Derivative test

미적분학(calculus)에서, 도함수 테스트(derivative test)는 함수의 임계점을 탐색하기 위해 함수의 도함수(derivative)를 사용하고 각각의 점이 지역적 최댓값(local maximum), 지역적 최솟값(local minimum), 또는 안장 점(saddle point)인지 여부를 결정합니다. 도함수 테스트는 함수의 오목성(concavity)에 대한 정보를 역시 제공합니다.

극단을 찾기 위해 도함수의 유용성은 정류 점의 페르마의 정리(Fermat's theorem of stationary points)에 의해 수학적으로 입증됩니다.

First derivative test

일차 도함수 테스트는 그의 도메인에서 특정 점에 초점을 맞춘 함수의 단조로운(monotonic) 속성 (여기서 함수는 증가 또는 감소합니다)을 검사합니다. 만약 함수가 그 점에서 증가에서 감소로 "전환"되면, 함수는 해당 점에서 가장-높은 값에 도달할 것입니다. 비슷하게, 만약 함수가 그 점에서 감소에서 증가로 "전환"되면, 그것은 해당 점에서 가장-작은 값에 도달할 것입니다. 만약 함수가 "전환"에 실패하고, 증가를 유지하거나 감소를 유지하면, 가장-높은 값 또는 가장-낮은 값은 도달되지 않습니다.

우리는 미적분없이 함수의 단조성을 검사할 수 있습니다. 어쨌든, 미적분은 보통 도움이 되는데 왜냐하면 위의 단조성 속성을 보증하는 충분 조건(sufficient conditions)이고, 이들 조건은 우리가 마주칠 수 있는 함수의 대부분에 적용되기 때문입니다.

Precise statement of monotonicity properties

정확하게 말하면, f는 점 x를 포함하는 일부 구간 위에 정의된 실수 변수의 연속(continuous) 실수-값 함수라고 가정합니다.

만약 f가 (x − r, x] 위에 약하게 증가하고 [x, x + r) 위에 약하게 감소하는 것을 만족하는 양수 r>0가 존재하면, f는 x에서 지역적 최댓값을 가집니다. 이 명제는 역시 다른 방법으로 작동할 것이며, 만약 x가 지역적 최대 점이면, f는 (x - r, x] 위에 약하게 증가하고 [x, x + r) 위에 약하게 감소합니다.
만약 f가 (x − r, x] 위에 강하게 증가하고 [x, x + r) 이에 강하게 감소하는 것을 만족하는 양수 r>0가 존재하면, f는 (x − r, x + r) 이에 강하게 증가하고 x에서 지역적 최댓값 또는 최솟값을 가지지 않습니다.

이 명제는 지역적 극단(local extrema)이 정의되는 방법의 직접적 결과입니다. 즉, 만약 x₀가 지역적 최대 점이면, (x - r, x + r) 안에 있는 x에 대해 f(x) ≤ f(x₀)임을 만족하는 r>0가 존재하며 이것은 x - r에서 x까지 반드시 증가하고 x에서 x + r까지 반드시 감소함을 의미하는데 왜냐하면 f는 연속이기 때문입니다.

처음 두 경우에서, f는 x의 왼쪽 또는 오른쪽으로 엄격하게 증가 또는 엄격하게 감소인 것이 요구되지는 않지만, 마지막 두 경우에서, f는 엄격하게 증가 또는 엄격하게 감소인 것이 요구됨을 주목하십시오. 그 이유는 지역적 최대 및 최소의 정의에서, 부등식은 엄격한 것이 요구되지 않는 것입니다; 예를 들어, 상수 함수의 모든 각 값은 지역적 최댓값 및 지역적 최솟값 둘 다로 여겨집니다.

Precise statement of first derivative test

일차 도하수 테스트는 "증가-감소 테스트"에 의존하며, 이것은 궁극적으로 평균 값 정리(mean value theorem)의 결과 그 자체입니다. 그것은 도함수(derivative)가 정의된 방법과 이전 섹션과 결합된, 지역적인 함수의 감소 및 증가에 대한 그의 연결의 직접적 결과입니다.

f는 임계 점 a를 포함하는 어떤 구간 위에 정의된 실수 변수의 실수-값 함수로 가정합니다. 게다가 f는 a에서 연속(continuous)이고, 아마도 a 자체를 제외한, a를 포함하는 어떤 열린 구간 위에 미분-가능(differentiable)으로 가정합니다.

