Hölder condition

수학(mathematics)에서, d-차원 유클리드 공간(Euclidean space) 위에 실수-값 또는 복소수-값 함수 f는 f의 도메인에서 모든 x와 y에 대해 다음을 만족하는 비-음의 실수 상수 C, α>0가 있을 때, 훨더 조건(Hölder condition)을 만족시키거나, 훨더 연속(Hölder continuous)입니다:

|f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }

.

보다 일반적으로, 그 조건은 임의의 두 메트릭 공간(metric space) 사이의 함수에 대해 공식화될 수 있습니다. 숫자 α는 훨더 조건의 지수라고 합니다. α > 1를 갖는 조건을 만족시키는 구간 위에 함수는 상수(constant)입니다. 만약 α = 1이면, 함수는 라이프니츠 조건(Lipschitz condition)을 만족시킵니다. 임의의 α > 0에 대해, 조건은 함수가 균등하게 연속(uniformly continuous)임을 의미합니다. 그 조건은 오토 횔더(Otto Hölder)의 이름을 따서 지어졌습니다.

우리는 실제 직선의 닫히고 경계진 비-자명한 구간에 걸쳐 함수에 대해 엄격한 포함의 다음 체인을 가집니다:

연속적으로 미분가능 ⊂ 라이프니츠 연속 ⊂ α-훨더 연속 ⊂ 균등하게 연속 = 연속

여기서 0 < α ≤ 1.

Hölder spaces

훨더 조건을 만족시키는 함수들로 구성하는 훨더 공간은 부분 미분 방정식(partial differential equations) 푸는 것과 관련된 함수형 해석학(functional analysis)의 영역과 동역학적 시스템(dynamical system)의 기본입니다. 훨더 공간 C^k,α(Ω)은, 여기서 Ω는 일부 유클리드 공간의 열린 부분집합이고 k ≥ 0은 정수이며, 차수 k까지 연속 도함수(derivative)와 k번째 부분 도함수가 지수 α를 갖는, 여기서 0 < α ≤ 1, 훨더 연속임을 만족하는 Ω에 대한 그것들의 함수로 구성됩니다. 이것은 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)입니다. 만약 다음 훨더 계수가

|f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x\neq y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{\|x-y\|^{\alpha }}},

유한이면, 함수 f는 Ω에서 지수 α를 갖는 (균등하게) 훨더 연속이라고 말합니다. 이 경우에서, 훨더 계수가 반노름(seminorm)으로 사용됩니다. 만약 훨더 계수가 단지 Ω의 컴팩트(compact) 부분집합 위에 경계진 것이면, 함수 f는 Ω에서 지수 α를 갖는 지역적으로 훨더 연속이라고 말합니다.

만약 함수 f와 차수까지 그것의 도함수가 Ω의 클로저 위에 경계지면, 훨더 공간 $C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})$ 은 다음 노름에 할당될 수 있습니다:

\|f\|_{C^{k,\alpha }}=\|f\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}

여기서 β는 다중-인덱스(multi-index)에 걸쳐 변화하고 다음입니다:

\|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.

이들 반노름과 노름은 종종 간단히 $|f|_{0,\alpha }$ 와 $\|f\|_{k,\alpha }$ 또는 f의 도메인 위에 의존성을 강조하기 위해 역시 $|f|_{0,\alpha ,\Omega }\;$ 와 $\|f\|_{k,\alpha ,\Omega }$ 로 표시될 수 있습니다. 만약 Ω가 열린 및 경계진 것이면, $C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})$ 는 노름 $\|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}$ 에 관한 바나흐 공간(Banach space)입니다.

Compact embedding of Hölder spaces

Ω를 일부 유클리드 공간 (또는 보다 일반적으로, 임의의 전체적으로 경계진 메트릭 공간)의 경계진 부분집합으로 놓고 0 < α < β ≤ 1를 둘의 훨더 지수라고 놓습니다. 그런-다음, 해당하는 훨더 공간의 분명한 포함 맵이 있습니다:

C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),

이것은 연속인데, 왜냐하면, 훨더 노름의 정의에 의해, 우리는 다음을 가집니다:

\forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.

게다가, 이 포함은 컴팩트이며, ‖ · ‖_0,β 노름에서 경계진 집합이 ‖ · ‖_0,α 노름에서 보다 상대적으로 컴팩트라는 의미힙니다. 이것은 아르첼라-아스콜리 정리(Arzelà-Ascoli theorem)의 직접 결과입니다. 실제로, (u_n)를 C^0,β(Ω)에서 경계진 수열이라고 놓습니다. 첼라-아스콜리 정리 덕분에, 우리는 일반성의 손실 없이 균등하게 u_n → u임을 가정할 수 있고, 역시 u = 0을 가정할 수 있습니다. 그런-다음 다음인데

|u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0,

왜냐하면 다음이기 때문입니다:

{\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).

Examples

만약 0 < α ≤ β ≤ 1이면 경계진 집합 Ω 위에 모든 $C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})$ 훨더 연속 함수는 역시 $C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})$ 훨더 연속입니다. 이것은 역시 β = 1을 포함하고 따라서 경계진 집합 위에 모든 립시츠 연속(Lipschitz continuous) 함수는 역시 C^0,α 훨더 연속입니다.

[0, 1] 위에 (β ≤ 1을 갖는) 함수 f(x) = x^β는 0 < α ≤ β에 대해 C^0,α 훨더 연속이지만, α > β에 그렇지 않은 함수의 원형적 예제로 사용됩니다. 나아가서, 만약 우리가 $[0,\infty )$ 위에 유사하게 f를 정의했으면, 그것은 오직 α = β에 대해 C^0,α 훨더 연속였을 것입니다.

