Group (mathematics)

Original article: w:Group (mathematics)

This article is about basic notions of groups in mathematics. For a more advanced treatment, see Group theory.

The manipulations of this Rubik's Cube form the Rubik's Cube group.

수학(mathematics)에서, 그룹(group)은 두 개의 원소를 결합하여 세 번째 원소를 형성하기 위한 연산(operation)을 갖춘 원소들(elements)의 집합(set)을 구성하는 대수 구조(algebraic structure)로써, 그룹 연산은 그룹 공리(axiom)로 불리는 네 가지 조건, 즉 클로저(closure), 결합성(associativity), 항등원(identity) 및 역-가능성(invertibility)을 충족시킵니다. 그룹의 가장 익숙한 예제 중 하나는 덧셈 연산과 함께 정수의 집합이지만, 그룹은 수학 내부와 외부의 수많은 영역에서 마주치고, 연구 주제의 구체적인 본성으로부터 그들을 분리함으로써, 필수 구조적 측면에 집중하는 데 도움이 됩니다. 그룹은 대칭(symmetry)의 개념과 기본적인 닮음을 공유합니다. 예를 들어, 대칭 그룹(symmetry group)은 기하학적(geometrical) 대상의 대칭 특색을 인코딩합니다: 그룹은 대상을 변경하지 않고 하나씩 차례로 수행함으로써 두 그러한 변환을 결합하는 연산을 남기는 변환의 집합으로 구성됩니다. 리 그룹(Lie group)은 입자 물리학(particle physics)의 표준 모델(Standard Model)에 사용되는 대칭 그룹입니다. 역시 리 그룹인, 푸앵카레 그룹(Poincaré group)은 특수 상대성(special relativity) 아래에 놓여있는 물리적 대칭을 표현할 수 있습니다; 그리고 점 그룹(point group)은 분자 화학의 대칭 현상(symmetry phenomena in molecular chemistry)을 이해하는 데 도움이 됩니다.

그룹의 개념은, 1830년대 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)로 시작하는, 다항 방정식(polynomial equations)의 연구로부터 일어났으며, 그는, 지금 갈루아 그룹(Galois group)으로 불리는, 방정식의 근(roots)의 대칭 그룹에 대해 그룹 (프랑스어에서, gruope)의 용어를 도입했습니다. 숫자 이론(number theory) 및 기하학과 같은 다른 분야에서 기고를 한 후에, 그룹 개념은 일반화되고 약 1870년에 단단하게 확립되었습니다. 현대 그룹 이론(group theory)—능동적인 수학적 분야—은 그 자체로 그룹을 연구합니다. 그룹을 탐색하기 위해, 수학자는, 부분-그룹(subgroup), 몫 그룹(quotient group) 및 단순 그룹(simple group)과 같은, 더-작고, 더-잘-이해될 수 있는 부분으로 그룹을 나누는 다양한 개념(various notions)을 고안해 왔습니다. 그들의 추상적인 속성 외에도, 그룹 이론가는 표시 이론(representation theory) (즉, 그룹의 표시(representations of the group)를 통해) 및 계산적 그룹 이론(computational group theory)의 관점의 둘 다로부터, 그룹이 구체적으로 표현될 수 있는 다른 방법을 역시 연구합니다. 이론은, 2004년에 완성된, 유한 단순 그룹의 분류(classification of finite simple groups)로 종결되는, 유한 그룹(finite group)에 대해 개발되어 왔습니다. 1980년대-중반 이후로, 기하학적 대상으로 유한하게 생성된 그룹(finitely generated group)을 연구하는, 기하학적 그룹 이론(geometric group theory)은 그룹 이론에서 활동적인 영역이 되어 왔습니다.

Definition and illustration

First example: the integers

가장 익숙한 그룹 중 하나는, 덧셈(addition)과 함께 다음 숫자로 구성되는, 정수(integers) $\mathbb {Z}$의 집합입니다:

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ....

정수 덧셈의 다음 속성은 아래 정의에서 주어진 추상 그룹 공리에 대해 모델로 쓰입니다.

• 임의의 두 정수 a와 b에 대해, 합(sum) a + b는 역시 정수입니다. 즉, 정수의 덧셈은 항상 정수를 산출합니다. 이 속성은 덧셈 아래의 클로저(closure)로 알려져 있습니다.
• 모든 정수 a, b 및 c에 대해, (a + b) + c = a + (b + c)입니다. 말로 표현하자면, 먼저 a를 b를 더한 후에, 그 결과를 c에 더한 것은 b와 c의 합을 a에 더한 것과 같은 최종 결과를 제공하며, 이 속성은 결합성(associativity)으로 알려져 있습니다.
• 만약 a가 임의의 정수이면, 0 + a = a + 0 = a입니다. 영(zero)은 덧셈의 항등원(identity element)으로 불리는데 왜냐하면 그것을 임의의 정수에 더하는 것은 같은 정수를 반환하기 때문입니다.
• 모든 각 정수 a에 대해, a + b = b + a = 0를 만족하는 정수 b가 있습니다. 정수 b는 정수 a의 역원(inverse element)으로 불리고 −a로 표시됩니다.

연산 +와 함께 정수는 비슷한 구조적 측면을 공유하는 광범위한 클래스에 속하는 수학적 대상을 형성합니다. 집합적으로 이들 구조를 적절하게 이해하기 위해, 다음 추상 정의(definition)가 개발되었습니다.

Definition

그룹에 대한 공리는 짧고 자연스럽습니다... 여전히 이러한 공리 뒤에 숨어 있는 것은 괴물 단순 그룹(monster simple group), 거대하고 특별한 수학적 대상이며, 이것은 존재하기 위해 수많은 기괴한 우연의 일치에 의존하는 것처럼 보입니다. 그룹에 대한 공리는 이와 같은 것이 존재한다는 분명한 암시를 주지 않습니다.

Mathematicians: An Outer View of the Inner World 안의 리처드 보처즈

그룹은, 임의의 두 원소(elements) a와 b를 결합하여, a • b 또는 ab로 표시되는, 다른 원소를 형성하는 (G의 그룹 법칙으로 불리는) 연산(operation) •과 함께, 집합(set), G입니다. 그룹으로 자격을 얻기 위해, 집합과 연산, (G, •)는 그룹 공리(group axioms)로 알려진 네 요구-사항을 반드시 충족시켜야 합니다:

클로저(Closure)

G 안의 모든 a, b에 대해, a • b는 역시 G 안에 있습니다.

결합 특성(Associativity)

G 안의 모든 a, b 및 c에 대해, (a • b) • c = a • (b • c)입니다.

항등원(Identity element)

G 안의 모든 각 원소 a에 대해, 방정식 e • a = a • e = a을 유지하는 것을 만족하는 G 안의 원소 e가 존재합니다. 그러한 원소는 고유하고 (아래를 참조하십시오), 따라서 우리는 그 항등원을 말합니다.

역원(Inverse element)

G 안의 각 a에 대해, a • b = b • a = e를 만족하는, 공통적으로 a⁻¹ (또는 만약 연산이 "+"로 표시되면, −a)로 표시되는, G 안의 원소 b가 존재합니다. 여기서 e가 항등원입니다.

연산의 결과는 피연산자의 순서에 따라 달라질 수 있을 것입니다. 달리 말해서, 원소 b와 함께 원소 a를 결합한 것의 결과는 원소 a와 함께 원소 b를 결합하는 것과 같은 결과를 산출할 필요가 없습니다; 방정식

a • b = b • a

는 항상 참이 아닐 수 있을 것입니다. 이 방정식은 덧셈 아래의 정수의 그룹에서 항상 유지되는데, 왜냐하면 임의의 두 정수에 대해 a + b = b + a이기 때문입니다 (덧셈의 교환-가능성(commutativity)). 교환-가능성 방정식 a • b = b • a이 항상 유지되는 그룹은 (닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)에 경의를 표하는) 아벨 그룹(abelian group)으로 불립니다. 다음 섹션에서 설명하는 대칭 그룹은 아벨이 아닌 그룹의 하나의 예제입니다.

그룹 G의 항등원은 종종 1 또는 1_G로 쓰이고, 표기법은 곱셈의 항등원(multiplicative identity)으로부터 상속받습니다. 만약 그룹이 아벨이면, 우리는 +로 그룹 연산 및 0으로 항등원을 표시하기 위해 선택할 수 있을 것입니다; 해당 경우에서, 그룹은 덧셈의 그룹으로 불립니다. 항등원은 id로 역시 쓸 수 있습니다.

집합 G는 그룹 (G, •)의 밑에-있는 집합(underlying set)으로 불립니다. 종종 그룹의 밑에-있는 집합 G가 그룹 (G, •)에 대해 짧은 이름으로 사용됩니다. 같은 줄에 따라, "그룹 G의 부분-집합" 또는 "그룹 G의 원소"와 같은 속기 표현은 실제로 의미하는 것이 "그룹 (G, •)의 밑에-있는 집합 G의 부분-집합" 또는 "그룹 (G, •)의 밑에-있는 집합 G의 원소"일 때 사용됩니다. 보통, 그것은 G와 같은 기호가 그룹 또는 밑에-있는 집합을 참조하는지 여부의 문맥으로부터 분명합니다.

