Critical point (mathematics)

임계점은 수학(mathematics)의 많은 가지에서 사용되는 광범위한 용어입니다.

실수 변수의 함수를 다룰 때, 임계점은 함수가 미분가능(differentiable)이 아니거나 도함수가 영과 같은 함수의 도메인에서 점입니다.^[1] 복소수 변수(complex variable)를 다룰 때, 임계점은, 유사하게, 함수가 정칙(holomorphic)이 아니거나 도함수가 영과 같은 함수의 도메인에서 점입니다.^[2]^[3] 마찬가지로, 여러 실수 변수의 함수에 대해, 임계점은 그레이디언트(gradient)가 정의되지 않거나 영과 같은 그것의 도메인에서 값입니다.^[4]

임계점에서의 함수의 값은 임계 값(critical value)입니다.

이러한 종류의 정의는 R^m과 Rⁿ 사이의 미분-가능 맵(differentiable map)으로 확장되며, 임계점은, 이 경우에서, 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 랭크(rank)가 최대가 아닌 점입니다. 그것은, 야코비 행렬의 랭크가 감소하는 점일 때, 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) 사이의 미분-가능 맵으로 더 확장됩니다. 이 경우에서, 임계점은 역시 분기점(bifurcation point)이라고 불립니다.

특히, 만약 C가 암시적 방정식(implicit equation) f(x,y) = 0에 의해 정의되는 평면 곡선(plane curve)이면, x-축 위로의 사영, y-축에 평행한 임계점은 C에 대한 접선이 y-축에 평행한 점, 즉 ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$ 인 점입니다. 달리 말해서, 임계 점은 암시적 함수 정리(implicit function theorem)가 적용되지 않는 점입니다.

임계 점(critical point)의 개념은 코페르니쿠스(Copernicus) 시대 이전에 설명할 수 없었던 천문학적(astronomical) 현상의 수학적 설명을 허용합니다. 행성의 궤도에서 정류 점(stationary point)은 천구(celestial sphere) 위의 행성의 궤도의 지점이며, 여기서 행성의 운동은 다른 방향에서 다시 시작하기 전에 정지하는 것처럼 보입니다. 이것은 궤도가 황도 원(ecliptic circle)으로 궤도의 투영의 임계점 때문에 발생합니다.

Critical point of a single variable function

단일 실수 변수(real variable) f(x)의 함수의 임계점은 그것이 미분-가능(differentiable)이 아니거나 그것의 도함수(derivative)가 0 (f ′(x₀) = 0)인 f의 도메인(domain)에서 값 x₀입니다.^[1] 임계값은 임계점의 f 아래에서 이미지입니다. 이들 개념은 f의 그래프를 통해 시각화될 수 있습니다: 임계점에서, 그래프(graph)는 만약 수평 접선을 할당할 수 있다면 수평 접선(tangent)을 가집니다.

미분-가능 함수(differentiable function)에 대해, 임계 점이 정류 점(stationary point)과 어떻게 같은지 주목하십시오.

비록 그것이 곡선인 그래프 위에 쉽게 시각화될 수 있지만, 함수의 임계 점의 개념은 곡선(curve)의, 어떤 방향에서, 임계 점의 개념과 혼동해서는 안 됩니다 (자세한 정의에 대해 아래를 참조하십시오). 만약 g(x,y)가 두 변수의 미분-가능 함수(function)이면, g(x,y) = 0은 곡선의 암시적 방정식(implicit equation)입니다. 그러한 곡선의 임계점은, y-축에 평행한 투영 (맵 (x, y) → x)에 대해, ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$ 인 곡선의 점입니다. 이것은 곡선의 접선이 y-축에 평행하고, 이 점에서, g가 x에서 y로의 암시적 함수를 정의하지 않는다는 것을 의미합니다 (암시적 함수 정리(implicit function theorem)를 참조하십시오). 만약 (x₀, y₀)이 그러한 임계점이면, x₀는 대응하는 임계값입니다. 그러한 임계점은 역시 분기점(bifurcation point)이라고 불리는데, 왜냐하면, 일반적으로, x가 변할 때, x₀의 측면에는 곡선의 두 가지 분기가 있고 다른 측면에는 영이 있기 때문입니다.

만약 미분-가능 함수 f(x)가 임계값 y₀을 갖는 임계점 x₀을 가지는 것과 (x₀, y₀)가 x-축에 평행한 투영에 대해, 같은 임계값 y₀을 갖는 그것의 그래프의 임계점인 것이 필요충분 조건이라는 이들 정의에서 따릅니다. 만약 f가 접선이 y-축에 평행하게 됨으로 인해 x₀에서 미분-가능이 아니면, x₀는 다시 f의 임계점이지만, 이제 (x₀, y₀)는 y-축에 평행한 투영에 대해 그것의 그래프의 임계점입니다.

