Binary relation

Original article: w:Binary relation

This article covers advanced notions. For basic topics, see Relation (mathematics).

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

수학(mathematics)에서, 이항 관계는 도메인이라고 불리는 한 집합의 원소를 코도메인이라고 불리는 또 다른 집합의 원소와 결합시킵니다. 집합(sets) X와 Y에 걸쳐 이항 관계는 X에서 원소 x와 Y에서 y로 구성하는 새로운 순서화된 쌍(ordered pair) (x, y)의 새로운 집합입니다. 그것은 수학적 함수(function)의 보다 널리 이해된 아이디어의 일반화이지만, 약간의 제한 사항을 가집니다. 그것은 관계의 공통 개념을 인코딩합니다: 원소 x는 원소 y와 관련되는 것과 쌍 (x, y)가 이항 관계를 정의하는 순서화된 쌍의 집합에 속하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 이항 관계는 데카르트 곱(Cartesian product) $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$의 부분집합인 집합 X₁, ..., X_n에 걸쳐 n-항 관계의 가장 많이 연구된 특수 경우 n = 2입니다.

이항 관계의 예제는 소수(prime number)의 집합 $\mathbb {P}$와 정수(integer) 집합 $\mathbb {Z}$에 걸쳐 "나누기(divides)" 관계이며, 이것에서 각 소수 p는 p의 배수(multiple)인 각 정수 z와 관련되지만, p의 배수가 아닌 정수와는 관련되지 않습니다. 이 관계에서, 예를 들어, 소수 2는 −4, 0, 6, 10과 같은 숫자와 관련되지만, 소수 3이 0, 6, 및 9와 관련되지만 4 또는 13과 관련되지 않는 것처럼, 1 또는 9와는 관련이 없습니다.

이항 관계는 수학의 많은 분야에서 다양한 개념을 모델링하기 위해 사용됩니다. 이것들은 다른 것 중에서 다음을 포함합니다:

• 산술(arithmetic)에서 "...보다 큼", "...과 같음", 및 "나누기" 관계;
• 기하학에서 "...과 합동임" 관계;
• 그래프 이론(graph theory)에서 "...와 인접함" 관계;
• 선형 대수(linear algebra)에서 "...와 직교임" 관계.

함수(function)는 특수한 종류의 이항 관계로 정의될 수 있습니다. 이항 관계는 역시 컴퓨터 과학(computer science)에서 몹시 많이 사용됩니다.

집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계는 $X\times Y$의 거듭제곱 집합(power set)의 원소입니다. 후자의 집합은 포함(inclusion) (⊆)에 의해 순서화되기 때문에, 각 관계는 $X\times Y$의 부분집합의 격자(lattice)에 위치를 가집니다. 이항 관계는 X = Y인지 여부에 따라 동종 관계(homogeneous relation) 또는 이종 관계(heterogeneous relation)입니다.

관계는 집합이기 때문에, 그것들은 합집합(union), 교집합(intersection), 및 여집합(complementation)을 포함한 집합 연산을 사용하여 조작될 수 있고, 집합의 대수(algebra of sets)의 법칙을 만족시킵니다. 그 외에도, 관계의 전환(converse)과 관계의 합성(composition of relations)과 같은 연산이 사용 가능하며, 에른스트 슈뢰더(Ernst Schröder), 크라렌스 루이스(Clarence Lewis), 및 군터 슈미트(Gunther Schmidt)에 의한 교과서가 있는 관계의 계산법(calculus of relations)의 법칙을 만족시킵니다. 관계의 심층 분석은 그것들을 개념이라고 불리는 부분집합으로 분해하고, 그것들을 완비 격자(complete lattice)에 배치하는 것을 포함합니다.

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 일부 시스템에서, 관계는 집합의 일반화인 클래스(classes)로 확장됩니다. 이 확장은 무엇보다도 러셀의 역설(Russell's paradox)과 같은 논리적 불일치에 부딪치지 않고 집합 이론에서 "...의 원소임" 또는 "...의 부분집합임"이라는 개념을 모델링하는 데 필요됩니다.

