Linear algebra

선형 대수(Linear algebra)은 다음과 같은 선형 방정식(linear equation)

a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,

다음과 같은 선형 함수(linear functions)

(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},

그리고 행렬(matrices)과 벡터 공간(vector space)을 통한 그들의 표현과 관련된 수학의 분야입니다.^[1]^[2]^[3]

선형 대수은 수학의 거의 모든 분야의 중심입니다. 예를 들어, 선형 대수은 직선(lines), 평면(planes), 및 회전(rotations)과 같은 기본 대상을 정의하는 것을 포함하여, 기하학(geometry)의 현대 표시에서 토대적입니다. 역시, 함수형 해석학(functional analysis), 수학적 해석학의 한 분야는 함수의 공간에 선형 대수를 적용하는 것으로 볼 수 있습니다.

선형 대수은 역시 많은 자연 현상을 모델링(modeling)하고, 그러한 모델을 효율적으로 컴퓨팅할 수 있기 때문에, 대부분의 과학과 공학(engineering) 분야에서 역시 사용됩니다. 선형 대수으로 모델링될 수 없는, 비선형 시스템(nonlinear system)에 대해, 그것은 종종 한 점에서 다변수 함수(multivariate function)의 미분(differential)이 해당 점 근처의 함수에 가장 근접한 선형 맵이라는 사실을 사용하여 일-차 근사(first-order approximations)를 처리하는 데 사용됩니다.

History

현재 가우스 소거법(Gaussian elimination)이라고 불리는 연립 선형 방정식을 풀기 위한 절차 (계수 막대 사용)는 고대 중국의 수학 텍스트 The Nine Chapters on the Mathematical Art의 Chapter Eight: Rectangular Arrays에 나타납니다. 그 사용법은 2개에서 5개의 방정식을 갖는 18개의 문제로 설명되어 있습니다.^[4]

선형 방정식의 시스템(Systems of linear equations)은 1637년 르네 데카르트(René Descartes)에 의한 기하학(geometry)에서 좌표(coordinates)의 도입으로 유럽에서 생겨났습니다. 사실, 현재 데카르트 기하학(Cartesian geometry)이라고 불리는 이 새로운 기하학에서, 직선과 평면은 선형 방정식에 의해 표현되고, 그것들의 교차점을 계산하는 것은 선형 방정식 시스템을 푸는 것과 같습니다.

선형 시스템을 풀기 위한 최초의 시스템적인 방법은 행렬식(determinants)을 사용했고 1693년 라이프니츠(Leibniz)에 의해 처음으로 고려되었습니다. 1750년에, 게브리엘 크라메르(Gabriel Cramer)는 현재 크라메르의 규칙(Cramer's rule)이라고 불리는 선형 시스템의 명시적 해를 제공하기 위해 그것들을 사용했습니다. 나중에, 가우스(Gauss)는 소거의 방법에 대해 자세히 설명했는데, 이는 처음에 측지학(geodesy)에서 발전으로 나열되었습니다.^[5]

1844년 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)은 오늘날 선형 대수이라고 불리는 것의 기초적인 새로운 주제를 포함하는 "확장의 이론(Theory of Extension)"을 발표했습니다. 1848년에, 제임스 조지프 실베스터(James Joseph Sylvester)는 라틴어로 배(womb)을 의미하는 행렬(matrix)이라는 용어를 도입했습니다.

선형 대수는 복소 평면(complex plane)에 표시된 아이디어와 함께 성장했습니다. 예를 들어, $\mathbb {C}$ 에서 두 숫자 $w$ 와 $z$ 는 차이 $w - z$ 를 가지고, 선분 $wz$ 와 $0(w - z)$ 는 길이와 방향이 같습니다. 선분은 등평적(equipollent)입니다. 쿼터니언(quaternions)의 사-차원 시스템 $\mathbb {H}$ 는 1843년에 시작되었습니다. 벡터(vector)라는 용어는 공간에서 한 점을 나타내는 $v = x i + y j + z k$ 로 도입되었습니다. 쿼터니언 차이 $p - q$ 는 역시 $pq$ 와 등평적 선분을 생성합니다. 다른 초복소수(hypercomplex number) 시스템도 기저(basis)를 갖는 선형 공간이라는 아이디어를 사용했습니다.

아서 케일리(Arthur Cayley)는 1856년에 행렬 곱셈(matrix multiplication)과 역행렬(inverse matrix)을 도입하여, 일반 선형 그룹(general linear group)을 가능하게 했습니다. 그룹 표시(group representation)의 메커니즘은 복소수와 초복소수를 설명하는 데 사용할 수 있게 되었습니다. 결정적으로, 케일리는 행렬을 나타내기 위해 단일 문자를 사용했으며, 따라서 행렬을 집계 대상으로 취급했습니다. 그는 역시 행렬과 행렬식 사이의 연결을 깨달았고, "이 행렬 이론에 대해 할 말이 많을 것입니다. 이 이론은 행렬식 이론보다 선행해야 합니다."라고 썼습니다.^[5]

벤저민 퍼스(Benjamin Peirce)는 Linear Associative Algebra (1872)를 출판했고, 그의 아들 찰스 샌더스 퍼스(Charles Sanders Peirce)는 나중에 그 연구를 확장했습니다.^[6]

전신(telegraph)에는 설명 시스템이 필요했고, 1873년 전기와 자기에 관한 논문 A Treatise on Electricity and Magnetism의 출판은 힘의 필드 이론(field theory)을 제정했고, 표현을 위한 미분 기하학(differential geometry)을 요구했습니다. 선형 대수은 편평한 미분 기하학이고 매니폴드(manifolds)에 대한 접 공간에서 사용됩니다. 시공간의 전자기 대칭은 로렌츠 변환(Lorentz transformations)에 의해 표현되고, 선형 대수의 역사의 대부분은 로렌츠 변환의 역사입니다.

