Distribution (mathematics)

Original article: w:Distribution (mathematics)

This article is about generalized functions in mathematical analysis. For the concept of distributions in probability theory, see Probability distribution. For artificial landscapes, see Test functions for optimization. For other uses, see Distribution § Mathematics.

분포(Distributions)는, 슈바르츠 분포(Schwartz distributions) 또는 일반화된 함수(generalized functions)라고도 알려져 있으며, 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 함수의 고전적 개념을 일반화하는 대상입니다. 분포는 도함수가 고전적인 의미에서 존재하지 않는 함수를 미분할 수 있게 만듭니다. 특히, 임의의 지역적으로 적분-가능(locally integrable) 함수는 분포적 도함수(distributional derivative)를 가집니다.

분포는 부분 미분 방정식(partial differential equations)의 이론에서 널리 사용되며, 여기서 고전적 해보다 분포적 해 (약한 해)의 존재를 확립하는 것이 더 쉬울 수 있거나, 적절한 고전적 해는 존재하지 않을 수 있습니다. 분포는 많은 문제가 디랙 델타(Dirac delta) 함수와 같이 그것의 해 또는 초기 조건이 특이적인 미분 방정식으로 자연스럽게 이어지는 물리학과 공학에서도 중요합니다.

함수(function) $f$는 통상적으로 도메인(domain)에서 점 $x$를 점 $f(x)$로 "보냄"으로써 함수 도메인에서 점들에 동작(acting)하는 것으로 생각됩니다. 점에 작용하는 대신, 분포 이론은 $f$와 같은 함수를 특정 방법으로 테스트 함수(test functions)에 동작하는 것으로 재해석합니다. 물리학과 공학에 대한 응용에서, 테스트 함수(test functions)는 보통 일부 주어진 비-빈 열린 부분집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 위에 정의된 컴팩트(compact) 지원(support)을 갖는 무한하게 미분-가능 복소수-값 (또는 실수-값) 함수입니다. (혹 함수(bump functions)는 테스트 함수의 예제입니다.) 모든 그러한 테스트 함수의 집합은 $C_{c}^{\infty }(U)$ 또는 ${\mathcal {D}}(U)$로 표시되는 벡터 공간(vector space)을 형성합니다.

만약 $U:=\mathbb {R}$을 사용하면, 모든 연속(continuous) 맵 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$을 포함하여 가장 공통적으로 발생하는 함수는 "테스트 함수에 대한 적분"을 통해 작동하는 것으로 정식적으로 재해석될 수 있습니다. 명시적으로, 이것은 그러한 함수 $f$가 테스트 함수 $\psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$를 종종 $D_{f}(\psi )$로 표시되는 숫자 ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$로 "보냄"으로써 그것 "위에 동작"한다는 것을 의미합니다. $f$의 이 새로운 동작 ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$는 스칼라-값 맵 $D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$를 정의하며, 그것의 도메인은 테스트 함수 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$의 공간입니다. 이 함수형(functional) $D_{f}$는 $U=\mathbb {R}$ 위에 분포(distribution on $U=\mathbb {R}$)로 알려진 두 가지 정의하는 속성을 가지는 것으로 밝혀졌습니다: 그것은 선형(linear)이고, 그것은 역시 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$이 정식의 LF 토폴로지(the canonical LF topology)라고 불리는 특정 토폴로지(topology)가 제공될 때 연속(continuous)입니다. 테스트 함수 $\psi$ 위에 이 분포 $D_{f}$의 동작 (적분 ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$)은 심지어 단일 점에서 분포의 값이 잘-정의되지 않은 경우에도 테스트 함수 지원(support) 위에 분포의 가중 평균으로 해석될 수 있습니다. 이러한 방법에서 함수에서 발생하는 $D_{f}$와 같은 분포는 분포의 원형적 예제이지만, 임의의 함수에 대한 적분으로도 정의될 수 없는 많은 분포가 존재합니다. 후자의 예제는 $U$ 위에 특정 측정(measures) $\mu$에 대한 테스트 함수 ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$의 적분에 의해 동작하도록 정의된 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 분포를 포함합니다. 그럼에도 불구하고, 임의의 임의적인 분포를 이러한 적분의 동작을 통해 발생하는 더 간단한 관련된 분포의 가족(family)으로 줄이는 것은 항상 가능합니다.

보다 일반적으로, $U$ 위에 분포(distribution on $U$)는 정의에 의해 $C_{c}^{\infty }(U)$가 정식의 LF 토폴로지(canonical LF topology)라고 불리는 토폴로지를 제공될 때 연속인 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 선형 함수형(linear functional)입니다. 이것은 $U$ 위에 (모든) 분포의 그 공간으로 이어지며, 보통 ${\mathcal {D}}'(U)$으로 표시되며 (프라임에 유의), 이는 정의에 의해 $U$ 위에 모든 분포의 공간(space)입니다 (즉, 그것은 $C_{c}^{\infty }(U)$의 연속 이중 공간입니다); 이 기사의 주요 초점은 이들 분포입니다.

테스트 함수와 분포의 공간 위에 적절한 토폴로지의 정의는 테스트 함수와 분포의 공간에 대한 문서에 나와 있습니다. 이 기사는 주로 분포의 정의와 그것들의 속성과 몇 가지 중요한 예제와 관련이 있습니다.

History

분포의 실용적인 사용은 보통의 미분 방정식을 풀기 위해 1830년대에 그린 함수(Green functions)의 사용으로 거슬러 올라갈 수 있지만, 훨씬 나중에야 공식화되었습니다. Kolmogorov & Fomin (1957)에 따르면, 일반화된 함수는 2차 쌍곡선 부분 미분 방정식에 대한 Sergei Sobolev (1936)의 연구에서 시작되었고, 그 아이디어는 1940년대 후반에 로랑 슈바르츠(Laurent Schwartz)에 의해 다소 확장된 형태로 개발되었습니다. 그의 자서전에 따르면, 슈바르츠는 점 전하뿐만 아니라 쌍극자, 등을 포함할 수 있는 전하의 분포와 유추헤 의해 "분포"라는 용어를 도입했습니다. Gårding (1997)은 Schwartz (1951)의 변혁적 책에 나오는 아이디어가 완전히 새로운 것은 아니지만 차이를 만든 것은 분포가 해석학에서 거의 모든 곳에서 유용할 것이라는 슈바르츠의 광범위한 공격과 확신이었다고 비평합니다.

Notation

다음 표기법이 이 기사 전체에서 사용될 것입니다:

• $n$은 고정된 양의 정수이고 $U$는 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$의 고정된 비-빈 열린 부분집합(open subset)입니다.
• $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$는 자연수(natural numbers)를 나타냅니다.
• $k$는 비-임의 정수 또는 $\infty$를 나타낼 것입니다.
• 만약 $f$가 함수(function)이면 $\operatorname {Dom} (f)$는 그것의 도메인(domain)을 나타낼 것이고 $\operatorname {supp} (f)$로 표시된 $f$의 지원(support)은 $\operatorname {Dom} (f)$에서 집합 $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$의 클로저(closure)로 정의됩니다.
• 두 함수 $f,g:U\to \mathbb {C}$에 대해, 다음 표기법은 정식의 쌍화(pairing)를 정의합니다: $$\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.$$
• 크기 $n$의 다중-인덱스(multi-index)는 $\mathbb {N} ^{n}$에서 원소입니다 ($n$이 고정된 것으로 주어졌을 때, 만약 다중-인덱스의 크기가 생략되면 크기는 $n$으로 가정되어야 합니다). 다중-인덱스 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$의 길이(length)는 $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$으로 정의되고 $|\alpha |$에 의해 표시됩니다. 다중-인덱스는 여러 변수의 함수를 다룰 때 특히 유용합니다. 특히 주어진 다중-인덱스 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$에 대해 다음과 같은 표기법을 도입합니다:$${\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}$$ 역시 $\beta \geq \alpha$인 것과 모든 $1\leq i\leq n$에 대해 $\beta _{i}\geq \alpha _{i}$인 것이 필요충분 조건임에 의해 모든 다중-인덱스의 부분 순서를 도입합니다. $\beta \geq \alpha$일 때, 다음으로 다중-인덱스 이항 계수를 정의합니다:$${\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.$$

Definitions of test functions and distributions

이 섹션에서, U 위에 실수-값 분포를 정의하는 데 필요한 몇 가지 기본 개념과 정의를 소개합니다. 테스트 함수와 분포의 공간 위에 토폴로지에 대한 자세한 내용은 테스트 함수와 분포의 공간에 대한 기사에서 제공됩니다.

Notation:

1. $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$라고 놓습니다.
2. $C^{k}(U)$가 U 위에 모든 k-번 연속적으로 미분-가능 실수 또는 복소-값 함수의 벡터 공간을 나타낸다고 놓습니다.
3. 임의의 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해, $C^{k}(K)$와 $C^{k}(K;U)$ 둘 다는 $\operatorname {supp} (f)\subseteq K$임을 만족하는 모든 그것들의 함수 $f\in C^{k}(U)$의 벡터 공간을 나타낸다고 놓습니다.
   • 만약 $f\in C^{k}(K)$이면 $f$의 도메인은 U이고 K가 아닙니다. 따라서 비록 $C^{k}(K)$가 K와 U 둘 다에 의존할지라도, 오직 K가 전형적으로 표시됩니다. 이 공통적인 관행에 대해 정당성은 아래에 자세하게 설명되어 있습니다. 표기법 $C^{k}(K;U)$은 표기법 $C^{k}(K)$가 모호할 위험이 있을 때만 사용될 것입니다.
   • 모든 각 $C^{k}(K)$는 심지어 $K=\varnothing$이더라도 상수 0 맵을 포함합니다.
4. $C_{c}^{k}(U)$가 U의 일부 컴팩트 부분집합 K에 대해 $f\in C^{k}(K)$임을 만족하는 모든 $f\in C^{k}(U)$의 집합을 나타낸다고 놓습니다.
   • 동등하게, $C_{c}^{k}(U)$는 $f$가 컴팩트 지원(support)을 가짐을 만족하는 모든 $f\in C^{k}(U)$의 집합입니다.
   • $C_{c}^{k}(U)$는 $U$의 모든 컴팩트 부분집합에 걸쳐 $K\subseteq U$ 범위로 모든 $C^{k}(K)$의 합집합과 같습니다.
   • 만약 $f$가 $U$ 위에 실수-값 함수이면, $f$가 $C_{c}^{k}(U)$의 원소인 것과 $f$가 $C^{k}$ 혹 함수인 것은 필요충분 조건입니다. $U$ 위에 모든 각 실수-값 테스트 함수는 역시 $U$ 위에 복소-값 테스트 함수입니다.

The graph of the bump function $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ where $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ and $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ This function is a test function on $\mathbb {R} ^{2}$ and is an element of $C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).$ The support of this function is the closed unit disk in $\mathbb {R} ^{2}.$ It is non-zero on the open unit disk and it is equal to 0 everywhere outside of it.

모든 $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$와 $U$의 임의의 컴팩트 부분집합 $K$와 $L$에 대해, 다음을 가집니다: $${\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}$$

Definition: $C_{c}^{\infty }(U)$의 원소는 U 위에 테스트 함수라고 불리고 $C_{c}^{\infty }(U)$는 U 위에 테스트 함수의 공간이라고 불립니다. 우리는 이 공간을 나타내기 위해 ${\mathcal {D}}(U)$와 $C_{c}^{\infty }(U)$ 둘 다를 사용할 것입니다.

U 위에 분포는 이 벡터 함수가 정식의 LF-토폴로지(canonical LF-topology)라고 불리는 특정 토폴로지를 갖출 때 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 정식의 선형 함수형(continuous linear functionals)입니다.

다음 제안은 종종 검증하기 쉬운 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 선형 함수의 연속성을 위한 두 개의 필요충분 조건을 말합니다.

