Hypersurface

기하학(geometry)에서, 초표면(hypersurface)은 초평면(hyperplane), 평면 곡선(plane curve), 및 표면(surface)의 개념을 일반화한 것입니다. 초표면은 차원 $n$ 의 주변 공간, 일반적으로 유클리드 공간(Euclidean space), 아핀 공간(affine space), 또는 투영 공간(projective space)에 삽입된 차원 $n - 1$ 의 매니폴드(manifold) 또는 대수적 다양체(algebraic variety)입니다.^[1] 초표면은, 3차원 공간에서 표면과 함께, 적어도 (모든 점 근처에서) 지역적으로, 때로는 전역적으로 단일 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의되는 속성을 공유합니다.

차원 2의 (유클리드, 아핀, 또는 투영) 공간에서 초표면은 평면 곡선입니다. 3차원 공간에서, 그것은 표면입니다.

예를 들어, 다음 방정식은

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

차원 $n$ 의 유클리드 공간에서 차원 $n - 1$ 의 대수적 초표면을 정의합니다. 이 초표면은 역시 매끄러운 매니폴드이고, 초구(hypersphere) 또는 $(n - 1)$ -구라고 불립니다.

Smooth hypersurface

매끄러운 매니폴드(smooth manifold)인 초표면은 매끄러운 초표면(smooth hypersurface)이라고 불립니다.

$R n$ 에서, 매끄러운 초표면은 방향-가능(orientable)입니다.^[2] 모든 각 연결된 컴팩트 매끄러운 초표면은 수준 집합(level set)이고, $R n$ 을 두 개의 연결된 구성 요소로 분리합니다; 이것은 조르당-브라우어르 분리 정리(Jordan–Brouwer separation theorem)와 관련이 있습니다.^[3]

Affine algebraic hypersurface

대수적 초표면(algebraic hypersurface)은 다음 형식의 단일 암시적 방정식에 의해 정의될 수 있는 대수적 다양체(algebraic variety)입니다:

p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,

여기서 $p$ 는 다변수 다항식(multivariate polynomial)입니다. 일반적으로 다항식은 기약(irreducible)이라고 가정합니다. 이것이 그 경우가 아닐 때, 초표면은 대수적 다양체가 아니라, 대수적 집합(algebraic set)일 뿐입니다. 기약 다항식이 초표면을 정의하는지 여부는 저자 또는 문맥에 따라 달라질 수 있습니다. 모호함을 피하기 위해, 기약 초표면(irreducible hypersurface)이라는 용어가 종종 사용됩니다.

대수적 다양체에 관해서, 정의하는 다항식의 계수는 임의의 고정된 필드(field) $k$ 에 속할 수 있고, 초표면의 점은 아핀 공간(affine space) $K^{n}$ 에서 $p$ 의 영들(zeros)이며, 여기서 $K$ 는 $k$ 의 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)입니다.

초표면은 정의 다항식과 그 부분 도함수의, 어떤 것이라고 있다면, 공통 영들인 특이점(singularities)을 가질 수 있습니다. 특히, 실수 대수적 초표면은 반드시 매니폴드일 필요는 없습니다.

Properties

초표면은 다른 대수적 다양체와 공유되지 않는 몇 가지 특정 속성을 가집니다.

그러한 주요 속성 중 하나는 힐베르트 영점-정리(Hilbert's Nullstellensatz)로, 초표면이 주어진 대수적 집합(algebraic set)을 포함하는 것과 초표면의 정의하는 다항식이 대수적 집합의 정의하는 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하는 거듭제곱을 가지는 것은 필요충분 조건이라고 주장합니다.

이 정리의 따름정리는, 두 개의 기약 다항식 (또는 더 일반적으로 두 개의 제곱-없는 다항식)이 같은 초표면을 정의하면, 하나는 비-영 상수에 의해 다른 하나의 곱이라는 것입니다.

초표면은 정확히 $n$ 의 차원의 아핀 공간(affine space)의 차원 $n - 1$ 의 부분다양체입니다. 이것은 필드에 걸쳐 다항식 링에서, 아이디얼(ideal)의 높이(height)가 1인 것과 그 아이디얼이 주요 아이디얼(principal ideal)인 것은 필요충분 조건이라는 사실에 대한 기하학적 해석입니다. 아마도 비기약 초표면의 경우에서, 이 결과는 다음과 같이 다시 설명될 수 있습니다: 초표면은 정확하게 모든 기약 구성 요소의 차원 $n - 1$ 을 가지는 대수적 집합입니다.