벡터 공간에 대한 최초의 현대적이고 보다 정확한 정의는 1888년 페아노(Peano)에 의해 소개되었습니다;^[5] 1900년까지, 유한-차원 벡터 공간의 선형 변환 이론이 등장했습니다. 선형 대수은 이전 세기의 많은 아이디어와 방법이 추상 대수학(abstract algebra)으로 일반화되었던 20세기 전반기에 현대적인 형태를 갖추었습니다. 컴퓨터의 발달은 가우스 소거법과 행렬 분해를 위한 효율적인 알고리듬(algorithms)에 대한 연구를 증가시켰고, 선형 대수은 모델링과 모의실험을 위한 필수 도구가 되었습니다.^[5]

Vector spaces

19세기까지, 선형 대수은 선형 방정식의 시스템과 행렬(matrices)을 통해 도입되었습니다. 현대 수학에서, 일반적으로 벡터 공간(vector spaces)을 통한 표현이 선호되는데, 이는 더 종합적(synthetic)이고, 더 일반적이고 (유한-차원의 경우에 국한되지 않음), 개념적으로는 더 단순하지만, 더 추상적이기 때문입니다.

필드 $F$ (종종 실수의 필드)에 걸쳐 벡터 공간은 다음 공리를 만족시키는 두 개의 이항 연산(binary operations)을 갖춘 집합 $V$ 입니다. $V$ 의 원소(Elements)는 벡터(vectors)라고 불리고 F의 원소는 스칼라(scalars)라고 불립니다. 첫 번째 연산인, 벡터 덧셈(vector addition)은 임의의 두 벡터 $v$ 와 $w$ 를 취하여 세 번째 벡터 $v + w$ 를 출력합니다. 두 번째 연산, 스칼라 곱셈(scalar multiplication)은 스칼라 $a$ 와 벡터 $v$ 를 취하여 새 벡터 $a v$ 를 출력합니다. 덧셈과 스칼라 곱셈이 만족해야 하는 공리는 다음과 같습니다. (아래 목록에서 $u, v$ , 및 $w$ 는 $V$ 의 임의적인 원소이고, $a$ 와 $b$ 는 필드 $F$ 에서 임의적인 스칼라입니다.)^[7]

Axiom	Signification
Associativity of addition	$u + (v + w) = (u + v) + w$
Commutativity of addition	$u + v = v + u$
Identity element of addition	There exists an element $0$ in $V$ , called the zero vector (or simply zero), such that $v + 0 = v$ for all $v$ in $V$ .
Inverse elements of addition	For every $v$ in $V$ , there exists an element $- v$ in $V$ , called the additive inverse of $v$ , such that $v + (- v) = 0$
Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition	$a (u + v) = a u + a v$
Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition	$(a + b) v = a v + b v$
Compatibility of scalar multiplication with field multiplication	$a (b v) = (ab) v$ ^[a]
Identity element of scalar multiplication	$1 v = v$ , where $1$ denotes the multiplicative identity of $F$ .

처음 네 개의 공리는 $V$ 가 덧셈 아래의 아벨 그룹(abelian group)임을 의미합니다.

특정 벡터 공간의 원소는 다양한 본성을 가질 수 있습니다; 예를 들어, 그것은 수열, 함수, 다항식, 또는 행렬이 될 수 있습니다. 선형 대수은 모든 벡터 공간에 공통적인 대상의 속성과 관련이 있습니다.

Linear maps

선형 맵(Linear maps)은 벡터-공간 구조를 보존하는 벡터 공간 사이의 매핑(mappings)입니다. 필드 $F$ 에 걸쳐 두 개의 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 주어지면, 선형 맵 (일부 문맥에서는 선형 변환 또는 선형 매핑이라고도 함)은 다음 맵(map)입니다:

T:V\to W

이는 덧셈과 스칼라 곱셈과 호환되는, 즉, $V$ 에서 임의의 벡터 $u, v$ 와 $F$ 에서 스칼라 $a$ 에 대해 다음과 같습니다:

T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )

이것은 임의의 벡터 $u, v$ 와 $F$ 에서 스칼라 $a, b$ 에 대해, 다음을 가짐을 의미합니다:

T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )

$V = W$ 가 같은 벡터 공간일 때, 선형 맵 $T : V \to V$ 은 역시 $V$ 위에 선형 연산자(linear operator)로 알려져 있습니다.

두 벡터 공간 사이의 전단사(bijective) 선형 맵 (즉, 두 번째 공간의 모든 각 벡터는 첫 번째 공간에서 정확히 하나와 결합됨)은 동형(isomorphism)입니다. 동형은 선형 구조를 보존하기 때문에, 두 개의 동형적 벡터 공간은 그것들이 벡터 공간 속성을 사용함으로써 구별될 수 없다는 점에서 선형 대수의 관점에서 "본질적으로 같습니다". 선형 대수에서 본질적인 질문은 선형 맵이 동형인지 여부를 테스트하고, 만약 그것이 동형이 아니면, 해당 치역 (또는 이미지)와 맵의 커널이라고 불리는 영 벡터에 매핑되는 원소의 집합을 찾는 것입니다. 모든 이들 질문은 가우스 소거법(Gaussian elimination) 또는 이 알고리듬(algorithm)의 일부 변형을 사용함으로써 해결될 수 있습니다.

