Implicit function theorem

수학(mathematics), 보다 구체적으로 다변수 미적분학(multivariable calculus)에서, 암시적 함수 정리는^[1] 관계(relations)를 여러 실수 변수의 함수로 변환하는 것을 허용하는 도구입니다. 그것은 관계를 함수의 그래프(graph of a function)로 표현함으로써 그렇게 합니다. 그래프가 전체 관계를 나타낼 수 있는 단일 함수는 없을 수 있지만, 관계의 도메인(domain)의 제한에 대한 그러한 함수가 있을 수 있습니다. 암시적 함수 정리는 그러한 함수가 있음을 보장하기 위한 충분한 조건을 제공합니다.

보다 정확하게, $m$ 방정식의 시스템 $f i (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m) = 0, i = 1, ..., m$ (종종 $F (x, y) = 0$ 로 축약됨)이 주어지면, 그 정리는, 한 점에서 ( $y i$ 에 관한) 부분 도함수(partial derivative)에 대한 온화한 조건 아래에서, $m$ 변수 $y i$ 가 점의 일부 이웃(neighborhood)에서 $x j$ 의 미분-가능 함수라는 것을 나타냅니다. 이들 함수는 일반적으로 닫힌 형식(closed form)으로 표현될 수 없기 때문에, 그들은 방정식에 의해 암시적으로 정의되고, 이것이 정리의 이름에 동기-부여했습니다.^[2]

다시 말해서, 부분 도함수에 대한 온화한 조건 아래에서, 방정식의 시스템의 영들(zeros)의 집합은 지역적(locally)으로 함수의 그래프(graph of a function)입니다.

History

오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy) (1789–1857)는 암시적 함수 정리의 첫 번째 엄격한 형식으로 공인됩니다. 울리세 디니(Ulisse Dini) (1845–1918)는 암시적 함수 정리의 실수-변수 버전을 임의의 숫자의 실수 변수의 함수의 문맥으로 일반화했습니다.^[3]

First example

만약 우리가 함수 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 를 정의하면, 방정식 f(x, y) = 1은 단위 원(unit circle)을 수준 집합(level set) {(x, y) | f(x, y) = 1}으로 자릅니다. 단위 원을 한 변수의 함수의 그래프 y = g(x)로 나타내는 방법이 없는데 왜냐하면 x ∈ (−1, 1)의 각 선택에 대해, y의 두 선택, 즉 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ 이 있기 때문입니다.

어쨌든, 원의 일부를 한 변수의 함수의 그래프로 표현할 수 있습니다. 만약 우리가 −1 ≤ x ≤ 1에 대해 $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 로 놓으면, $y=g_{1}(x)$ 의 그래프는 원의 위쪽 절반을 제공합니다. 비슷하게, 만약 $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ 이면, $y=g_{2}(x)$ 의 그래프는 원의 아래쪽 절반을 제공합니다.

암시적 함수 정리의 목적은, 심지어 우리가 명시적인 공식을 작성할 수 없는 상황에서, $g_{1}(x)$ 및 $g_{2}(x)$ 와 같은 함수의 존재를 알려주는 것입니다. $g_{1}(x)$ 와 $g_{2}(x)$ 가 미분-가능이고, 심지어 우리가 f(x, y)에 대한 공식을 가지지 않는 상황에서 작동함을 보장합니다.

Definitions

$f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ 를 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable) 함수로 놓습니다. 우리는 $\mathbb {R} ^{n+m}$ 을 데카르트 곱(Cartesian product) $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ 으로 생각하고, 우리는 그 곱의 점을 $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m})$ 으로 씁니다. 주어진 함수 f로 시작하여, 우리의 목표는 그의 그래프 (x, g(x))가 f(x, y) = 0를 만족하는 정확하게 모든 함수 (x, y)의 집합인 함수 $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 를 구성하는 것입니다.