Proposition: $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 선형 함수형(linear functional) T는 연속이고, 따라서 분포(distribution)인 것과, 다음 동등한 조건 중 임의의 하나가 만족시키는 것은 필요충분 조건입니다:

1. 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해, $K$에 포함된 지원(support)을 갖는 모든 $f\in C_{c}^{\infty }(U)$에 대해 다음임을 만족하는 상수 $C>0$와 ($K$에 의존하여) $N\in \mathbb {N}$가 존재합니다, $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
2. 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$과 그것의 지원이 $K$에 포함되는 $C_{c}^{\infty }(U)$에서 모든 각 수열 $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$에 대해, $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$가 모든 각 다중-인덱스(multi-index) $\alpha$에 대해 $U$ 위에 균등하게 수렴하면, $T(f_{i})\to 0$입니다.

Topology on C^k(U)

이제 $C^{k}(U)$ 위에 토폴로지를 정의할 반노름(seminorms)을 소개합니다. 다른 저자는 때때로 다른 가족의 반노름을 사용하므로 아래에 가장 공통적인 가족을 나열합니다. 어쨌든, 결과 토폴로지는 어떤 가족이 사용되는지에 관계없이 같습니다.

$k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$이고 $K$가 $U$의 임의적인 컴팩트 부분집합이라고 가정합니다. $i$가 $0\leq i\leq k$임을 만족하는 정수라고 가정하고 $p$는 길이 $|p|\leq k$를 갖는 다중-인덱스라고 가정하니다. $K\neq \varnothing$에 대해, 다음을 정의합니다:

$${\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}$$

반면 $K=\varnothing$에 대해, 위의 모든 함수를 상수 0 맵으로 정의합니다.

위의 모든 함수는 $C^{k}(U)$ 위에 비-음의 $\mathbb {R}$-값 반노름(seminorms)입니다. 이 기사에서 표현된 것처럼, 벡터 공간 위에 반노름의 모든 각 집합은 지역적으로 복록(locally convex) 벡터 토폴로지(vector topology)를 유도합니다.

다음 반노름의 집합 각각은,$${\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}$$ $C^{k}(U)$ 위에 같은 지역적으로 복록(locally convex) 벡터 토폴로지(vector topology)를 생성합니다 (따라서 예를 들어, $A$에서 반놈에 의해 생성된 토폴로지는 $C$에서 반노름에 의해 생성된 토폴로지와 같습니다).

벡터 공간 $C^{k}(U)$은 위에 설명된 반노름의 네 가족 $A,B,C,D$ 중 어떤 하나에 의해 유도된 지역적으로 볼록 토폴로지를 갖춥니다. 이 토폴로지는 역시 $A\cup B\cup C\cup D$에서 반노름의 모두에 의해 유도된 벡터 토폴로지와 같습니다.

이 토폴로지와 함께, $C^{k}(U)$는 노름가능(normable)이 아닌 지역적으로 볼록 프레셰 공간(Fréchet space)이 됩니다. $A\cup B\cup C\cup D$의 모든 각 원소는 $C^{k}(U)$ 위에 연속 반노름입니다. 이 토폴로지 아래에서, $C^{k}(U)$에서 네트(net) $(f_{i})_{i\in I}$가 $f\in C^{k}(U)$에 수렴하는 것과 $|p|<k+1$를 갖는 모든 각 다중-인덱스 $p$와 모든 각 컴팩트 $K$에 대해, 부분 도함수 $\left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}$의 네트가 $K$ 위에 $\partial ^{p}f$로 균등하게 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다. 임의의 $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$에 대해, $C^{k+1}(U)$의 임의의 (폰 노이만) 경계진 부분집합은 $C^{k}(U)$의 상대적으로 컴팩트(relatively compact)의 부분집합입니다. 특히, $C^{\infty }(U)$의 부분집합이 경계진 것과 그것이 모든 $i\in \mathbb {N}$에 대해 $C^{i}(U)$에서 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 공간 $C^{k}(U)$이 몽텔 공간(Montel space)인 것과 $k=\infty$인 것은 필요충분 조건입니다.

$C^{\infty }(U)$의 부분집합 $W$가 이 토폴로지에서 열린 것과 $C^{\infty }(U)$가 $C^{i}(U)$에 의해 그것 위에 유도된 부분공간 토폴로지(subspace topology)를 갖출 때 $W$가 열린 것임을 만족하는 $i\in \mathbb {N}$가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

Topology on C^k(K)

이전에서 처럼, $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$를 고정합니다. $K$가 $U$의 임의의 컴팩트 부분집합이면 $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)$임을 상기하십시오.

Assumption: 임의의 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해, 이제부터는 $C^{k}(K)$가 프레셰 공간 $C^{k}(U)$에서 상속한 부분공간 토폴로지를 갖추었다고 가정할 것입니다.

만약 $k$가 유한이면 $C^{k}(K)$는 다음 노름(norm)에 의해 정의될 수 있는 토폴로지를 갖는 바나흐 공간(Banach space)입니다: $$r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).$$ 그리고 $k=2$일 때, $C^{k}(K)$는 심지어 힐베르트 공간(Hilbert space)입니다.

Trivial extensions and independence of C^k(K)'s topology from U

$U$가 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합이고 $K\subseteq U$가 컴팩트 부분집합이라고 가정합니다. 정의에 의해, $C^{k}(K)$의 원소는 도메인 $U$를 갖는 함수 (기호에서, $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)$)이므로, 공간 $C^{k}(K)$와 그것의 토폴로지는 $U$에 의존합니다; 열린 집합 $U$ 위에 이러한 의존성을 명확하게 만들기 위해, 일시적으로 $C^{k}(K)$를 $C^{k}(K;U)$로 표시합니다. 중요하게, 집합 $U$를 ($K\subseteq U'$를 갖는) 다른 열린 부분집합 $U'$으로 변경하는 것은 $C^{k}(K)$의 원소가 $U$ 대신 도메인 $U'$을 갖는 함수가 되도록 집합 $C^{k}(K)$를 $C^{k}(K;U)$에서 $C^{k}(K;U')$로 변경합니다. $C^{k}(K)$가 열린 집합 ($U{\text{ or }}U'$)에 따라 달라짐에도 불구하고, $C^{k}(K)$에 대한 표준 표기법은 이에 대한 언급이 없습니다. 이것은 이 부분섹션에서 이제 설명할 것처럼 공간 $C^{k}(K;U)$가 (대수학적 및 위상학적으로 모두) 정식으로 $C^{k}(K;U')$의 부분공간으로 식별되기 때문에 정당화됩니다.

$U$와 $U'$ 중 하나가 다른 것의 부분집합일 때 $C^{k}(K;U)$를 $C^{k}(K;U)$로 정식으로 식별하는 방법을 설명하는 것으로 충분합니다. 그 이유는 $V$와 $W$가 $K$를 포함하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 임의적인 열린 부분집합이면 열린 집합 $U:=V\cap W$도 $C^{k}(K;V)$와 $C^{k}(K;W)$ 각각이 $C^{k}(K;V\cap W)$와 정식으로 식별되고 이제 전이성에 의해, $C^{k}(K;V)$가 따라서 $C^{k}(K;W)$와 식별되도록 $K$를 포함하기 때문입니다. 따라서 $U\subseteq V$가 $K$를 포함하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합이라고 가정합니다.

$f\in C_{c}^{k}(U)$가 주어졌을 때, $V$로의 자명한 확장(trivial extension to $V$)은 다음에 의해 정의된 함수 $F:V\to \mathbb {C}$입니다:$$F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$ 이 자명한 확장은 $C^{k}(V)$에 속하고 (왜냐하면 $f\in C_{c}^{k}(U)$는 컴팩트 지원을 가지기 때문) 그것은 $I(f)$ (즉, $I(f):=F$)에 의해 표시될 것입니다. 할당 $f\mapsto I(f)$는 따라서 $C_{c}^{k}(U)$에서 함수를 $V$ 위에 그것의 자명한 확장으로 보내는 맵 $I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$를 유도합니다. 이 맵은 선형 단사(injection)이고 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해 (여기서 $K$도 $V$의 컴팩트 부분집합인데 왜냐하면 $K\subseteq U\subseteq V$이기 때문), $${\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}$$ 만약 $I$가 $C^{k}(K;U)$로 제한되면 다음 유도된 선형 맵은 위상동형(homeomorphism)입니다 (선형 위상동형은 TVS-동형이라고 불립니다): $${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}$$ 그리고 따라서 다음 맵은 토폴로지적 삽입(topological embedding)입니다: $${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}$$ 다음 단사를 사용하여 $$I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$$ 벡터 공간 $C_{c}^{k}(U)$는 정식으로 $C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)$에서 그것의 이미지와 식별됩니다. $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U)$이기 때문에, 이 식별을 통해, $C^{k}(K;U)$는 역시 $C^{k}(V).$의 부분집합으로 고려될 수 있습니다. 따라서 $C^{k}(K;U)$ 위에 토폴로지는 $K$를 포함하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합 $U$와 독립적이며, 이는 $C^{k}(K;U)$대신 $C^{k}(K)$를 쓰는 것의 관행을 정당화합니다.

Canonical LF topology

Main article: Spaces of test functions and distributions

See also: LF-space and Topology of uniform convergence

$C_{c}^{k}(U)$는 $U$에서 컴팩트 지원(support)을 가지는 $C^{k}(U)$에서 모든 함수를 나타낸다는 점을 상기하시며, 여기서 $C_{c}^{k}(U)$는 $U$의 모든 컴팩트 부분집합에 걸쳐 $K$ 범위로 모든 $C^{k}(K)$의 합집합입니다. 게다가, 각 $k$에 대해, $C_{c}^{k}(U)$는 $C^{k}(U)$의 조밀한 부분집합입니다. $k=\infty$일 때 특별한 경우는 테스트 함수의 공간을 제공합니다.

$C_{c}^{\infty }(U)$는 $U$ 위에 테스트 함수의 공간이라고 불리고 그것은 역시 ${\mathcal {D}}(U)$에 의해 표시될 수 있습니다. 달리 명시하지 않은 한, 그것은 정식의 LF 토폴로지라고 불리는 토폴로지를 갖추며, 그것의 정의는 기사: 테스트 함수와 분포의 공간에서 제공됩니다.

정식의 LF-토폴로지는 메트릭-가능(metrizable)이 아니고 중요하게, 그것은 $C^{\infty }(U)$가 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 유도하는 부분공간 토폴로지보다 엄격하게 미세(strictly finer)합니다. 어쨌든, 정식의 LF-토폴로지는 $C_{c}^{\infty }(U)$를 완비 반사적 핵 몽텔 경계적 배럴 맥키 공간으로 만듭니다; 강한 이중 공간(strong dual space, 즉, 보통의 토폴로지를 갖는 모든 분포의 공간)도 마찬가지입니다. 정식의 LF-토폴로지는 다양한 방법으로 정의될 수 있습니다.

Distributions

See also: Continuous linear functional

이전에 논의된 것처럼, $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 연속 선형 함수형(linear functionals)은 $U$ 위에 분포로 알려져 있습니다. 다른 동등한 정의는 아래에 설명됩니다.

정의에 의해, $U$ 위에 분포는 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 연속(continuous) 선형 함수형(linear functional)입니다. 다르게 말하자면, $U$ 위의 분포는 $C_{c}^{\infty }(U)$가 정식의 LF-토폴로지를 갖출 때 $C_{c}^{\infty }(U)$의 연속 이중 공간의 원소입니다.

$U$와 테스트 함수 $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 분포 $T$ 사이에 정식의 이중성 쌍화(duality pairing)가 있으며, 이는 다음에 의해 각도 괄호(angle brackets)를 사용하여 표시됩니다: $${\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}$$

이 표기법을 스칼라를 제공하기 위해 테스트 함수 $f$ 위에 동작하는 분포 $T$로, 또는 분포 $T$ 위에 동작하는 테스트 함수 $f$로 대칭적으로 해석합니다.