예를 들어, 방정식 x² + y² − 1 = 0의 단위 원의 임계점은 x-축에 평행한 투영에 대해 (0, 1)와 (0, −1)이고, y-축에 평행한 방향에 대해 (1, 0)와 (−1, 0)입니다. 만약 우리가 위쪽 반원을 함수 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 의 그래프로 고려하면, x = 0는 도함수가 0과 같음으로 인해 임계값을 갖는 임계점이고, x=−1과 x=1은 도함수가 정의되지 않음으로 인해 임계값 0을 갖는 임계점입니다.

Examples

함수 f(x) = x² + 2x + 3는 모든 곳에서 미분-가능이고, 도함수 f ′(x) = 2x + 2를 가집니다. 이 함수는 고유한 임계점 −1을 가지는데, 왜냐하면 그것이 2x₀ + 2 = 0에 대해 고유한 숫자 x₀이기 때문입니다. 이 점은 f의 전역적 최솟값(global minimum)입니다. f의 그래프는 위로 오목 포물선(parabola)이고, 임계점은 꼭짓점의 앱시서이고, 여기서 접선은 수평이며, 임계값은 꼭짓점의 올디닛이고 이 접선과 y-축의 교차점에 의해 표현될 수 있습니다.
함수 f(x) = x^2/3는 모든 x에 대해 정의되고 x ≠ 0에 대해 미분-가능이며, 도함수 f ′(x) = 2x^−1/3/3를 가집니다. f가 x=0에서 및 그렇지 않으면 f'(x)≠0에서 미분-가능이 아니기 때문에, 그것은 고유한 임계점입니다. 함수 f의 그래프는 수직 접선을 갖는 이 점에서 뾰족-점(cusp)을 가집니다. 대응하는 임계값은 f(0) = 0입니다.
절댓값 함수(absolute value function) f(x) = |x|는 임계값 0을 갖는, 그것이 전역 최소 점을 가지는, 임계점 x=0을 제외하고 모든 곳에서 미분-가능입니다.
함수 f(x) = 1/x는 임계점을 가지지 않습니다. 점 x = 0은 임계점이 아닌데 왜냐하면 그것은 함수의 도메인에 포함되지 않기 때문입니다.

Location of critical points

가우스–루카스 정리(Gauss–Lucas theorem)에 의해, 복소 평면에서 다항 함수의 임계점 모두는 함수의 근(roots)의 볼록 껍질(convex hull) 내에 있습니다. 따라서 오직 실수 근을 갖는 다항 함수에 대해, 모든 임계점은 실수이고 가장 큰 근과 가장 작은 근 사이에 있습니다.

센도프의 추측(Blagovest Sendov)은 만약 모든 함수의 근이 복소 평면에서 단위 디스크(unit disk) 내에 놓이면, 임의의 주어진 근의 단위 거리 내에 적어도 하나의 임계점이 있다고 주장합니다.

Critical points of an implicit curve

임계점은 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의된 평면 곡선(plane curve)의 연구, 특히 그것들의 개형도를 그리고 그것들의 토폴로지(topology)를 결정에 대해 중요한 역할을 합니다. 이 섹션에서 사용되는 임계점의 개념은 앞 섹션의 그것과 다르게 보일 수 있다. 실제로 그것은 아래에 주어진 임계점의 일반적인 개념의 간단한 경우에 대한 전문화입니다.

따라서, 우리는 암시적 방정식 $f(x,y)=0$ 에 의해 정의된 곡선 $C$ 를 고려하며, 여기서 $f$ 는 두 변수의 미분-가능 함수, 공통적으로 이변수 다항식(bivariate polynomial)입니다. 곡선의 점은 그것의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)가 방정식을 만족시키는 유클리드 평면(Euclidean plane)의 점입니다. 곡선을 좌표 축(coordinate axes) 위로 매핑하는 $\pi _{y}((x,y))=x$ 와 $\pi _{x}((x,y))=y,$ 에 의해 정의된 두 표준 투영(projections) $\pi _{y}$ 와 $\pi _{x}$ 이 있습니다. 그것들은 각각 y-축에 평행한 투영과 x-축에 평행한 투영이라고 불립니다.

$C$ 의 점은, 만약 $C$ 에 대한 접선(tangent)이 존재하고 y-축에 평행하면 $\pi _{y}$ 에 대해 임계적입니다. 해당 경우에서, 임계점과 접선의 $\pi _{y}$ 에 의한 이미지(image)는 임계값이라고 불리는 x-축의 같은 점입니다. 따라서 하나의 점은 만약 그것의 좌표가 다음 방정식의 시스템(system of equations)의 해이면 $\pi _{y}$ 에 대해 임계적입니다:

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

이것은 이 정의가 아래 주어진 임계점의 일반적인 정의의 특별한 경우임을 의미합니다.