위에서 언급한 것처럼, 이것은 항상 가능하지 않을 수 있습니다. 우리는 따라서 f(a, b) = 0을 만족시키는 점 (a, b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m)을 고정할 것이고, 우리는 점 (a, b) 근처에서 작동하는 g를 필요로 할 것입니다. 달리 말해서, 우리는 a를 포함하는 열린 집합(open set) $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ , b를 포함하는 열린 집합 $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ , 및 U × V 위에 관계 f = 0를 만족시키는 g의 그래프와 U × V 이내의 다른 점은 그렇게 하지 않는 것을 만족하는 함수 g : U → V를 원합니다. 기호에서,

\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.

암시적 함수 정리를 설명하기 위해, 우리는 f의 부분 도함수(partial derivative)의 행렬인 f의 야코비 행렬(Jacobian matrix)을 필요로 합니다. (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m)를 (a, b)로 축약하면, 야코비 행렬은 다음입니다:

(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]

여기서 X는 변수 x_i에서 부분 도함수의 행렬이고 Y는 변수 y_j에서 부분 도함수의 행렬입니다. 암시적 함수 정리는 만약 Y가 역-가능 행렬이면, 원하는 것처럼 U, V, 및 g가 있다고 말합니다. 모든 가설을 함께 쓰면 다음 명제를 제공합니다.

Statement of the theorem

$f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ 를 연속적으로 미분-가능 함수(continuously differentiable function)로 놓고, $\mathbb {R} ^{n+m}$ 가 좌표 (x, y)를 가진다고 놓습니다. f(a, b) = 0를 갖는 점 (a, b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m)를 고정하며, 여기서 $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ 는 영 벡터입니다. 만약 다음 야코비 행렬(Jacobian matrix) (이것은 이전 섹션에서 보인 야코비 행렬의 오른쪽-변 패널입니다)이 역-가능(invertible)이면,

J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]

g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}

및

f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} \quad {\text{for all}}\quad \mathbf {x} \in U

을 만족하는 유일한 연속적으로 미분-가능 함수 $g:U\to \mathbb {R} ^{m}$ 가 존재하는 것을 만족하는 a를 포함하는 열린 집합 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 이 존재합니다.

게다가, U에서 g의 부분 도함수는 다음 행렬 곱(matrix product)에 의해 제공됩니다:^[4]

{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times 1}.

Higher derivatives

만약, 게다가, f가 (a, b)의 이웃에서 해석적(analytic) 또는 k번 연속적으로 미분-가능이면, 우리는 같은 것이 U 내부의 g에 대해 유지할 목적으로 U를 선택할 수 있습니다.^[5] 해석적 경우에서, 이것은 해석적 암시적 함수 정리(analytic implicit function theorem)라고 불립니다.

Proof for 2D case

$F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 가 곡선 $F(x,y)=0$ 을 정의하는 연속적으로 미분-가능 함수로 가정합니다. $(x_{0},y_{0})$ 를 곡선 위의 한 점으로 놓습니다. 위의 정리의 명제는 다음처럼 이 단순한 경우에 대해 다시-쓸 수 있습니다:

만약 다음이면:

\left.{\frac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0

(x_{0},y_{0})

주위의 곡선에 대해 우리는

y=f(x)

를 쓸 수 있으며, 여기서

f

는 실수 함수입니다.

증명. F가 미분-가능이므로 우리는 부분 도함수를 통해 F의 미분을 씁니다:

\mathrm {d} F=\operatorname {grad} F\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}={\partial F \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial F \over \partial y}\mathrm {d} y.

왜냐하면 우리가 곡선 $\mathrm {d} F=0$ 위의 움직임으로 제한되어 있고 점 $(x_{0},y_{0})$ 주위의 ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ 가정에 의한 것이기 때문입니다. 그러므로, 우리는 일차 보통의 미분 방정식(first-order ordinary differential equation)을 가집니다:

\partial _{x}F\mathrm {d} x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}

이제 우리는 점 $(x_{0},y_{0})$ 주위의 열린 구간에서 이 ODE에 대한 해를 찾을 것이며, 그것 안의 모든 각 점에서 $\partial _{y}F\neq 0$ 입니다. F가 연속적으로 미분-가능이고 가정으로부터 우리는 다음을 가집니다:

|\partial _{x}F|<\infty ,|\partial _{y}F|<\infty ,\partial _{y}F\neq 0.