Real and rational points

실수 초표면(real hypersurface)은 실수(real) 계수를 갖는 다항식에 의해 정의되는 초표면입니다. 이 경우에서, 점이 정의되는 대수적으로 닫힌 필드는 일반적으로 복소수의 필드 $\mathbb {C}$ 입니다. 실수 초표면의 실수 점(real points)은 $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}$ 에 속하는 점입니다. 실수 초표면의 실수 점의 집합은 초표면의 실수 부분(real part)입니다. 초표면이라는 용어가 모든 점을 가리키는지 아니면 실수 부분만 가리키는지 여부는 종종 문맥에 맡겨집니다.

만약 정의하는 다항식의 계수가 대수적으로 닫히지 않은 필드 $k$ (전형적으로 유리수의 필드, 유한 필드 또는 숫자 필드)에 속하면, 초표면이 $k$ 에 걸쳐 정의되고, $k^{n}$ 에 속하는 점은 $k$ 에 걸쳐 유리수라고 말합니다 (유리수 필드의 경우에서, " $k$ 에 걸쳐"는 일반적으로 생략됩니다).

예를 들어, 다음 방정식에 의해 정의된 허수 $n$ -구는

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

유리수에 걸쳐 정의되는 임의의 실수 점 없이 실수 초표면입니다. 그것은 유리수 점을 가지지 않지만, 가우스 유리수(Gaussian rationals)에 걸쳐 유리수인 많은 점을 가집니다.

Projective algebraic hypersurface

필드 $k$ 에 걸쳐 차원 $n$ 의 투영 공간(projective space)에서 차원 $n - 1$ 의 투영 (대수적) 초표면은 $n + 1$ 불확정에서 동차 다항식(homogeneous polynomial) $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 에 의해 정의됩니다. 평소와 같이, 동차 다항식은 $P$ 의 모든 단항식(monomials)이 같은 차수를 가지거나, 동등하게, 모든 상수 $c$ 에 대해 $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 임을 의미하며, 여기서 $d$ 는 다항식의 차수입니다. 초표면의 점은 투영 좌표(projective coordinates)가 $P$ 의 영들인 투영 공간의 점입니다.

만약 방정식 $x_{0}=0$ 의 초평면(hyperplane)을 무한대에서 초평면(hyperplane at infinity)으로 선택하면, 이 초평면의 여집합은 아핀 공간(affine space)이고, 이 아핀 공간에 속하는 투영 초표면의 점들은 방정식 $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 의 아핀 초표면을 형성합니다. 반대로, 방정식 $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 의 아핀 초표면이 주어졌을 때, 그것은 $p$ 를 동차화(homogenizing)함으로써 방정식을 구하는 투영 완비(projective completion)라고 불리는 투영 초표면을 정의합니다. 즉, 투영 완비의 방정식은 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 이고, 다음을 가집니다:

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

여기서 $d$ 는 $P$ 의 차수입니다.

이들 두 과정 투영 완비와 아핀 부분 공간에 대한 제한은 서로 역입니다. 그러므로, 아핀 초표면과 그 투영 완비는 본질적으로 같은 속성을 가지고, 종종 같은 초표면에 대한 두 개의 관점으로 고려됩니다.

어쨌든, 아핀 초표면은 비특이(nonsingular)인 반면, 투영 완비는 특이점을 가지도록 발생할 수 있습니다. 이 경우에서, 아핀 표면이 무한대에서 특이(singular at infinity)하다고 말합니다. 예를 들어, 차원 3의 아핀 공간에서 다음 방정식의 원형 원기둥(circular cylinder)은

x^{2}+y^{2}-1=0

$x = 0, y = 0$ 방향으로 무한대에 있는 고유한 특이점을 가집니다.

References

^ Lee, Jeffrey (2009). "Curves and Hypersurfaces in Euclidean Space". Manifolds and Differential Geometry. Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
^ Hans Samelson (1969) "Orientability of hypersurfaces in Rⁿ", Proceedings of the American Mathematical Society 22(1): 301,2
^ Lima, Elon L. (1988). "The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces". The American Mathematical Monthly. 95 (1): 39–42. doi:10.1080/00029890.1988.11971963.

"Hypersurface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
P.A. Simionescu & D. Beal (2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable (objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.

[1] Lee, Jeffrey (2009). "Curves and Hypersurfaces in Euclidean Space". Manifolds and Differential Geometry. Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[2] Hans Samelson (1969) "Orientability of hypersurfaces in Rⁿ", Proceedings of the American Mathematical Society 22(1): 301,2

[Lima-3] Lima, Elon L. (1988). "The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces". The American Mathematical Monthly. 95 (1): 39–42. doi:10.1080/00029890.1988.11971963.

[1]

[2]

[3]