Identity component

수학(mathematics), 특히 그룹 이론(group theory)에서, 그룹(group) G의 항등 구성 요소(identity component)는 항등 원소를 포함하는 G의 가장 큰 연결된(connected) 부분그룹의 몇 가지 밀접하게 관련된 개념을 나타냅니다.

점 집합 토폴로지(point set topology)에서, 토폴로지적 그룹 G의 항등 구성 요소는 그룹의 항등 원소를 포함하는 G의 연결된 구성 요소(connected component) G⁰입니다. 토폴로지적 그룹 G의 항등 경로 구성 요소는 그룹의 항등 원소를 포함하는 G의 경로 구성 요소(path component)입니다.

대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 필드 k에 걸쳐 대수적 그룹 G의 항등 구성 요소는 놓여있는 토폴로지적 공간의 항등 구성 요소입니다. 기본 스킴(scheme) S에 걸쳐 그룹 스킴 G의 항등 구성 요소는, 대략적으로 말하자면, S의 점 s에 걸쳐 섬유(fiber)가 대수적 그룹, 섬유 G_s의 연결된 구성 요소 (G_s)⁰인 그룹 스킴 G⁰입니다.^[1]

Properties

토폴로지적 또는 대수적 그룹 G의 항등 구성 요소 G⁰은 G의 닫힌 정규 부분그룹(normal subgroup)입니다. 그것은 닫혀 있는데 왜냐하면 구성 요소가 항상 닫혀 있기 때문입니다. 그것은 부분그룹인데 왜냐하면 토폴로지적 또는 대수적 그룹의 곱셈과 반전은 정의에 의해 연속 맵(continuous maps)이기 때문입니다. 더욱이, G의 임의의 연속 자기동형(automorphism) a에 대해 우리는 다음을 가집니다:

a(G⁰) = G⁰.

따라서, G⁰는 G의 특성 부분그룹(characteristic subgroup)이므로, 그것은 정규입니다.

토폴로지적 그룹 G의 항등 구성 요소 G⁰는 G에서 열릴 필요가 없습니다. 사실, 우리는 G⁰ = {e}를 가질 수 있으며, 이 경우에서 G는 전체적으로 분리된(totally disconnected) 것입니다. 어쨌든, 지역적으로 경로-연결된 공간(locally path-connected space, 예를 들어, 리 그룹)의 항등 구성 요소는 항상 열린 것인데, 왜냐하면 그것이 {e}의 경로-연결된 이웃을 포함하고; 따라서 닫힌-열린 집합(clopen set)이기 때문입니다.

토폴로지적 그룹의 항등 경로 구성 요소는 일반적으로 항등 구성 요소보다 작을 수 있지만 (경로 연결성이 연결성보다 더 강한 조건이기 때문에), 이것들은 만약 G가 지역적 경로-연결된 것이면 일치합니다.

Component group

몫 그룹(quotient group) G/G⁰은 G의 구성 요소의 그룹(group of components) 또는 구성 요소 그룹(component group)이라고 불립니다. 그것의 원소는 G의 연결된 구성 요소일 뿐입니다. 구성 요소 그룹 G/G⁰은 이산 그룹(discrete group)인 것과 G⁰가 열린 것은 필요충분 조건입니다. 만약 G가 아핀 대수적 그룹(affine algebraic group)과 같은 유한 유형(finite type)의 대수적 그룹이면, G/G⁰은 실제로 유한 그룹(finite group)입니다.

유사하게 경로 구성 요소 그룹을 경로 구성 요소의 그룹 (항등 경로 구성 요소에 의한 G의 몫)으로 정의할 수 있고, 일반적으로 구성 요소 그룹은 경로 구성 요소 그룹의 몫이지만, 만약 G가 지역적 경로 연결된 것이면 이들 그룹은 일치합니다. . 경로 구성 요소 그룹은 영 번째 호모토피 그룹(homotopy group), $\pi _{0}(G,e)$ 으로 특징지을 수도 있습니다.

Examples

곱셈을 갖는 비-영 실수 그룹 (R*,•)은 두 개의 구성 요소를 가지고 구성 요소의 그룹은 ({1,−1},•)입니다.
분할-복소수(split-complex numbers)의 링에서 단위의 그룹(group of units) U를 생각해 보십시오. 평면 {z = x + j y : x, y ∈ R}의 보통 토폴로지에서, U는 직선 y = x 및 y = − x에 의해 네 개의 구성 요소로 나뉘며 여기서 z는 역을 가지지 않습니다. 그런-다음 U⁰ = { z : |y| < x }입니다. 이 경우에서 U의 구성 요소의 그룹은 클라인 4-그룹(Klein four-group)과 동형적입니다.
p-진수 정수(p-adic integers)의 덧셈 그룹 (Z_p,+)의 항등 구성 요소는 한원소 집합 {0}인데, 왜냐하면 Z_p가 전체적으로 분리된 것이기 때문입니다.
비-기약 대수적 그룹(reductive algebraic group) G의 바일 그룹(Weyl group)은 G의 최대 토러스(maximal torus)의 정규화기 그룹(normalizer group)의 구성 요소 그룹입니다.
기본 스킴 Spec(Z)에 걸쳐 정의된 두 번째 단위의 근(roots of unity)의 그룹 스킴 μ₂ = Spec(Z[x]/(x² - 1))를 생각해 보십시오. 토폴로지적으로, μ_n은 점 (즉, 소수 아이디얼) 2에서 함께 접착된 곡선 Spec(Z)의 두 복사본으로 구성됩니다. 그러므로, μ_n은 토폴로지적 공간으로 연결되므로 스킴으로 연결됩니다. 어쨌든, μ₂는 자체 항등 구성 요소와 같지 않은데 왜냐하면 2를 제외한 Spec(Z)의 모든 각 점에 걸쳐 섬유는 두 개의 이산 점으로 구성되기 때문입니다.

토폴로지적 필드(topological field) K에 걸쳐 대수적 그룹 G는 자르스키 토폴로지(Zariski topology)와 K로부터 상속된 토폴로지의 두 가지 자연스러운 토폴로지를 인정합니다. G의 항등 구성 요소는 종종 토폴로지에 따라 변경됩니다. 예를 들어, 일반 선형 그룹(general linear group) GL_n(R)은 대수적 그룹으로 연결된 것이지만 리 그룹으로 두 개의 경로 구성 요소, 양의 행렬식의 행렬과 음의 행렬식의 행렬을 가집니다. 비-아르키메데스 지역적 필드(local field) K에 걸쳐 임의의 연결된 대수적 그룹은 K-토폴로지에서 전체적으로 분리된 것이고 따라서 해당 토폴로지에서 자명한 항등 구성 요소를 가집니다.

note

^ SGA 3, v. 1, Exposé VI, Définition 3.1

References

Lev Semenovich Pontryagin, Topological Groups, 1966.
Demazure, Michel; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR 0302656
Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151). Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 151. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xv+564. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. MR 0274458.

External links

Demazure, M.; Grothendieck, A., Gille, P.; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés Générales des Schémas en Groupes Revised and annotated edition of the 1970 original.

[1] SGA 3, v. 1, Exposé VI, Définition 3.1

[1]