용어 대응, 이원적 관계(dyadic relation), 및 두-위치 관계(two-place relation)는 이항 관계에 대해 동의어이지만, 일부 저자는 용어 "이항 관계"를 X와 Y에 대한 참조없이 데카르트 곱 $X\times Y$의 임의의 부분집합에 대해 사용하고, 용어 "대응"을 X와 Y에 대한 참조와 함께 이항 관계에 대해 예약합니다.

Definition

집합 X와 Y가 주어지면, 데카르트 곱(Cartesian product) $X\times Y$은 $\{(x,y):x\in X{\text{ and }}y\in Y\}$로 정의되고, 그것의 원소는 순서화된 쌍이라고 불립니다.

집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계 R은 $X\times Y$의 부분집합입니다. 집합 X는 R의 도메인 또는 출발의 집합이라고 불리고, 집합 Y는 R의 코도메인 또는 목적지의 집합이라고 불립니다. 집합 X와 Y의 선택을 지정하기 위해, 일부 저자는 이항 관계 또는 대응을 순서화된 세-쌍 (X, Y, G)으로 정의하며, 여기서 G는 이항 관계의 그래프라고 불리는 $X\times Y$의 부분집합입니다. 명제 $(x,y)\in R$는 "x는 y에 R-관계됩니다"로 읽고 xRy에 의해 표시됩니다. R의 정의의 도메인 or 활동 도메인은 적어도 하나의 y에 대해 xRy를 만족하는 모든 x의 집합입니다. R의 정의의 코도메인, 활동 코도메인, 이미지, 또는 치역은 적어도 하나의 x에 대해 xRy를 만족하는 모든 y의 집합입니다. R의 필드는 그것의 정의의 도메인과 그것의 정의의 코도메인의 합집합입니다.

$X=Y$일 때, 이항 관계는 동종 관계(homogeneous relation) (또는 자기관계(endorelation))라고 불립니다. 그렇지 않으면, 그것은 이종 관계(heterogeneous relation)라고 불립니다.

이항 관계에서, 원소의 순서는 중요합니다; 만약 $x\neq y$이면 yRx는 xRy와 독립적으로 참 또는 거짓이 될 수 있습니다. 예를 들어, 3은 9를 나누지만, 9는 3을 나누지 않습니다.

Examples

2nd example relation

A B′	ball	car	doll	cup
John	+	−	−	−
Mary	−	−	+	−
Venus	−	+	−	−

1st example relation

A B	ball	car	doll	cup
John	+	−	−	−
Mary	−	−	+	−
Ian	−	−	−	−
Venus	−	+	−	−

1) 다음 예제는 코도메인의 선택이 중요함을 보여줍니다. 넷의 대상 $A=\{{\text{ball, car, doll, cup}}\}$과 넷의 사람 $B=\{{\text{John, Mary, Ian, Venus}}\}$이 있다고 가정합니다. A와 B 위에 가능한 관계는 $R=\{({\text{ball, John}}),({\text{doll, Mary}}),({\text{car, Venus}})\}$에 의해 주어진 관계 "...에 의해 소유됨"입니다. 즉, 존은 공을 소유하고, 메리는 인형을 소유하고, 비너스는 차를 소유합니다. 누구도 컵을 소유하지 않고 이안은 아무것도 소유하지 않으며, 첫 번째 예제를 참조하십시오. 집합으로, R은 이안을 포함하지 않고, 따라서 R은 $A\times \{{\text{John, Mary, Venus}}\}$의 부분집합, 즉, A와 $\{{\text{John, Mary, Venus}}\}$에 걸쳐 관계로 보일 수 있으며, 두 번째 예제를 참조하십시오. 두 번째 예제 관계는 전사이지만 (아래를 참조), 첫 번째는 아닙니다.

