Ideal (order theory)

수학적 순서 이론(order theory)에서, 아이디얼(ideal)은 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set, poset)의 특수한 부분-집합입니다. 비록 이 용어는 역사적으로 추상 대수학(abstract algebra)의 링 아이디얼(ring ideal)의 개념에서 파생되었지만, 이후에 다른 개념으로 일반화되어 왔습니다. 아이디얼은 순서와 격자 이론(lattice theory)의 많은 구성에서 매우 중요합니다.

Basic definitions

부분적으로 순서화된 집합 $(P, \leq)$ 의 부분집합 $I$ 는 만약 다음 조건을 유지하면 아이디얼(ideal)입니다:^[1]^[2]

$I$ 는 비-빈(non-empty)입니다,
$I$ 에서 모든 각 x와 P에서 모든 각 y에 대해, $y \leq x$ 는 y가 $I$ 안에 있음을 의미합니다 ( $I$ 는 아래쪽 집합(lower set)입니다),
$I$ 에서 모든 각 x, y에 대해, $x \leq z$ 와 $y \leq z$ 를 만족하는 $I$ 에서 일부 원소 z가 있습니다 ( $I$ 는 방향화된 집합(directed set)입니다).

이것은 임의적인 포셋에 대해 아이디얼을 정의하는 가장 일반적인 방법이지만, 원래는 격자(lattices)에 대해서만 정의되었습니다. 이 경우에서, 다음 동등한 정의가 제공될 수 있습니다: 격자 (P, ≤)의 부분 집합 $I$ 이 아이디얼인 것과 그것이 유한 접합 (상한) 아래에서 닫혀 있는 아래쪽 집합, 즉, 그것이 비-빈이고 $I$ 에서 x, y에 대해, P의 원소 $x\vee y$ 는 역시 $I$ 안에 있는 것은 필요충분 조건입니다.^[3]

아이디얼의 이중(dual) 개념, 즉, 모든 ≤를 반전하고 $\vee$ 와 $\wedge$ 를 서로 교환함으로써 얻어진 개념은 필터(filter)입니다.

일부 저자는 아이디얼이라는 용어를 아래쪽 집합, 즉, 위의 조건 2만 포함하도록 사용하지만,^[4]^[5] 다른 저자는 이 약한 개념에 대해 순서 아이디얼(order ideal)이라는 용어를 사용합니다.^[6] 더 약한 정의와 함께, 포셋으로 보이는 격자의 아이디얼은 접합 아래에서 닫혀 있지 않으므로, 반드시 격자의 아이디얼인 것은 아닙니다. 다움위키는 혼동을 피하기 위해 "(순서 이론의) 아이디얼/필터"와 "아래쪽/위쪽 집합"만 사용합니다.

프링크 아이디얼(Frink ideals), 유사-아이디얼(pseudoideals), 및 도일 유사-아이디얼(Doyle pseudoideals)은 격자 아이디얼 개념의 다른 일반화입니다.

아이디얼 또는 필터는 전체 집합 P와 같지 않으면 적절한(proper) 것이라고 말합니다.^[3]

주어진 원소 p를 포함하는 가장 작은 아이디얼은 주요 아이디얼(principal ideal)이고 p는 이 상황에서 아이디얼의 주요 원소(principal element)라고 말합니다. 주요 p에 대해 주요 아이디얼 $\downarrow p$ 는 따라서 $↓ p = {x \in P | x \leq p}$ 에 의해 제공됩니다.

Prime ideals

아이디얼의 중요한 특별한 경우는 집합-이론적 여집합이 필터, 즉, 반대 순서의 아이디얼에 의해 구성됩니다. 그러한 아이디얼은 소수 아이디얼(prime ideals)이라고 불립니다. 역시 아이디얼과 필터를 비-빈인 것으로 요구하기 때문에, 모든 각 소수 아이디얼(prime ideal)은 반드시 적절한 것입니다. 격자에 대해, 소수 아이디얼은 다음과 같이 특성화될 수 있습니다:

격자 $(P, \leq)$ 의 부분-집합 $I$ 는 소수 아이디얼인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:

$I$ 는 P의 적절한 아이디얼입니다, 그리고
P의 모든 원소 x와 y에 대해, $I$ 에서 $x\wedge y$ 는 $x \in I$ 또는 $y \in I$ 임을 의미합니다.