만약 (a − r, a) 안의 모든 각 x에 대해 우리가 f′(x) ≥ 0,를 가지고 (a, a + r) 안의 모든 각 x에 대해 우리가 f′(x) ≤ 0,을 가지는 것을 만족하는 양수 r>0이 존재하면, f는 a에서 지역적 최대를 가집니다.
만약 (a − r, a) ∪ (a, a + r) 안의 모든 각 x에 대해 우리가 f′(x) > 0,를 가지는 것을 만족하는 양수 r>0이 존재하면, f는 a에서 엄격하게 증가하고 그곳에서 지역적 최대도 지역적 최소도 가지지 않습니다.
만약 위의 조건 어떤 것도 유지되지 않으면, 테스트는 실패합니다. (그러한 조건은 공허한(vacuous) 것은 아닙니다; f(x) = x²⋅sin(1/x)와 같은 처음 세 조건의 어떤 것도 만족시키지 않는 함수가 있습니다.

다시, 단조성 속성에 대한 섹션에서 의견에 해당하는, 처음 두 경우에서, 부등식은 엄격한 것이 요구되지 않지만, 다음 두 경우에서 엄격한 부등식이 요구됨에 주목하십시오.

Applications

일차 도함수 테스트는 물리학, 경제학, 및 공학에서 최적화 문제(optimization problem)를 해결하는 것에서 도움이 됩니다. 극단 값 정리(extreme value theorem)와 함께 연결에서, 그것은 닫힌, 경계진 구간 위에 정의된 실수-값 함수의 절대적 최대 및 최소를 찾기 위해 사용될 수 있습니다. 오목성, 변곡 점 및 점근선과 같은 다른 정보와 함께 연결에서, 그것은 함수의 그래프를 개형을 그리기 위해 사용될 수 있습니다.

Second derivative test (single variable)

함수의 임계 점(critical points)을 확립한 후, 이차 도함수 테스트는 그런 점에서 지역적 최댓값(maximum) 또는 지역적 최솟값(minimum)인지 여부를 결정하기 위해 그들 점에서 이차 도함수(second derivative)의 값을 사용합니다. 만약 함수 f가 임계 점 x에서 두번 미분-가능(differentiable) (즉, f′(x) = 0)이면, 다음입니다:

만약 $\ f^{\prime \prime }(x)<0$ 이면, $f$ 는 $x$ 에서 지역적 최댓값을 가집니다.
만약 $\ f^{\prime \prime }(x)>0$ 이면, $f$ 는 $x$ 에서 지역적 최솟값을 가집니다.
만약 $\ f^{\prime \prime }(x)=0$ 이면, 테스트는 결정적이지 않습니다.

마지막 경우에서, 테일러의 정리(Taylor's Theorem)는 고차 도함수(higher derivative)를 사용하여 x 근처에서 f의 행동을 결정하기 위해 사용될 수 있을 것입니다.

Proof of the second derivative test

우리는 $f''(x)>0$ 를 가짐을 가정합니다 ( $f''(x)<0$ 에 대한 증명은 아날로그입니다). 가정에 의해, $f'(x)=0$ 입니다. 그런-다음

0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.

따라서, 충분히 작은 h에 대해, 우리는 다음을 얻습니다:

{\frac {f'(x+h)}{h}}>0

이것은 만약 $h<0$ 이면 $f'(x+h)<0$ (직관적으로, f는 그것이 왼쪽으로부터 $x$ 에 접근할 때 감소합니다)이고, 만약 $h>0$ 이면 $f'(x+h)>0$ (직관적으로, f는 우리가 x로부터 오른쪽으로 갈 때 증가합니다)임을 의미합니다. 이제, 일차 도함수 테스트(first derivative test)에 의해, $f$ 는 $x$ 에 지역적 최솟값을 가집니다.