Characterizations of distributions

Proposition. 만약 $T$가 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 선형 함수형(linear functional)이면 다음은 동등합니다:

1. T는 분포입니다;
2. T는 연속(continuous)입니다;
3. T는 원점에서 연속(continuous)입니다;
4. T는 균등하게 연속(uniformly continuous)입니다;
5. T는 경계진 연산자(bounded operator)입니다;
6. T는 수열적으로 연속(sequentially continuous)입니다;
   • 명시적으로, $C_{c}^{\infty }(U)$에서 어떤 $f\in C_{c}^{\infty }(U)$로 수렴하는 $C_{c}^{\infty }(U)$에서 모든 각 수열 $C_{c}^{\infty }(U)$에 대해, ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T는 원점에서 수열적으로 연속(sequentially continuous)입니다; 다시 말해서, T는 널 수열을 널 공간으로 매핑합니다;
   • 명시적으로, $C_{c}^{\infty }(U)$에서 원점에 수렴하는 $C_{c}^{\infty }(U)$에서 모든 각 수열 $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$에 대해 (그러한 수열은 널 수열(null sequence)이라고 불림), ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • 널 수열(null sequence)은 정의에 의해 원점에 수렴하는 임의의 수열입니다;
8. T는 널 수열을 경계진 부분집합으로 매핑합니다;
   • 명시적으로, $C_{c}^{\infty }(U)$에서 원점에 수렴하는 $C_{c}^{\infty }(U)$에서 모든 각 수열 $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$에 대해, 수열 $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$은 경계집니다;
9. T는 맥키 수렴(Mackey convergent) 널 수열을 경계진 부분집합으로 매핑합니다;
   • 명시적으로, $C_{c}^{\infty }(U)$에서 모든 각 맥키 수렴 널 수열에 대해, 수열 $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$은 경계집니다;
   • 수열 $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$은 만약 수열 $\left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$가 경계짐을 만족하는 양의 실수의 발산 수열 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$이 존재하면 원점에 수렴하는 맥키(Mackey convergent to the origin)라고 말합니다; 원점에 수렴하는 맥키인 모든 각 수열은 필연적으로 (보통의 의미에서) 원점에 수렴합니다;
10. T의 커널은 $C_{c}^{\infty }(U)$의 닫힌 부분공간입니다;
11. T의 그래프는 닫힙니다;
12. $|T|\leq g$임을 만족하는 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 연속 반노름 $g$가존재합니다;
13. $|T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m})$임을 만족하는 상수 $C>0$와 유한 부분집합 $\{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}$이 존재합니다 (여기서 ${\mathcal {P}}$는 $C_{c}^{\infty }(U)$ 위에 정식의 LF 토폴로지를 정의하는 연속 반노름의 임의의 모음입니다;
14. 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해, 모든 $f\in C^{\infty }(K),$에 대해, 다음임을 만족하는 상수 $C>0$와 $N\in \mathbb {N}$가 존재합니다: $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};$$
15. 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$에 대해, $K$에 포함된 지원(support)을 갖는 모든 $f\in C_{c}^{\infty }(U)$에 대해, 다음임을 만족하는 상수 $C_{K}>0$와 $N_{K}\in \mathbb {N}$가 존재합니다: $$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};$$
16. 임의의 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$과 $C^{\infty }(K)$에서 임의의 수열 $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$에 대해, $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$가 모든 다중-인덱스(multi-indices) $p$에 대해 영으로 균등하게 수렴하면 $T(f_{i})\to 0$입니다;

Topology on the space of distributions and its relation to the weak-* topology

$U$ 위의 모든 분포의 집합은 $C_{c}^{\infty }(U)$의 연속 이중 공간(continuous dual space)이며, 이는 강한 이중 토폴로지(strong dual topology)를 갖출 때 ${\mathcal {D}}'(U)$로 표시됩니다. 중요하게, 달리 명시하지 않은 한, ${\mathcal {D}}'(U)$ 위의 토폴로지는 강한 이중 토폴로지(strong dual topology)입니다; 만약 그 토폴로지가 대산 약한-* 토폴로지(weak-* topology)이면, 이것은 표시될 것입니다. 약한-* 토폴로지와 달리 강한 이중 토폴로지가 ${\mathcal {D}}'(U)$를 완비 핵 공간(nuclear space)으로 만들고, 바람직한 속성 중 일부만 언급하더라도 어느 토폴로지도 메트릭-가능이 아닙니다.

$C_{c}^{\infty }(U)$나 그것의 강한 이중 ${\mathcal {D}}'(U)$는 수열적 공간(sequential space)이 아니고 따라서 그것들의 토폴로지 중 어느 것도 수열로 완전히 설명될 수 없습니다. (다시 말해서, 이들 공간에서 어떤 수열이 수렴하는지 정의하는 것만으로는 그것들의 토폴로지를 완전히/정확하게 정의하기에 충분하지 않습니다). 어쨌든, ${\mathcal {D}}'(U)$에서 수열은 강한 이중 토폴로지에서 수렴하는 것과 그것이 약한-* 토폴로지에서 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다 (이로 인해 많은 저자는 분포의 수열의 수렴을 정의하기 위해 점별 수렴을 사용합니다; 이것은 수열에 대해 적합하지만 이것은 분포의 네트(nets)의 수렴으로 확장하는 것을 보장하지 않는데 왜냐하면 네트는 점-별로 수렴할 수 있지만 강한 이중 토폴로지에서는 수렴하지 못할 수 있기 때문입니다). ${\mathcal {D}}'(U)$에 부여된 토폴로지에 대한 자세한 내용은 테스트 함수와 분포의 공간에 대한 기사와 극 토폴로지(polar topologies) 및 이중 시스템(dual systems)에 대한 기사에서 찾을 수 있습니다.

${\mathcal {D}}'(U)$에서 또 다른 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간 (예를 들어 임의의 노름된 공간)으로의 선형 맵(linear map)이 연속인 것과 그것이 원점에서 순열적으로 연속인 것은 필요충분 조건입니다. 어쨌든, 이것은 그 맵이 선형이 아니거나 보다 일반적인 토폴로지적 공간 (예를 들어, 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간이 아닌)에서 값이 지정된 멥에 대해 더 이상 보장되지 않습니다. $C_{c}^{\infty }(U)$에서 맵에서도 마찬가지입니다 (보다 일반적으로, 이것은 임의의 지역적으로 볼록 경계적인 공간(bornological space)의 맵에서도 참입니다).

Localization of distributions

U의 특정 점에서 ${\mathcal {D}}'(U)$의 분포의 값을 정의하기 위한 방법은 없습니다. 어쨌든, 함수의 경우와 마찬가지로, U 위의 분포는 U의 열린 부분집합 위에 분포를 제공하기 위해 제한됩니다. 게다가, 분포는 모든 U 위에 분포가 중첩 위에 일부 호환가능성 조건을 만족시키는 U의 열린 덮개 위에 분포에서 조합될 수 있다는 의미에서 지역적으로 결정됩니다. 그러한 구조는 뭉치(sheaf)라고 알려져 있습니다.

Extensions and restrictions to an open subset

$V\subseteq U$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합이라고 놓습니다. 모든 각 함수 $f\in {\mathcal {D}}(V)$는 그것을 여집합(complement) $U\setminus V$ 위에 0과 같게 설정함으로써 그것의 도메인 V에서 U 위의 함수로 영에 의해 확장(extended by zero)될 수 있습니다. 이 확장은 $f$의 U로의 자명한 확장(trivial extension of $f$ to $U$)이라고 불리는 매끄럽고 간결하게 지원된 함수이고 그것은 $E_{VU}(f)$에 의해 표시될 것입니다. 이 할당 $f\mapsto E_{VU}(f)$은 연속 단사 선형 맵인 자명한 확장(trivial extension) 연산자 $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$를 정의합니다. 그것은 ${\mathcal {D}}(V)$를 ${\mathcal {D}}(U)$의 벡터 부분공간으로 정식적으로 식별하기 위해 사용됩니다 (비록 토폴로지적 부분공간은 아닐지라도). 그것의 전치는 (여기서 설명) $$\rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),$$ U에서 분포의 V로의 제한(restriction to $V$ of distributions in $U$)이라고 불리고 이름에서 알 수 있듯이, 이 맵 아래에서 분포 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$의 이미지 $\rho _{VU}(T)$는 $T$의 V로의 제한이라고 불리는 V 위의 분포입니다. 제한 $\rho _{VU}(T)$의 정의하는 조건(defining condition)은 다음과 같습니다: $$\langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).$$ 만약 $V\neq U$이면 (연속 단사 선형) 자명한 확장 맵 $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$은 토포로지적 삽입이 아니고 (다시 말해서, 이 선형 단사가 ${\mathcal {D}}(U)$의 부분집합으로 ${\mathcal {D}}(V)$를 식별하기 위해 사용되었으면 ${\mathcal {D}}(V)$의 토폴로지는 ${\mathcal {D}}(U)$가 그것 위에 유도하는 부분공간 토폴로지보다 엄격하게 더 미세합니다; 중요하게, 그것은 토폴로지적 부분공간이 아닌데 왜냐하면 그것은 토폴로지의 상등을 요구하기 때문), 그것의 치역은 코도메인 ${\mathcal {D}}(U)$에서 조밀하지 않습니다. 그에 따라서 만약 $V\neq U$이면 제한 매핑은 단사도 아니고 전사도 아닙니다. 분포 $S\in {\mathcal {D}}'(V)$는 만약 그것이 $E_{VU}$의 전치의 치역에 속하면 U로의 확장-가능(extendible to U)이라고 말하고 그것이 $\mathbb {R} ^{n}$으로 확장-가능이면 확장-가능(extendible)이라고 불립니다.

$U=V$가 아닌 한, V로의 제한은 단사(injective)도 아니고 전사(surjective)도 아닙니다. 전사성의 결여는 분포가 V의 경계를 향해 폭발할 수 있기 때문에 따라옵니다. 예를 들어, 만약 $U=\mathbb {R}$이고 $V=(0,2)$이면, 다음 분포는$$T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)$$ ${\mathcal {D}}'(V)$ 안에 있지만 ${\mathcal {D}}'(U)$로의 확장을 인정하지 않습니다.

Gluing and distributions that vanish in a set

Theorem — $(U_{i})_{i\in I}$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합의 모음이라고 놓습니다. 각 $i\in I$에 대해, $T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})$라고 놓고 모든 $i,j\in I$에 대해, $T_{i}$의 $U_{i}\cap U_{j}$로의 제한은 $T_{j}$의 $U_{i}\cap U_{j}$로의 제한과 같습니다 (두 제한은 ${\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})$의 원소임을 주목하십시오). 그런-다음 모든 $i\in I$에 대해, T의 $U_{i}$로의 제한이 $T_{i}$와 같음을 만족하는 고유한 ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$가 존재합니다.

V를 U의 열린 부분집합이라고 놓습니다. $T\in {\mathcal {D}}'(U)$가 만약 $\operatorname {supp} (f)\subseteq V$를 만족하는 모든 $f\in {\mathcal {D}}(U)$에 대해 $Tf=0$를 가지면 V에서 사라진다(vanish in V)고 말합니다. T가 V에서 사라지는 것과 T의 V로의 제한이 0은 것은 필요충분 조건, 또는 동등하게, T가 제한 맵 $\rho _{VU}$에 놓이는 것은 필요충분 조건입니다.

Corollary — $(U_{i})_{i\in I}$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합의 모음이라고 놓고 ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$라고 놓습니다. $T=0$인 것과 각 $i\in I$에 대해, T의 $U_{i}$로의 제한이 0과 같은 것은 필요충분 조건입니다.

Corollary — 분포 T가 사라지는 U의 모든 열린 부분집합의 합집합은 T가 사라지는 U의 열린 부분집합입니다.