Subspaces, span, and basis

유도된 연산 아래에서 그 자체로 벡터 공간인 벡터 공간의 부분집합에 대한 연구는 많은 수학적 구조와 유사하게 토대적입니다. 이러한 부분집합은 선형 부분공간(linear subspaces)이라고 불립니다. 보다 정확하게, 필드 $F$ 에 걸쳐 벡터 공간 $V$ 의 선형 부분공간은 $W$ 에서 모든 각 $u$ , $v$ 와 $F$ 에서 모든 각 $a$ 에 대해 $u + v$ 와 $a u$ 가 $W$ 안에 있음을 만족하는 $V$ 의 부분집합 $W$ 입니다. (이들 조건은 $W$ 가 벡터 공간임을 암시하는 충분 조건입니다.)

예를 들어, 선형 맵 $T : V \to W$ 가 주어지면, $V$ 의 이미지 $T (V)$ 와 $0$ (커널 또는 널 공간이라고 함)의 역 이미지 $T -1 (0)$ 은 각각 $W$ 와 $V$ 의 선형 부분공간입니다.

부분공간을 형성하는 또 다른 중요한 방법은 벡터의 집합 $S$ 의 선형 조합(linear combinations)을 고려하는 것입니다: 다음과 같은 모든 합의 집합은

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},

여기서 $v 1, v 2, ..., v k$ 는 $S$ 안에 있고, $a 1, a 2, ..., a k$ 는 $F$ 안에 있으며, $S$ 의 스팬(span)이라고 불리는 선형 부분공간을 형성합니다. $S$ 의 스팬은 $S$ 를 포함하는 모든 선형 부분공간의 교집합이기도 합니다. 다시 말해서, 그것은 $S$ 를 포함하는 (포함 관계에 대해) 가장 작은 선형 부분공간입니다.

벡터의 집합은 만약 어떤 것이 다른 벡터의 스팬 안에 없으면 선형적으로 독립(linearly independent)입니다. 동등하게, 벡터의 집합 $S$ 는 만약 $S$ 의 원소의 선형 조합으로 영 벡터를 표현하기 위한 유일한 방법이 모든 각 계수 $a i$ 에 대해 영을 취하는 것이라면 선형적으로 독립입니다.

벡터 공간을 스팬하는 벡터의 집합은 스팬하는 집합(spanning set) 또는 생성하는 집합(generating set)이라고 불립니다. 만약 스팬하는 집합 $S$ 가 선형적으로 종속이면 (즉, 선형 독립이 아니면), $S$ 의 일부 원소 $w$ 는 $S$ 의 다른 요소의 스팬 안에 있고, 그 스팬은 만약 $S$ 에서 $w$ 를 제거해도 같게 유지됩니다. 선형적으로 독립 스팬하는 집합(linearly independent spanning set)을 얻을 때까지 $S$ 의 원소를 계속 제거할 수 있습니다. 벡터 공간 $V$ 를 스팬하는 그러한 선형적으로 독립 집합은 $V$ 의 기저(basis)라고 불립니다. 기저의 중요성은 그것들이 최소 생성하는 집합인 동시에 최대 독립 집합이라는 사실에 있습니다. 보다 정확하게, 만약 $S$ 가 선형적으로 독립 집합이고, $T$ 가 $S \subseteq T$ 를 만족하는 스팬하는 집합이면, $S \subseteq B \subseteq T$ 임을 만족하는 기저 $B$ 가 있습니다.

벡터 공간 $V$ 의 임의의 두 개의 기저는 $V$ 의 차원(dimension)이라고 불리는 같은 카디널리티(cardinality)를 가집니다; 이것은 벡터 공간에 대해 차원 정리입니다. 더욱이, 같은 필드 $F$ 에 걸쳐 두 벡터 공간이 동형적(isomorphic)인 것과 그것들이 같은 차원을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.^[8]

만약 $V$ 의 임의의 기저 (및 따라서 모든 각 기저)가 유한한 숫자의 원소를 가지면, $V$ 는 유한-차원 벡터 공간(finite-dimensional vector space)입니다. 만약 $U$ 가 $V$ 의 부분공간이면, $dim U \leq dim V$ 입니다. $V$ 가 유한-차원인 경우에서, 차원의 상등은 $U = V$ 임을 의미합니다.

만약 $U 1$ 과 $U 2$ 가 $V$ 의 부분공간이면, 다음과 같습니다:

\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),

여기서 $U 1 + U 2$ 는 $U 1 \cup U 2$ 의 스팬을 나타냅니다.^[9]

Matrices

행렬을 사용하면 유한-차원 벡터 공간과 선형 맵(linear maps)을 명시적으로 조작할 수 있습니다. 따라서 그것들의 이론은 선형 대수의 필수적인 부분입니다.

$V$ 를 필드 $F$ 에 걸쳐 유한-차원 벡터 공간이라고 놓고, $(v 1, v 2, ..., v m)$ 을 $V$ 의 기저 (따라서 $m$ 은 $V$ 의 차원)라고 놓습니다. 기저의 정의에 의해, 다음 맵은

{\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}

$F m$ , $F$ 의 $m$ 원소의 수열(sequences)의 집합에서 $V$ 위로의 전단사(bijection)입니다. 이것은 $F m$ 이 벡터 공간의 표준 구조를 갖추고 있으면 벡터 공간의 동형(isomorphism)이며, 여기서 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈은 성분별로 수행됩니다.

