Entire function

복소 해석학(complex analysis)에서, 전체 함수는, 역시 적분 함수라고 불리며, 전체 복소 평면(complex plane) 위에 정칙(holomorphic)인 복소-값 함수(function)입니다. 전체 함수의 전형적인 예제는 다항식(polynomial)과 지수 함수(exponential function), 및 삼각 함수(trigonometric function) 사인(sine)과 코사인(cosine)과 그것들의 쌍곡 짝(hyperbolic counterparts) 쌍곡사인(sinh)과 쌍곡코사인(cosh)과 같은 이들의 유한 합, 곱 및 이들의 합성과 마찬가지로 오차 함수(error function)와 같은 전체 함수의 도함수(derivative)와 적분(integral)입니다. 만약 전체 함수 f(z)가 w에서 근(root)을 가지면, w에서 한계 값을 취하는 f(z)/(z−w)는 전체 함수입니다. 다른 한편으로, 자연 로그(natural logarithm)도 제곱근(square root)도 전체 함수가 아니며, 그것들은 전체 함수에 대해 해석적으로 연속(continued analytically)이 될 수도 없습니다.

초월적(transcendental) 전체 함수는 다항식이 아닌 전체 함수입니다.

Properties

모든 각 전체 함수 f(z)는 복소 평면에서 어디에서나 따라서 컴팩트 집합 위에 균등하게(uniformly on compact sets) 수렴하는 다음 거듭제곱 급수(power series)로 표현될 수 있습니다:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

.

수렴의 반지름(radius of convergence)은 무한대이며, 이것은 다음임을 의미합니다:

\lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0

또는

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty .

이 기준을 만족시키는 임의의 거듭제곱 급수는 전체 함수를 나타낼 것입니다.

만약 (및 오직 만약) 거듭제곱 급수의 계수가 모두 실수이면 함수는 분명히 실수 인수에 대해 실수 값을 취하고, z의 복소 켤레에서 함수의 값은 z에서 값의 복소 켤레일 것입니다. 그러한 함수는 때때로 자기-켤레라고 불립니다 (켤레 함수, $F^{*}(z)$ 는 ${\bar {F}}({\bar {z}})$ 에 의해 주어집니다).^[1]

만약 전체 함수의 실수 부분이 한 점의 이웃에서 알려져 있으면 실수와 허수 부분 둘 다는 허수 상수까지(up to) 전체 복소 평면에 대해 알려져 있습니다. 예를 들어, 만약 실수 부분이 영의 이웃에서 알려져 있으면, 우리는 실수 변수 r에 관한 다음 도함수에서 n > 0에 대해 계수를 찾을 수 있습니다:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\operatorname {Re} f(r)&&{\text{at }}r=0\\\operatorname {Im} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\operatorname {Re} f\left(re^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)&&{\text{at }}r=0\end{aligned}}

(마찬가지로, 만약 허수 부분이 이웃(neighborhood)에서 알려져 있으면, 그 함수는 실수 상수까지 결정됩니다.) 사실, 만약 실수 부분이 단지 원의 호 위에 알려져 있으면, 그 함수는 허수 상수까지 결정됩니다. (예를 들어, 만약 실수 부분이 단위 원의 부분 위에 알려져 있으면, 그것은 해석적 확장(analytic extension)에 의해 전체 단위 원 위에 알려져 있고, 그런-다음 무한 급수의 계수는 단위 원 위의 실수 부분에 대해 푸리에 급수(Fourier series)의 계수에서 결정됩니다.) 어쨌든 전체 함수는 모든 곡선 위의 실수 부분에 의해 결정되지 않음을 주목하십시오. 특히, 만약 실수 부분이 어떤 다른 전체 함수의 실수 부분이 영인 복소 평면에서 곡선 위에 주어지면, 해당 함수의 임의의 배수는 우리가 결정하려고 시도하는 함수에 더해질 수 있습니다. 예를 들어, 만약 실수 부분이 알려진 곡선이 실수 직선이면, 우리는 i 곱하기 임의의 자기-켤레 함수를 더할 수 있습니다. 만약 곡선이 루프를 형성하면, 그것은 루프 위에 함수의 실수 부분에 의해 결정되는데 왜냐하면 단지 그것의 실수 부분이 곡선 위에 영인 함수는 어디에서나 일부 허수와 같은 함수이기 때문입니다.