대안적인 (그러나 동등한) 정의는 그룹의 구조를 확장하여 위에서 처럼 같은 공리를 만족시키는 세 가지 연산을 갖춘 집합으로 그룹을 정의하는 것이며, 마지막 두 공리에서 "존재하는" 부분을 제거하는 것과 함께, 이들 연산은, 위에서 처럼, 이항 연산(binary operation)인 그룹 법칙, 단항 연산(unary operation)이고 a를 $a^{-1}$로 맵핑하는 역 연산, 및 0-항 연산(0-ary operation)으로 보이는 항등원입니다.

정의의 이 공식화는 존재적 한정사(existential quantifier)를 피하기 때문에, 그것은 일반적으로 그룹과 함께 계산하는 것(computing with groups) 및 컴퓨터-지원 증명(computer-aided proof)을 선호합니다. 이 공식은 보편 대수학(universal algebra)의 종류로 그룹을 보여줍니다. 그것은 역시, 토폴로지적 그룹(topological group) 및 그룹 대상(group object)을 정의하기 위해 필요함에 따라, 역 연산의 속성을 설명하는 것에 유용합니다.

Second example: a symmetry group

평면에서 두 그림은, 만약 하나가 회전(rotation), 반사(reflection), 및 평행-이동(translation)의 조합을 사용하여 다른 것으로 변경될 수 있으면, 일치(congruent)합니다. 임의의 그림은 그 자체와 일치합니다. 어쨌든, 일부 그림은 두 가지 이상의 방법으로 그들 자신과 일치하고, 이들 여분의 일치는 대칭(symmetries)으로 불립니다. 정사각형에는 여덟 개의 대칭을 가집니다. 이것들은 다음입니다:

정사각형의 대칭 그룹 원소들 (D₄). 꼭짓점은 색깔 또는 숫자로 식별됩니다.

id (keeping it as it is)	r1 (rotation by 90° clockwise)	r2 (rotation by 180° clockwise)	r3 (rotation by 270° clockwise)
fv (vertical reflection)	fh (horizontal reflection)	fd (diagonal reflection)	fc (counter-diagonal reflection)

• id로 표시되는, 모든 것을 그대로 두는 항등 연산(identity operation);
• r₁, r₂ 및 r₃로, 각각, 표시되는, 시계-방향 90°, 시계-방향 180°, 시계-방향 270°에 의해 그의 중심 주위로 정사각형의 회전.
• 수직 및 수평 중간-선 (f_h 및 f_v)에 대한 반사, 또는 두 대각선(diagonal) (f_d 및 f_c)을 통한 반사.

이들 대칭은 함수로 표현됩니다. 이들 함수의 각각은 정사각형에서 한 점을 대칭 아래의 대응하는 점으로 보냅니다. 예를 들어, r₁은 정사각형의 중심 주위를 그의 시계-방향 90° 회전에 대하여 한 점을 보내고, f_h는 정사각형의 수직 중간-선을 가로지르는 그의 반사에 대하여 한 점을 보냅니다. 이들 대칭 함수 중 두 가지를 조립함으로써 또 다른 대칭 함수를 제공합니다. 이들 대칭성은 차수 4의 정이면체 그룹(dihedral group)으로 불리는 그룹을 결정하고 D₄로 표시됩니다. 그룹의 밑에-있는 집합은 위의 대칭 함수의 집합이고, 그룹 연산은 함수 합성(function composition)입니다. 두 대칭은 함수로 그들을 합성, 즉, 첫 번째 대칭을 정사각형에 적용하고, 두 번째 대칭을 첫 번째 적용의 결과에 적용함으로써 결합됩니다. 먼저 a를 그런-다음 b를 수행하는 결과는 다음으로 오른쪽에서 왼쪽으로 기호적으로 쓰입니다:

b • a ("대칭 a를 수행한 후에 대칭 b를 적용합니다").

오른쪽-에서-왼쪽 표기법은 함수의 합성에 대해 사용되는 같은 표기법입니다.

오른쪽에 있는 그룹 테이블(group table)은 가능한 모든 그러한 합성을 나열합니다. 예를 들어, 시계방향 270° 회전 (r₃)한 다음 수평으로 반사하는 것 (f_h)은 대각선을 따라 반사를 수행하는 것 (f_d)과 같습니다. 위의 기호를 사용하여, 그룹 테이블 안에서 파란색으로 강조-표시했습니다:

f_h • r₃ = f_d.

D₄의 그룹 테이블(Group table)

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
The elements id, r1, r2, and r3 form a subgroup, highlighted in      red (upper left region). A left and right coset of this subgroup is highlighted in      green (in the last row) and      yellow (last column), respectively.

대칭의 이 집합과 묘사된 연산이 주어지면, 그룹 공리는 다음으로 이해될 수 있습니다:

1. 클로저 공리는 임의의 두 대칭 a와 b의 합성 b • a은 역시 대칭인 것을 요구합니다. 그룹 연산의 또 다른 예제는 다음입니다:

   r₃ • f_h = f_c,

   즉, 수평으로 반사한 후에 시계-방향 270° 회전하는 것은 역-대각선 (f_c)을 따라 반사하는 것과 같습니다. 실제로 두 대칭의 모든 각 다른 조합은, 그룹 테이블을 사용하여 확인될 수 있는 것처럼, 대칭을 여전히 제공합니다.
2. 결합성 제약은 두 대칭보다 많은 합성하는 것을 다룹니다: D₄의 세 원소 a, b 및 c로 시작하여, 정사각형의 대칭을 결정하기 위한 이 순서에서 이들 세 대칭을 사용하는 두 가지 가능한 방법이 있습니다. 이들 방법 중 하나는 먼저 a와 b를 하나의 대칭으로 합성한 다음, c와 함께 대칭을 합성하는 것입니다. 다른 방법은 먼저 b와 c를 합성한 다음, a와 함께 결과 대칭을 합성하는 것입니다. 결합성 조건

   (a • b) • c = a • (b • c)

   은 이들 두 방식이 같음, 즉, 많은 그룹 원소의 곱이 임의의 그룹화로 단순화될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, (f_d • f_v) • r₂ = f_d • (f_v • r₂)은 오른쪽에서 그룹 테이블을 사용하여 확인될 수 있습니다:

   (fd • fv) • r2	=	r3 • r2	=	r1, 이것은 다음과 같습니다:
   fd • (fv • r2)	=	fd • fh	=	r1.

   반면에 결합성은 정사각형의 대칭 및 숫자 덧셈에 대해 참이지만, 그것이 모든 연산에 대해 참은 아닙니다. 예를 들어, 숫자의 뺄셈은 결합적이지 않습니다: (7 − 3) − 2 = 2은 7 − (3 − 2) = 6과 같지 않습니다.
3. 항등원은 모든 것을 바꾸지 않고 남겨두는 대칭 id입니다. 임의의 대칭 a에 대해, a 후에 id (또는 id 후에 a)를 수행하는 것은 a와 같고, 다음 기호적 형식으로 표현됩니다:

   id • a = a,

   a • id = a.

4. 역-원소는 어떤 다른 원소의 변환을 취소합니다. 모든 각 대칭은 취소될 수 있습니다: 다음 변환—항등 id, 반사 f_h, f_v, f_d, f_c 및 180° 회전 r₂—의 각각은 그 자신의 역이 있는데, 왜냐하면 그것을 두 번 수행하면 정사각형을 원래 방향으로 되돌리기 때문입니다. 회전 r₃와 r₁은 서로의 역인데, 왜냐하면 90° 회전한 다음 270° 회전은 것은 (또는 그 반대이면) 정사각형을 변경하지 않고 남겨두는 360°에 걸친 회전을 산출하기 때문입니다. 기호에서,
   f_h • f_h = id,
   r₃ • r₁ = r₁ • r₃ = id.

연산의 순서가 무의미한, 위의 정수의 그룹과 달리, 그것은 D₄에서 문제가 됩니다: f_h • r₁ = f_c이지만, r₁ • f_h = f_d입니다. 달리 말해서, D₄는 아벨이 아니며, 이것은 그룹 구조를 처음 도입된 정수보다 어렵게 만듭니다.

History

Main article: History of group theory

추상적 그룹의 현대 개념은 수학의 여러 분야에서 빠져-나와 발전했습니다. 그룹 이론에 대해 최초의 동기는 4보다 높은 차수의 다항 방정식(polynomial equation)의 해에 대해 탐구였습니다. 19세기 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는, 파올로 루피니(Paolo Ruffini)와 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 이전 연구를 확장하여, 그의 근(roots) (해)의 대칭 그룹(symmetry group)의 관점에서 특정 다항 방정식의 해결-가능성에 대해 기준을 제공했습니다. 그런 갈루아 그룹(Galois group)의 원소들은 근의 어떤 순열(permutation)에 해당합니다. 처음에는, 갈루아의 아이디어가 동시대의 사람들에 의해 거부되었고, 오직 사후에 출판되었습니다. 보다 일반적인 순열 그룹(permutation group)은 특히 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)에 의해 조사되었습니다. 아서 케일리(Arthur Cayley)의 On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 (1854)은 유한 그룹(finite group)의 첫 번째 추상적 정의를 제공합니다.