Support of a distribution

이 마지막 따름정리(corollary)는 U 위의 모든 각 분포 T에 대해, T가 V에서 사라지는 (그리고 V에 포함되지 않는 U의 임의의 열린 부분집합에서 사라지지 않는) U의 고유한 가장 큰 부분집합 V가 존재한다는 것을 의미합니다; 이 고유한 가장 큰 열린 부분집합의 U에서 여집합은 T의 지원(the support of T)이라고 불립니다. 따라서 $$\operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.$$

만약 $f$가 U 위의 지역적 적분-가능 함수이고 $D_{f}$가 그것의 결합된 분포이면, $D_{f}$의 지원은 $f$가 0과 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 같은 그것의 여집합에서 U의 가장 작은 닫힌 부분집합입니다. 만약 $f$가 연속이면, $D_{f}$의 지원은 $f$가 사라지지 않는 U에서 점의 집합의 클로저와 같습니다. 점 $x_{0}$에서 디랙 측정(Dirac measure)과 결합된 분포의 지원은 집합 $\{x_{0}\}$입니다. 만약 테스트 함수 $f$의 지원이 분포 T의 지원을 교차하지 않으면 $Tf=0$입니다. 분포 T가 0인 것과 그것의 지원이 빈집합인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 $f\in C^{\infty }(U)$가 분포 T의 지원을 포함하는 어떤 열린 집합 위에 동일하게 1이면 $fT=T$입니다. 만약 분포 T의 지원이 컴팩트이면 그것은 유한 순서를 가지고 다음임을 만족하는 상수 $C$와 비-음의 정수 $N$이 있습니다: $$|T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

만약 T가 컴팩트 지원을 가지면, 그것은 $C^{\infty }(U)$ 위에 연속 선형 함수형 ${\widehat {T}}$로 고유한 확장을 가집니다; 이 함수는 ${\widehat {T}}(f):=T(\psi f)$에 의해 정의될 수 있으며, 여기서 $\psi \in {\mathcal {D}}(U)$는 T의 지원을 포함하는 열린 집합 위에 동일하게 1인 임의의 함수입니다.

만약 $S,T\in {\mathcal {D}}'(U)$이고 $\lambda \neq 0$이면 $\operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)$이고 $\operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T)$입니다. 따라서, 주어진 부분집합 $A\subseteq U$에서 지원을 갖는 분포는 ${\mathcal {D}}'(U)$의 벡터 부분공간을 형성합니다. 게다가, 만약 $P$가 U에서 미분 연산자이면, U 위에 모든 분포 T와 모든 $f\in C^{\infty }(U)$에 대해 $\operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)$와 $\operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T)$를 가집니다.

Distributions with compact support

Support in a point set and Dirac measures

임의의 $x\in U$에 대해, $\delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)$가 $x$에서 디랙 측정에 의해 유도된 분포를 나타낸다고 놓습니다. 임의의 $x_{0}\in U$와 분포 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$에 대해, T의 지원이 $\{x_{0}\}$에 포함되는 것과 T가 $x_{0}$에서 디랙 측정의 도함수의 유한 선형 조합인 것은 필요충분 조건입니다. 게다가 T의 순서가 $\leq k$이면 다음임을 만족하는 상수 $\alpha _{p}$가 존재합니다: $$T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.$$

다르게 말하자면, 만약 T가 단일 점 $\{P\}$에서 지원을 가지면, T는 실제로 P에서 $\delta$ 함수의 분포적 도함수의 유한 선형 조합입니다. 즉, 다음임을 만족하는 정수 m과 복소수 상수 $a_{\alpha }$가 존재합니다: $$T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )$$ 여기서 $\tau _{P}$는 평행이동 연산자입니다.

Distribution with compact support

Theorem — T가 컴팩트 지원 K를 갖는 U 위에 분포라고 가정합니다. U 위에 정의된 연속 함수 $f$와 $$T=\partial ^{p}f$$임을 만족하는 다중-인덱스 p가 존재하며, 여기서 도함수는 분포의 의미에서 이해됩니다. 즉, U 위에 모든 테스트 함수 $\phi$에 대해, $$T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx$$입니다.

Distributions of finite order with support in an open subset

Theorem — T가 컴팩트 지원 K를 갖는 U 위에 분포라고 가정하고 V를 K를 포함하는 U의 열린 부분집합이라고 놓습니다. 컴팩트 지원을 갖는 모든 각 분포는 유한 순서를 가지기 때문에, N을 T의 순서라고 취하고 $P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}$를 정의합니다. 다음임을 만족하는 V에서 지원을 갖는 U 위에 정의된 연속 함수 $(f_{p})_{p\in P}$의 가족이 존재합니다: $$T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},$$ 여기서 도함수는 분포의 의미에서 이해됩니다. 즉, U 위에 모든 테스트 함수 $\phi$에 대해, $$T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx$$입니다.

Global structure of distributions

분포의 형식적인 정의는 분포를 매우 큰 공간의 부분공간, 즉 ${\mathcal {D}}(U)$의 토폴로지적 이중 (또는 완화된 분포에 대해 슈바르츠 공간(Schwartz space) ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$)로 전시됩니다. 그것은 분포가 얼마나 이국적인지 정의에서 바로 명확하지 않습니다. 이 질문에 답하기 위해, 더 작은 공간, 즉 연속 함수의 공간에서 만들어진 분포를 보는 것이 유익합니다. 대략적으로, 임의의 분포는 연속 함수의 지역적 (다중) 도함수입니다. 아래에 제공된 이 결과의 정확한 버전은 컴팩트 지원의 분포, 완화된 분포, 및 일반 분포에 대해 유지됩니다. 일반적으로 말하면, 분포 공간의 적절한 부분집합은 모든 연속 함수를 포함하지 않고 미분 아래에서 닫혀 있지 않습니다. 이것은 분포가 특별히 이국적인 대상이 아니라는 것을 의미합니다; 그것들은 필요한 만큼만 복잡합니다.

Distributions as sheaves

Theorem — T를 U 위에 분포라고 놓습니다. 각 T_i가 컴팩트 지원을 가지고 모든 각 컴팩트 부분집합 $K\subseteq U$가 오직 유한하게 많은 $T_{i}$의 지원과 교차하고, $S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j}$에 의해 정의된 부분 합 $(S_{j})_{j=1}^{\infty }$의 수열이 ${\mathcal {D}}'(U)$에서 T로 수렴함을 만족하는 ${\mathcal {D}}'(U)$에서 수열 $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$이 존재합니다; 다시 말해서 다음을 가집니다: $$T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.$$ 수열이 (그것의 강한 이중 토폴로지를 갖는) ${\mathcal {D}}'(U)$에서 수렴하는 것과 그것이 점별로 수렴하는 것은 필요충분 조건임을 상기하십시오.

Decomposition of distributions as sums of derivatives of continuous functions

위의 결과를 조합함으로써, U 위에 임의의 분포를 컴팩트 지원을 갖는 분포의 수열의 합으로 표현할 수 있으며, 여기서 이들 분포의 각각은 차례로 U 위에 연속 함수의 분포적 도함수의 유한 합으로 쓸 수 있습니다. 다시 말해서, 임의적인 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$에 대해, 다음을 쓸 수 있습니다: $$T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},$$ 여기서 $P_{1},P_{2},\ldots$는 다중-인덱스의 유한 집합이고 함수 $f_{ip}$는 연속입니다.

Theorem — T를 U 위의 분포라고 놓습니다. 모든 각 다중-인덱스 p에 대해, 다음임을 만족하는 U 위에 연속 함수 $g_{p}$가 존재합니다:

1. U의 임의의 컴팩트 부분집합 K는 오직 유한하게 많은 $g_{p}$의 지원과 교차하고
2. $T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.$

게다가, 만약 T는 유한 순서를 가지면, 그들 중 오직 유한하게 많은 것이 비-영이라는 그러한 방법에서 $g_{p}$를 선택할 수 있습니다.

위의 무한 합은 분포로 잘-정의되어 있음을 주목하십시오. 주어진 $f\in {\mathcal {D}}(U)$에 대해 T의 값은 $f$의 지원과 교차하는 유한하게 많은 $g_{\alpha }$를 사용하여 계산될 수 있습니다.

Operations on distributions

컴팩트 지원을 갖는 매끄러운 함수 위에 정의된 많은 연산은 분포에 대해서도 정의될 수 있습니다. 일반적으로, 만약 $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$가 약한 토폴로지(weak topology)에 관해 연속인 선형 맵이면, $A$를 토폴로지 또는 선형 함수형 해석학의 고전적인 확장 정리에 의한 맵 $A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$으로 확장하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 위의 선형 연속 연산자 A의 "분포적" 확장이 가능한 것과 A가 슈바르츠 인접, 즉 모든 각 테스트 함수의 쌍에 대해 $<Af,g>=<f,Bg>$임을 만족하는 같은 유형의 또 다른 선형 연속 연산자 B를 허용하는 것은 필요충분 조건입니다. 해당 조건에서, B는 고유하고 확장 A’은 슈바르츠 인접 B의 전치입니다.

Preliminaries: Transpose of a linear operator

Main article: Transpose of a linear map

분포와 분포의 공간 위에 연산은 종종 선형 연산자의 전치(transpose)를 사용하여 정의됩니다. 이것은 전치는 분포의 이론에서 많은 정의를 통합된 프레전테이션을 허용하기 때문이고 역시 그 속성이 함수형 해석학(functional analysis)에서 잘-알려져 있기 때문입니다. 예를 들어, 힐베르트 공간 사이의 선형 연산자의 잘-알려진 에르미트 인접(hermitian adjoint)은 연산자의 전치일 뿐입니다 (그러나 각 힐베르트 공간을 그것의 연속 이중 공간으로 식별하기 위해 사용되는 리스 표시 정리(Riesz representation theorem)를 가집니다). 일반적으로, 연속 선형 맵 $A:X\to Y$의 전치는 다음 선형 맵입니다: $${}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,$$ 또는 동등하게, 그것은 모든 $x\in X$와 모든 $y'\in Y'$에 대해 $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle$를 만족시킴는 고유한 맵입니다 ($y'$에서 프라임 기호는 어떠한 종류의 도함수를 나타내지 않습니다; 그것은 단지 $y'$이 연속 이중 공간 $Y'$의 원소임을 나타냅니다). $A$가 연속적이기 때문에, 두 이중이 각각의 강한 이중 토폴로지가 부여될 때 전치 ${}^{t}A:Y'\to X'$도 연속입니다; 그것은 역시 두 이중이 각각의 약한* 토폴로지가 부여될 때 연속적입니다 (자세한 내용에 대해 극 토폴로지(polar topology) 및 이중 시스템(dual system) 기사를 참조).

분포의 맥락에서, 전치의 특성화는 약간 정제될 수 있습니다. $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$를 연속 선형 맵이라고 놓습니다. 그런-다음 정의에 의해, $A$의 전치는 다음을 만족시키는 고유한 선형 연산자 $A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$입니다:$$\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).$$

${\mathcal {D}}(U)$가 ${\mathcal {D}}'(U)$에서 조밀하기 때문에 (여기서, ${\mathcal {D}}(U)$는 실제로 분포 $\left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}$의 집합을 참조합니다), $T=D_{\psi }$ 형식의 모든 분포에 대해 정의하는 상등이 유지되는 것으로 충분하며, 여기서 $\psi \in {\mathcal {D}}(U)$입니다. 명시적으로, 이것은 연속 선형 맵 $B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$이 ${}^{t}A$과 같은 것과 아래 조건이 유지되는 것은 필요충분 조건임 의미합니다: $$\langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)$$ 여기서 오른쪽-변은 $\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx$와 같습니다.

Differential operators

Differentiation of distributions

$A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$를 부분 도함수 연산자 ${\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}$로 놓습니다. $A$를 확장하기 위해, 그것의 전치를 계산합니다: $${\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}$$

그러므로 ${}^{t}A=-A$입니다. 따라서, 좌표 $x_{k}$에 관한 $T$의 부분 도함수는 다음 공식에 의해 정의됩니다: $$\left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

이 정의와 함께, 모든 각 분포는 무한하게 미분-가능이고, 방향 $x_{k}$에서 도함수는 ${\mathcal {D}}'(U)$ 위에 선형 연산자(linear operator)입니다.

보다 일반적으로, 만약 $\alpha$가 임의적인 다중-인덱스(multi-index)이면, 분포 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$의 부분 도함수 $\partial ^{\alpha }T$는 다음에 의해 정의됩니다: $$\langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

분포의 미분은 ${\mathcal {D}}'(U)$ 위에 연속 연산자입니다; 이것은 대부분의 다른 미분의 개념에 의해 공유되지 않는 중요하고 바람직한 속성입니다.