바이어슈트라스 인수분해 정리(Weierstrass factorization theorem)는 임의의 전체 함수는 그것의 영들(zeroes) (또는 "근")을 포함하는 곱으로 표현될 수 있다고 주장합니다.

복소 평면 위의 전체 함수는 정수 도메인(integral domain) (사실 프뤼퍼 도메인(Prüfer domain))을 형성합니다. 그것들은 역시 복소수에 걸쳐 교환(commutative) 단위(unital) 결합 대수(associative algebra)를 형성합니다.

리우빌의 정리(Liouville's theorem)는 임의의 경계진(bounded) 전체 함수가 상수여야 함을 말합니다. 리우빌의 정리는 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)를 우아하게 입증하기 위해 사용될 수 있습니다.

리우빌의 정리의 결과로, 전체 리만 구(Riemann sphere) (복소 평면과 무한대에서 점) 위에 전체인 임의의 함수는 상수입니다. 따라서 임의의 비-상수 전체 함수는 복소 무한대에서 점(point at infinity), 다항식에 대해 극(pole) 또는 초월적(transcendental) 전체 함수에 대해 필수 특이점(essential singularity)에서 특이점(singularity)을 가져야 합니다. 구체적으로 특별히, 카소라티–바이어슈트라스 정리(Casorati–Weierstrass theorem)에 의해, 임의의 초월적 전체 함수 f 및 임의의 복소수 w에 대해, 다음을 만족하는 수열(sequence) $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ 이 있습니다:

\lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w.

리카르의 작은 정리(Picard's little theorem)는 훨씬 더 강력한 결과입니다: 임의의 비-상수 전체 함수는 아마도 단일 예외를 갖는 모든 각 복소수를 값으로 취합니다. 예외가 존재할 때, 그것은 함수의 라쿠너리 값(lacunary value)이라고 불립니다. 라쿠너리 값의 가능성은 지수 함수(exponential function)에 의해 설명되며, 이것은 결코 값 0을 취하지 않습니다. 우리는 결코 0을 맞출 수 없는 전체 함수의 로그의 적절한 가지를, (바이어슈트라스 인수분해 정리(Weierstrass factorization theorem)에 따라) 이것이 역시 전체 함수일 수 있도록, 취할 수 있습니다. 로그는 가능한 하나의 숫자를 제외한 모든 각 복소수를 맞추며, 이것은 첫 번째 함수가 0 이외의 임의의 값을 무한 번 맞출 것임을 의미합니다. 마찬가지로, 비-상수, 특정 값을 맞출 수 없는 전체 함수는 모든 각 다른 값을 무한 번 맞출 것입니다.

리우빌의 정리는 다음 명제의 특별한 경우입니다:

정리: M, R이 양의 상수이고 n이 비-음의 정수임을 가정합니다.

|z|\geq R

를 갖는 모든 z에 대해 부등식

|f(z)|\leq M|z|^{n}

을 만족시키는 전체 함수 f는 필연적으로 많아야 n 차수(degree)의 다항식입니다.^[2] 유사하게,

|z|\geq R

를 갖는 모든 z에 대해 부등식

M|z|^{n}\leq |f(z)|

을 만족시키는 전체 함수 f는 필연적으로 적어도 n 차수의 다항식입니다.