기하학은 그룹이 체계적으로 사용된 두 번째 분야였으며, 특히 펠릭스 클라인(Felix Klein)의 1872년 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)의 일부로 대칭 그룹이 사용되었습니다. 쌍곡선(hyperbolic)과 투영 기하학(projective geometry)과 같은 새로운 기하학이 등장한 후, 클라인은 보다 일관된 방법으로 그들을 구성하기 위해 그룹 이론을 사용했습니다. 이러한 아이디어를 더욱 발전시키면서, 소푸스 리(Sophus Lie)는 1884년에 리 그룹(Lie group)의 연구의 기초를 세웠습니다.

그룹 이론에 기여한 세 번째 분야는 숫자 이론(number theory)이었습니다. 어떤 아벨 그룹(abelian group) 구조는 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 숫자-이론적 연구 Disquisitiones Arithmeticae (1798)에서 암묵적으로, 및 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)에 의해 보다 명백하게 사용되었습니다. 1847년에, 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)는 인수분해를 소수(prime number)로 설명하는 그룹을 개발함으로써 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)를 입증하기 위한 초기 시도를 했습니다.

이들 다양한 출처들이 그룹의 균등한 이론으로 수렴하는 것은 카미유 조르당(Camille Jordan)의 Traité des substitutions et des équations algébriques (1870)로 시작되었습니다. 발터 폰 뒤크(Walter von Dyck) (1882)는 생성원 및 관계의 수단으로 그룹을 구체화하는 아이디어를 도입했으며, 당시의 용어에서, "추상적 그룹"의 공리적 정의를 역시 최초로 제공하는 것이었습니다. 20세기에서, 그룹은, 유한 그룹의 표시 이론(representation theory)을 연구했던, 페르디난트 게오르크 프로베니우스(Ferdinand Georg Frobenius)와 윌리엄 번사이드(Richard Burner)의 선구자적 연구, 리하르트 브라우어(Richard Brauer)의 모듈러 표시 이론(modular representation theory) 및 이사이 슈어(Issai Schur)의 논문에 의해 널리 인정받았습니다. 리 그룹의 이론, 및 보다 일반적으로 지역적 콤펙트 그룹(locally compact group)은 헤르만 바일(Hermann Weyl), 엘리 카르탕(Eli Cartan) 및 많은 다른 사람들에 의해 연구되었습니다. 그것의 대수적 짝, 대수 그룹(algebraic group)의 이론은 (1930년대 후반부터) 클로드 슈발레(Claude Chevalley)에 의해 처음으로 형성되었고, 그 후에 아르망 보렐(Armand Borel) 및 자크 티츠(Jacques Tits)의 연구에 의해 형성되었습니다.

시카고 대학교의 1960-61 그룹 이론 연도는 대니얼 고런스틴(Daniel Gorenstein), 존 그리그스 톰프슨(John G. Thompson), 월터 파이트(Walter Feit)와 같은 그룹 이론가들을 함께 데려오고, 많은 다른 수학자들로부터 의견과 함께, 협업의 기초를 놓았으며, 2004년 애시배커(Aschbacher)와 스미스(Smith)에 의해 취해진 마지막 단계와 함께, 유한 단순 그룹의 분류(classification of finite simple groups)를 주도했습니다. 이 프로젝트는, 증명의 길이와 연구자 숫자 둘 다에서, 그의 얇은 크기에 비해 이전의 수학적 노력을 초과했습니다. 연구는 이 분류의 증명을 단순화하기 위해 전진했습니다. 요즘, 그룹 이론은, 많은 다른 분야에 영향을 미치는, 여전히 매우 활동적인 수학 가지입니다.

Elementary consequences of the group axioms

그룹 공리로부터 직접 얻을 수 있는 모든 그룹에 대한 기본 사실은 공통적으로 초등 그룹 이론 아래에 포함됩니다. 예를 들어, 결합성 공리의 반복된 응용은 다음

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

의 모호성은 세 인수보다 많은 것에 일바화될 수 있음을 보입니다. 이것은 괄호가 그러한 일련의 항 안의 어디에서나 삽입될 수 있음을 의미하기 때문에, 괄호는 보통 생략됩니다.

공리가 오직 왼쪽 항등원(left identity)과 왼쪽 역(left inverse)의 존재를 주장하는 것으로 약화될 수 있습니다. 둘 다는 실제로 양-측으로 보일 수 있으므로, 결과 정의는 위에 주어진 것과 동등합니다.

Uniqueness of identity element and inverses

그룹 공리의 두 중요한 결과는 항등원의 유일성과 역원의 유일성입니다. 그룹에서 오직 하나의 항등원이 있을 수 있고, 그룹에서 각 원소는 정확히 하나의 역원을 가집니다. 따라서, 그것은 그 항등원, 및 원소의 그 역원이라고 말하는 것이 관례적입니다.

a의 역원의 유일성을 입증하기 위해, 그룹 (G, •)에서, a는 두 역원을 가지고, b와 c로 표시되는 것을 가정합니다. 그런-다음

b	=	b • e		e는 항등원이므로
	=	b • (a • c)		c는 a의 역이기 때문이므로, e = a • c
	=	(b • a) • c		결합성에 의해, 괄호의 재배열을 허용합니다
	=	e • c		b는 a의 역이므로, 즉, b • a = e
	=	c		e가 항등원이 것에 대해

첫 줄에서 항 b 및 마지막 줄에서 c는 같은데, 왜냐하면 그들은 상등의 체인에 의해 연결되기 때문입니다. 다른 말로, a의 오직 하나의 역원이 있습니다. 비슷하게, 그룹의 항등원은 유일하다는 것을 입증하기 위해, G가 두 항등원 e와 f를 갖는 그룹이라고 가정합니다. 그러면 e = e • f = f이므로, 그러므로 e와 f는 같습니다.

Division

그룹에서, 역원의 존재는 나눗셈(division)이 가능하다는 것을 의미합니다: 그룹 G의 원소 a와 b가 주어지면, 방정식(equation) x • a = b, 즉 b • a⁻¹에 G 안의 정확히 하나의 해 x가 있습니다. 사실, 우리는 다음을 가집니다:

(b • a⁻¹) • a = b • (a⁻¹ • a) = b • e = b.

유일성은 방정식 x • a = b의 양쪽 변에 a⁻¹을 곱한 결과로써 생깁니다. 종종 b / a로 표시되는, 원소 b • a⁻¹은 a에 의한 b의 오른쪽 몫, 또는 a에 의한 b의 오른쪽 나눗셈의 결과로 불립니다.

비슷하게 방정식 a • y = b, 즉 y = a⁻¹ • b에 대한 G 안의 정확히 하나의 해 y가 있습니다. 이 해는 a에 의한 b의 왼쪽 몫이고, 때때로 a \ b로 표시됩니다.

일반적으로 b / a와 a \ b는 다를 수 있을 것이지만, 만약 그룹 연산이 교환적(commutative)이면 (즉, 만약 그룹이 아벨(abelian)이면), 그들은 같습니다. 이런 경우에서, 그룹 연산은 덧셈(addition)으로 종종 표시되고, 우리는 나눗셈과 몫 대신에 뺄셈과 차이로 말합니다.

이것의 결론은 그룹 원소 g에 의한 곱셈은 전단사(bijection)인 것입니다. 구체적으로, 만약 g가 그룹 G의 원소이면, h ∈ G를 g • h로 맵핑하는 G에서 그 자체로의 함수(function)는 전단사입니다. 이 함수는 g에 의한 왼쪽 평행-이동으로 불립니다. 비슷하게, g에 의한 오른쪽 평행-이동은, h를 h • g로 맵핑하는 G에서 그 자체로의 전단사입니다. 만약 G가 아벨이면, 그룹 원소에 의한 왼쪽 및 오른쪽 평행-이동은 같습니다.

Basic concepts

다음 섹션은 X = {x, y, z}를 원소(elements) x, y, 및 z를 포함하는 집합 X를 나타내는 것, 또는 대안적으로 x는 X의 원소임을 다시-말하는 것과  같은 수학적 기호(mathematical symbols)를 사용합니다. 표기법 f : X → Y는 f가 X의 모든 각 원소를 Y의 원소에 할당하는 함수임을 의미합니다.

위에서 처럼, 단순한 기호적 조작의 수준 이상의 그룹을 이해하기 위해, 보다 구조적 개념이 사용되어야 합니다. 다음 개념의 모두에 놓여 있는 개념적 원리가 있습니다: ("구조가 없는 것"인 집합들이 가지지 않는) 그룹에 의해 제공되는 구조의 이점을 취하기 위해, 그룹과 관련된 구성은 그룹 연산과 함께 반드시 호환되어야 합니다. 이 호환성은 다양한 방법에서 다음 개념에서 그 자체로 나타납니다. 예를 들어, 그룹은 그룹 준동형으로 불리는 함수를 통해 서로 관련될 수 있습니다. 언급된 원리에 의해, 그들은 정확한 의미에서 그룹 구조에 관계하는 것이 요구됩니다. 그룹의 구조는 부분-그룹 및 몫 그룹으로 불리는 조각으로 그들을 나눔으로써 역시 이해될 수 있습니다. "구조를 보존하는"—수학 전역에서 반복되는 주제—원리는 카테고리(category) 안에서, 이 경우에는 그룹의 카테고리(category of groups)에서, 작동하는 예제입니다.