이것으로부터 우리는 ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ 가 연속이고 양 끝점에서 경계짐을 알 수 있습니다. 여기로부터 우리는 $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ 가 x와 y 둘 다에서 립시츠 연속임을 알 수 있습니다. 그러므로, 코시-립시츠 정리(Cauchy-Lipschitz theorem)에 의해, 초기 조건과 함께 주어진 ODE에 대한 해인 고유한 y(x)가 존재합니다. ∎

The circle example

단위 원(unit circle)의 예제로 돌아가 보겠습니다. 이 경우에서 n = m = 1 및 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ 입니다. 부분 도함수의 행렬은 단지 1 × 2 행렬이며, 다음에 의해 제공됩니다:

(Df)(a,b)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\ \ {\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\right]=[2a\ \ 2b]

따라서, 여기서, 정리의 명제에서 Y는 단지 숫자 2b입니다; 그것에 의해 정의된 선형 맵은 역-가능인 것과 b ≠ 0인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 암시적 함수 정리에 의해 우리는 y ≠ 0인 모든 점에 대해 형식 y = g(x)에서 원을 지역적으로 쓸 수 있음을 알 수 있습니다. (±1, 0)에 대해, 우리는 앞서 언급했듯이 문제가 발생합니다. 암시적 함수 정리는 x를 y의 함수, 즉, $x=h(y)$ 로 씀으로써 이들 두 점에 여전히 적용될 수 있습니다; 이제 함수의 그래프는 $\left(h(y),y\right)$ 이 될 것인데, 왜냐하면 여기서 b = 0이면 우리는 a = 1을 가지고, 이 형식에서 함수를 지역적으로 표현하기 위한 조건이 만족시키기 때문입니다.

x에 관한 y의 암시적 도함수와 y에 관한 x의 도함수는 암시적 함수 $x^{2}+y^{2}-1$ 를 전체적으로 미분(totally differentiating)하고 0와 같게 함으로써 구할 수 있습니다:

2x\,dx+2y\,dy=0,

다음을 제공합니다:

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}

및

{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.

Application: change of coordinates

우리가 좌표의 집합 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 에 의해 매개변수화된 m-차원 공간을 가짐을 가정합니다. 우리는 각각이 연속적으로 미분-가능인 m 함수 $h_{1}\ldots h_{m}$ 를 공급함으로써 새로운 좌표 시스템 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ 을 도입할 수 있습니다. 이들 함수는, $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 를 사용하여 점들의 이전 좌표 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 가 주어지면, 점의 새로운 좌표 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ 를 계산하는 것을 허용합니다. 우리는 반대가 가능한지 확인하기를 원할 수 있습니다: 좌표 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ 가 주어지면, 우리는 같은 점들의 원래 좌표 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 로 '돌아가고' 계산할 수 있습니까? 암시적 함수 정리는 이 질문에 대한 답을 제공할 것입니다. (새로운 및 이전) 좌표 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ 가 f = 0에 관련되며, 여기서

f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).

이제 특점 점 (a, b)에서 f의 야코비 행렬은 다음에 의해 제공됩니다 [ 여기서 $a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ]:

(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].

여기서 I_m은 m × m 항등 행렬(identity matrix)을 표시하고, J는 (a, b)에서 평가된 부분 도함수의 m × m 행렬입니다. (위에서, 이들 블록은 X와 Y에 의해 표시되었습니다. 그렇게 되면, 그 정리의 특별한 적용에서, 어떤 행렬도 a에 의존하지 않습니다.) 암시적 함수 정리는 이제 우리가 만약 J가 역-가능이면 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ 의 함수로 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 를 지역적으로 표현할 수 있음을 말합니다. J는 역-가능이라는 요구는 행렬식 J ≠ 0와 동등하며, 따라서 우리는 만약 야코비 J의 행렬식이 비-영이면 프라임된 좌표에서 비-프라임된 좌표로 되돌아갈 수 있음을 알 수 있습니다. 이 명제는 역시 역함수 정리(inverse function theorem)로 알려져 있습니다.