Oceans and continents (islands omitted)

Ocean borders continent

	NA	SA	AF	EU	AS	AU	AA
Indian	0	0	1	0	1	1	1
Arctic	1	0	0	1	1	0	0
Atlantic	1	1	1	1	0	0	1
Pacific	1	1	0	0	1	1	1

2) A = {인도양, 북극해, 대서양, 태평양}, 지구의 대양(ocean)dlrh, B = { NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA }, 대륙(continent)이라고 놓습니다. aRb는 대양 a가 대륙 b와 경계져 있음을 나타냅니다. 그런-다음 이 관계에 대해 논리적 행렬(logical matrix)은 다음입니다:

$R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.$

행성 지구의 연결성은 R R^T와 R^T R을 통해 보일 수 있으며, 전자는 A 위에 에 대한 $4\times 4$ 관계이며, 이것은 보편적 관계 ($A\times A$ 또는 모두 일의 논리적 행렬)입니다. 이 보편적 관계는 모든 각 대양이 많아야 하나의 대륙만큼 다른 대양으로부터 분리되어 있다는 사실을 반영합니다. 다른 한편으로, R^T R은 $B\times B$에 대한 관계로, 유럽에서 호주로 항해하려면 적어도 둘의 대양을 횡단해야 하기 때문에 보편화에 실패합니다.

3) 관계의 시각화는 그래프 이론(graph theory)에 의존합니다: 집합 위에 관계 (동종 관계)에 대해, 방향화된 그래프(directed graph)는 관계를 묘사하고 그래프(graph)는 대칭적 관계(symmetric relation)를 묘사합니다. 이종 관계에 대해 초월그래프(hypergraph)는 둘 이상의 노드를 가질 수 있는 가장자리를 가지고, 이분 그래프(bipartite graph)에 의해 설명될 수 있습니다.

클릭(clique)이 집합 위의 관계에 필수적인 것처럼, 이-클릭(biclique)은 이종 관계를 설명하기 위해 사용됩니다; 실제로, 그것들은 관계와 결합된 격자를 생성하는 "개념"입니다.

The various t axes represent time for observers in motion, the corresponding x axes are their lines of simultaneity

4) 쌍곡형 직교성(Hyperbolic orthogonality): 시간과 공간은 다른 카테고리이고, 시간적 속성은 공간적 속성과 분리됩니다. 동시 사건의 아이디어는 절대 시간과 공간(absolute time and space)에서 단순한데 왜냐하면 매번 t가 해당 우주론에서 동시 초평면(hyperplane)을 결정하기 때문입니다. 허먼 민코프스키(Herman Minkowski)는 공간적 사건이 속도에 의해 특징지어지는 시간에 대해 "법선"일 때 존재하는 상대적 동시성의 개념을 명료하게 표현할 때 이를 변경했습니다. 그는 부정의 안의 곱을 사용했고, 시간 벡터가 해당 곱이 영일 때 공간 벡터에 법선임을 지정했습니다. 합성 대수(composition algebra)에서 부정의 안의 곱은 다음에 의해 주어집니다:

$<x,z>\ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;$ 여기서 윗줄은 켤레화를 나타냅니다.

일부 시간적 사건과 일부 공간적 사건 사이의 관계로서, (분할-복소수(split-complex number)에서 발견될 때) 쌍곡형 직교성(hyperbolic orthogonality)은 이종 관계입니다.

5) 기하학적 구성(geometric configuration)은 점과 직선 사이의 관계로 고려될 수 있습니다. 그 관계는 발생(incidence)으로 표현됩니다. 유한과 무한 투영 및 아핀 평면이 포함됩니다. 야코프 슈타이너(Jakob Steiner)는 t 원소를 갖는 부분집합이 단지 하나의 블록에 놓임을 만족하는 n-원소 집합 S와 블록이라고 불리는 k-원소 부분집합을 가지는 슈타이너 시스템(Steiner system) ${\text{S}}(t,k,n)$으로 구성의 카탈로그화를 개척했습니다. 이들 발생 구조(incidence structure)는 블록 설계(block design)로 일반화되어 왔습니다. 이들 기하학적 맥락에서 사용되는 발생 행렬은 일반적으로 이항 관계와 함께 사용되는 논리적 행렬에 해당합니다.

발생 구조는 세-쌍 D = (V, B, I)이며 여기서 V와 B는 임의의 둘의 서로소 집합이고 I는 V와 B 사이의 이항 관계, 즉, $I\subseteq V\times {\textbf {B}}$입니다. V의 원소는 점이라고 불릴 것이고, B 블록의 점과 I 플래그의 점일 것입니다.

Special types of binary relations

Examples of four types of binary relations over the real numbers: one-to-one (in green), one-to-many (in blue), many-to-one (in red), many-to-many (in black).