$\pi _{x}$ 에 대해 임계점의 정의는 유사합니다. 만약 $C$ 가 함수의 그래프(graph of a function) $y=g(x)$ 이면, $(x, y)$ 가 $\pi _{x}$ 에 대해 임계적인 것과 $x$ 가 $g$ 의 임계점이고, 임계값이 같은 것은 필요충분 조건입니다.

일부 저자는, 비록 그것들이 $C$ 에 의존할 뿐만 아니라, 좌표 축의 선택에 의존할지라도, $C$ 의 임계점을 $\pi _{x}$ 또는 $\pi _{y}$ 에 대해 임계적인 점으로 정의합니다. 그것은 역시 특이점(singular points)이 임계점으로 고려되면 저자에 따라 다릅니다. 사실, 특이점은 다음을 만족시키는 점입니다:

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

그리고 따라서 임계점을 특성화하는 방정식의 시스템의 해입니다. 이 보다 일반적인 정의와 함께, $\pi _{y}$ 에 대해 임계점은 정확하게 암시적 함수 정리(implicit function theorem)가 적용되지 않는 점입니다.

Use of the discriminant

곡선 $C$ 가 대수적일 때, 즉 그것이 이변수 다항식 $f$ 에 의해 정의될 때, 판별식(discriminant)은 임계점을 계산하기 위해 유용한 도구입니다.

여기서 우리는 오직 투영 $\pi _{y}$ 을 고려합니다; 유사한 결과는 $x$ 와 $y$ 를 교환함으로써 $\pi _{x}$ 에 적용됩니다.

$\operatorname {Disc} _{y}(f)$ 를 $x$ 에서 다항식인 계수를 갖는 $y$ 에서 다항식으로 보이는 $f$ 의 판변식(discriminant)이라고 놓습니다. 이 판별식은 따라서 그것의 근 사이에 $\pi _{y}$ 의 임계값을 가지는 $x$ 에서 다항식입니다.

보다 정확하게, $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ 의 단순 근은 특이점도 아니고 변곡점도 아닌 점인 해당하는 임계점와 같은 임계값이거나, $y$ -축에 평행하고 변곡점(inflection point)에 대한 "무한대에서" 접선인 점근선(asymptote) (변곡 점근선)의 $x$ -좌표입니다.

판별식의 중복근은 같은 임계값을 공유하는 여러 임계점 또는 변곡 점근선, 또는 변곡점이기도 한 임계점, 또는 특이점에 해당합니다.

Several variables

여러 실수 변수의 함수에 대해, 점 P (즉, Rⁿ에서 점으로 보이는 입력 변수에 대해 값의 집합)은 만약 그것이 그래디언트(gradient)가 정의되지 않거나 그래디언트가 영인 점이면 임계입니다.^[4] 임계값은 임계점에서 함수의 값입니다.

임계점 (여기서 함수는 미분-가능임)은 지역 최댓값(local maximum), 지역 최솟값(local minimum), 또는 안장점(saddle point)일 것입니다. 만약 그 함수가 적어도 두 번 연속적으로 미분가능이면, 다른 경우는 이차 도함수의 헤세 행렬(Hessian matrix)의 고윳값(eigenvalue)을 고려함으로써 구별될 수 있습니다.

헤세 행렬이 비특이점(nonsingular)인 임계점은 비-퇴화(nondegenerate)라고 말해지고, 헤세의 고윳값(eigenvalue)의 부호는 함수의 지역적 행동을 결정합니다. 단일 변수의 함수의 경우에서, 헤세 행렬은 단순히 1×1 행렬로 보이는 이차 도함수(second derivative)이며, 이것이 비-특이점인 것과 그것이 영이 아닌 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 비-퇴화 임계점은 이차 도함수의 부호에 따라 극댓값 또는 극솟값이며, 극솟값에 대해 양수이고 극댓값에 대해 음수입니다. 만약 이차 도함수가 널이면, 임계점은 일반적으로 변곡점(inflection point)이지만, 역시 지역 최솟값 또는 지역 최댓값일 수 있는 파동점(undulation point)이 될 수도 있습니다.

n 변수의 함수에 대해, 임계점에서 헤세 행렬의 음의 고윳값의 숫자는 임계점의 인덱스(index)라고 불립니다. 비-퇴화 임계점이 지역 최솟값인 것과 그 인덱스가 n이거나, 동등하게, 헤세 행렬이 음의 한정(negative definite)인 것은 필요충분 조건입니다; 그것이 지역 최솟값인 것과 그 인덱스가 영이거나, 동등하게 헤세 행렬이 양의 한정(positive definite)인 것은 필요충분 조건입니다. 인덱스의 다른 값에 대해, 비-퇴화 임계점은 안장 점(saddle point), 즉 어떤 방향에서는 최댓값이고 다른 방향에서 최솟값인 점입니다.