만약 $T$가 $\mathbb {R}$에서 분포이면 다음과 같습니다: $$\lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),$$ 여기서 $T'$은 $T$의 도함수이고 $\tau _{x}$는 $x$에 의한 평행이동입니다; 따라서 $T$의 도함수는 몫의 극한으로 불 수 있습니다.

Differential operators acting on smooth functions

매끄러운 계수를 갖는 $U$에서 선형 미분 연산자는 $U$ 위에 매끄러운 함수의 공간 위에 동작합니다. 이러한 연산자 ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$가 주어졌을 때, $C^{\infty }(U)$ 위에 $P$의 동작을 $U$ 위의 분포로 확장하는 연속 선형 맵 $D_{P}$를 정의하고 싶습니다. 다시 말해서, 다음 다이어그램이 교환함을 만족하는 $D_{P}$를 정의하고 싶습니다: $${\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}$$ 여기서 수직 맵은 $f\in C^{\infty }(U)$를 그것의 정식의 분포 $D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U)$로 할당함으써 제공되며, 이는 다음과 같이 정의됩니다: $$D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$ 이 표기법과 함께, 교환하는 다이어그램은 다음과 동등합니다: $$D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).$$

$D_{P}$를 찾기 위해, $\phi \mapsto P(\phi )$에 의해 정의된 연속 유도된 맵 $P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$의 전치 ${}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$는 아래의 보조정리에서 고려됩니다. 이것은 다음과 같이 정의되는 전치 맵과의 혼동을 피하기 위해 $P_{*}$로 표시되는 $P$의 형식적 전치(the formal transpose of $P$)라고 불리는 $U$ 위에 미분 연산자의 정의로 이어집니다: $$P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.$$

Lemma — $P$를 $U$에서 매끄러운 계수를 갖는 선형 미분 연산자라고 놓습니다. 그런-다음 모든 $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$에 대해, 다음을 가집니다: $$\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,$$ 이는 다음과 동등합니다: $${}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.$$

Proof

위에서 논의된 것처럼, 임의의 $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$에 대해, 전치는 다음에 의해 계산될 수 있습니다: $${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\int _{U}f(x)P(\phi )(x)\,dx\\&=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\right]\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}$$ 마지막 줄에 대해 $\phi$와 따라서 모든 함수 $f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)$가 컴팩트 지원을 가진다는 사실과 조합된 부분에 의한 적분을 사용합니다. 위의 계산에 계속하여, 모든 $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$에 대해: $${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx&&{\text{As shown above}}\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Leibniz rule}}\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\&=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}$$

형식적 전치의 형식 전치가 원래의 미분 연산자, 즉 $P_{**}=P$라는 사실과 결합된 보조정리는, 우리가 올바른 정의에 도달할 수 있도록 합니다: 형식적 전치는 $\phi \mapsto P_{*}(\phi )$ 위에 정의된 (연속) 정식의 선형 연산자 $P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$를 유도합니다. 우리는 이 맵의 전치, ${}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$가 $D_{P}$로 취할 수 있다고 주장합니다. 이를 확인하기 위해, 모든 각 $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$에 대해, $f\in C^{\infty }(U)$를 갖는 $D_{f}$ 형식의 분포 위에 그것의 동작을 계산합니다:

$${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}$$

우리는 연속 선형 연산자 $D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$를 $P$를 확장하는 분포 위에 미분 연산자(differential operator on distributions extending $P$)라고 부릅니다. 임의적인 분포 $S$ 위에 동작은 다음을 통해 정의됩니다: $$D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

만약 $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$가 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴하면 모든 각 다중-인덱스 $\alpha$에 대해, $(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }$는 $\partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴합니다.

Multiplication of distributions by smooth functions

차수 0의 미분 연산자는 매끄러운 함수에 의한 곱셈일 뿐입니다. 그리고 반대로, 만약 $f$가 매끄러운 함수이면 $P:=f(x)$는 차수 0의 미분 연산자이며, 그의 형식적 전치 연산자는 자체입니다 (즉, $P_{*}=P$). 유도된 미분 연산자 $D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$는 분포 $T$를 $fT:=D_{P}(T)$에 의해 표시되는 분포에 매핑합니다. 따라서, 매끄러운 함수에 의해 분포의 곱셈을 정의해 왔습니다.

우리는 이제 매끄러운 함수 $m:U\to \mathbb {R}$에 의해 $U$ 위에 분포 $T$의 곱셈의 대안적인 프레전테이션을 제공합니다. 곱 $mT$는 다음에 의해 정의됩니다:$$\langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

이 정의는 $M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$가 함수 $m$에 의한 곱셈 연산자 (즉, $(M\phi )(x)=m(x)\phi (x)$)이면, ${}^{t}M=M$이 되도록 다음이기 때문에 전치 정의와 일치합니다: $$\int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,$$ 매끄러운 함수에 의한 곱셈 아래에서, ${\mathcal {D}}'(U)$는 링(ring) $C^{\infty }(U)$에 걸쳐 모듈(module)입니다. 매끄러운 함수에 의한 곱셈의 이러한 정의와 함께, 미적분학의 보통의 곱 규칙(product rule)은 여전히 유효합니다. 어쨌든, 일부 특이한 항등식도 발생합니다. 예를 들어, $\delta$가 $\mathbb {R}$ 위에 디랙 델타 분포이면, $m\delta =m(0)\delta$이고, $\delta ^{'}$가 델타 분포의 도함수이면, 다음과 같습니다:$$m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .$$$(f,T)\mapsto fT$에 의해 주어진 쌍선형 곱셈 맵 $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$은 연속이 아닙니다; 그러나 그것은 저연속(hypocontinuous)입니다.

Example. $U$ 위에 동일하게 1인 함수를 갖는 임의의 분포 $T$의 곱은 $T$와 같습니다.

Example. $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$가 상수 함수 $1\in C^{\infty }(U)$로 수렴하는 $U$ 위에 테스트 함수의 수열이라고 가정합니다. $U$ 위에 임의의 분포 $T$에 대해, 수열 $(f_{i}T)_{i=1}^{\infty }$는 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴합니다.

만약 $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$가 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴하고 $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$가 $f\in C^{\infty }(U)$로 수렴하면, $(f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }$는 converges to $fT\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴합니다.

Problem of multiplying distributions

매끄러운 함수를 갖는 분포의 곱, 또는 보다 일반적으로 특이 지원(singular supports)이 서로소인 두 분포의 곱을 정의하는 것은 쉽습니다. 더 많은 노력을 기울이면, 각 점에서 파동 전면 집합(wave front sets)이 호환된다는 조건으로 하여 여러 분포의 잘-행동되는 곱을 정의할 수 있습니다. 분포 (및 초함수)의 이론의 한계는 1950년대에 로랑 슈바르츠(Laurent Schwartz)에 의해 입증된 것처럼 매끄러운 함수에 의해 분포의 곱을 확장하는 두 분포의 결합 곱이 없다는 것입니다. 예를 들어, $\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}$가 다음 코시 주요 값(Cauchy principal value)에 의해 얻어진 분포이면, $$\left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).$$

만약 $\delta$가 디랙 델타 분포이면 $$(\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0$$ 그러나, $$\delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta$$ 따라서 매끄러운 함수 (항상 잘-정의됨)에 의한 분포의 곱은 분포의 공간의 결합(associative) 곱으로 확장될 수 없습니다.

따라서, 비선형 문제는 일반적으로 제기될 수 없고 따라서 단독으로 분포 이론 내에서 해결되지 않습니다. 어쨌든, 양자 필드 이론(quantum field theory)의 맥락에서, 해는 구할 수 있습니다. 둘보다 많은 시간공간 차원에서, 그 문제는 다이버전스(divergences)의 조절(regularization)과 관련이 있습니다. 여기서 헨리 엡스타인(Henri Epstein)과 블라디미르 글레이저(Vladimir Glaser)는 수학적으로 엄격한 (그러나 극도로 기술적인) 인과적 섭동 이론(causal perturbation theory)을 개발했습니다. 이것은 다른 상황에서 문제를 해결하지 않습니다. 많은 다른 흥미로운 이론은 예를 들어 유체 역학(fluid dynamics)의 나비에-스토크스 방정식(Navier–Stokes equations)과 같은 비선형입니다.

완전히 만족스럽지는 않은 몇 가지 일반화 함수(generalized functions)의 대수(algebras)의 이론이 개발되어 왔으며, 그 중 콜롱보 대수가 아마도 오늘날 가장 널리 사용되는 것입니다.

Lyons의 거친 경로(rough path) 이론에 영감을 받아, 마르틴 하이러(Martin Hairer)는 확률적 해석, 특히 확률적 부분 미분 방정식으로부터 많은 예제에서 사용할 수 있는 특정 구조 (규칙성 구조(regularity structures))와 분포를 곱하는 일관된 방법을 제안했습니다. 푸리에 해석에서 Bony의 paraproduct를 기반으로 한 관련된 개발에 대해 Gubinelli–Imkeller–Perkowski (2015)를 참조하십시오.

Composition with a smooth function

$T$를 $U$ 위의 분포라고 놓습니다. $V$를 $\mathbb {R} ^{n}$에서 열린 집합으로 놓고 $F:V\to U$라고 놓습니다. 만약 $F$가 침몰(submersion)이면 다음을 정의하는것이 가능합니다: $$T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).$$

이것은 분포 $T$와 $F$의 합성(the composition of the distribution $T$ with $F$)이고, $F$를 따라 $T$의 당김(the pullback of $T$ along $F$)이라고도 불리며, 때때로 다음과 같이 씁니다: $$F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.$$

당김은 종종 $F^{*}$로 표시되지만, 이 표기법은 선형 매핑의 인접을 나타내기 위해 '*'의 사용과 혼동되어서는 안 됩니다.

$F$가 침몰이라는 조건은 $F$의 야코비 도함수 $dF(x)$가 모든 각 $x\in V$에 대해 전사적(surjective) 선형 맵이라는 요구 사항과 동등합니다. $F^{\#}$을 분포로 확장하기 위한 필요 조건 (그러나 충분조건은 아님)은 $F$가 열린 매핑(open mapping)이라는 것입니다. 역 함수 정리(Inverse function theorem)는 침몰이 이 조건을 만족하도록 보장합니다.

만약 $F$가 침몰이면, $F^{\#}$은 전치 맵을 찾음으로써 분포 위에 정의됩니다. $F^{\#}$은 ${\mathcal {D}}(U)$ 위에 연속 선형 연산자이므로 이 확장의 고유성이 보장됩니다. 어쨌든, 존재성은 변수의 변경(change of variables) 공식, (지역적) 역함수 정리, 및 단위의 분할(partition of unity) 논증을 사용을 필요로 합니다.

$F$가 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합 $V$에서 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합 $U$ 위로의 미분동형(diffeomorphism)인 특수한 경우에서, 적분 아래에서 변수의 변경은 다음을 제공합니다:$$\int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.$$

이 특별한 경우에서, 그때에, $F^{\#}$은 전치 공식에 의해 정의됩니다: $$\left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .$$

Convolution

일부 환경 아래에서, 분포를 갖는 함수의 합성곱(convolution) 또는 심지어 두 분포의 합성곱을 정의하는 것이 가능합니다. 만약 $f$와 $g$가 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 함수이면 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에서 다음 적분으로 정의된 $f$와 $g$의 합성곱(the convolution of $f$ and $g$)을 $f\ast g$로 표시합니다: $$(f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy$$ 이때 적분이 존재하는 조건으로 합니다. 만약 $1\leq p,q,r\leq \infty$가 ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$를 만족하면 임의의 함수 $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$와 $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$에 대해 우리는 $f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$와 $\|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}$를 가집니다. 만약 $f$와 $g$가 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 연속 함수이고, 그 중 적어도 하나가 컴팩트 지원을 가지면, $\operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)$이고 $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$이면 $A$ 위에 $f\ast g$의 값은 민코프스키 합(Minkowski sum) $A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}$ 외부의 $f$ 값에 의존하지 않습니다.

