

Properties

이 행렬의 역행렬은 D_i(m)⁻¹ = D_i(1/m)에 의해 주어집니다.
그 행렬과 그것의 역행렬은 대각 행렬(diagonal matrices)입니다.
det(D_i(m)) = m. 그러므로 (정확한 크기의) 정사각 행렬 A에 대해, det(D_i(m)A) = m det(A)을 가집니다.

Row-addition transformations

행렬 A에 대한 마지막 행 연산 유형은 행 j에 스칼라 m을 곱한 행 i를 더합니다. 대응하는 기본 행렬은 단위 행렬이지만 (i, j) 위치에 m이 있습니다.

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

따라서 L_ij(m)A는 행 j에 m 곱하기 행 i를 더함으로써 A에서 생성된 행렬입니다. 그리고 A L_ij(m)은 열 j에 m 곱하기 열 i을 더함으로써 A에서 생성된 행렬입니다.

계수 별, 행렬 $L_{i,j}(m)$ 는 다음에 의해 정의됩니다:

[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}

Properties

이들 변환은 일종의 전단 매핑(shear mapping)이며, 역시 횡단(transvections)으로 알려져 있습니다.
이 행렬의 역행렬은 L_ij(m)⁻¹ = L_ij(−m)에 의해 주어집니다.
그 행렬과 그것의 역행렬은 삼각 행렬(triangular matrices)입니다.
det(L_ij(m)) = 1. 그러므로, (정확한 크기의) 정사각 행렬 A에 대해 det(L_ij(m)A) = det(A)을 가집니다.
행-덧셈 변환은 스타인버그 관계(Steinberg relations)를 만족시킵니다.

References

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6

Elementary row operations

Row-switching transformations

Properties

Row-multiplying transformations

Properties

Row-addition transformations

Properties

See also

References