Group homomorphisms

Main article: Group homomorphism

그룹 준동형(Group homomorphisms)은 그룹 구조를 보존하는 함수입니다. 두 그룹 (G, •)와 (H, ∗) 사이의 함수 a: G → H는, 만약 다음 방정식이 G 안의 모든 원소 g, k에 대해 유지되면, 준동형으로 불립니다:

a(g • k) = a(g) ∗ a(k).

달리 말해서, 결과는, 맵 a를 적용한 전 또는 후에 그룹 연산을 수행할 때, 같습니다. 이 요구는 a(1_G) = 1_H인 것, G 안의 모든 g에 대해 역시 a(g)⁻¹ = a(g⁻¹)임을 보증합니다. 따라서 그룹 준동형은 그룹 공리에 의해 제공된 G의 모든 구조에 관계합니다.

두 그룹 G와 H는, 만약 두 가능한 순서의 각각에서 차례로 두 함수를 적용하는 것이 G와 H의 항등 함수(identity function)를 제공하는, 그룹 준동형 a: G → H 및 b: H → G가 존재하면, 동형(isomorphic)으로 불립니다. 즉, G 안의 임의의 g와 H 안의 임의의 h에 대해 a(b(h)) = h와 b(a(g)) = g입니다. 추상적인 관점으로부터, 동형 그룹은 같은 정보를 전달합니다. 예를 들어, G의 어떤 원소 g에 대해 g • g = 1_G임을 입증하면 a(g) ∗ a(g) = 1_H임을 증명하는 것과 동등(equivalent)한데, 왜냐하면 첫 번째 상등에 a를 적용하면 두 번째를 산출하고, 두 번째에 b를 적용하면 첫 번째를 되돌려 제공하기 때문입니다.

Subgroups

Main article: Subgroup

비공식적으로, 부분-그룹은 더 큰 그룹 G 안에 속하는 그룹 H입니다. 구체적으로, G의 항등원이 H 안에 포함되고, h₁와 h₂가 H 안에 있을 때마다, 그래서 h₁ • h₂와 h₁⁻¹이고, 그래서 H의 원소는, H에 제한된 G 위의 그룹 연산을 갖추고, 실제로 그룹을 형성합니다.

위의 예제에서, 항등원과 회전은, 위의 그룹 테이블에서 빨간색으로 강조-표시된, 부분-그룹 R = {id, r₁, r₂, r₃}을 구성합니다: 구성된 임의의 두 회전은 여전히 회전이고, 회전은 90°에 대해 270°, 180°에 대해 180°, 및 270°에 대해 90° 여 회전에 의해 (즉, 역에 의해) 취소될 수 있습니다 (반대 방향에서 회전은 정의되지 않는 것에 주목하십시오). 부분-그룹 테스트(subgroup test)는 그룹 G의 비-빈 부분-집합 H가 부분-그룹이 되는 것에 대해 필요 및 충분 조건입니다: 모든 원소 g, h ∈ H에 대해 g⁻¹h ∈ H인 것을 확인하는 것으로 충분합니다. 부분-그룹을 아는 것은 전체로 그룹을 이해하는 것에서 중요합니다.

그룹 G의 임의의 부분-집합 S가 주어지면, S에 의해 생성된 부분-그룹은 S의 원소와 그들의 역의 곱으로 구성됩니다. 그것은 S를 포함하는 G의 가장-작은 부분-그룹입니다. 위의 입문 예제에서, r₂와 f_v에 의해 생성된 부분-그룹은 이들 두 원소: 항등원 id 및 f_h = f_v • r₂로 구성됩니다. 다시, 이것은 부분-그룹인데, 왜냐하면 이들 네 원소 또는 그들의 역 중 임의의 둘 (이것은, 이 특정 경우에서, 이들의 같은 원소입니다)을 결합함으로써 이 부분-그룹의 원소를 산출하기 때문입니다.

Cosets

Main article: Coset

여러 상황에서 두 그룹 원소가, 만약 그들이 주어진 부분-그룹의 원소와 다르면, 같은 것으로 여기는 것이 바람직합니다. 예를 들어, 위의 D₄에서, 한번 반사가 수행되면, 정사각형은 회전 연산 (및 더 이상의 반사 없음)을 단지 적용함으로써 r₂ 구성으로 되돌아가지 못합니다, 즉, 회전 연산은 반사가 발생해 왔는지 여부와는 관계가 없습니다. 코셋은 이 통찰력을 공식화하기 위해서 사용됩니다: 부분-그룹 H는, 임의의 그룹 원소 g에 의한 H의 평행-이동으로 생각될 수 있는, 왼쪽 및 오른쪽 코셋을 정의합니다. 기호적 용어에서, g를 포함하는 H의 왼쪽 및 오른쪽 코셋은, 각각, 다음입니다:

gH = {g • h : h ∈ H} and Hg = {h • g : h ∈ H}.

임의의 부분-그룹 H의 왼쪽 코셋은 G의 분할(partition)을 형성합니다; 즉, 모든 왼쪽 코셋의 합집합(union)은 G와 같고 두 왼쪽 고셋은 같음 또는 빈(empty) 교집합(intersection)을 가짐 중에 하나입니다. 첫 번째 경우 g₁H = g₂H는 g₁⁻¹ • g₂ ∈ H일 때 정확하게, 즉, 만약 두 원소가 H의 원소에 의해 다르면, 발생입니다. 비슷한 고려-사항이 H의 오른쪽 코셋에 적용됩니다. H의 왼쪽 및 오른쪽 코셋은 같거나 또는 같지 않을 수 있습니다. 만약 그들이 있으면, 즉, G 안의 모든 g에 대해, gH = Hg이면, H는 정규 부분-그룹(normal subgroup)이라고 말합니다.

D₄에서, 입문 대칭 그룹, 회전으로 구성된 부분-그룹 R의 왼쪽 코셋 gR은, 만약 g가 R 자체의 원소이면, R과 같은 것, 또는 그렇지 않으면 U = f_cR = {f_c, f_v, f_d, f_h} (녹색으로 강조-표시됨)과 같은 것 중에 하나입니다. 부분-그룹 R은 역시 정규인데, 왜냐하면 f_cR = U = Rf_c이고 f_c가 아닌 임의의 원소에 대해 비슷하기 때문입니다. (사실, D₄의 경우에서, f_hR = f_vR = f_dR = f_cR를 만족하는, 모든 그러한 코셋은 같은 것임을 관찰하십시오.)

Quotient groups

Main article: Quotient group

일부 상황에서 부분-그룹의 코셋의 집합은, 몫 그룹(quotient group) 또는 인수 그룹(factor group)을 제공하는, 그룹 법칙과 함께 부여될 수 있습니다. 이것이 가능하려면, 부분-그룹이 정규(normal)이어야 합니다. 임의의 정규 부분-그룹 N이 주어지면, 몫 그룹은 다음으로 정의됩니다:

G / N = {gN, g ∈ G}, "G 모듈로 N".

이 집합은 원래 그룹: G 안의 모든 g와 h에 대해 G: (gN) • (hN) = (gh)N로부터 (때때로 코셋 곱셈, 또는 코셋 덧셈으로 불리는) 그룹 연산을 상속합니다. 이 정의는, 그의 코셋 gN 안의 임의의 원소 g에 결합되는 맵 G → G / N은 그룹 준동형인 것의 아이디어 (위에서 윤곽을 그린 일반적인 구조적 고려-사항의 그 자체의 예제), 또는 보편적 속성(universal properties)으로 불리는 일반적인 추상적 고려-사항에 의해 동기 부여됩니다. 코셋 eN = N은 이 그룹에서 항등원으로 사용하고, 몫 그룹에서 gN의 역은 (gN)⁻¹ = (g⁻¹)N입니다.

몫 그룹 D₄ / R의 그룹 테이블

•	R	U
R	R	U
U	U	R

몫 그룹 D₄ / R의 원소는 R 자체이며, 이것은 항등원을 나타내고, U = f_vR입니다. 몫에 대한 그룹 연산은 오른쪽에 보입니다. 예를 들어, U • U = f_vR • f_vR = (f_v • f_v)R = R입니다. 부분-그룹 R = {id, r₁, r₂, r₃} 마찬가지로 대응하는 몫 둘 다는 아벨이지만, 반면에 D₄는 아벨이 아닙니다. 그의 부분-그룹 R과 몫 D₄ / R로부터 D₄와 같은, 더 작은 그룹에 의한 더 큰 것을 세우면, 반직접 곱(semidirect product)으로 불리는 개념에 의해 추상화됩니다.

몫 그룹과 부분-그룹은 그의 표시(presentation)에 의해 모든 각 그룹을 표현하는 방법을 함께 형성합니다: 임의의 그룹은 그룹의 생성원(generators)에 걸쳐 자유 그룹(free group)의 몫이며, 관계의 부분-그룹에 의해 몫화됩니다. 정이면체 그룹 D₄는, 예를 들어, 두 원소 r과 f에 의해 생성될 수 있으며 (예를 들어, r = r₁, 오른쪽 회전 및 f = f_v는 수직 (또는 임의의 다른) 반사), 이것은 정사각형의 모든 각 대칭이 이들 두 대칭 또는 그들의 역의 유한한 합성임을 의미합니다. 다음 관계와 함께

r ⁴ = f ² = (r • f)² = 1,

그룹은 완전히 묘사됩니다. 그룹의 표시는 케일리 그래프(Cayley graph)를 구성하기 위해서 역시 사용될 수 있으며, 디바이스는 이산 그룹(discrete group)을 그래픽으로 포획하기 위해서 사용됩니다.