중요하게, 만약 $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$가 컴팩트 지원을 가지면 임의의 $0\leq k\leq \infty$에 대해, 합성곱 맵 $f\mapsto f\ast g$는 $C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ 또는 맵 $C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})$으로 고려될 때 연속적입니다.

Translation and symmetry

$a\in \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌을 때, 평행이동 연산자 $\tau _{a}$는 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$를 $\tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$로 보내며, $\tau _{a}f(y)=f(y-a)$에 의해 정의됩니다. 이것은 다음 방법에서 분포를 전치에 의해 확장될 수 있습니다: 분포 $T$가 주어졌을 때, $T$의 $a$만큼 평행이동(the translation of $T$ by $a$)은 $\tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle$에 의해 정의된 분포 $\tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$입니다.

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$가 주어졌을 때, 함수 ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$를 ${\tilde {f}}(x):=f(-x)$에 의해 정의합니다. 분포 $T$가 주어졌을 때, ${\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$를 ${\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right)$에 의해 정의된 분포라고 놓습니다. 연산자 $T\mapsto {\tilde {T}}$는 원점에 관한 대칭(the symmetry with respect to the origin)이라고 불립니다.

Convolution of a test function with a distribution

$f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$를 갖는 합성곱은 다음 선형 맵을 정의합니다: $${\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}$$ 이는 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ 위에 정식의 LF 공간 토폴로지에 관해 연속(continuous)입니다.

분포 $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$를 갖는 $f$의 합성곱은 분포의 공간 ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$을 갖는 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$의 이중성 쌍화와 관련하여 $C_{f}$의 전치를 취함으로써 정의될 수 있습니다. 만약 $f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$이면, 푸비니의 정리(Fubini's theorem)에 의해 $$\langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .$$

연속성을 확장하여, 분포 $T$를 갖는 $f$의 합성곱은 다음에 의해 정의됩니다: $$\langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$$

테스트 함수 $f$와 분포 $T$의 합성곱을 정의하는 대안적인 방법은 평행이동 연산자 $\tau _{a}$를 사용하는 것입니다. 컴팩트하게 지원되는 함수 $f$와 분포 $T$의 합성곱은 각 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해 다음에 의해 정의된 함수입니다: $$(f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .$$

매끄러운, 조밀하게 지원되는 함수와 분포의 합성곱이 매끄러운 함수임을 알 수 있습니다. 만약 분포 $T$가 콤팩트 지원을 가지고, $f$가 다항식 (각각, 지수 함수, 해석적 함수, $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 전체 해석적 함수의 $\mathbb {R} ^{n}$으로의 제한, $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 지수 유형의 전체 함수의 $\mathbb {R} ^{n}$으로의 제한)이면, $T\ast f$도 마찬가지입니다. 만약 분포 $T$에도 컴팩트 지원을 가지면, $f\ast T$는 컴팩트하게 지원된 함수이고, 티치마시 합성곱 정리(Titchmarsh convolution theorem)는 다음을 의미합니다 Hörmander (1983, Theorem 4.3.3): $$\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))$$ 여기서 $\operatorname {ch}$는 볼록 껍질(convex hull)을 나타내고 $\operatorname {supp}$는 지원을 나타냅니다.

Convolution of a smooth function with a distribution

$f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$와 $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$라고 놓고 $f$와 $T$ 중 적어도 하나가 컴팩트 지원을 가진다고 가정합니다. $f$와 $T$의 합성곱(convolution)은, $f\ast T$ 또는 $T\ast f$에 의해 나타내며, 다음 매끄러운 함수입니다: $${\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}$$ 이때 모든 $p\in \mathbb {N} ^{n}$에 대해 다음을 만족시킵니다: $${\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}$$

$M$을 맵 $f\mapsto T\ast f$이라고 놓습니다. 만약 $T$가 분포이면, $M$은 맵 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$으로 연속입니다. 만약 $T$도 컴팩트 지원을 가지면, $M$도 맵 $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$으로 연속이고 맵 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$으로 연속입니다.

만약 $L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$가 모든 $\alpha$와 모든 $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$에 대해 $L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi$임을 만족하는 연속 선형 맵이면, 모든 $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$에 대해 $L\phi =T\circ \phi$임을 만족하는 분포 $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$가 존재합니다.

Example. $H$를 $\mathbb {R}$ 위에 헤비사이드 함수(Heaviside function)라고 놓습니다. 임의의 $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$에 대해, $$(H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.$$

$\delta$를 0에서 디랙 측정이라고 놓고 $\delta '$를 분포로 그것의 도함수라고 놓습니다. 그런-다음 $\delta '\ast H=\delta$이고 $1\ast \delta '=0$입니다. 중요하게, 결합 법칙은 유지됨에 실패합니다: $$1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.$$

Convolution of distributions

$\mathbb {R} ^{n}$ 위에 두 분포 $S$와 $S$의 합성곱을 정의하는 것도 가능하며, 그 중 하나가 컴팩트 지원을 가짐을 조건으로 합니다. 비공식적으로, $T$가 컴팩트 지원을 가지는 $S\ast T$를 정의하기 위해, 아이디어는 다음 결합성 공식이 모든 테스트 함수 $\phi$에 대해 계속 유지되도록 합성곱 $\,\ast \,$의 정의를 분포 위에 선형 연산으로 확장하는 것입니다: $$S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi$$ 분포의 합성곱의 보다 명확한 특성화를 제공하는 것도 가능합니다. $S$와 $T$가 분포이고 $S$가 컴팩트 지원을 가진다고 가정합니다. 그런-다음 다음 선형 맵은$${\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}$$ 연속입니다. 이들 맵의 전치는: $${}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$$ 수열적으로 연속이고 역시 다음임을 보여줄 수 있습니다: $${}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).$$

이 공통 값은 $S$와 $T$의 합성곱(the convolution of $S$ and $T$)이라고 불리고 그것은 $S\ast T$ 또는 $T\ast S$에 의해 표시되는 분포입니다. 그것은 $\operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T)$를 만족시킵니다. 만약 $S$와 $T$가 두 개의 분포이고, 그 중 적어도 하나가 컴팩트 지원을 가지면, 임의의 $a\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, $\tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right)$입니다. 만약 $T$가 $\mathbb {R} ^{n}$에서 분포이고 $\delta$가 디랙 측정(Dirac measure)이면, $T\ast \delta =T=\delta \ast T$입니다; 따라서 $\delta$는 합성곱 연산의 항등 원소(identity element)입니다. 더욱이, $f$가 함수이면 $f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f$이며 여기서 합성곱의 결합성은 모든 함수 $f$와 $g$에 대해 $f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f$임을 의미합니다.

컴팩트 지원을 가지는 것이 $T$라고 가정합니다. $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$에 대해 다음 함수를 생각해 보십시오: $$\psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .$$

이것은 $x$의 매끄러운 함수를 정의하고, 더욱이 컴팩트 지원을 가진다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $S$와 $T$의 합성곱은 다음에 의해 정의됩니다: $$\langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .$$

이것은 함수의 합성곱(convolution)의 고전적인 개념을 일반화하고 다음과 같은 의미에서 미분과 호환될 수 있습니다: 모든 각 다중-인덱스 $\alpha$에 대해, $$\partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).$$

분포의 유한 개수의 합성곱은, 그것의 모두 (한 개만 제외)가 컴팩트 지원을 가지며, 결합적(associative)입니다.

합성곱의 이 정의는 $S$와 $T$에 대한 덜 제한적인 가정 아래에서 유효합니다.

컴팩트 지원을 갖는 분포의 합성곱은 $(S,T)\mapsto S*T$에 의해 정의되는 연속 쌍선형 맵 ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'$를 유도하며, 여기서 ${\mathcal {E}}'$는 컴팩트한 지원을 갖는 분포의 공간을 나타냅니다. 어쨌든, 함수 ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$로서의 합성곱 맵은 그것이 개별적으로 연속일지라도 연속이 아닙니다. $(f,T)\mapsto f*T$에 의해 주어진 합성고 맵 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$과 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$은 모두 연속임에 실패합니다. 어쨌든, 이들 비연속 맵 각각은 개별적으로 연속(separately continuous)이고 저연속(hypocontinuous)입니다.

Convolution versus multiplication

일반적으로, 조절(regularity)은 곱셈 곱에 대해 필요하고, 지역성(locality)은 합성곱 곱에 대해 필요합니다. 그것은 합성곱 곱과 곱셈 곱 모두의 존재를 보장하는 합성곱 정리(Convolution Theorem)의 다음 확장에서 표현됩니다. $F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}$를 빠르게 감소하는 완화된 분포로 놓거나, 동등하게 $F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}$를 완화된 분포의 공간 내에서 보통의 (천천히 성장하고, 매끄러운) 함수라고 놓고 $F$를 정규화된 (유니태리, 보통의 주파수) 푸리에 변환이라고 놓습니다. 그런-다음 Schwartz (1951)에 따르면, $$F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)$$위는 완화된 분포의 공간 내에서 유지됩니다. 특히, 이들 방정식은 $g\equiv \operatorname {\text{Ш}}$가 디랙 빗(Dirac comb)이면 푸아송 합계 공식(Poisson Summation Formula)이 됩니다. 모든 빠르게 감소하는 완화된 분포의 공간은 합성곱 연산자(convolution operators)의 공간 ${\mathcal {O}}'_{C}$라고도 불리고 완화된 분포의 공간 내에서 모든 보통의 함수의 공간은 곱셈 연산자(multiplication operators)의 공간 ${\mathcal {O}}_{M}$이라고도 합니다. 보다 일반적으로, $F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}$이고 $F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}$입니다. 특별한 경우는 $F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW}$이고 $F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'$라고 말하는 페일리-위너-슈바르츠 정리(Paley-Wiener-Schwartz Theorem)입니다. 이것은 ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}$이고 $\operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}$이기 때문입니다. 다시 말해서, 컴팩트하게 지원되는 완화된 분포 ${\mathcal {E}}'$는 합성곱 연산자(convolution operators) ${\mathcal {O}}'_{C}$의 공간에 속하고 대역제한 함수(bandlimited functions)로 더 잘 알려진 페일리-위너 함수 $\operatorname {PW}$는 곱셈 연산자(multiplication operators) ${\mathcal {O}}_{M}$의 공간에 속합니다.

예를 들어, $g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'$를 디랙 빗라고 놓고, $f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'$를 디랙 델타라고 놓습니다; 그런-다음 $\alpha \equiv 1\in \operatorname {PW}$는 항상 1인 함수이고 두 방정식 모두 디랙-빗 항등식(Dirac-comb identity)을 산출합니다. 또 다른 예제는 $g$를 디랙 빗으로 놓고 $f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'$를 직사각형 함수(rectangular function)라고 놓는 것입니다; 그런-다음 $\alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW}$는 싱크 함수(sinc function)이고 두 방정식 모두 적합한 $\operatorname {rect}$ 함수에 대한 고전 표본화 정리(Classical Sampling Theorem)를 산출합니다. 보다 일반적으로, $g$가 디랙 빗이고 $f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}$가 매끄러운 윈도우 함수 (슈바르츠 함수), 예를 들어 가우스 함수이면, $\alpha \in {\mathcal {S}}$는 또 다른 매끄러운 윈도우 함수 (슈바르츠 함수)입니다. 그것들은 특히 부분 미분 방정식(partial differential equations) 이론에서 완화자(mollifiers)로 알려져 있거나, 그것들이 일반화된 함수(generalized functions)를 정규 함수(regular functions)로 전환하는 것을 허용하기 때문에 물리학에서 조절기(regularizers)로 알려져 있습니다.

