Hyperinteger

비-표준 해석학(nonstandard analysis)에서, 초정수(hyperinteger) n은 그것 자체의 정수 부분(integer part)과 같은 초실수(hyperreal number)입니다. 초정수는 유한하거나 무한일 수 있습니다. 유한 초정수는 보토의 정수(integer)입니다. 무한 초정수의 예제는 초실수의 극단-거듭제곱(ultrapower) 구성에서 수열(sequence) (1, 2, 3, ...)의 클래스에 의해 제공됩니다.

Discussion

표준 정수 부분 함수(function)는:

\lfloor x\rfloor

모든 실수(real) x에 대해 정의되고 x를 초과히지 않는 가장 큰 정수와 같습니다. 비-표준 해석학에서 전달 원리(transfer principle)에 의해, 자연스러운 확장이 존재합니다:

{}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor

위의 것은 모든 초실수 x에 대해 정의되고, 우리는 x가 만약 $x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor$ 이면 초정수라고 말합니다. 따라서 초정수는 초실수 위에 정수 부분 함수의 이미지(image)입니다.

Internal sets

모든 초정수의 집합 $^{*}\mathbb {Z}$ 은 초실수 직선 $^{*}\mathbb {R}$ 의 내부 부분집합(internal subset)입니다. 모든 유한 초정수의 집합 (즉, $\mathbb {Z}$ 자체)은 내부 부분집합이 아닙니다. 여집합 $^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z}$ 의 원소는 저자에 따라, 비표준(nonstandard), 무제한(unlimited), 또는 무한(infinite) 초정수라고 불립니다. 무한 초정수의 역수는 항상 무한소(infinitesimal)입니다.

비-음의 초정수는 때때로 초자연수라고 불립니다. 유사한 말은 집합 $\mathbb {N}$ and $^{*}\mathbb {N}$ 에 적용됩니다. 후자는 스콜렘(Skolem)의 의미에서 비-표준 산술의 모델(non-standard model of arithmetic)을 제공합니다.

References

Howard Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html