α > 1에 대해, [0, 1] (또는 임의의 구간) 위에 임의의 α–훨더 연속 함수는 상수입니다.

임의의 α에 대해 α–훨더 연속이 아닌 균등하게 연속 함수의 예제가 있습니다. 예를 들어, f(0) = 0과 그렇지 않으면 f(x) = 1/log(x)에 의해 [0, 1/2] 위에 정의된 함수는 연속이고, 따라서 하이네–칸토어 정리(Heine–Cantor theorem)에 의해 균등하게 연속입니다. 그것은 어쨌든 임의의 차수의 훨더 연속을 만족시키지 않습니다.

다음에 의해 정의된 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)는:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),

여기서

0<a<1,b

는 정수,

b\geq 2

와

ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}}

이며, 다음을 갖는 α–훨더 연속입니다:

\alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.

^[1]

칸토어 함수(Cantor function)는 임의의 지수 $\alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}}$ 에 대해, 및 일보다 크지 않은 지수에 대해 훨더 연속입니다. 전자 경우에서, 정의의 부등식은 상수 C := 2와 함께 유지됩니다.

[0, 1]에서 정사각형 [0, 1]² 위로의 페아노 곡선(Peano curve)은 1/2–훨더 연속이도록 구성될 수 있습니다. $\alpha >{\tfrac {1}{2}}$ 일 때 단위 구간에서 정사각형으로 α–훨더 연속 함수의 이미지가 그 정사각형을 채울 수 없음을 입증할 수 있습니다.

브라운 운동(Brownian motion)의 표본 경로는 모든 각 $\alpha <{\tfrac {1}{2}}$ 에 대해 거의 확실하게 모든 곳에서 지역적으로 α–훨더입니다.

지역적으로 적분가능이고 그것의 적분이 성장 조건을 만족시키는 함수는 역시 훨더 연속입니다. 예를 들어, 만약 우리가 다음으로 놓고

u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)dy

u가 다음을 만족시키면

\int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },

u는 지수 α를 갖는 훨더 연속입니다.^[2]

그것의 진동이 거리에 관해 고정된 율에서 감쇠하는 함수는 감쇠율에 의해 결정되는 지수를 갖는 훨더 연속입니다. 예를 들어, 만약 일부 함수 u(x)에 대해 다음이

w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u

0 < λ < 1를 갖는 고정된 λ와 r의 모든 충분하게 작은 값에 대해 다음을 만족시키면,

w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)

u는 훨더 연속입니다.

소볼레프 공간(Sobolev space)에서 함수는 만약 공간 차원이 소볼레프 공간의 지수보다 작으면 모리의 부등식(Morrey's inequality)을 통해 적절한 훨더 공간으로 삽입될 수 있습니다. 정확히 말하자면, 만약 $n<p\leq \infty$ 이면 다음을 만족하는 오직 p와 n에 의존하는 상수 C가 존재합니다:

\forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},

여기서

\gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.

따라서 만약 u ∈ W^{1, p}(Rⁿ)이면, u는 아마도 측정 0의 집합 위에 재정의된 후 실제로 지수 γ의 훨더 연속입니다.

Properties

α > 1/2를 갖는 α–훨더 연속 호에 의해 연결된 무한 차원 힐베르트 공간 H의 닫힌 덧셈 부분그룹은 선형 부분공간입니다. 1/2–훨더 연속 호에 의해 연결된 선형 부분공간이 아닌 H의 닫힌 덧셈 부분그룹이 있습니다. 한 가지 예제는 힐베르트 공간 L²(R, R)의 덧셈 부분그룹 L²(R, Z)입니다.

메트릭 공간 X 위에 임의의 α–훨더 연속 함수 f는 f_k가 k–립시츠이고 다음을 만족하는 함수 (f_k)의 수열에 의해 립시츠 근사(Lipschitz approximation)를 수용합니다:

\|f-f_{k}\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).

반대로, 립시츠 함수의 임의의 그러한 수열 (f_k)은 α–훨더 연속 균등 극한 f로 수렴합니다.

노름된 공간 E의 부분집합 X 위에 임의의 α–훨더 함수 f는 같은 상수 C와 같은 지수 α를 갖는 훨더 연속인 전체 공간으로 균등하게 연속 확장(uniformly continuous extension)을 수용합니다. 가장 큰 그러한 확장은 다음입니다:

f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.

임의의 α–훨더 함수의 이미지는 하우스도르프 차원 많아야 ${\tfrac {1}{\alpha }}$ 를 가집니다.

공간 $C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1$ 은 분리가능이 아닙니다.

삽입하는 $C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1$ 는 조밀한 것이 아닙니다.

Notes

^ Hardy, G. H. “Weierstrass's Non-Differentiable Function.” Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17, no. 3, 1916, pp. 301–325. JSTOR, JSTOR, www.jstor.org/stable/1989005.
^ See, for example, Han and Lin, Chapter 3, Section 1. This result was originally due to Sergio Campanato.

References

Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. New York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Elliptic Partial Differential Equations. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences. ISBN 0-9658703-0-8. OCLC 38168365{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link) MR1669352

[1] Hardy, G. H. “Weierstrass's Non-Differentiable Function.” Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17, no. 3, 1916, pp. 301–325. JSTOR, JSTOR, www.jstor.org/stable/1989005.

[2] See, for example, Han and Lin, Chapter 3, Section 1. This result was originally due to Sergio Campanato.

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