Tensor products of distributions

$U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$와 $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$를 열린 집합이라고 놓습니다. Assume 모든 벡터 공간을 필드 $\mathbb {F}$에 걸친 것으로 가정하며, 여기서 $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$입니다. $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$에 대해, 모든 각 $u\in U$와 모든 각 $v\in V$에 대해 다음 함수를 정의합니다: $${\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}$$

$S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$와 $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V)$가 주어지면, 다음 함수를 정의합니다: $${\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}$$ 여기서 $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$이고 $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V)$입니다. 이들 정의는 모든 각 $S\in {\mathcal {D}}'(U)$와 $T\in {\mathcal {D}}'(V)$를 (각각) 연속 선형 맵으로 결합니다: $${\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}$$

게다가, 만약 $S$ (각각, $T$)가 컴팩트 지원을 가지면 그것은 역시 $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ (각각, $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$)의 연속 선형 맵을 유도합니다.

Fubini's theorem for distributions — $S\in {\mathcal {D}}'(U)$와 $T\in {\mathcal {D}}'(V)$라고 놓습니다. 만약 $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$이면 다음과 같습니다: $$\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

$S\in {\mathcal {D}}'(U)$와 $T\in {\mathcal {D}}'(V)$의 텐서 곱은, $S\otimes T$ 또는 $T\otimes S$에 의해 표시되며, 다음에 의해 정의된 $U\times V$에서 분포입니다: $$(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Spaces of distributions

See also: Spaces of test functions and distributions

모든 $0<k<\infty$와 모든 $1<p<\infty$에 대해, 다음 정식의 단사 중 모든 각 하나는 연속이고 그것의 코도메인의 조밀한 부분집합(dense subset)인 이미지 (역시 치역이라고 불림)를 가집니다: $${\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}$$ 여기서 $L_{c}^{q}(U)$ $1\leq q\leq \infty$ 위에 토폴로지는 $C_{c}^{k}(U)$의 토폴로지가 정의된 방법과 유사한 방식으로 공간 $L_{c}^{q}(K)$의 직접 극한로 정의됩니다 (따라서 특히, 그것들은 보통의 노름 토폴로지입니다). 위의 각 맵 (및 위의 맵의 임의의 합성)의 치역은 코도메인에서 조밀합니니다.

$X$가 ($k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}$에 대해) 공간 $C_{c}^{k}(U)$ 또는 ($1\leq p\leq \infty$에 대해) $L_{c}^{p}(U)$ 또는 ($1\leq p<\infty$에 대해) $L^{p}(U)$ 중 하나라고 가정합니다. 정식의 단사 $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$가 그 이미지가 코도메인에서 조밀한 것인 연속 단사이기 때문에, 이 맵의 전치(transpose) ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}$는 연속 단사입니다. 이 단사 전치 맵은 따라서 $X$의 연속 이중 공간(continuous dual space) $X'$을 모든 분포의 공간 ${\mathcal {D}}'(U)$의 특정 벡터 부분공간으로 식별되도록 허용합니다 (구체적으로, 그것은 이 전치 맵의 이미지로 식별됩니다). 이 전치 맵은 연속적이지만 그것이 반드시 토폴로지적 삽입(topological embedding)일 필요는 없습니다. ${\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}$에 의해 그것 위에 유도된 부분공간 토폴로지(subspace topology)보다 더 미세한 지역적 볼록(locally convex) 토폴로지를 나르는 ${\mathcal {D}}'(U)$의 선형 부분공간은 분포의 공간(a space of distributions)이라고 불립니다. 이 기사에서 언급된 분포의 거의 모든 공간은 이런 방법으로 발생하고 (예를 들어, 완화된 분포, 제한, 순서 $\leq$ 일부 정수의 분포, 양의 라돈 측정에 의해 유도된 분포, $L^{p}$-함수에 의해 유도된 분포 등이 있습니다), $X$의 연속 이중 공간에 대한 임의의 표시 정리는 전치 ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)$를 통해 공간의 원소 $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)$로 직접 전달될 수 있습니다.

Radon measures

포함 맵 $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)$은 그 이미지가 코도메인에서 조밀한 연속 단사이므로, 전치(transpose) ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$도 연속 단사입니다.

연속 이중 공간 $(C_{c}^{0}(U))'_{b}$는 라돈 측정(Radon measures)의 공간으로 식별될 수 있음을 주목하십시오, 여기서 연속 선형 함수형 $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$과 라돈 측정에 관한 적분 사이에 일-대-일 대응이 있습니다; 즉,

• 만약 $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$이면 모든 ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$에 대해, ${\textstyle T(f)=\int _{U}f\,d\mu }$임을 만족하는 U 위에 라돈 측정 $\mu$가 존재합니다. 그리고
• 만약 $\mu$가 U 위에 라돈 측정이면 ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$를 ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$로보냄으로써 정의된 $C_{c}^{0}(U)$ 위에 선형 함수형은 연속입니다.

단사 ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)$를 통해, 모든 각 라돈 측정은 U 위에 분포가 됩니다. 만약 $f$가 U 위에 지역적으로 적분-가능(locally integrable) 함수이면 분포 ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$는 라돈 측정입니다; 따라서 라돈 측정은 크고 중요한 분포의 공간을 형성합니다.

다음은 모든 각 라돈 측정이 U 위에 지역적으로 $L^{\infty }$ 함수의 도함수의 합으로 쓸 수 있음을 보여주는 라돈 측정(Radon measures)의 분포의 구조의 정리입니다:

Theorem. — $T\in {\mathcal {D}}'(U)$가 라돈 측정이라고 가정하며, 여기서 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$이며, $V\subseteq U$를 $T$의 지원의 이웃이라고 놓고, $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}$라고 놓습니다. 모든 각 $p\in I$에 대해 $\operatorname {supp} f_{p}\subseteq V$이고, 다음임을 만족하는 U 위에 지역적 $L^{\infty }$ 함수의 가족 $f=(f_{p})_{p\in I}$이 존재합니다: $$T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.$$ 게다가, $T$는 역시 $U$ 위에 연속 함수의 도함수의 유한 합과 같으며, 여기서 각 도함수는 차수 $\leq 2n$를 가집니다.

Positive Radon measures

함수의 공간 위에 선형 함수 $T$는 만약 $T$의 도메인에 속하는 함수 $f$는 비-음수 (즉, $f$가 실수-값이고 $f\geq 0$)일 때마다 $T(f)\geq 0$이면 양수(positive)라고 불립니다. $C_{c}^{0}(U)$ 위의 모든 양의 선형 함수는 반드시 연속 (즉, 반드시 라돈 측정)임을 보여줄 수 있습니다. 르베그 측정(Lebesgue measure)은 양수 라돈 측정의 예입니다.

Locally integrable functions as distributions

특히 중요한 라돈 측정의 클래스 중 하나는 지역적으로 적분-가능 함수를 유도하는 것입니다. 함수 $f:U\to \mathbb {R}$은 만약 그것이 U 위의 모든 각 컴팩트 부분집합 K에 걸쳐 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable)이면 지역적으로 적분-가능(locally integrable)이라고 불립니다. 이것은 모든 연속 함수와 모든 Lp 공간 $L^{p}$ 함수를 포함하는 함수의 큰 클래스입니다. ${\mathcal {D}}(U)$ 위의 토폴로지는 임의의 지역적으로 적분-가능 함수 $f$가 여기서 $T_{f}$에 의해 표시되는 ${\mathcal {D}}(U)$ 위의 연속 선형 함수형 – 즉, ${\mathcal {D}}'(U)$의 원소 – 이며, 테스트 함수 $\phi$ 위의 그 값은 다음 르베그 적분에 의해 주어집니다: $$\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$$

전통적으로, 혼동이 발생하지 조건으로 하여 $T_{f}$를 $f$로 식별함으로써 표기법을 남용하고, 따라서 $T_{f}$와 $\phi$ 사이의 쌍화는 종종 다음과 같이 작성됩니다: $$\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .$$

만약 $f$와 $g$가 두 개의 지역적으로 적분-가능 함수이면, 결합된 분포 $T_{f}$와 $T_{g}$가 ${\mathcal {D}}'(U)$의 같은 원소와 같은 것과 $f$와 $g$가 거의 모든 곳에서 같은 것은 필요충분 조건입니다 (예를 들어, Hörmander (1983, Theorem 1.2.5)를 참조). 마찬가지로, $U$ 위의 모든 각 라돈 측정(Radon measure) $\mu$는 테스트 함수 $\phi$의 값이 ${\textstyle \int \phi \,d\mu }$인 ${\mathcal {D}}'(U)$의 원소를 정의합니다. 위에서 처럼, 표기법을 남용하고 라돈 측정 $\mu$와 테스트 함수 $\phi$ 사이의 쌍화를 $\langle \mu ,\phi \rangle$로 쓰는 것이 전통적입니다. 반대로, 슈바르츠의 정리 (리스 표시 정리(Riesz representation theorem)와 유사)에서 볼 수 있듯이, 비-음의 함수 위에 비-음수인 모든 각 분포는 일부 (양의) 라돈 측정에 대해 이 형식입니다.

Test functions as distributions

테스트 함수는 자체적으로 지역적 적분-가능이고, 따라서 분포를 정의합니다. 테스트 함수 $C_{c}^{\infty }(U)$의 공간은 ${\mathcal {D}}'(U)$ 위의 강한 토폴로지에 관해 ${\mathcal {D}}'(U)$에서 수열적으로 조밀합니다. 이것은 임의의 $T\in {\mathcal {D}}'(U)$에 대해, 분포의 수열로 고려될 때 (강한 이중 토폴로지에서) $T\in {\mathcal {D}}'(U)$로 수렴하는 테스트 함수의 수열, $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty }$이 있음을 의미합니다. 또는 동등하게, $$\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Distributions with compact support

포함 맵 $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$은 그 이미지가 코도메인에서 조밀한 연속 단사이므로, 전치 맵(transpose map) ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$도 연속 단사입니다. 따라서 전치의 이미지는, ${\mathcal {E}}'(U)$에 의해 표시되며, 분포의 공간을 형성합니다.

${\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}$의 원소는 컴팩트 지원을 갖는 분포의 공간으로 식별될 수 있습니다. 명시적으로, 만약 $T$가 U 위에 분포이면 다음은 동등합니다:

• $T\in {\mathcal {E}}'(U).$
• $T$의 지원은 컴팩트합니다.
• $T$의 $C_{c}^{\infty }(U)$로의 제한은, 해당 공간이 $C^{\infty }(U)$ (정식의 LF 토폴로지보다 거친 토폴로지)로부터 상속된 부분공간 토폴로지를 갖출 때, 연속입니다.
• 그 지원이 K의 완전하게 외부인 모든 각 테스트 함수에 대해, $T(\phi )=0$를 가짐을 만족하는 U의 컴팩트 부분집합 K가 있습니다.

컴팩트하게 지원되는 분포는 공간 $C^{\infty }(U)$ 위에 연속 선형 함수형을 정의합니다; $C^{\infty }(U)$ 위의 토폴로지가 테스트 함수 $\phi _{k}$의 수열이 0으로 수렴하는 것과 $\phi _{k}$의 모든 도함수가 U의 모든 각 컴팩트 부분집합 위에 0으로 균등하게 수렴하는 것은 필요충분 조검으로 정의됨을 상기하십시오. 따라서 컴팩트하게 지원되는 분포는 $C_{c}^{\infty }(U)$에서 $C^{\infty }(U)$로 확장될 수 있는 그것들의 분포로 식별될 수 있습니다.

Distributions of finite order

$k\in \mathbb {N}$라고 놓습니다. 포함 맵 $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)$은 그 이미지가 코도메인에서 조밀한 연속 단사이므로, 전치(transpose) ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$도 연속 단사입니다. 반대로, ${}^{t}\operatorname {In}$의 이미지는, ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$에 의해 표시되며, 분포의 공간을 형성합니다. ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$의 원소는 순서 $\,\leq k$의 분포 입니다. 순서 $\,\leq 0$의 분포는, 역시 순서 0의 분포라고 불리며, 정확하게 라돈 측정인 분포입니다 (위에서 설명함).

$0\neq k\in \mathbb {N}$에 대해, 순서 k의 분포는 순서 $\,\leq k-1$의 분포가 아닌 순서 $\,\leq k$의 분포입니다.