집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계 R의 몇 가지 중요한 유형이 아래에 나열되어 있습니다.

고유성 속성:

• 단사(Injective) (역시 왼쪽-고유라고 불림): 모든 $x,z\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해, 만약 xRy과 zRy이면 x = z입니다. 그러한 관계에 대해, {Y}는 R의 주요 키(primary key)라고 불립니다. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색과 파란색 이항 관계는 단사이지만, 빨간색 것도 아니고 (왜냐하면 그것이 −1과 1 둘 다를 1과 관련시키기 때문), 검은색 것도 아닙니다 (그것은 −1과 1 둘 다를 0과 관련시키기 때문입니다).
• 함수형(Functional) (역시 오른쪽-고유, 오른쪽-한정 또는 단일-결합(univalent)이라고 불림): 모든 $x\in X$와 모든 $y,z\in Y$에 대해 만약 xRy와 xRz이면 y = z입니다. 그러한 이항 관계는 부분 함수라고 불립니다. 그러한 관계에 대해, $\{X\}$는 R의 주요 키라고 불립니다. 예를 들어, 다이어그램에서 빨간색과 녹색 이항 관계는 함수형이지만, 파란색 것도 아니고 (왜냐하면 그것은 1을 −1와 1 둘 다에 관련시키기 때문), 검은색 것도 아닙니다 (왜냐하면 그것은 0을 −1와 1 둘 다에 관련시키기 때문입니다).
• 일-대-일(One-to-one): 단사와 함수형. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색 이항 관계는 일-대-일이지만, 빨간색, 파란색, 및 검은색 것은 아닙니다.
• 일-대-여럿(One-to-many): 단사이고 함수형이 아님. 예를 들어, 다이어그램에서 파란색 이항 관계는 일-대-다이지만, 빨간색, 녹색, 및 검은색 것은 아닙니다.
• 여럿-대-일(Many-to-one: 함수형이고 단사가 아님. 예를 들어, 다이어그램에서 빨간색 이항 관계는 여럿-대-일이지만, 녹색, 파란색, 및 검은색 것은 아닙니다.
• 여럿-대-여럿(Many-to-many): 단사도 아니고 함수형도 아님. 예를 들어, 다이어그램에서 검은색 이항 관계는 여럿-대-여럿이지만, 빨간색, 녹색, 및 파란색 것은 아닙니다.

전체성 속성 (오직 도메인 X와 Y가 지정되면 정의-가능함):

• 직렬(Serial) (역시 왼쪽-전체라고 불림): X에서 모든 x에 대해, xRy를 만족하는 Y에서 하나의 y가 존재합니다. 다시 말해서, R의 정의의 도메인과 X는 같습니다. 이 속성은, 비록 역시 일부 저자에 의해 전체로 참조되지만, 속성(Properties)에서 연결된(connected) 것 (역시 일부 저자에 의해 전체라고 불림)의 정의와 다릅니다. 그러한 이항 관계는 여러-값 함수(multivalued function)라고 불립니다. 예를 들어, 다이어그램에서 빨간색과 녹색 이항 관계는 직렬이지만, 파란색 것도 아니고 (왜냐하면 그것은 −1을 임의의 실수로 관련키시지 않기 때문), 검은색 것도 아닙니다 (왜냐하면 그것은 2를 임의의 실수로 관련시키지 않기 때문입니다). 또 다른 예제로, >은 정수에 걸쳐 직렬 관계입니다. 그러나 그것은 양의 정수에 걸쳐 직렬 관계가 아닌데, 왜냐하면 1 > y을 만족하는 양의 정수에서 y가 없기 때문입니다. 어쨌든, <는 양의 정수, 유리수, 및 실수에 걸쳐 직렬 관계입니다. 모든 각 반사 관계는 직렬입니다: 주어진 x에 대해, y = x를 선택합니다.
• 전사(Surjective) (역시 오른쪽-전체 또는 위로의라고 불림): Y에서 모든 y에 대해, xRy를 만족하는 X에서 x가 존재합니다. 다시 말해서, R에서 정의의 코도메인이 Y와 같습니다. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색과 파란색 이항 관계는 전사이지만, 빨간색 것도 아니고 (왜냐하면 그것은 임의의 실수를 −1에 관련시키지 않기 때문), 검은색 것도 아닙니다 (왜냐하면 그것은 임의의 실수를 2로 관련시키지 않기 때문입니다).