이 동형은 이 동형 아래에서 역 이미지(inverse image), 즉 좌표 벡터 $(a 1, ..., a m)$ 또는 열 행렬(column matrix)에 의해 벡터를 나타낼 수 있습니다:

{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.

만약 $W$ 가 기저 $(w 1, ..., w n)$ 를 갖는 또 다른 유한 차원 벡터 공간 (아마도 같은 것)이면, $W$ 에서 $V$ 까지의 선형 맵 $f$ 는 기저 원소의 값, 즉 $(f (w 1), ..., f (w n))$ 에 의해 잘 정의됩니다. 따라서, $f$ 는 해당 열 행렬의 목록에 의해 잘 표현됩니다. 즉, 만약 $j = 1, ..., n$ 에 대해 다음이면

f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},

$f$ 는 다음 행렬에 의해 표현됩니다:

{\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},

이때, $m$ 행과 $n$ 열을 가집니다.

행렬 곱셈(Matrix multiplication)은 두 행렬의 곱이 해당 선형 맵의 합성(composition)의 행렬이고, 행렬과 열 행렬의 곱은 표현된 선형 맵을 표현된 벡터에 적용한 결과를 나타내는 열 행렬이라는 그러한 방법에서 정의됩니다. 따라서 유한-차원 벡터 공간 이론과 행렬의 이론은 정확하게 같은 개념을 표현하기 위한 두 가지 다른 언어입니다.

서로 다른 기저에서 같은 선형 변환을 인코딩하는 두 개의 행렬은 닮은(similar) 것이라고 불립니다. 두 행렬이 닮은 것과 하나의 행렬을 기본 행 연산과 열 연산에 의해 다른 것으로 변환할 수 있는 것은 필요충분 조건임을 입증할 수 있습니다. $W$ 에서 $V$ 로의 선형 맵을 나타내는 행렬에 대해, 행 연산은 $V$ 에서 기저의 변경에 해당하고 열 연산은 $W$ 에서 기저의 변경에 해당합니다. 모든 각 행렬은 영 행과 영 열에 의해 경계-지정될 수 있는 항등 행렬(identity matrix)과 닮았습니다. 벡터 공간의 관점에서, 이것은 $W$ 에서 $V$ 로의 임의의 선형 맵에 대해, $W$ 의 기저의 부분이 $V$ 의 기저의 부분에 전단사적으로 매핑되고, $W$ 의 남아있는 기저 원소는, 어떤 것이라도 있으면, 영으로 매핑됨을 만족하는 기저가 있음을 의미합니다. 가우스 소거법(Gaussian elimination)은 이들 기본 연산을 찾고, 이들 결과를 입증하기 위한 기본 알고리듬입니다.

Linear systems

예를 들어, $x 1, x 2, ..., x n$ , 또는 $x, y, ..., z$ 와 같은 유한한 변수의 집합에서 선형 방정식의 유한 집합은 선형 방정식의 시스템(system of linear equations) 또는 선형 시스템(linear system)이라고 불립니다.^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]

선형 방정식의 시스템은 선형 대수의 토대적 부분을 형성합니다. 역사적으로, 선형 대수과 행렬 이론은 그러한 시스템을 풀기 위해 개발되어 왔습니다. 벡터 공간과 행렬을 통한 선형 대수의 현대 표시에서, 많은 문제가 선형 시스템의 관점에서 해석될 수 있습니다.

예를 들어, 다음을 선형 시스템이라고 놓습니다:

{\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}

(S)

그러한 시스템에, 다음 행렬을

M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].

다음과 같은 오른쪽 구성원 벡터와 결합할 수 있습니다:

\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.

$T$ 를 행렬 $M$ 과 결합된 선형 변환이라고 놓습니다. 시스템의 해 (S)는 다음 벡터이고,

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}

다음을 만족합니다:

T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,

즉, $T$ 에 의한 $v$ 의 이전-이미지(preimage)의 원소입니다.

(S′)를 방정식의 오른쪽 변이 영으로 넣은 결합된 동차 시스템(homogeneous system)이라고 놓습니다:

{\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}

(S′)

(S′)의 해는 정확하게 $T$ 의 커널(kernel)의 원소 또는, 동등하게, $M$ 입니다.

가우스-소거법(Gaussian-elimination)은 다음과 같은 증가된 행렬(augmented matrix)을 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)으로 넣기 위해 기본 행 연산(elementary row operations)을 수행하는 것으로 구성됩니다:

\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]

이들 행 연산은 방정식의 시스템의 해 집합을 변경하지 않습니다. 예제에서, 감소된 사다리꼴 형식은 다음과 같습니다:

\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],

이는 시스템 (S)가 다음 고유한 해를 가짐을 보여줍니다:

{\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}

선형 시스템에 대한 이 행렬 해석에서 선형 시스템을 풀고 랭크(ranks), 커널(kernels), 행렬 역(matrix inverses)의 계산을 포함하는 행렬과 선형 변환에 대한 많은 연산에 같은 방법을 적용할 수 있습니다.

Endomorphisms and square matrices

선형 자기-사상(endomorphism)은 벡터 공간 $V$ 를 자신에게 매핑하는 선형 맵입니다. 만약 $V$ 가 $n$ 개 원소의 기저를 가지면, 이들 가지-사상은 크기 $n$ 의 정사각 행렬로 표현됩니다.

일반적인 선형 맵과 관련하여, 선형 자기-사상과 정사각 행렬은 기하학적 변환(geometric transformations), 좌표 변경(coordinate changes), 이차 형식(quadratic forms), 및 수학의 다른 많은 부분을 포함하여 수학의 많은 부분에서 사용되는 선형 대수의 중요한 부분을 연구하게 만드는 몇 가지 특정 속성을 가지고 있습니다.