Growth

전체 함수는 임의의 증가하는 함수만큼 빠르게 증가할 수 있습니다: 임의의 증가하는 함수 g: [0,∞) → [0,∞)에 대해, 모든 실수 x에 대해 f(x) > g(|x|)를 만족하는 전체 함수 f가 존재합니다. 그러한 함수 f는 상수 c와 양의 정수 n_k의 엄격하게 증가하는 수열에 대해 다음 형식으로 쉽게 찾아질 수 있습니다:

f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}

임의의 그러한 수열은 전체 함수 f(z)를 정의하고, 만약 거듭제곱이 임의적으로 선택되면 우리는 모든 실수 x에 대해 부등식 f(x) > g(|x|)을 만족시킬 수 있습니다. (예를 들어, 그것은 만약 우리가 c := g(2)를 선택하고, 임의의 정수 $k\geq 1$ 에 대해 우리가 $\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)$ 를 만족하는 짝수 지수 $n_{k}$ 를 선택하면 확실히 유지합니다).

Order and type

전체 함수 $f(z)$ 의 (무한대에서) 차수는 다음처럼 극한 상부(limit superior)를 사용하여 정의됩니다:

\rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},

여기서 B_r은 반지름 r의 원반이고 $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ 은 B_r 위의 $f(z)$ 의 상한 노름(supremum norm)을 표시합니다. 다시 말해서, $f(z)$ 의 차수는 다음을 만족하는 모든 m의 하한(infimum)입니다:

f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .

$f(z)=\exp(2z^{2})$ 의 예제는 이것은 만약 $f(z)$ 가 차수 m이면 f(z) = O(exp(|z|^m))를 의미하지 않음을 보여줍니다.

만약 $0<\rho <\infty$ 이면, 우리는 역시 유형을 정의할 수 있습니다:

\sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.

만약 차수가 1이고 유형이 σ이면, 함수는 "지수 유형(exponential type) σ의 것"이라고 말합니다. 만약 그것이 1보다 작은 차수의 것이면, 그것은 지수 유형 0의 것이라고 말합니다.

만약 다음이면,

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},

차수와 유형은 다음 공식에 의해 구할 수 있습니다:

{\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}

$f^{(n)}$ 가 f의 n^번째 도함수를 표시한다고 놓으면, 우리는 어떤 임의적인 점 z₀에서 도함수의 관점에서 이들 공식을 다시 말할 수 있습니다:

{\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}

그 유형은 역수 감마 함수(reciprocal gamma function), 또는 영 (#Order 1 아래에서 아래 예제를 참조)의 경우에서 처럼 무한일 수 있습니다.

Examples

다음은 다양한 차수의 함수의 몇 가지 예제입니다:

Order ρ

임의적인 양의 숫자 ρ와 σ에 대해, 우리는 다음을 사용하여 차수 ρ와 유형 σ의 전체 함수의 예제를 구성할 수 있습니다:

f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}

Order 0

비-영 다함식
$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}$

Order 1/4

f({\sqrt[{4}]{z}})

여기서

f(u)=\cos(u)+\cosh(u)

Order 1/3

f({\sqrt[{3}]{z}})

여기서

f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.

Order 1/2

\cos \left(a{\sqrt {z}}\right)

with a ≠ 0 (이것에 대해 유형은 σ = |a|에 의해 주어집니다)

Order 1

exp(az) 여기서 a ≠ 0 (σ = |a|)
sin(z)
cosh(z)
베젤 함수(Bessel function) J₀(z)^{[citation needed]}
역수 감마 함수(reciprocal gamma function) 1/Γ(z) (σ는 무한입니다)
$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)$

Order 3/2

에어리 함수(Airy function) Ai(z)

Order 2

exp(−az²) 여기서 a ≠ 0 (σ = |a|)

Order infinity

exp(exp(z))

Genus

유한 차수의 전체 함수는 아다마르(Hadamard)의 정식 표현을 가집니다:

f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),

여기서 $z_{k}$ 는 영이 아닌 ( $z_{k}\neq 0$ ) $f$ 의 근(roots), $m$ 은 $z=0$ 에서 $f$ 의 영의 차수이고 (경우 $m=0$ 는 $f(0)\neq 0$ 를 의미하기 위해 취합니다), $P$ 는 다항식 (그것의 차수는 우리가 $q$ 라고 부를 것입니다), 및 $p$ 는 다음 급수가 수렴함을 만족하는 가장-작은 비-음의 정수입니다:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}

비-음의 정수 $g=\max\{p,q\}$ 는 전체 함수 $f$ 의 속이라고 불립니다.