고유성과 전체성 속성 (오직 도메인 X와 코도메인 Y가 지정되면 정의-가능함):

• 함수(function): 함수형과 직렬인 이항 관계. 예를 들어, 다이어그램에서 빨간색과 녹색 이항 관계는 함수이지만, 파란색과 검은색 것은 아닙니다.
• 단사 함수(injection): 단사인 함수. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색 이항 관계는 단사이지만, 빨간색, 파란색, 및 검은색 것은 아닙니다.
• 전사 함수(surjection): 전사인 함수. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색 이항 관계는 전사이지만, 빨간색, 파란색, 및 검은색 것은 아닙니다.
• 전단사(bijection): 단사이고 전사인 함수. 예를 들어, 다이어그램에서 녹색 이항 관계는 전단사이지만, 빨간색, 파란색, 및 검은색 것은 아닙니다.

만약 적절한 클래스에 걸쳐 관계가 다음을 허용합니다:

• 집합-계열(Set-like) (또는 지역적): X에서 모든 x에 대해, yRx를 만족하는 Y에서 모든 y의 클래스(class), 즉, $\{y\in Y:yRx\}$가 집합입니다. 예를 들어, 관계 $\in$는 집합-계열이고, 두 집합 위에 모든 각 관계는 집합-계열입니다. 순서 숫자(ordinal number)의 클래스에 걸쳐 보통의 순서화 <는 집합-계열 관계이지만, 그것의 역 >은 아닙니다.

Operations on binary relations

Union

만약 R과 S가 집합 X와 Y에 걸쳐 관계이면 $R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ or }}xSy\}$는 X와 Y에 걸쳐 R과 S의 합관계입니다.

항등 원소는 빈 관계입니다. 예를 들어, $\,\leq \,$는 <와 =의 합관계이고, $\,\geq \,$는 >와 =의 합관계입니다.

Intersection

만약 R과 S는 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이면 $R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ and }}xSy\}$는 X와 Y에 걸쳐 R과 S의 교관계입니다.

항등 원소는 보편 관계입니다. 예를 들어, 관계 "6에 의해 나뉠 수 있음"은 관계 "3에 의해 나뉠 수 있음"과 "2에 의해 나뉠 수 있음"의 교관계입니다.

Composition

Main article: Composition of relations

만약 R이 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이고, S는 집합 Y와 Z에 걸쳐 이항 관계이면 $S\circ R=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}$는 X와 Z에 걸쳐 R과 S의 합성 관계입니다 (역시 R; S에 의해 표시됩니다).

항등 원소는 항등 관계입니다. 여기서 사용된 표기법 $S\circ R$에서 R과 S의 순서는 함수의 합성(composition of functions)에 대해 표준 표기법적 순서와 일치합니다. 예를 들어, 합성 "...의 엄마임" $\,\circ \,$ "...의 부모임"은 "...의 외조부모임"을 산출하지만, 합성 "...의 부모임" $\,\circ \,$ "...의 엄마임"은 "...의 할머니임"을 산출합니다. 전자의 경우에 대해, 만약 x가 y의 부모이고 y가 z의 엄마이면, x는 z의 외조부모님입니다.

Converse

Main article: Converse relation

See also: Duality (order theory)

만약 R이 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이면 $R^{\textsf {T}}=\{(y,x):xRy\}$는 Y와 X에 걸쳐 R의 전환 관계입니다.

예를 들어, =는 $\,\neq \,$와 마찬가지로 자체의 전환이고, $\,<\,$와 $\,>\,$는 $\,\leq \,$와 $\,\geq \,$에서 처럼 서로의 전환입니다. 이항 관계가 그것의 전환과 같은 것과 그것이 대칭적(symmetric)인 것은 필요충분 조건입니다.

Complement

Main article: Complementary relation

만약 R이 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이면 ${\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ not }}xRy\}$는 (역시 R 또는 ¬ R로 표시됨) X와 Y에 걸쳐 R의 여 관계입니다.