부분- 및 몫 그룹은 다음 방법으로 관련됩니다: G의 부분-집합 H는 단사(injective) 맵 H → G로 보일 수 있으며, 즉, 목표의 임의의 원소는 그것에 맵하는 원소가 많아야 하나를 가집니다. 단사 맵에 대한 짝은, 정식 맵 G → G / N와 같은, 전사(surjective) 맵 (목표의 모든 각 원소가 위로 맵핑됨)입니다. 이들 준동형에 비추어서 부분-그룹과 몫을 해석하는 것은 도입에서 암시하는 이들 정의 고유의 구조적 개념을 강조합니다. 일반적으로, 준동형은 단사 또는 전사 둘 다 아닙니다. 그룹 준동형의 커널(Kernel)과 이미지(image) 및 첫 번째 동형 정리(first isomorphism theorem)는 이 현상을 다룹니다.

Examples and applications

Main articles: Examples of groups and Applications of group theory

A periodic wallpaper pattern gives rise to a wallpaper group.

The fundamental group of a plane minus a point (bold) consists of loops around the missing point. This group is isomorphic to the integers.

그룹의 예제와 응용은 많이 있습니다. 시작 점은, 위에서 소개한, 그룹 연산으로 덧셈과 함께 정수의 그룹 Z입니다. 만약 덧셈 대신에 곱셈(multiplication)이 고려되면, 우리는 곱셈적 그룹(multiplicative group)을 얻습니다. 이들 그룹은 추상 대수학(abstract algebra)에서 중요한 구조의 전임자입니다.

그룹은 많은 다른 수학 영역에 역시 적용됩니다. 수학적 대상은 그룹을 그들에게 결합(functor) 및 해당하는 그룹의 속성을 연구함으로써 종종 검사됩니다. 예를 들어, 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 기본 그룹(fundamental group)을 도입함으로써 현재 대수적 토폴로지(algebraic topology)으로 불리는 것을 설립했습니다. 이 연결을 수단으로, 근접성(proximity) 및 연속성(continuity)과 같은 토폴로지적 속성(topological properties)은 그룹의 속성으로 변환합니다. 예를 들어, 기본 그룹의 원소는 루프로 표시됩니다. 오른쪽에서 두 번째 이미지는 평면에서 한 점을 뺀 일부 루프를 보여줍니다. 파란 루프는 널-호모토피적(null-homotopic) (따라서 무의미한)으로 여겨지는데, 왜냐하면 그것은 한 점에 연속적으로 수축될 수 있기 때문입니다. 구멍의 존재는 한 점으로 수축되는 것으로부터 주황색 루프를 방지합니다. 삭제된 점을 갖는 평면의 기본 그룹은 주황색 루프 (또는 구멍 주위에 한 번 감기는 임의의 다른 루프)에 의해 생성된 무한 순환으로 밝혀집니다. 이 방법, 기본 그룹이 구멍을 탐지합니다.

보다 최근의 응용에서, 영향은 그룹-이론적 배경에 의해 기하학적 구조에 동기를 부여하기 위한 역시 역전되어 왔습니다. 비슷한 맥락에서 기하학적 그룹 이론(geometric group theory)은, 예를 들어 쌍곡선 그룹(hyperbolic group)의 연구에서, 기하학적 개념을 사용합니다. 게다가 결정적으로 그룹을 적용하는 가지는 대수 기하학(algebraic geometry) 및 숫자 이론(number theory)을 포함합니다.

위의 이론적인 응용 이외에, 그룹의 많은 실제적 응용이 존재합니다. 암호학(Cryptography)은, 특히 유한 그룹에 대해 구현될 때, 계산적 그룹 이론(computational group theory)에서 얻어진 알고리듬(algorithm)적 지식과 함께 추상 그룹 이론 접근의 결합에 의존합니다. 그룹 이론의 응용은 수학에만 국한되지 않습니다; 물리학, 화학 및 컴퓨터 과학과 같은 과학은 개념으로부터 이점을 얻습니다.

Numbers

정수와 유리수와 같은 많은 숫자 시스템은 자연적으로 주어진 그룹 구조를 즐깁니다. 유리수와 함께에서 처럼, 일부 경우에서, 덧셈 및 곱셈 연산 둘-다는 그룹 구조를 야기합니다. 그러한 숫자 시스템은 링(rings) 및 필드(fields)로 알려진 보다 일반적인 대수 구조의 전임자입니다. 모듈(module), 벡터 공간(vector space), 및 대수(algebras)와 같은 추상 대수적 개념은 그룹을 역시 형성합니다.

Integers

$\left(\mathbb {Z} ,+\right)$으로 표시되는, 덧셈 아래의 정수 $\mathbb {Z}$의 그룹은 위에 설명되어 왔습니다. 덧셈 대신에 곱셈(multiplication)의 연산과 함께, 정수 $\left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)$는 그룹을 형성하지 않습니다. 클로저, 결합성 및 항등원 정리는 만족되지만, 역은 존재하지 않습니다: 예를 들어, a = 2는 정수이지만, 이 경우에 방정식 a · b = 1에 대한 유일한 해는 b = 1/2이며, 이것은 유리수이지만, 정수는 아닙니다. 그러므로 $\mathbb {Z}$의 모든 각 원소는 (곱셈의) 역을 가지지는 않습니다.

Rationals

곱셈의 역의 존재에 대해 희망은 다음 분수(fractions)를 고려하여 제안합니다:

${\frac {a}{b}}.$

(비-영 b를 갖는) 정수의 분수는 유리수(rational number)로 알려져 있습니다. 모든 그러한 기약 분수의 집합은 공통적으로 $\mathbb {Q}$로 표시됩니다. 곱셈과 함께 유리수가 그룹이 되는, $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$에 대해 여전히 약간의 장애가 있습니다: 왜냐하면 유리수 0은 곱셈의 역을 가지지 않기 때문입니다 (즉, x · 0 = 1을 만족하는 x는 없습니다), $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$은 여전히 그룹이 아닙니다.

어쨌든, 모든 비-영 유리수 $\mathbb {Q} \setminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}$의 집합은 곱셈 아래의 아벨 그룹을 형성하며, 일반적으로 $\mathbb {Q} ^{*}$로 표시됩니다. 결합성과 항등원 공리는 정수의 속성으로부터 따릅니다. 클로저 요구-사항은 영을 제거한 후에 여전히 참을 유지하는데, 왜냐하면 두 비-영 유리수의 곱은 절대 영이 아니기 때문입니다. 마지막으로, a/b의 역은 b/a이므로, 역원의 공리는 만족됩니다.

(영을 포함하여) 유리수는 덧셈 아래의 그룹을 역시 형성합니다. 덧셈과 곱셈 연산을 서로 얽히게 하는 것은 링(rings) 및—만약, $\mathbb {Q}$ 안에서 처럼, 나눗셈이 가능하면—추상 대수학(abstract algebra)에서 중심 위치를 차지하는 필드(fields)로 불리는 보다 복잡한 구조를 낳습니다. 그룹 이론적 논증은, 그러므로, 그들의 실재의 이론의 일부를 아래에 놓입니다.

Modular arithmetic

The hours on a clock form a group that uses addition modulo 12. Here 9 + 4 = 1.

모듈러 산술(modular arithmetic)에서, 두 정수는 더해지고 그런-다음 그 합은 모듈러스(modules)로 불리는 양의 정수로 나뉩니다. 모듈러 덧셈의 결과는 해당 나눗셈의 나머지(remainder)입니다. 임의의 모듈러스 n에 대해, 0부터 n − 1까지 정수의 집합은 모듈러 덧셈 아래에서 그룹을 형성합니다: 임의의 원소 a의 역은 n − a이고, 0은 항등원입니다. 이것은 시계(clock)의 표면 위의 시간의 덧셈으로 익숙합니다: 만약 시침이 9시에 있고 4시간을 전진하면, 오른쪽에서 보이는 것처럼, 시침이 1 위로 끝납니다. 이것은 9 + 4는 1 "모듈로 12"와 같음을 말함으로써 표현되며, 또는, 아래의 기호처럼 표시됩니다:

9 + 4 ≡ 1 modulo 12.

정수 모듈로 n의 그룹은 $\mathbb {Z} _{n}$ 또는 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$으로 쓰입니다.

임의의 소수(prime number) p에 대해, 정수 모듈로 p의 곱셈의 그룹이 역시 있습니다. 그의 원소는 정우 1에서 p − 1까지입니다. 그룹 연산은 곱셈 모듈로 p입니다. 즉, 보통 곱은 p로 나눠지고 이 나눗셈의 나머지는 모듈러 곱셈의 결과입니다. 예를 들어, 만약 p = 5이면, 네 그룹 원소 1, 2, 3, 4가 있습니다. 이 그룹에서, 4 · 4 = 1인데, 왜냐하면 보통 곱 16은, 5로 나누어서 1의 나머지를 산출하므로, 1과 동등하기 때문입니다. 5는 16 − 1 = 15를 나누는 것에 대해, 다음으로 표시합니다:

16 ≡ 1 (mod 5).

p의 소수성은 p로 나눌 수 없는 두 정수의 곱은 p에 의해 나눌 수 없다는 것을 보장하므로, 클래스의 표시된 집합은 곱셈 아래에서 닫힙니다. 보통 곱셈의 그룹에서 처럼, 항등원은 1이고, 결합성은 정수의 해당하는 속성에서 따릅니다. 마지막으로, 역원 공리는 p에 의해 나눌 수 없는 정수 a가 주어지면, 다음을 만족하는 정수 b가 존재하는 것을 요구합니다:

a · b ≡ 1 (mod p), 즉, p는 차이 a · b − 1를 나눕니다.