분포는 만약 그것이 순서 $\,\leq k$의 분포임을 만족하는 일부 정수 $k$가 있으면 유한 순서의 것이라고 말하고, 유한 순서의 분포의 집합은 ${\mathcal {D}}'^{F}(U)$에 의해 표시됩니다. 만약 $k\leq l$이면 ${\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)$가 ${\mathcal {D}}'(U)$의 벡터 부분공간이 되도록 ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$이고, 게다가 ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U)$와 필요충분 조건임을 주목하십시오.

Structure of distributions of finite order

U에서 컴팩트 지원을 갖는 모든 각 분포는 유한 순서의 분포입니다. 실제로, U에서 모든 각 분포는 다음과 같은 의미에서 지역적 유한 차수의 분포입니다: 만약 V가 열린 것이고 U의 상대적으로 컴팩트 부분집합이고 $\rho _{VU}$가 U에서 V로의 제한 매핑이면, $\rho _{VU}$ 아래에서 ${\mathcal {D}}'(U)$의 이미지는 ${\mathcal {D}}'^{F}(V)$에 포함됩니다.

다음은 유한 차수의 분포의 구조의 정리이며, 이는 모든 각 유한 차수의 분포가 라돈 측정(Radon measures)의 도함수의 합으로 쓸 수 있음을 보여줍니다:

Theorem — $T\in {\mathcal {D}}'(U)$가 유한 차수를 가지고 $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}$라고 가정합니다. $T$의 지원을 포함하는 U의 임의의 열린 부분집합 V가 주어졌을 때, 모든 각 $p\in I$에 대해, $\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V$와 다음을 만족하는 U에서 라돈 측정의 가족, $(\mu _{p})_{p\in I}$이 있습니다: $$T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$$

Example. (무한 순서의 분포) $U:=(0,\infty )$라고 놓고 모든 각 테스트 함수 $f$에 대해, 다음이라고 놓습니다: $$Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$$

그런-다음 $S$는 U 위의 무한 차수의 분포입니다. 게다가, $S$는 $\mathbb {R}$ 위에 분포로 확장될 수 없습니다; 즉, $T$의 U로의 제한이 $S$와 같음을 만족하는 $\mathbb {R}$ 위에 분포 $T$는 존재하지 않습니다.

Tempered distributions and Fourier transform

"Tempered distribution" redirects here. For tempered distributions on semisimple groups, see Tempered representation.

완화된 분포는 아래에 정의되며, 이는 ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 분포의 공간의 부분공간을 형성합니다. 이것은 적절한 부분공간입니다: 모든 각 완화된 분포는 ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$의 분포와 원소이지만, 그 전환은 참이 아닙니다. 완화된 분포는 만약 모든 완화된 분포가 푸리에 변환(Fourier transform)을 가지기 때문에 푸리에 변환을 연구하면 유용하며, 이는 ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$에서 임의적인 분포에 대해 참은 아닙니다.

Schwartz space

슈바르츠 공간(Schwartz space) ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$은 모든 부분 도함수를 따라 빠르게 감소하는 모든 매끄러운 함수의 공간입니다. 따라서 $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$는, 슈바르츠 공간에서 $|x|$의 임의의 거듭제곱을 곱한 $\phi$의 임의의 도함수가 $|x|\to \infty$일 때 영으로 수렴하는 것으로 제공됩니다. 이들 함수는 적절하게 정의된 반노름(seminorms)의 가족을 갖는 완비 TVS를 형성합니다. 보다 정확하게, 임의의 다중-인덱스(multi-indices) $\alpha$와 $\beta$에 대해 다음을 정의합니다: $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$$

그런-다음 $\phi$는 is 모든 값이 다음을 만족시키면 슈바르츠 공간에 있습니다: $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .$$

반노름 $p_{\alpha ,\beta }$의 가족은 슈바르츠 공간 위에 지역적으로 볼록(locally convex) 토폴로지를 정의합니다. $n=1$에 대해, 반노름은, 사실, 슈바르츠 공간 위의 노름(norms)입니다. 역시 토폴로지를 정의하기 위한 반노름의 다음 가족을 사용합니다: $$|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .$$

그렇지 않으면, 다음을 통해 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 위의 노름을 정의할 수 있습니다: $$\|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$$

슈바르츠 공간은 프레셰 공간(Fréchet space, 즉, 완비 메트릭-가능(metrizable) 지역적 볼록 공간)입니다. 푸리에 변환(Fourier transform)은 $\partial ^{\alpha }$를 $x^{\alpha }$의 곱셈으로 변경하고 그 반대도 마찬가지이기 때문에, 이 대칭은 슈바르츠 함수의 푸리에 변환도 슈바르츠 함수임을 의미합니다.

${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$에서 수열 $\{f_{i}\}$가 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$에서 0으로 수렴하는 것과 함수 $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$가 $\mathbb {R} ^{n}$의 전체에서 균등하게 0으로 수렴하는 것은 필요충분 조건이며, 이는 그러한 수열이 $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$에서 영으로 수렴해야 함을 의미합니다.

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$은 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$에서 조밀합니다. 모든 해석적 슈바르츠 함수의 부분집합은 마찬가지로 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$에서 조밀합니다.

슈바르츠 공간은 핵(nuclear)이고 두 개의 맵의 텐서 곱은 정식의 전사적 TVS-동형을 유도합니다: $${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),$$ 여기서 ${\widehat {\otimes }}$는 단사 텐서 곱(injective tensor product)의 완비를 나타냅니다 (이 경우에서 투영 텐서 곱(projective tensor product)의 완비와 동일합니다).

Tempered distributions

포함 맵 $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$은 그 이미지가 코도메인에서 조밀한 연속 단사이므로, 전치(transpose) ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$도 연속 단사입니다. 따라서, 전치 맵의 이미지는, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$에 의해 표시되며, 분포의 공간을 형성합니다.

공간 ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$은 완화된 분포의 공간이라고 불립니다. 그것은 슈바르츠 공간의 연속 이중 공간(continuous dual space)입니다. 동등하게, 분포 $T$가 완화된 분포인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:$$\left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.$$

완화된 분포의 도함수는 다시 완화된 분포입니다. 완화된 분포는 경계진 (또는 느리게-성장하는) 지역적으로 적분-가능 함수를 일반화합니다; 컴팩트 지원과 모든 제곱-적분가능(square-integrable) 함수를 갖는 모든 분포는 완화된 분포입니다. 보다 일반적으로, $p\geq 1$에 대해 Lp 공간 $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$의 원소를 갖는 다항식의 곱인 모든 함수는 완화된 분포입니다.

완화된 분포는 역시 느리게 성장하는 것으로 특징지을 수 있으며, $T$의 각 도함수는 기껏해야 일부 다항식(polynomial)만큼 빠르게 성장함을 의미합니다. 이 특성화는 슈바르츠 공간에서 함수의 도함수의 빠르게 떨어지는 행동에 이중적이며, 여기서 $\phi$의 각 도함수는 $|x|$의 모든 각 역 거듭제곱보다 빠르게 감소합니다. 빠르게 떨어지는 함수의 예제는 임의의 양의 $n,\lambda ,\beta$에 대해 $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$입니다.

Fourier transform

푸리에 변환을 연구하기 위해, 복소-값 테스트 함수와 복소-선형 분포를 고려하는 것이 가장 좋습니다. 보통의 연속 푸리에 변환(continuous Fourier transform) $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$은 슈바르츠 공간의 TVS-자기동형(automorphism)이고, 푸리에 변환은 전치(transpose) ${}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$으로 정의되며, (남용하는 표기법)은 다시 $F$에 의해 표시될 것입니다. 따라서 완화된 분포 $T$의 푸리에 변환은 모든 각 슈바르츠 함수 $\psi$에 대해 $(FT)(\psi )=T(F\psi )$에 의해 정의됩니다. 따라서 $FT$는 다시 완화된 분포입니다. 푸리에 변환은 완화된 분포 공간에서 자체 위로의 TVS 동형입니다. 이 연산은 다음과 같은 의미에서 미분과 호환될 수 있습니다: $$F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT$$ 그리고 역시 합성곱과 호환될 수 있습니다: 만약 $T$가 완화된 분포이고 $\psi$가 $\mathbb {R} ^{n},$ 위에 약하게 증가하는 매끄러운 함수이면, $\psi T$는 다시 완화된 분포이고 다음은 $$F(\psi T)=F\psi *FT$$ $FT$와 $F\psi$의 합성곱입니다. 특히, 1과 같은 상수 함수의 푸리에 변환은 $\delta$ 분포입니다.

Expressing tempered distributions as sums of derivatives

만약 $T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$가 완화된 분포이면, 모든 슈바르츠 함수(Schwartz functions) $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$에 대해 다음임을 만족하는 상수 $C>0,$ 및 양의 정수 $M$과 $N$이 존재합니다: $$\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).$$

이 추정은, 함수형 해석학(functional analysis)의 일부 기술과 함께, 다음임을 만족하는 연속 느리게 증가하는 함수 $F$와 다중-인덱스 $\alpha$가 있음을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다: $$T=\partial ^{\alpha }F.$$

Restriction of distributions to compact sets

만약 $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$이면, 임의의 컴팩트 집합 $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 대해, $C_{c}^{\infty }(K)$ 위에 $T=\partial ^{\alpha }F$임을 만족하는 (아마도 K 자체보다 더 큰 집합 위에) $\mathbb {R} ^{n}$에서 컴팩트하게 지원된 연속 함수 $F$와 다중-인덱스 $\alpha$가 존재합니다.

Using holomorphic functions as test functions

그 이론의 성공은 정칙 함수(holomorphic functions)의 공간이 테스트 함수로 사용되는 초함수(hyperfunction)의 아이디어에 대한 조사로 이어졌습니다. 정제된 이론, 특히 미키오 사토(Mikio Sato)의 대수적 해석학(algebraic analysis)은 뭉치 이론(sheaf theory)과 여러 복소 변수(several complex variables)를 사용하여 개발되어 왔습니다. 이것은, 예를 들어, 파인만 적분(Feynman integrals)과 같은 엄격한 수학으로 만들 수 있는 기호적 방법의 범위를 확장합니다.

See also

• Cauchy principal value
• Gelfand triple
• Gelfand–Shilov space
• Generalized function
• Hilbert transform
• Homogeneous distribution
• Laplacian of the indicator
• Limit of distributions
• Mollifier
• Vague topology

Differential equations related

• Fundamental solution – Concept in the solution of linear partial differential equations – Concept in the solution of linear partial differential equations
• Pseudo-differential operator
• Weak solution – Mathematical solution – Mathematical solution

Generalizations of distributions

• Colombeau algebra
• Current (mathematics)
• Distribution (number theory)
• Distribution on a linear algebraic group
• Green's function
• Hyperfunction
• Malgrange–Ehrenpreis theorem

Bibliography

• Barros-Neto, José (1973). An Introduction to the Theory of Distributions. New York, NY: Dekker.
• Benedetto, J.J. (1997), Harmonic Analysis and Applications, CRC Press.
• Folland, G.B. (1989). Harmonic Analysis in Phase Space. Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Friedlander, F.G.; Joshi, M.S. (1998). Introduction to the Theory of Distributions. Cambridge, UK: Cambridge University Press..
• Gårding, L. (1997), Some Points of Analysis and their History, American Mathematical Society.
• Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E. (1966–1968), Generalized functions, vol. 1–5, Academic Press.
• Grubb, G. (2009), Distributions and Operators, Springer.
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
• Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions. Addison-Wesley series in mathematics. Vol. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Petersen, Bent E. (1983). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. Boston, MA: Pitman Publishing..
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schwartz, Laurent (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", C. R. Acad. Sci. Paris, 239: 847–848.
• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des distributions, vol. 1–2, Hermann.
• Sobolev, S.L. (1936), "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales", Mat. Sbornik, 1: 39–72.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Woodward, P.M. (1953). Probability and Information Theory with Applications to Radar. Oxford, UK: Pergamon Press.

Further reading

• M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
• V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, space of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function, derivative of a", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, product of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Generalized function algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.