이것이 $P \ I$ 가 필터 (이중 의미에서 소수이기도 함)라고 말하는 것과 실제로 동등하다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

완비 격자(complete lattice)에 대해, 완전히 소수 아이디얼(completely prime ideal)이라는 추가 개념이 의미가 있습니다. 그것은 일부 임의적인 집합 $A$ 의 만남 (하한)이 $I$ 에 있을 때마다 A의 일부 원소도 $I$ 에 있다는 추가 속성을 갖는 적절한 아이디얼 $I$ 로 정의됩니다. 따라서 이것은 위의 조건을 무한 만남으로 확장하는 특정 소수 아이디얼일 뿐입니다.

소수 아이디얼의 존재는 일반적으로 명확하지 않고, ZF (선택 공리(axiom of choice) 없이 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)) 내에서 종종 만족스러운 양의 소수 아이디얼이 도출될 수 없습니다. 이 문제는 소수 아이디얼을 필요로 하는 많은 응용에 필요한 다양한 소수 아이디얼 정리(prime ideal theorems)에서 논의됩니다.

Maximal ideals

아이디얼 $I$ 는 만약 그것이 적절한 것이고 $I$ 의 엄격한 초월집합 집합인 적절한 아이디얼 J가 없으면 최대(maximal)입니다. 마찬가지로, 필터 F는 만약 그것이 적절한 것이고 엄격한 초월집합인 적절한 필터가 없으면 최대입니다.

포셋이 분포 격자(distributive lattice)일 때, 최대 아이디얼과 필터가 반드시 소수이지만, 이 명제의 전환은 일반적으로 거짓입니다.

최대 필터는 때때로 극단-필터(ultrafilters)라고도 하지만, 이 용어는 종종 부울 대수에 대해 예약되며, 여기서 최대 필터 (아이디얼)는, 부울 대수의 각 원소 a에 대해 원소 {a, ¬a} 중 정확하게 하나를 포함하는 필터 (아이디얼)입니다. 부울 대수에서, 용어 소수 아이디얼과 최대 아이디얼은 일치하며, 소수 필터와 최대 필터라는 용어도 일치합니다.

아이디얼의 최대화에 대한 또 다른 흥미로운 개념이 있습니다: $I$ 가 F와 서로소(disjoint)임을 만족하는 아이디얼 $I$ 와 필터 F를 생각해 보십시오. 우리는 $I$ 를 포함하고 F와 서로소인 모든 아이디얼 중에서 최대인 아이디얼 M에 관심이 있습니다. 분포 격자의 경우에서 그러한 M은 항상 소수 아이디얼입니다. 이 명제의 증명은 아래에 나옵니다:

Proof

필터 F로부터의 서로소성과 관련하여 아이디얼 M이 최대라고 가정합니다. M이 소수가 아니라는 모순에 대해 가정합니다. 즉, $a \land b$ 가 M에 있지만 a와 b가 모두 M에 없음을 만족하는 한 쌍의 원소 a와 b가 있다고 가정합니다. M에서 모든 m에 대해, $m \lor a$ 가 F에 없는 경우를 생각해 보십시오. 우리는 이 형식의 모든 이항 만남의 집합의 아래 방향 클로저를 취함으로써 아이디얼 N을 구성할 수 있으며, 즉, $N = {x | 일부 m \in M 에 대해, x \leq m \lor a}$ . N이 M보다 엄격하게 큰 F로부터의 아이디얼 서로소라는 것은 쉽게 확인됩니다. 그러나 이것은 M의 최대성과 모순이고 따라서 M이 소수가 아니라는 가정과 모순됩니다.