역 b는 베주의 항등식(Bézout's identity) 및 최대 공약수(greatest common divisor) gcd(a, p)는 1과 같다는 사실을 사용하여 구할 수 있습니다. 위의 경우 p = 5에서, 4의 역은 4이고, 3의 역은 2이고, 왜냐하면 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5)이기 때문입니다. 따라서 모든 그룹 공리가 채워졌습니다. 사실, 이 예제는 위의 $\left(\mathbb {Q} \setminus \left\{0\right\},\cdot \right)$와 비슷합니다: 그것은 곱셈의 역을 가지는 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$에서 정확하게 그들 원소로 구성됩니다. 이들 그룹은 F_p^×로 표시됩니다. 그것들은 공개-키 암호화(public-key cryptography)에 중대합니다.

Cyclic groups

Main article: Cyclic group

The 6th complex roots of unity form a cyclic group. z is a primitive element, but z² is not, because the odd powers of z are not a power of z².

순환 그룹(cyclic group)은 모든 거의 원소가 특정 원소 a의 거듭제곱(powers)인 그룹입니다. 곱셈의 표기법에서, 그룹의 원소는 다음입니다:

..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³, ...,

여기서 a²은 a • a를 의미하고, a⁻³은 a⁻¹ • a⁻¹ • a⁻¹ = (a • a • a)⁻¹, 등을 의미합니다. 그러한 원소 a는 그룹의 생성원 또는 원시 원소(primitive element)로 불립니다. 덧셈의 표기법에서, 원시가 되는 원소에 대해 요구-사항은 그룹의 각 원소가 다음으로 쓸 수 있는 것입니다:

..., −a−a, −a, 0, a, a+a, ...

위에 소개된 그룹 Z/nZ에서, 원소 1은 원시이므로, 이들 그룹은 순환적입니다. 사실, 각 원소는 모든 그들 항이 1인 합으로 표현할 수 있습니다. n 개의 원소를 가진 임의의 순환 그룹은 이 그룹과 동형입니다. 순환 그룹에 대해 두 번째 예제는 zⁿ = 1을 만족하는 복소수(complex number) z에 의해 제공되는, 단위의 n-번째 복소수 근들(n-th complex roots of unity)의 그룹입니다. 이들 숫자는, n = 6에 대해 오른쪽에서 파란색으로 표시된 것처럼, 정 n-다각형 위의 꼭짓점으로 시각화될 수 있습니다. 그룹 연산은 복소수의 곱셈입니다. 그림에서, z와 함께 곱셈은 반-시계 방향(counter-clockwise)으로 60° 회전하는 것에 해당합니다. 일부 필드 이론(field theory)을 사용하여, 그룹 F_p^×는 순환적인 것으로 보일 수 있습니다: 예를 들어, 만약 p = 5이면, 3은 생성원인데, 왜냐하면, 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, 및 3⁴ ≡ 1이기 때문입니다.

일부 순환 그룹은 원소의 무한한 숫자를 가집니다. 이들 그룹에서, 모든 각 비-영 원소 a에 대해, a의 모든 거듭제곱은 구별됩니다; 이름 "순환 그룹"에도 불구하고, 원소의 거듭제곱은 순환하지 않습니다. 무한 순환 그룹은, 위에 소개된 덧셈 아래의 정수의 그룹, (Z, +)과 동형입니다. 이들 두 프로토타입은 모두 아벨이므로, 그래서 임의의 순환 그룹입니다.

유한하게 생성된 아벨 그룹의 연구는, 유한하게 생성된 아벨 그룹의 기본 정리를 포함하여, 아주 성숙합니다; 그리고 이 상황을 반영하여, 중심(center) 및 교환자(commutator)와 같은, 많은 그룹-관련 개념은 주어진 그룹이 아벨이 아닌 범위를 나타냅니다.

Symmetry groups

Main article: Symmetry group

See also: Molecular symmetry, Space group, and Symmetry in physics

대칭 그룹(Symmetry groups)은, 정사각형의 입문 대칭 그룹과 같은 기하학적 본성 또는 다항 방정식(polynomial equation) 및 그들의 해와 같은 대수적 본성의 그들이 있는—주어진 수학적 대상의 대칭(symmetries)으로 구성된 그룹입니다. 개념적으로, 그룹 이론은 대칭의 연구로 생각될 수 있습니다. 수학에서 대칭(Symmetries in mathematics)은 기하학적(geometrical) 또는 해석적(analytical) 대상의 연구를 크게 단순화합니다. 그룹은, 만약 모든 각 그룹 원소가 그룹 법칙과 호환-가능한 X 위의 일부 연산을 수행하면, 또 다른 수학적 대상 X 위에 작용한다(act)고 말합니다. 아래의 가장 오른쪽 예제에서, (2,3,7) 삼각형 그룹의 차수 7의 원소는 강조-표시된 비뚤어진 삼각형 (및 다른 것들도)을 순열함으로써 타일링에 작용합니다. 그룹 동작에 의해, 그룹 패턴은 작용중인 대상의 구조에 연결됩니다.

Rotations and reflections form the symmetry group of a great icosahedron.

결정학(crystallography)과 같은 화학 분야에서, 공간 그룹(space group) 및 점 그룹(point group)은 분자 대칭(molecular symmetries) 및 결정(crystal) 대칭을 설명합니다. 이들 대칭은, 이들 시스템의 화학적 및 물리적 행위의 기초가 되고, 그룹 이론은 이들 속성의 양자 역학적(quantum mechanical) 해석학의 단순화를 활성화합니다. 예를 들어, 그룹 이론은 특정 양자 레벨 사이의 광학 전이가, 뒤얽힌 상태의 대칭 때문에, 단순히 절대 발생할 수 없음을 보여주기 위해 사용됩니다.

그룹은 분자에서 대칭의 함축을 평가하기 위해 유용할 뿐만 아니라, 놀랍게도 그들은 분자가 때때로 대칭을 바꿀 수 있음을 예측합니다. 존–텔러 효과(Jahn–Teller effect)는 분자의 대칭 연산에 의해 서로 관련되어 있는 가능한 기저 상태의 집합으로부터 낮은 대칭의 특정한 바닥 상태를 채택할 때 높은 대칭의 분자의 왜곡입니다.

마찬가지로, 그룹 이론은 물질이 위상 전이(phase transition), 예를 들어, 입방체로부터 사면체 결정체 형태로 받을 때 발생하는 물리적 속성에서 변화를 예측하는 데 도움이 됩니다. 예제는 강유전(ferroelectric) 물질이며, 여기서 상설의 상태에서 강유전 상태로의 변화가 큐리 온도(Curie temperature)에서 발생하고 전이에서 영 주파수로 가는 진동 격자 모드, 이른바 소프트 포논(phonon) 모드를 동반된, 높은-대칭 상설로부터 낮은 대칭 강유전 상태로의 변화와 관련됩니다.

그러한 자발적인 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)은 초등 입자 물리학에서 더 많은 응용을 발견해 왔으며, 여기서 그의 발생은 골드스톤 보손(Goldstone bosons)의 출현과 관련됩니다.

Buckminsterfullerene displays icosahedral symmetry, though the double bonds reduce this to pyritohedral symmetry.	Ammonia, NH3. Its symmetry group is of order 6, generated by a 120° rotation and a reflection.	Cubane C8H8 features octahedral symmetry.	Hexaaquacopper(II) complex ion, [Cu(OH2)6]2+. Compared to a perfectly symmetrical shape, the molecule is vertically dilated by about 22% (Jahn-Teller effect).	The (2,3,7) triangle group, a hyperbolic group, acts on this tiling of the hyperbolic plane.

마티외 그룹(Mathieu group)과 같은 유한 대칭 그룹은 코딩 이론(coding theory)에 사용되며, 이것은 전송된 데이터의 오류 수정(error correction) 및 CD 플레이어에 차례로 적용됩니다. 또 다른 응용은, 특정 미분 방정식(differential equation)의 해가 잘-작동할 때 그룹-이론적 기준을 제공하는, 규정된 형태의 역도함수(antiderivative)를 가지는 함수를 특징짓는, 미분 갈루아 이론(differential Galois theory)입니다. 그룹 동작 아래에서 안정을 유지하는 기하학적 속성은 (기하학적) 불변 이론(invariant theory)에서 조사됩니다.

General linear group and representation theory

Main articles: General linear group and Representation theory

Two vectors (the left illustration) multiplied by matrices (the middle and right illustrations). The middle illustration represents a clockwise rotation by 90°, while the right-most one stretches the x-coordinate by factor 2.

