Concept in the solution of linear partial differential equations
수학(mathematics) 에서, 선형 부분 미분 연산자(partial differential operator) L 에 대해 기본 해 (fundamental solution )는 그린의 함수(Green's function) 의 이전 아이디어의 분포 이론(distribution theory) 언어에서 형식화입니다 (비록 그린 함수와 다르지만, 기본 해는 경계 조건을 다루지 않습니다).
디랙 델타 "함수" δ (x )F 는 비-동차 방정식(inhomogeneous equation) 의 해입니다:
LF = δ (x )
여기서 F 는 분포(distribution) 라고만 선험 (a priori )적으로 가정됩니다.
이 개념은 이차원과 삼차원에서 라플라스( Laplacian) 에 오랫동안 활용되어 왔습니다. 그것은 머르첼 리스(Marcel Riesz) 에 의해 라플라스에 대해 모든 차원에 대해 조사되었습니다.
Bernard Malgrange 와 Leon Ehrenpreis 는 상수 계수 — 가장 중요한 경우, 임의적인 오른쪽 변 을 풀기 위해 합성곱(convolution) 을 사용할 가능성과 직접 연결됨 — 를 갖는 임의의 연산자에 대해 기본 해의 존재를 보여주었습니다. 함수형 해석학(functional analysis) 의 맥락에서, 기본 해는 보통 프레드홀름 대안(Fredholm alternative) 을 통해 개발되고 프레드홀름 이론(Fredholm theory) 에서 탐색됩니다.
Example 다음을 갖는 다음 미분 방정식 Lf = sin(x )
L
=
d
2
d
x
2
.
{\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}
기본 해는 명시적으로 LF = δ (x )
d
2
d
x
2
F
(
x
)
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)\,.}
헤비사이드 함수(Heaviside function) H 에 대해 우리는 다음을 가지기 때문에,
d
d
x
H
(
x
)
=
δ
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)\,,}
d
d
x
F
(
x
)
=
H
(
x
)
+
C
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C\,.}
C 는 적분에 의해 도입된 임의적인 상수입니다. 편의를 위해, C = −1/2
d
F
d
x
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}}
F
(
x
)
=
x
H
(
x
)
−
1
2
x
=
1
2
|
x
|
.
{\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.}
Motivation 한번 기본 해를 찾으면, 기본 해와 원하는 오른쪽 변의 합성곱(convolution) 을 통해 원래 방정식의 해를 쉽게 찾을 수 있습니다.
기본 해는 경계 원소 방법(boundary element method) 에 의한 부분 미분 방정식의 수치 해에도 중요한 역할을 합니다.
Application to the example 예제에서 언급된 연산자 L 과 미분 방정식을 생각해 보십시오,
d
2
d
x
2
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.}
우리는 기본 해
F
(
x
)
=
1
2
|
x
|
{\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
합성곱(convolution , 별표로 표시됨)에 의해 원래 방정식의 해
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
(
F
∗
sin
)
(
x
)
:=
∫
−
∞
∞
1
2
|
x
−
y
|
sin
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)\,dy\,.}
이것은 충분한 규칙성을 가지지 않은 함수 (예를 들어, 컴팩트 지원, L 1 적분성)로 작업할 때 약간의 주의가 필요함을 보이는데, 왜냐하면 우리는 원하는 해가 f (x ) = −sin(x )x 에 대해 발산하기 때문입니다. f 에 대한 두 표현은, 어쨌든, 분포와 같습니다.
An example that more clearly works
d
2
d
x
2
f
(
x
)
=
I
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,}
I
{\displaystyle I}
[0,1] 의 특성 (지시) 함수 입니다. 해당 경우에서, I 와 F (x ) = |x |/2
(
I
∗
F
)
(
x
)
=
{
1
2
x
2
−
1
2
x
+
1
4
,
0
≤
x
≤
1
|
1
2
x
−
1
4
|
,
otherwise
{\displaystyle (I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
I
{\displaystyle I}
Proof that the convolution is a solution 함수 F 와 g 의 합성곱을 F ∗ g Lf = g (x )F ∗ g L (F ∗ g ) = g L 을 합성곱에 적용할 때, 다음임을 알 수 있습니다:
L
(
F
∗
g
)
=
(
L
F
)
∗
g
,
{\displaystyle L(F*g)=(LF)*g\,,}
L 이 상수 계수를 가진다는 조건에서 그렇습니다.
만약 F 가 기본 해이면, 방정식의 오른쪽 변은 다음으로 줄어듭니다:
δ
∗
g
.
{\displaystyle \delta *g~.}
그러나 델타 함수는 합성곱에 대해 항등 원소(identity element) 이기 때문에, 이것은 간단히 g (x )
L
(
F
∗
g
)
=
(
L
F
)
∗
g
=
δ
(
x
)
∗
g
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
δ
(
x
−
y
)
g
(
y
)
d
y
=
g
(
x
)
.
{\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)\,dy=g(x)\,.}
그러므로, 만약 F 가 기본 해이면, 합성곱 F ∗ g Lf = g (x )
Fundamental solutions for some partial differential equations 다음은 푸리에 변환을 수단으로 얻을 수 있습니다:
Laplace equation 라플라스 방정식(Laplace equation) 에 대해,
[
−
Δ
]
Φ
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
Φ
2D
(
x
,
x
′
)
=
−
1
2
π
ln
|
x
−
x
′
|
,
Φ
3D
(
x
,
x
′
)
=
1
4
π
|
x
−
x
′
|
.
{\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}~.}
Screened Poisson equation 스크린된 푸아송 방정식(screened Poisson equation) 에 대해,
[
−
Δ
+
k
2
]
Φ
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
,
k
∈
R
,
{\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,}
Φ
2D
(
x
,
x
′
)
=
1
2
π
K
0
(
k
|
x
−
x
′
|
)
,
Φ
3D
(
x
,
x
′
)
=
exp
(
−
k
|
x
−
x
′
|
)
4
π
|
x
−
x
′
|
,
{\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
수정된 베셀 함수(modified Bessel function) 입니다.
더 높은 차원에서 스크린된 푸아송 방정식의 기본 해는 베셀 퍼텐셜(Bessel potential) 에 의해 제공됩니다:
Biharmonic equation 쌍-조화 방정식(Biharmonic equation) 에 대해,
[
−
Δ
2
]
Φ
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
Φ
2D
(
x
,
x
′
)
=
−
|
x
−
x
′
|
2
8
π
ln
|
x
−
x
′
|
,
Φ
3D
(
x
,
x
′
)
=
|
x
−
x
′
|
8
π
.
{\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.}
Signal processing 신호 처리(signal processing) 에서, 미분 방정식의 기본 해의 아날로그는 필터의 임펄스 응답(impulse response) 이라고 불립니다.
See also References
![{\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfed9de89c800b1f67eac39c7017337d7a03774)
![{\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa8bc93820f8de79891d9e03916124face126c3)
![{\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ddfb4c64d0556a94e8b4b6eaf8b474853c3ef0)