Determinant

정사각 행렬 $A$ 의 행렬식(determinant)은 다음과 같이 정의됩니다:^[15]

\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},

여기서 $S n$ 은 $n$ 원소의 모든 순열의 그룹(group of all permutations)이고, $σ$ 는 순열이고, $(-1) σ$ 는 순열의 패리티(parity)입니다. 행렬이 역-가능(invertible)인 것과 행렬식이 역-가능인 것은 필요충분 조건입니다 (즉, 스칼라가 필드에 속하면 비-영입니다).

크라메르의 규칙(Cramer's rule)은 $n$ 개의 미지수에서 $n$ 개의 선형 방정식의 시스템의 해의, 행렬식의 측면에서, 닫힌-형식 표현(closed-form expression)입니다. 크라메르의 규칙은 해에 대한 추론에 유용하지만, $n = 2$ 또는 $3$ 을 제외하고 가우스 소거법(Gaussian elimination)이 더 빠른 알고리듬이기 때문에 해를 계산하는 데 거의 사용되지 않습니다.

자기-사상의 행렬식은 자기-사상을 일부 순서화된 기저로 나타내는 행렬의 행렬식입니다. 이 행렬식은 기저의 선택과 독립적이기 때문에 이 정의는 의미가 있습니다.

Eigenvalues and eigenvectors

만약 $f$ 가 필드 $F$ 에 걸쳐 벡터 공간 $V$ 의 선형 자기-사상이면, $f$ 의 고유벡터(eigenvector)는 $F$ 에서 일부 스칼라 $a$ 에 대해 $f (v) = av$ 임을 만족하는 $V$ 의 비-영 벡터 $v$ 입니다. 이 스칼라 $a$ 는 $f$ 의 고윳값(eigenvalue)입니다.

만약 $V$ 의 차원이 유한하고, 기저가 선택되었으면, $f$ 와 $v$ 는 각각 정사각 행렬 $M$ 과 열 행렬 $z$ 로 표시될 수 있습니다; 고유벡터와 고윳값을 정의하는 방정식은 다음과 같습니다:

Mz=az.

일과 같은 주요 대각선의 엔트리를 제외하고 그것의 엔트리가 모두 영인 항등 행렬(identity matrix) $I$ 를 사용하여, 이것은 다시 작성될 수 있습니다:

(M-aI)z=0.

$z$ 가 비-영으로 가정되므로, 이것은 $M - aI$ 가 특이 행렬(singular matrix)이고, 따라서 그것의 행렬식 $det (M - aI)$ 가 영과 같음을 의미합니다. 따라서 고윳값은 다음 다항식(polynomial)의 근(roots)입니다:

\det(xI-M).

만약 $V$ 가 $n$ 차원이면, 이것은 행렬 (또는 자기-사상)의 특성 다항식(characteristic polynomial)이라고 불리는 차수 $n$ 의 일계수 다항식(monic polynomial)이고, 많아야 $n$ 개의 고윳값이 있습니다.

만약 고유벡터로만 구성된 기저가 존재하면, 이 기저에서 $f$ 의 행렬은 매우 간단한 구조를 가집니다: 그것은 주요 대각선(main diagonal)의 엔트리는 고윳값이고 다른 엔트리는 영임을 만족하는 대각 행렬(diagonal matrix)입니다. 이 경우에서, 자기-사상과 행렬은 대각화-가능(diagonalizable)이라고 말합니다. 더 일반적으로, 자기-사상과 행렬은 만약 그것들이 스칼라 필드를 확장(extending)한 후 대각화-가능이 되면 대각화-가능이라고 말합니다. 이 확장된 의미에서, 만약 특성 다항식이 제곱-없는(square-free) 것이면, 그 행렬은 대각화-가능입니다.

대칭 행렬(symmetric matrix)은 항상 대각화-가능입니다. 비-대각화가능 행렬이 있으며, 가장 간단한 것은 다음과 같습니다:

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}

(이것은 제곱이 영 행렬(zero matrix)이고, 비-영 대각 행렬의 제곱은 절대 영이 아니므로 대각화-가능이 아닙니다.)

자기-사상이 대각화-가능이 아닐 때, 비록 대각선 형식만큼 단순하지는 않지만 단순한 형식을 가지는 기저가 있습니다. 프로베니우스 정규 형식(Frobenius normal form)은 스칼라의 필드를 확장할 필요가 없고 특성 다항식을 행렬에서 즉시 읽을 수 있도록 합니다. 조르당 정규 형식(Jordan normal form)은 모든 고윳값을 포함하기 위해 스칼라 필드를 확장해야 하고, 주요 대각선 바로 위에 있고 일과 같은 일부 엔트리만 대각선 형식과 다릅니다.