행렬 그룹(matrix group)은 행렬 곱셈(matrix multiplication)과 함께 행렬(matrices)로 구성됩니다. 일반적인 선형 그룹 GL(n, R)은 실수 엔트리를 갖는 모든 역-가능한(invertible) n-×-n 행렬로 구성됩니다. 그의 부분-그룹은 행렬 그룹 또는 선형 그룹(linear group)으로 참조됩니다. 위에서 언급된 정이면체 그룹 예제는 (아주 작은) 행렬 그룹으로 보일 수 있습니다. 또 다른 중요한 행렬 그룹은 특수 직교 그룹(special orthogonal group) SO(n)입니다. 그것은 n 차원에서 모든 가능한 회전을 설명합니다. 오일러 각(Euler angles)을 통해, 회전 행렬(rotation matrices)이 컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서 사용됩니다.

표시 이론(Representation theory)은 그룹 개념의 응용 및 그룹의 더 깊은 이해에 대해 중요성 모두입니다. 그것은 다른 공간 위의 그의 그룹 동작(group action)에 의해 그룹을 연구합니다. 그룹 표시(group representation)의 광범위한 클래스는 선형 표시이며, 즉, 그룹은 삼-차원의 유클리드 공간(Euclidean space) R³과 같은, 벡터 공간(vector space)에 동작합니다. n-차원(dimention)의 실수 벡터 공간 위의 G의 표시는 그룹으로부터 일반적인 선형 그룹으로 다음과 같은 단순히 그룹 준동형입니다:

ρ: G → GL(n, R)

이 방법, 추상적으로 제공될 수 있는 그룹 연산은 그것을 명시적 계산에 접근할 수 있게 만드는 행렬의 곱셈으로 변환합니다.

그룹 동작이 주어지면, 이것은 작용하는 대상을 연구하는 더 많은 수단을 제공합니다. 다른 한편으로, 그것은 그룹에 대한 정보를 역시 산출합니다. 그룹 표시는 유한 그룹, 리 그룹, 대수 그룹(algebraic group) 및 토폴로지적 그룹(topological group), 특히 (지역적으로) 컴팩트 그룹(compact group)의 이론에서 유기적인 형태를 부여하는 원리입니다.

Galois groups

Main article: Galois group

갈루아 그룹(Galois groups)은 그들의 대칭 특색을 포착하여 다항 방정식(polynomial equation)을 푸는 것을 돕기 위해 개발되었습니다. 예를 들어, 이차 방정식(quadratic equation) ax² + bx + c = 0의 해는 다음과 같이 주어집니다:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

표현에서 "+" 및 "−"를 교환하는 것, 즉, 방정식의 두 해를 순열화는 (매우 간단한) 그룹 연산으로 보일 수 있습니다. 비슷한 공식은 삼차(cubic) 및 사차 방정식(quartic equation)에 대해 알려져 있지만, 오차(degree 5)와 더 높은 것에 대해 일반적으로 존재하지 않습니다. 다항식과 관련된 갈루아 그룹의 추상적 속성 (특히 그들의 해결가능성(solvability))은 제곱근에 의해 표현-가능한 모든 해를 가지는 다항식, 즉, 위의 공식과 유사하게 다만 덧셈, 곱셈, 제곱근(roots)을 사용하여 표현-가능한 해를 위한 기준을 제공합니다.

문제는 필드 이론(field theory)으로 이동하는 것 및 다항식의 분해 필드(splitting field)를 고려함으로써 다루어질 수 있습니다. 현대 갈루아 이론(Galois theory)은 갈루아 그룹의 위의 유형을 필드 확장(field extension)으로 일반화하고 필드와 그룹 사이의 정확한 관계를—갈루아 이론의 기본 정리를 통해—확립하고, 수학에서 그룹의 편재성을 다시 한번 강조합니다.

Finite groups

Main article: Finite group

그룹은, 만약 그것이 원소의 한정된 숫자를 가지면, 유한이라고 불립니다. 원소의 숫자는 그룹의 차수(order)라고 불립니다. 중요한 클래스는 대칭 그룹(symmetric group) S_N, N 문자의 순열(permutation)의 그룹입니다. 예를 들어, 3 문자 S₃ 위의 대칭 그룹은 세 문자 ABC의 모든 가능한 순서화로 구성된 그룹으로, 즉, 전체 6 (3의 팩토리얼(factorial))에서, 원소 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA를 포함합니다. 이 클래스는, 케일리의 정리(Cayley's theorem)에 따라, 임의의 유한 그룹이 적절한 정수 N에 대해 대칭 그룹 S_N의 부분-그룹으로 표현될 수 있는 한 근본적입니다. 위의 정사각형의 대칭의 그룹과 평행한, S₃는 등변 삼각형(equilateral triangle:정삼각형)의 대칭의 그룹으로 역시 해석될 수 있습니다.

그룹 G에서 원소 a의 차수는 aⁿ = e을 만족하는 최소 양의 정수 n이며, 여기서 aⁿ은 다음

$\underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},$

즉, a의 n 복사본에 대한 연산 •의 응용을 표현합니다. (만약 •가 곱셈을 나타내면, aⁿ은 a의 n번째 거듭제곱에 해당합니다.) 무한 그룹에서, 그러한 n은 존재하지 않을 것이며, 이 경우에서 a의 차수는 무한대라고 말합니다. 원소의 차수는 이 원소에 의해 생성된 순환 부분-그룹의 차수와 같습니다.

보다 정교한 세는 기법, 예를 들어 코셋을 세는 것은 유한 그룹에 대한 보다 정확한 명제를 산출합니다: 라그라주의 정리(Lagrange's Theorem)는 유한 그룹 G에 대해 임의의 유한 부분-그룹 H의 차수는 G의 차수를 나누는 것을 말합니다. 쉴로브 정리(Sylow theorems)는 부분 역(converse)을 제공합니다.

(위에서 논의된) 정이면체 그룹(dihedral group)은 차수 8의 유한 그룹입니다. r₁의 차수는, 그것이 생성하는 부분-그룹 R의 차수와 마찬가지로, 4입니다 (위를 참조하십시오). 반사 원소 f_v 등의 차수는 2입니다. 두 차수 모두, 라그랑주의 정리에 의해 예측된 것처럼, 8을 나눕니다. 위의 그룹 F_p^×는 차수 p − 1을 가집니다.

Classification of finite simple groups

Main article: Classification of finite simple groups

수학자들은 종종 수학적 개념의 완전한 분류(classification) (또는 목록)를 위해 노력합니다. 유한 그룹의 문맥에서, 이 목표는 어려운 수학으로 이어집니다. 라그랑주의 정리에 따르면, 소수, 차수 p의 유한 그룹은 반드시 순환 (아벨) 그룹 Z_p입니다. 차수 p²의 그룹은, 위의 차수 8 = 2³의 비-아벨 그룹 D₄가 보여주는 것처럼, 차수 p³로 일반화하지 않는다는 명제, 아벨이 되는 것으로 역시 보일 수 있습니다. 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system)은 작은 그룹을 나열하기 위해 사용될 수 있지만, 모든 유한 그룹의 분류는 없습니다. 중간 단계는 유한 단순 그룹의 분류입니다. 비-자명한 그룹은, 만약 그의 오직 정규 부분-그룹이 자명한 그룹(trivial group) 및 그 그룹 자체이면, 단순(simple)으로 불립니다. 조르당–휠더 정리(Jordan–Hölder theorem)는 모든 유한 그룹에 대해 빌딩 블록으로 유한 단순 그룹을 나타냅니다. 모든 유한 단순 그룹을 나열하는 것은 현대 그룹 이론에서 주요 업적이었습니다. 1998년 필드 메달 수상자 리처드 보처즈(Richard Borcherds)는 가장 큰 유한 단순 산발 그룹(sporadic group)—"괴물 그룹"—및 어떤 모듈러 함수(modular function), 고전적 복소수 해석학(complex analysis)의 조각, 및 문자열 이론(string theory), 많은 물리적 현상의 설명을 통일하기 위해서 가정된 이론 사이의 놀랍고도 깊은 관계, 가공할 헛소리(monstrous moonshine) 추측을 증명하는 것을 성공했습니다.

Groups with additional structure

많은 그룹이 다른 수학적 구조의 동시에 그룹이고 예제입니다. 카테고리 이론의 언어에서, 그들은, 그룹 공리를 모방한 (사상(morphism)이라고 불리는) 변환과 함께 대상 (즉, 다른 수학적 구조의 예제)를 의미하는, 카테고리(category) 안의 그룹 대상(group object)입니다. 예를 들어, (위에 정의된 것처럼) 모든 각 그룹은 역시 집합이므로, 그룹은 집합의 카테고리(category of sets)에서 그룹 대상입니다.

Topological groups

The unit circle in the complex plane under complex multiplication is a Lie group and, therefore, a topological group. It is topological since complex multiplication and division are continuous. It is a manifold and thus a Lie group, because every small piece, such as the red arc in the figure, looks like a part of the real line (shown at the bottom).