Application to optimization

페르마의 정리(Fermat's theorem)에 의해, 연속 함수의 모든 지역 최댓값과 최솟값(maxima and minima)은 임계점에서 발생합니다. 그러므로, 미분-가능 함수의 지역 최댓값과 최솟값을 찾기 위해, 이론적으로, 그래디언트의 영점과 이들 영점에서 헤세 행렬의 고윳값을 계산하는 것으로 충분합니다. 이것은 실제에서 그렇게 잘 작동하지는 않는데 왜냐하면 그것은 어려운 임무인 연립 방정식(simultaneous equations)의 비선형 시스템(nonlinear system)의 해를 요구하기 때문입니다. 보통의 수치 알고리듬(numerical algorithm)은 지역 극값을 찾는 데 훨씬 더 효율적이지만, 모든 극값이 발견되었음을 증명할 수는 없습니다. 특히, 전역 최적화(global optimization)에서, 이들 방법은 출력이 실제로 전역 최적임을 보증할 수는 없습니다.

최소화하기 위한 함수가 다변수 다항식(multivariate polynomial)일 때, 임계점과 임계값은 다항 방정식의 시스템(system of polynomial equations)의 해이고, 그러한 시스템을 해결하기 위한 현대 알고리듬은 전역 최솟값을 찾기 위한 경쟁력 있는 인증 방법을 제공합니다.

Critical point of a differentiable map

R^m에서 Rⁿ로의 미분가능 맵 f가 주어지면, f의 임계점은 f의 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 랭크가 최대가 아닌 R^m의 점입니다.^[5] f 아래에서 임계점의 이미지는 임계값이라고 불립니다. 임계값의 집합의 여집합에서 점은 정규 값(regular value)이라고 불립니다. 사드의 정리(Sard's theorem)는 매끄러운 맵의 임계값의 집합이 측정 영(measure zero)을 가진다고 말합니다.

일부 저자는 약간 다른 정의를 제공합니다: f의 임계점은 f의 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 랭크가 n보다 작은 R^m의 점입니다. 이 관례와 함께, 모든 점은 m < n일 때 임계적입니다.^[6]

이들 정의는 다음 방법에서 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) 사이의 미분 맵으로 확장됩니다. $f:V\rightarrow W$ 를 각 차원 m과 n의 두 매니폴드 $V$ 와 $W$ 사이의 미분 맵이라고 놓습니다. $V$ 와 $f (p)$ 의 점 $p$ 의 이웃에서, 차트(charts)는 미분동형(diffeomorphism) $\varphi :V\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ 와 $\psi :W\rightarrow \mathbf {R} ^{n}.$ 입니다. 점 $p$ 는 만약 $\varphi (p)$ 가 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}$ 에 대해 임계적이면 $f$ 에 대해 임계적입니다. 이 정의는 전환 맵이 미분동형, 그것들의 야코비 행렬이 역가능이고, 그것들에 의해 곱해지는 것은 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}$ 의 야코비 행렬의 랭크를 수정하지 않기 때문에 차트의 선택에 의존하지 않습니다. 만약 M이 힐베르트 매니폴드 (반드시 유한 차원일 필요는 없음)이고 f가 실수-값 함수이면, 우리는 만약 f가 p에서의 침몰(submersion)이 아니면, f의 임계점이라고 말합니다.^[7]

Application to topology

임계 점은 매니폴드(manifold)와 실수 대수적 다양체(real algebraic varieties)의 토폴로지(topology)를 연구하는 데 기본적입니다. 특히, 그것들은 모스 이론(Morse theory)과 급변 이론(catastrophe theory)의 기본 도구입니다.

임계점과 토폴로지 사이의 연결은 이미 더 낮은 수준의 추상화에서 나타납니다. 예를 들어, $V$ 를 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분-매니폴드, $P$ 를 $V$ 외부의 한 점이라고 놓습니다. $V$ 의 점 $P$ 까지 거리의 제곱은 그 거리가 최솟값인 $V$ 의 각 연결된 구성요소가 적어도 임계점을 포함함을 만족하는 미분 맵입니다. $V$ 의 연결된 구성요소의 숫자는 임계 점의 숫자로 위로 경계진 것임을 따릅니다.

실수 대수적 다양체의 경우에서, 베주의 정리(Bézout's theorem)와 결합된 이러한 관찰은 다양체를 정의하는 다항식의 차수의 함수에 의해 연결된 구성요소의 숫자를 경계짓도록 허용합니다.

References

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^ Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.
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^ Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.
^ Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry p. 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

[:0-1] Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[2] Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.

[3] Larson, Ron (2010). Calculus. Edwards, Bruce H., 1946- (9th ed.). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.

[:1-4] Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. p. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.

[5] Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.

[6] Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.

[7] Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry p. 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

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