Duality

선형 형식(linear form)은 필드 $F$ 에 걸쳐 벡터 공간 $V$ 에서 스칼라 필드 $F$ 로의 선형 맵으로, 그 자체에 걸쳐 벡터 공간으로 표시됩니다. 점별(pointwise) 덧셈과 스칼라 곱셈을 갖춘 선형 형식은 $V$ 의 이중 공간(dual space)이라고 불리는 벡터 공간을 형성하고, 보통 $V*$ ^[16] 또는 $V'$ 으로 표시됩니다.^[17]^[18]

만약 $v 1, ..., v n$ 이 $V$ 의 기저이면 (이것은 $V$ 가 유한-차원임을 의미함), $i = 1, ..., n$ 에 대해, $v i *(v i) = 1$ 와 $j \neq i$ 이면 $v i *(v j) = 0$ 임을 만족하는 선형 맵 $v i *$ 을 정의할 수 있습니다. 이들 선형 맵은 $v 1, ..., v n$ 의 이중 기저(dual basis)라고 불리는 $V *$ 의 기저를 형성합니다. (만약 $V$ 가 유한-차원이 아니면, $v i *$ 는 유사하게 정의될 수 있습니다; 그것들은 선형적으로 독립적이지만, 기저를 형성하지는 않습니다.)

$V$ 에서 $v$ 에 대해, 다음 맵은

f\to f(\mathbf {v} )

V* 위의 선형 형식입니다. 이것은 $V$ 에서 $V$ 의 쌍-이중(bidual)이라고 불리는 $V*$ 의 이중, $(V *)*$ 로의 정식의 선형 맵(canonical linear map)을 정의합니다. 이 정식의 맵은 만약 $V$ 가 유한 차원이면 동형(isomorphism)이고, 이를 통해 $V$ 를 그것의 쌍-이중으로 식별할 수 있습니다. (무한 차원의 경우에서, 정식의 맵은 단사적이지만, 전사적이지는 않습니다.)

따라서 유한-차원 벡터 공간과 그것의 이중 사이에는 완전한 대칭이 있습니다. 이것은 이 맥락에서 $f (x)$ 를 표시하는 데 괄-호 표기법(bra–ket notation)을 자주 사용하도록 동기를 부여합니다:

\langle f,\mathbf {x} \rangle

Dual map

다음을 선형 맵이라고 놓습니다:

f:V\to W

$W$ 위의 모든 각 선형 형식 $h$ 에 대해, 합성 함수(composite function) $h \circ f$ 는 $V$ 위의 선형 형식입니다. 이것은 이중 공간 사이의 다음 선형 맵을 정의합니다:

f^{*}:W^{*}\to V^{*}

이는 $f$ 의 이중(dual) 또는 전치(transpose)라고 불립니다.

만약 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원이고, $M$ 이 일부 순서화된 기저의 관점에서 $f$ 의 행렬이면, 이중 기저에 걸쳐 $f*$ 의 행렬은 행과 열을 교환함으로써 얻은 $M$ 의 전치(transpose) $M T$ 입니다.

만약 벡터 공간의 원소와 그것들의 이중이 열 벡터로 표현되면, 이 이중성은 다음에 의해 괄-호 표기법(bra–ket notation)으로 표현될 수 있습니다:

\langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .

이 대칭을 강조하기 위해, 이 상등의 두 구성원이 다음과 같이 때때로 쓰입니다:

\langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .

Inner-product spaces

이들 기본 개념 외에도, 선형 대수는 안의 곱(inner product)과 같은 추가적인 구조를 갖는 벡터 공간도 연구합니다. 안의 곱은 쌍선형 형식(bilinear form)의 예제이고, 길이와 각도의 정의를 허용함으로써 벡터 공간에 기하학적 구조를 제공합니다. 형식적으로, 안의 곱(inner product)은 다음 맵입니다:

\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F

이것은 $V$ 에서 모든 벡터 $u, v, w$ 와 $F$ 에서 모든 스칼라 $a$ 에 대해 다음 세 가지 공리(axioms)를 만족시킵니다:^[19]^[20]

켤레(Conjugate) 대칭:
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.$

\mathbb {R}

에서, 그것은 대칭적입니다.

첫 번째 인수에서 선형성(Linearity):
${\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}$
양수-한정(Positive-definiteness):
$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$

이때 상등은 오직

v = 0

입니다.

우리는 V에서 벡터 v의 길이는 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

\|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,

그리고 우리는 코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)를 입증할 수 있습니다:

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.

특히, 수량은

{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,

그리고 따라서 우리는 이 양을 두 벡터 사이의 각도의 코사인이라고 부를 수 있습니다.

두 벡터는 $⟨ u, v ⟩ = 0$ 이면 직교합니다. 직교-정규 기저는 모든 기저 벡터가 길이 1을 가지고 서로 직교하는 기저입니다. 임의의 유한-차원 벡터 공간이 주어지면, 그람–슈미트(Gram–Schmidt) 절차를 통해 직교-정규 기저를 찾을 수 있습니다. 직교-정규 기저는 만약 v = a₁ v₁ + ⋯ + a_n v_n이면 다음이기 때문에 특히 다루기 쉽습니다:

a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .

안의 곱은 많은 유용한 개념의 구성을 용이하게 합니다. 예를 들어, 변환 $T$ 가 주어지면, 에르미트 켤레(Hermitian conjugate) $T*$ 를 다음을 만족시키는 선형 변환으로 정의할 수 있습니다:

\langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .

만약 $T$ 가 $TT* = T*T$ 를 만족시키면, $T$ 정규(normal)이라고 부릅니다. 정규 행렬은 정확하게 $V$ 를 스팬하는 고유벡터의 직교-정규 시스템을 가지는 행렬이라는 것이 밝혀졌습니다.

Relationship with geometry

1637년 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)의 도입으로 시작된 선형 대수과 기하학(geometry) 사이에는 강한 관계가 있습니다. 지금은 데카르트 기하학(Cartesian geometry)이라고 불리는 (당시에) 이 새로운 기하학에서, 점은 데카르트 좌표로 표현되며, 이는 세 실수의 수열 (보통의 삼-차원 공간의 경우)입니다. 직선과 평면인 기하학의 기본 대상은 선형 방정식에 의해 표현됩니다. 따라서, 직선과 평면의 교차점의 계산은 선형 방정식 시스템을 푸는 것과 같습니다. 이것은 선형 대수를 개발하게 된 주요 동기 중 하나였습니다.