Main article: Topological group

일부 토폴로지적 공간(topological space)은 그룹 법칙이 부여될 수 있습니다. 그룹 법칙과 토폴로지가 잘 섞어 짜여지기 위해서, 그룹 연산은 반드시 연속 함수(continuous function)여야 하고, 즉, g • h, 및 g⁻¹는, 만약 g와 h가 단지 조금 변하면, 반드시 크게 변해서는 안됩니다. 그러한 그룹은 토폴로지적 그룹(topological groups)으로 불리고, 그들은 토폴로지적 공간의 카테고리(category of topological spaces) 안의 그룹 대상입니다. 가장 기본적인 예제는 덧셈 아래의 실수 R, (R ∖ {0}, ·)이고, 비슷하게 복소수 또는 p-진수 숫자(p-adic numbers)와 같은 임의의 다른 토폴로지적 필드(topological field)와 함께입니다. 이들 그룹의 모두는 지역적으로 컴팩트(locally compact)이고, 그래서 그들은 하르 측정(Haar measure)을 가지고 조화 해석학(harmonic analysis)을 통해 연구될 수 있습니다. 앞의 것은 불변 적분(integral)의 추상적 공식화를 제공합니다. 불변(Invariance)은, 실수의 경우에서, 예를 들어, 임의의 상수 c에 대해, 다음과 같음을 의미합니다:

$\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }f(x+c)\,dx$

이러한 필드에 걸쳐 행렬 그룹은, 숫자 이론에 기본이 되는, 아델 링(adele ring) 및 아델 대수 그룹(adelic algebraic group)이 그런 것처럼, 이 제도 아래에 떨어집니다. 절대 갈루아 그룹(absolute Galois group)과 같은 무한한 필드 확장의 갈루아 그룹은, 무한한 필드 확장에 대한 필드와 그룹의 위에서 개요를 기술한 연결을 일반화하는 차례로 중심에 있는, 이른바 크룰 토폴로지(Krull topology)을 역시 갖춰질 수 있습니다. 대수 기하학(algebraic geometry)의 필요에 맞게 조정된, 이 아이디어의 진보된 일반화는 에탈 근본 그룹(étale fundamental group)입니다.

Lie groups

Main article: Lie group

(소푸스 리(Sophus Lie)의 명예를 기리며) 리 그룹 (Lie groups)은 매니폴드(manifold) 구조를 역시 가지는 그룹입니다. 즉, 그들은 적절한 차원(dimension)의 일부 유클리드 공간(Euclidean space)처럼 지역적으로 보이는 공간입니다. 다시, 덧셈의 구조, 여기서는 매니폴드 구조는 호환-가능이 되어야 하며, 즉, 곱셈과 역 대응하는 맵은 매끄럽게(smooth) 되어야 합니다.

표준 예제는 위에서 소개된 일반적인 선형 그룹입니다; 그것은 모든 n-×-n 행렬의 공간의 열린 부분-집합(open subset)인데, 왜냐하면 그것은 다음 부등식에 의해 제공됩니다:

det (A) ≠ 0,

여기서 A는 n-×-n 행렬을 나타냅니다.

리 그룹은 현대 물리학에서 기본적으로 중요합니다: 뇌터의 정리(Noether's theorem)는 연속적인 대칭을 보존된 양(conserved quantities)과 연결합니다. 공간(space) 및 시간(time)에서 이동(translations)과 마찬가지로 회전(rotation)은 역학(mechanics)의 법칙의 기본적인 대칭입니다. 그들은, 예를 들어, 단순 모델을 구성하기 위해 사용될 수 있습니다—인상적인 것, 말하자면, 상황에 대한 축 대칭은 전형적으로 방정식에서 상당한 단순화로 이어지며 우리는 물리적인 설명을 제공하기 위해 해결해야 합니다. 또 다른 예제는 로렌츠 변환(Lorentz transformation)이며, 이것은 서로 사이에 관련된 운동에서 두 관찰자의 시간과 속도의 측정을 관련시킵니다. 그들은 민코프스키 공간(Minkowski space)의 회전 대칭으로 변환을 표현함으로써, 순수하게 그룹-이론적인 방법으로 추론될 수 있습니다. 후자는 특수 상대성(special relativity)에서 시공간(space time)의 모형으로—중요한 중력(gravitation)의 부재에서—취급됩니다. 민코프스키 공간의 전체 대칭 그룹은, 즉, 평행 이동을 포함하여, 푸앵카레 그룹(Poincaré group)으로 알려져 있습니다. 위에 의해, 그것은 특수 상대성 및, 함축에 의해, 양자 필드 이론(quantum field theories)에 대해 중추적인 역할을 합니다. 위치에 따라 달라지는 대칭은 게이지 이론(gauge theory)의 도움과 함께 물리적 상호-작용의 현대적 설명에서 핵심입니다.

Generalizations

Group-like structures

	Totality	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

추상 대수학(abstract algebra)에서, 보다 일반적인 구조가 그룹을 정의하는 공리의 일부를 완화함으로써 정의됩니다. 예를 들어, 만약 모든 원소가 역을 가지는 요구 조건이 제거되면, 결과 대수 구조는 모노이드(monoid)로 불립니다. 덧셈 아래에서 (0을 포함하는) 자연수 N은 모노이드를 형성하며, 곱셈 (Z ∖ {0}, ·) 아래의 비-영 정수가 그런 것처럼, 위를 참조하십시오. (Q ∖ {0}, ·)가 (Z ∖ {0}, ·)으로부터 유도된 것처럼 많은 같은 방법, 그로텐디크 그룹(Grothendieck group)으로 알려진, 임의의 (아벨) 모노이드에 역을 원소에 공식적으로 더하기 위한 일반적인 방법이 있습니다. 그룹포이드(Groupoid)는, 합성 a • b가 모든 a와 b에 대해 정의될 필요가 없다는 점을 제외하고는 그룹과 유사합니다. 그것들은, 근본 그룹포이드(fundamental groupoid) 또는 스택(stacks)과 같은, 종종 토폴로지적(topological) 및 해석적(analytical) 구조에서, 대칭의 보다 복잡한 형태의 연구에서 발생합니다. 마지막으로, 이항 연산을 임의의 n-항 연산 (즉, n 개의 인수를 취하는 연산)으로 대체하는 것에 의해 임의의 이들의 개념을 일반화하는 것이 가능합니다. 그룹 공리의 적절한 일반화와 함께 이것은 n-항 그룹(n-ary group)을 야기합니다. 테이블은 그룹을 일반화하는 여러 구조의 목록을 제공합니다.

See also

• Abelian group
• Cyclic group
• Euclidean group
• Finitely presented group
• Free group
• Fundamental group
• Grothendieck group
• Group algebra
• Group ring
• Heap (mathematics)
• List of small groups
• Nilpotent group
• Non-abelian group
• Quantum group
• Reductive group
• Solvable group
• Symmetry in physics
• Computational group theory

Notes

^ a: Mathematical Reviews lists 3,224 research papers on group theory and its generalizations written in 2005.
^ aa: The classification was announced in 1983, but gaps were found in the proof. See classification of finite simple groups for further information.
^ b: The closure axiom is already implied by the condition that • be a binary operation. Some authors therefore omit this axiom. However, group constructions often start with an operation defined on a superset, so a closure step is common in proofs that a system is a group. Lang 2002
^ c: See, for example, the books of Lang (2002, 2005) and Herstein (1996, 1975).
^ d: However, a group is not determined by its lattice of subgroups. See Suzuki 1951.
^ e: The fact that the group operation extends this canonically is an instance of a universal property.
^ f: For example, if G is finite, then the size of any subgroup and any quotient group divides the size of G, according to Lagrange's theorem.
^ g: The word homomorphism derives from Greek ὁμός—the same and μορφή—structure.
^ h: The additive notation for elements of a cyclic group would be t • a, t in Z.
^ i: See the Seifert–van Kampen theorem for an example.
^ j: An example is group cohomology of a group which equals the singular cohomology of its classifying space.
^ k: Elements which do have multiplicative inverses are called units, see Lang 2002, §II.1, p. 84.
^ l: The transition from the integers to the rationals by adding fractions is generalized by the quotient field.
^ m: The same is true for any field F instead of Q. See Lang 2005, §III.1, p. 86.
^ n: For example, a finite subgroup of the multiplicative group of a field is necessarily cyclic. See Lang 2002, Theorem IV.1.9. The notions of torsion of a module and simple algebras are other instances of this principle.
^ o: The stated property is a possible definition of prime numbers. See prime element.
^ p: For example, the Diffie-Hellman protocol uses the discrete logarithm.
^ q: The groups of order at most 2000 are known. Up to isomorphism, there are about 49 billion. See Besche, Eick & O'Brien 2001.
^ r: The gap between the classification of simple groups and the one of all groups lies in the extension problem, a problem too hard to be solved in general. See Aschbacher 2004, p. 737.
^ s: Equivalently, a nontrivial group is simple if its only quotient groups are the trivial group and the group itself. See Michler 2006, Carter 1989.
^ t: More rigorously, every group is the symmetry group of some graph; see Frucht's theorem, Frucht 1939.
^ u: More precisely, the monodromy action on the vector space of solutions of the differential equations is considered. See Kuga 1993, pp. 105–113.
^ v: See Schwarzschild metric for an example where symmetry greatly reduces the complexity of physical systems.
^ w: This was crucial to the classification of finite simple groups, for example. See Aschbacher 2004.
^ x: See, for example, Schur's Lemma for the impact of a group action on simple modules. A more involved example is the action of an absolute Galois group on étale cohomology.
^ y: Injective and surjective maps correspond to mono- and epimorphisms, respectively. They are interchanged when passing to the dual category.

Citations

References

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See also: Historically important publications in group theory

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