Example: polar coordinates

위의 간단한 응용으로, 극좌표(polar coordinates) (R, θ)로 매개변수화된 평면을 생각해 보십시오. 우리는 함수 x(R, θ) = R cos(θ) 및 y(R, θ) = R sin(θ)을 정의함으로써 새로운 좌표 시스템 (데카르트 좌표(cartesian coordinates))로 이동할 수 있습니다. 이것은 임의의 점 (R, θ)이 주어지면 대응하는 데카르트 좌표 (x, y)를 찾는 것을 가능하게 만듭니다. 우리는 언제 돌아가고 데카르트를 극 좌표로 변환할 수 있습니까? 이전 예에서, 그것은 행렬식 J ≠ 0을 가지면 충분하며, 여기서

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.

행렬식 J = R이므로, 만약 R ≠ 0이면 극좌표로 다시 변환하는 것이 가능합니다. 따라서 경우 R = 0를 확인하는 것이 남습니다. 경우 R = 0에서, 우리의 좌표 변환이 역-가능이 아님을 쉽게 알 수 있습니다: 원점에서, θ의 값은 잘-정의되지 않습니다.

Generalizations

Banach space version

바나흐 공간(Banach space)에서 역함수 정리(inverse function theorem)에 기초된, 암시적 함수 정리를 바나흐 공간 값된 매핑으로 확장하는 것이 가능합니다.^[6]^[7]

X, Y, Z를 바나흐 공간(Banach space)으로 놓습니다. 매핑 f : X × Y → Z를 연속적으로 프레셰 미분-가능(Fréchet differentiable)으로 놓습니다. 만약 $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$ , $f(x_{0},y_{0})=0$ , 및 $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ 는 Y에서 Z 위로의 바나흐 공간 동형이면, f(x, g(x)) = 0 및 f(x, y) = 0를 만족하는 이웃 U가 존재하는 것과 모든 $(x,y)\in U\times V$ 에 대해 y = g(x)인 것은 필요충분 조건입니다.

Implicit functions from non-differentiable functions

다양한 형식의 암시적 함수 정리가 함수 f가 미분-가능이 아닐 때 존재합니다. 지역적 엄격한 단조성은 일 차원에서 충분하다는 것이 표준입니다.^[8] 다음 보다 일반적인 형식은 Jittorntrum에 의해 관찰을 기반으로 Kumagai에 의해 입증되었습니다.^[9]^[10]

$f(x_{0},y_{0})=0$ 를 만족하는 연속 함수 $f:R^{n}\times R^{m}\to R^{n}$ 를 생각해 보십시오. B에서 모든 y에 대해, $f(\cdot ,y):A\to R^{n}$ 가 지역적으로 일-대-일을 만족하는, 각각, x₀와 y₀의 열린 이웃 $A\subset R^{n}$ 와 $B\subset R^{m}$ 가 존재하는 것과 모든 $y\in B_{0}$ 에 대해, 방정식 f(x, y) = 0가 다음 고유한 해를 가짐을 만족하는 x₀와 y₀의 열린 이웃 $A_{0}\subset R^{n}$ 와 $B_{0}\subset R^{m}$ 의 존재하는 것은 필요충분 조건입니다:

x=g(y)\in A_{0}

,

여기서 g는 B₀에서 A₀로의 연속 함수입니다.

References

^ Also called Dini's theorem by the Pisan school in Italy. In the English-language literature, Dini's theorem is a different theorem in mathematical analysis.
^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 204–206. ISBN 0-07-010813-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
^ Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). The Implicit Function Theorem. Modern Birkhauser Classics. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.
^ de Oliveira, Oswaldo (2013). "The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs". Real Anal. Exchange. 39 (1): 214–216. doi:10.14321/realanalexch.39.1.0207. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)
^ Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. p. 34. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
^ Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. pp. 15–21. ISBN 0-387-98593-X.
^ Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. pp. 417–418. ISBN 0-486-68336-2.
^ Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Implicit function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press {{citation}}: Invalid |ref=harv (help)
^ Jittorntrum, K. (1978). "An Implicit Function Theorem". Journal of Optimization Theory and Applications. 25 (4): 575–577. doi:10.1007/BF00933522.
^ Kumagai, S. (1980). "An implicit function theorem: Comment". Journal of Optimization Theory and Applications. 31 (2): 285–288. doi:10.1007/BF00934117.