평행이동(translations), 회전(rotations), 반사(reflections), 강체 운동(rigid motions), 등거리-변환(isometries), 및 투영(projections)과 같은 대부분의 기하학적 변환(geometric transformation)은 직선을 직선으로 변환합니다. 따라서 그것들은 선형 맵의 관점에서 정의되고, 지정되고 연구될 수 있습니다. 이것은 역시 투영 공간( projective space)의 변환으로 고려될 때 호모그래피(homographies)와 뫼비우스 변환(Möbius transformations)의 경우입니다.

19세기 말까지, 기하학적 공간은 점, 직선, 평면과 관련하여 공리 (합성 기하학)에 의해 정의되었습니다. 이 연대 무렵에는, 벡터 공간을 포함하는 구성에 의해 기하학적 공간을 정의할 수도 있는 것으로 나타났습니다 (예를 들어, 투영 공간과 아핀 공간을 참조하십시오). 두 접근 방식이 본질적으로 동등하다는 것이 밝혀져 왔습니다.^[21] 고전 기하학에서, 관련된 벡터 공간은 실수에 걸쳐 벡터 공간이지만, 구성은 임의의 필드에 걸쳐 벡터 공간으로 확장될 수 있으므로, 유한 필드(finite fields)를 포함하여 임의적인 필드에 걸쳐 기하학을 고려할 수 있습니다.

현재, 대부분의 교과서에서는 선형 대수의 기하학적 공간을 소개하고 있고, 기하학은 종종 기초적인 수준에서 선형 대수의 하위 분야로 제시됩니다.

Usage and applications

선형 대수는 수학의 거의 모든 분야에서 사용되며, 따라서 수학을 사용하는 거의 모든 과학 영역과 관련이 있습니다. 이들 응용은 여러 광범위한 카테고리로 나눌 수 있습니다.

Geometry of ambient space

주변 공간(ambient space)의 모델링(modeling)은 기하학(geometry)을 기반으로 합니다. 이 공간과 관련된 과학은 기하학을 널리 사용합니다. 이것은 강체 동역학(rigid body dynamics)을 설명하기 위한 역학(mechanics)과 로봇 공학(robotics); 지구 모양을 설명하기 위한 측지학(geodesy); 장면과 평면 표현 사이의 관계를 설명하기 위한 관점(perspectivity), 컴퓨터 비전(computer vision), 및 컴퓨터 그래픽(computer graphics); 그리고 많은 다른 과학적 영역의 경우입니다.

모든 이들 응용에서, 합성 기하학(synthetic geometry)은 종종 일반적인 설명과 정성적 접근에 사용되지만, 명시적 상황에 대한 연구를 위해, 좌표(coordinates)와 함께 계산해야 합니다. 이를 위해서는 선형 대수를 많이 사용해야 합니다.

Functional analysis

함수형 해석학(Functional analysis)은 함수 공간(function spaces)을 연구합니다. 이것들은 힐베르트 공간(Hilbert spaces)과 같은 추가적인 구조를 갖는 벡터 공간입니다. 따라서 선형 대수은 특히 양자 역학 (파동 함수)을 포함하는 함수형 해석과 응용의 토대적 부분입니다.

Study of complex systems

대부분의 물리적 현상은 부분 미분 방정식(partial differential equations)에 의해 모델링됩니다. 그것들을 풀기 위해, 보통 해가 검색되는 공간을 작은, 상호 작용하는 셀(cells)로 분해합니다. 선형 시스템(linear systems)에 대해, 이 상호 작용은 선형 함수(linear functions)를 포함합니다. 비선형 시스템(nonlinear systems)에 대해, 이 상호 작용은 종종 선형 함수로 근사화됩니다.^[b] 이것은 선형 모델 또는 일-차 근사라고 불립니다. 선형 모델은 매개변수화(parametrization)를 보다 쉽게 관리할 수 있도록 하기 때문에 복잡한 비선형 실세계 시스템에 자주 사용됩니다.^[22] 두 경우 모두에서, 일반적으로 매우 큰 행렬이 관련됩니다. 일기 예보 (또는 보다 구체적으로, 대기 모델링을 위한 매개변수화)는 전체 지구 대기를 예를 들어 너비 100km, 높이 100km의 셀로 분할되는 실제 응용의 전형적인 예입니다.

Scientific computation

거의 모든 과학적 계산은 선형 대수를 포함합니다. 결과적으로, 선형 대수 알고리듬은 고도로 최적화되어 왔습니다. BLAS 및 LAPACK은 가장 잘 알려진 구현입니다. 효율성 향상을 위해, 그것들 중 일부는 컴퓨터의 특성 (캐시 크기, 사용 가능한 코어 수 등)에 맞게 알고리듬을 런타임에 자동으로 구성합니다.

전형적으로 그래픽 처리 장치(GPU)와 같은 일부 프로세서는 선형 대수 연산을 최적화하기 위해 행렬 구조로 설계됩니다.

Extensions and generalizations

이 섹션은 일반적으로 선형 대수에 대한 기본 교과서에는 나타나지 않지만, 고급 수학에서는 공통적으로 선형 대수의 일부로 고려되는 몇 가지 관련 주제를 제시합니다.