Concavity test

이차 도함수의 관련된 것이지만 구별되는 사용은 함수가 한 점에서 위로 오목(concave up) 또는 아래로 오목(concave down)인지 여부를 결정하는 것입니다. 그것은, 어쨌든, 변곡 점(inflection points)에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 구체적으로, 두번-미분가능한 하수 f는, 만약 $f''(x)>0$ 이면 위로 오목이고 만약 $f''(x)<0$ 이면 아래로 오목입니다. 만약 $f(x)=x^{4}$ 이면, $x=0$ 는 영 이차 도함수를 가지지만, 여전히 변곡 점이 아니므로, 이차 도함수 단독으로 만약 주어진 점이 변곡 점이면 결정하기 위한 충분한 정보를 제공하지 못하는 것에 주목하십시오.

Higher-order derivative test

고차 도함수 테스트 또는 일반적인 도함수 테스트는, 함수의 임계 점이 이차 도함수 테스트보다 함수의 더 넓은 종류에 대해 최대, 최소, 또는 변곡의 점인지 여부를 결정할 수 있습니다. 아래에 보인 것처럼, 이차 도함수 테스트는 고차 도함수 테스트에서 n=1의 특별한 경우와 수학적으로 동일합니다.

f를 $n\geq 1$ 와 구간 $I\subset \mathbb {R} ,\;c\in I$ 위의 실수-값, 충분하게 미분-가능한 함수(differentiable function)로 놓습니다. 역시 c에서 f의 모든 도함수를 n번째 도함수를 포함하고 그것까지 영이지만, (n+1)번째 도함수는 비-영인 것으로 놓습니다:

$f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\,\not =0$ .

네 가능성이 있으며, 처음 두 경우는 c에서 극단이며, 그 다음 두 경우에서 c는 (지역적) 안장 점입니다:

만약 n이 홀수이고 $f^{(n+1)}(c)<0$ 이면, c는 지역적 최대입니다.
만약 n이 홀수이고 $f^{(n+1)}(c)>0$ 이면, c는 지역적 최소입니다.
만약 n이 짝수이고 $f^{(n+1)}(c)<0$ 이면, c는 변곡의 엄격하게 감소하는 점입니다.
만약 n이 짝수이고 $f^{(n+1)}(c)>0$ 이면, c는 변곡의 엄격하게 증가하는 점입니다.

n은 반드시 짝수 또는 홀수 중에 하나이므로, 이 해석적 테스트는, 비-영 도함수가 결국 나타나는 한, f의 임의의 정류 점을 분류합니다.

Example

말하자면 우리는 점 $x=0$ 에서 함수 $f(x)=x^{6}+5$ 에 대한 일반적인 도함수 테스트를 수행하기를 원합니다. 이것을 행하기 위해, 우리는 함수의 도함수를 계산하고 그런-다음 그 결과가 비-영이 나올 때까지 관심 점에서 그들을 평가합니다.

f'(x)=6x^{5}

,

f'(0)=0

f''(x)=30x^{4}

,

f''(0)=0

f^{(3)}(x)=120x^{3}

,

f^{(3)}(0)=0

f^{(4)}(x)=360x^{2}

,

f^{(4)}(0)=0

f^{(5)}(x)=720x

,

f^{(5)}(0)=0

f^{(6)}(x)=720

,

f^{(6)}(0)=720

위에서 보인 것처럼, 점 $x=0$ 에서, 함수 $x^{6}+5$ 는 0에서 양수인 여섯번째 도함수를 제외하고 그의 도함수 전부는 0과 같습니다. 따라서 n=5이고, 테스트에 의해, 0에서 지역적 최소가 있습니다.

Multivariable case

둘 이상의 변수의 함수에 대해, 이차 도함수 테스트는 임계 점에서 함수의 헤세 행렬(Hessian matrix)의 고윳값(eigenvalue)을 기반으로 테스트하기 위한 일반화합니다. 특히, f의 모든 이차 부분 도함수가 임계 점 x의 이웃에서 연속이라고 가정하면, x에서 헤세의 고윳값이 모두 양수이면, x는 지역적 최소입니다. 만약 고윳값이 모두 음수이면, x는 지역적 최대이고, 만약 일부는 양수이고 일부는 음수이면, 그 점은 안장 점(saddle point)입니다. 만약 헤세 행렬이 특이(singular)이면, 이차 도함수 테스트는 결정적이지 않습니다.

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