만약 차수 ρ가 정수가 아니면, $g=\lbrack \rho \rbrack$ 는 $\rho$ 의 정수 부분입니다. 만약 차수가 양의 정수이면, 둘의 가능성: $g=\rho -1$ 또는 $g=\rho$ 이 있습니다.

예를 들어, $\sin ,\cos$ 및 $\exp$ 는 속 1의 전체 함수입니다.

Other examples

존 리틀우드(John E. Littlewood)에 따르면, 바이어슈트라스 시그마 함수(Weierstrass sigma function)는 '전형적인' 전체 함수입니다. 이 명제는 무작위 전체 함수의 이론에서 정확하게 만들어질 수 있습니다: 거의 모든 전체 함수의 점근적 동작은 시그마 함수의 동작과 유사합니다. 다른 예제로는 프레넬 적분(Fresnel integral), 야코비 세타 함수(Jacobi theta function) 및 역수 감마 함수(reciprocal Gamma function)를 포함합니다. 지수 함수와 오차 함수는 미타그 레플레르 함수(Mittag-Leffler function)의 특수한 경우입니다. 페일리와 위너의 기본 정리(Paley and Wiener fundamental theorem)에 따르면, 경계진 지원을 갖는 함수 (또는 분포)의 푸리에 변환(Fourier transform)은 차수 1과 유한 유형의 전체 함수입니다.

다른 예제는 다항식 계수를 갖는 선형 미분 방정식의 해입니다. 만약 가장 높은 도함수에서 계수가 상수이면, 그러한 방정식의 모든 해는 전체 함수입니다. 예를 들어, 지수 함수, 사인, 코사인, 에어리 함수(Airy function) 및 포물형 원통 함수(Parabolic cylinder function)가 이 방법으로 발생합니다. 전체 함수의 클래스는 합성에 관해 닫혀 있습니다. 이것은 전체 함수의 동역학을 연구하는 것을 가능하게 만듭니다.

복소수의 제곱근의 전체 함수는 만약 원래 함수가 짝수(even), 예를 들어 $\cos({\sqrt {z}})$ 이면, 전체입니다.

만약 그것의 모든 근이 실수인 다항식의 수열이 영과 동일하게 같지 않은 극한에 대한 원점의 이웃에서 수렴이면, 이 극한은 전체 함수입니다. 그러한 전체 함수는 라게르–포여 클래스(Laguerre–Pólya class)를 형성하며, 이것은 역시 아다마르 곱에 관한 특성화될 수 있으며, 즉, f가 이 클래스에 속하는 것과 아다마르 표현에서 모든 z_n가 실수, p ≤ 1, 및 P(z) = a + bz + cz²인 것과 필요충분 조건이며, 여기서 b와 c는 실수이고, c ≤ 0입니다. 예를 들어, 다음 다항식의 수열은, n이 증가할 때, exp(−(z−d)²)로 수렴합니다:

\left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}

.

다음 다항식은

{\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)

모두 실수 근을 가지고, cos(z)로 수렴합니다. 다음 다항식은

\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)

역시 cos(z)로 수렴하며, 코사인에 대해 아다마르 곱의 축적을 보여줍니다.

Notes

^ For example, (Boas 1954, p. 1)
^ The converse is also true as for any polynomial $p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$ of degree n the inequality $|p(z)|\leq \left(\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\right)|z|^{n}$ holds for any |z| ≥ 1.

References

Boas, Ralph P. (1954). Entire Functions. Academic Press. ISBN 9780080873138. OCLC 847696.
Levin, B. Ya. (1980) [1964]. Distribution of zeros of entire functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.
Levin, B. Ya. (1996). Lectures on entire functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-0897-9.

[1] For example, (Boas 1954, p. 1)

[2] The converse is also true as for any polynomial $p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$ of degree n the inequality $|p(z)|\leq \left(\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\right)|z|^{n}$ holds for any |z| ≥ 1.

[1]

[2]