Module theory

필드에 곱셈 역원의 존재는 벡터 공간을 정의하는 공리와 관련이 없습니다. 따라서 스칼라의 필드를 링(ring) $R$ 로 대체할 수 있고, 이것은 $R$ 에 걸쳐 모듈(module) 또는 $R$ -모듈이라고 불리는 구조를 제공합니다.

선형 독립성, 스팬, 기저, 및 선형 맵 (모듈 준동형이라고도 함)의 개념은 벡터 공간에 대해 정확히 모듈에 대해 정의되며, 본질적인 차이점은 $R$ 이 필드가 아니면, 임의의 기저를 가지지 않는 모듈이 있다는 것입니다. 기저를 가지는 모듈은 자유 모듈(free modules)이고, 유한 집합에 의해 스팬된 모듈은 유한하게 생성된 모듈(finitely generated modules)입니다. 유한하게 생성된 자유 모듈 사이의 모듈 준동형은 행렬에 의해 나타낼 수 있습니다. 링에 걸쳐 행렬의 이론은 오직 링이 교환적(commutative)이면 존재하고, 교환 링에 걸쳐 정사각 행렬은 오직 그것의 행렬식(determinants)이 링에서 곱셈 역원(multiplicative inverse)을 가지면 역-가능(invertible)이라는 점을 제외하면 필드에 걸쳐 행렬의 이론과 유사합니다.

벡터 공간은 (동형까지) 차원에 의해 완전하게 특성화됩니다. 일반적으로, 유한하게 생성된 모듈로 자신을 제한하더라도, 모듈에 대한 그러한 완전한 분류는 없습니다. 어쨌든, 모든 각 모듈은 자유 모듈의 준동형의 여커널(cokernel)입니다.

정수에 걸쳐 모듈은 아벨 그룹(abelian groups)으로 식별될 수 있는데, 왜냐하면 정수에 의한 곱셈이 반복된 덧셈으로 식별될 수 있기 때문입니다. 대부분의 아벨 그룹의 이론은 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)에 걸쳐 모듈로 확장될 수 있습니다. 특히, 주요 아이디얼 도메인에 걸쳐, 자유 모듈의 모든 각 부분모듈은 자유이고, 유한하게 생성된 아벨 그룹의 기본 정리는 주요 링에 걸쳐 유한하게 생성된 모듈로 직접 확장될 수 있습니다.

선형 방정식과 선형 방정식의 시스템을 해결하기 위한 알고리듬이 있는 많은 링이 있습니다. 어쨌든, 이들 알고리듬은 일반적으로 필드에 걸쳐 유사한 알고리듬보다 훨씬 더 높은 계산 복잡성(computational complexity)을 가집니다. 자세한 내용에 대해, 링에 걸쳐 선형 방정식을 참조하십시오.

Multilinear algebra and tensors

다중-선형 대수(multilinear algebra)에서, 다변수 선형 변환, 즉, 여러 다른 변수 각각에서 선형인 매핑을 고려합니다. 이 조사 선은 자연스럽게 이중 공간(dual space), 선형 맵 $f : V \to F$ 로 구성된 벡터 공간 $V*$ 의 아이디어로 이어지며, 여기서 F는 스칼라 필드입니다. 다중선형 맵 $T : V n \to F$ 는 $V*$ 의 원소의 텐서 곱(tensor products)을 통해 설명될 수 있습니다.

만약, 벡터 덧셈과 스칼라 곱 외에도, 쌍선형 벡터 곱 $V \times V \to V$ 가 있으면, 벡터 공간은 대수(algebra)라고 불립니다; 예를 들어, 결합 대수는 결합 벡터 곱 (정사각형 행렬의 대수 또는 다항식의 대수)을 갖는 대수입니다.

Topological vector spaces

유한 차원이 아닌 벡터 공간은 종종 다루기 쉽도록 추가적인 구조를 요구합니다. 노름화된 벡터 공간(normed vector space)은 원소의 "크기"를 측정하는 노름(norm)이라고 불리는 함수와 함께 벡터 공간입니다. 노름은 원소 사이의 거리를 측정하는 메트릭(metric)을 유도하고, 연속 맵의 정의를 허용하는 토폴로지(topology)를 유도합니다. 메트릭은 역시 극한(limits)과 완비성(completeness)에 대한 정의를 허용합니다 – 완비인 메트릭 공간은 바나흐 공간(Banach space)으로 알려져 있습니다. 안의 곱 (켤레 대칭 반쌍선형 형식(sesquilinear form))의 추가적인 구조와 함께 완비 메트릭 공간은 어떤 의미에서 특히 잘-작동하는 바나흐 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)으로 알려져 있습니다. 함수형 해석학(Functional analysis)은 다양한 함수 공간을 연구하기 위해 수학적 해석학(mathematical analysis)의 방법과 함께 선형 대수의 방법을 적용합니다; 함수형 해석의 중심 연구의 대상은 바나흐 공간인 $L p$ 공간이고, 특히 제곱 적분-가능 함수의 $L 2$ 공간은 그 중 유일한 힐베르트 공간입니다. 함수형 해석은 양자 역학, 부분 미분 방정식 이론, 디지털 신호 처리, 및 전기 공학에 특히 중요합니다. 그것은 역시 푸리에 변환과 관련된 방법의 기초가 되는 토대와 이론적 프레임워크를 제공합니다.

Homological algebra

Explanatory notes

^ This axiom is not asserting the associativity of an operation, since there are two operations in question, scalar multiplication $b v$ ; and field multiplication: $ab$ .
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Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
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History

Vector spaces

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