다른 경우에 대해, F에서 $m \lor a$ 를 갖는 M에서 어떤 m이 있다고 가정합니다. 이제 만약 M에서 임의의 원소 n이 $n \lor b$ 가 F에 있음을 만족하면, $(m \lor n) \lor b$ 와 $(m \lor n) \lor a$ 둘 다가 F에 있음을 찾습니다. 그러나 그때에 그것들의 만남은 F에 있고, 분포성에 의해, $(m \lor n) \lor (a \land b)$ 도 F에 있습니다. 다른 한편으로, M의 원소들의 이 유한 접합은 분명히 M에 있으며, n의 가정된 존재는 두 집합의 서로소성과 모순됩니다. 따라서 M의 모든 원소 n은 F에 없는 b와 접합합니다. 결과적으로, 위의 구성을 F와 서로소인 상태에서 M보다 엄격하게 큰 아이디얼을 얻기 위해 a의 자리에 b를 적용할 수 있습니다. 이것은 증명을 완료합니다.

어쨌든, 일반적으로 이러한 의미에서 최대인 아이디얼 M이 존재하는지 여부는 명확하지 않습니다. 하지만 동시에, 만약 우리가 집합 이론에서 선택의 공리(axiom of choice)를 가정하면, 모든 각 서로소 필터-아이디얼-쌍에 대해 M의 존재가 표시될 수 있습니다. 고려된 순서가 부울 대수(Boolean algebra)인 특별한 경우에서, 이 정리는 부울 소수 아이디얼 정리(Boolean prime ideal theorem)라고 합니다. 그것은 선택 공리보다 엄격하게 약하고, 아이디얼의 많은 순서-이론적 응용에 더 이상 필요한 것이 없다는 것이 밝혀졌습니다.

Applications

아이디얼과 필터의 구성은 순서 이론의 많은 응용에서 중요한 도구입니다.

부울 대수에 대한 스톤의 표시 정리에서, 최대 아이디얼 (또는 부정 맵을 통해 동등하게, 극단-필터)은 그것의 닫힌-열린 집합(clopen sets)이 원래 부울 대수와 동형(isomorphic)인 토폴로지적 공간(topological space)의 점의 집합을 얻기 위해 사용됩니다.
순서 이론은 포셋을 추가 완비성(completeness) 속성을 갖는 포셋으로 바꾸는 많은 완비 절차(completion procedures)를 알고 있습니다. 예를 들어, 주어진 부분 순서 P의 아이디얼 완비(ideal completion)는 부분-집합 포함에 의해 순서화된 P의 모든 아이디얼의 집합입니다. 이 구성은 P에 의해 생성된 자유(free) dcpo를 생성합니다. 아이디얼이 주요인 것과 그것이 아이디얼 완비에서 컴팩트(compact)인 것이 필요충분 조건이므로, 원래 포셋은 컴팩트 원소로 구성된 부분-포셋으로 복구될 수 있습니다. 게다가, 모든 각 대수적 dcpo(algebraic dcpo)는 컴팩트 원소의 집합의 아이디얼 완비로 재구성될 수 있습니다.

History

아이디얼은 추상 대수학의 링 아이디얼에서 그것들의 이름을 얻은 Marshall H. Stone에 의해 처음 소개되었습니다. 그는 부울 대수(Boolean algebras)와 부울 링(Boolean rings)의 카테고리의 동형을 사용하여, 두 개념이 실제로 일치하기 때문에 이 용어를 채택했습니다.

Literature

아이디얼과 필터는 순서 이론의 가장 기본적인 개념 중 하나입니다. 순서 이론과 격자 이론에 대한 입문서와 부울 소수 아이디얼 정리에 대한 문헌을 참조하십시오.

Notes

^ Taylor (1999), p. 141: "A directed lower subset of a poset X is called an ideal"
^ Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. p. 3. ISBN 0521803381.
^ ^a ^b Burris & Sankappanavar 1981, Def. 8.2.
^ Lawson (1998), p. 22
^ Stanley (2002), p. 100
^ Davey & Priestley 2002, pp. 20, 44.

References

Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.
Stanley, R.P. (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66351-9.
Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, MR 1694820

[1] Taylor (1999), p. 141: "A directed lower subset of a poset X is called an ideal"

[2] Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. p. 3. ISBN 0521803381.

[FOOTNOTEBurrisSankappanavar1981Def._8.2-3] Burris & Sankappanavar 1981, Def. 8.2.

[4] Lawson (1998), p. 22

[5] Stanley (2002), p. 100

[FOOTNOTEDaveyPriestley200220,_44-6] Davey & Priestley 2002, pp. 20, 44.

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