예를 들어, $\,=\,$와 $\,\neq \,$는 $\,\subseteq \,$와 $\,\not \subseteq ,\,$ $\,\supseteq \,$와 $\,\not \supseteq ,\,$ 및 $\,\in \,$와 $\,\not \in ,\,$에서 처럼 서로의 여이고, 전체 순서(total order)에 대해, 역시 $<$와 $\,\geq ,\,$ $>$와 $\,\leq \,$도 마찬가지입니다.

전환 관계(converse relation) $R^{\textsf {T}}$의 여관계는 여관계의 전환입니다: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

만약 $X=Y$이면, 여관계는 다음 속성을 가집니다:

• 만약 관계가 대칭적이면, 여관계도 마찬가지입니다.
• 반사 관계의 여관계는 비-반사적이고 그 반대도 마찬가지입니다.
• 엄격하게 약한 순서(strict weak order)의 여관계는 전체 준순서이고 그 반대도 마찬가지입니다.

Restriction

Main article: Restriction (mathematics)

만약 R이 집합 X에 걸쳐 이항 동종 관계(homogeneous relation)이고 S가 X의 부분집합이면 $R_{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}$는 X에 걸쳐 R에서 S로의 제한 관계입니다.

만약 R이 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이고 S가 X의 부분집합이면 $R_{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}x\in S\}$은 X와 Y에 걸쳐 R에서 S로의 왼쪽-제한 관계입니다.

만약 R이 집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계이고 S가 Y의 부분집합이면 $R^{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}y\in S\}$는 X와 Y에 걸쳐 R에서 S로의 오른쪽-제한 관계입니다.

만약 관계가 반사적(reflexive), 비-반사적, 대칭적(symmetric), 반-대칭적(antisymmetric), 비-대칭적(asymmetric), 전이적(transitive), 전체(total), 삼각법적(trichotomous), 부분 순서(partial order), 전체 순서(total order), 엄격하게 약한 순서(strict weak order), 전체 준순서(total preorder) (약한 순서), 또는 동치 관계(equivalence relation)이면, 그것의 제한도 마찬가지입니다.

어쨌든, 제한의 전이적 클로저는 전이적 클로저의 제한의 부분집합, 즉, 일반적으로 같지 않습니다. 예를 들어, 관계 "x는 y의 부모이다"를 여성으로 제한하면 관계 "x는 여성 y의 어머니이다"를 산출합니다; 그것의 전이적 클로저는 그녀의 외할머니와 여성을 관련시키지 않습니다. 다른 한편으로, "...의 부모임"의 전이적 클로저는 "...의 조상임"입니다; 그것의 여성으로의 제한은 여성을 그녀의 외할머니와 관련시킵니다.

역시, 완비성(completeness)의 다양한 개념 ("전체"인 것과 혼동하지 말 것)은 제한으로 이월하지 않습니다. 예를 들어, 실수(real number)에 걸쳐 관계 $\,\leq \,$의 속성은 $\mathbb {R}$에서 위쪽 경계(upper bound)를 갖는 모든 각 비-빈(non-empty) 부분집합 $S\subseteq \mathbb {R}$은 $\mathbb {R}$에서 최소 위쪽 경계(least upper bound) (역시 상한이라고 불림)을 가집니다. 어쨌든, 유리수에 대해 이 상한이 반드시 유리수일 필요는 없으므로, 같은 속성이 관계 $\,\leq \,$를 유리수로의 제한을 유지하지 않습니다.

집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계 R은 X와 Y에 걸쳐 관계 S를 포함하는 것으로 말해지며, 만약 R의 S의 부분집합, 즉, 모든 $x\in X$와 $y\in Y$에 대해, xRy이면 xSy입니다. 만약 R이 S에 포함되고 S가 R에 포함되면, R과 S는 R = S로 쓰이는 같은 것이라고 불립니다. 만약 R이 S에 포함되지만 S가 R에 포함되지 않으면, R은 $R\subsetneq S$라고 쓰이는 S보다 작은 것이라고 말합니다. 예를 들어, 유리수(rational number)에서, 관계 $\,>\,$는 $\,\geq ,\,$보다 작고 합성 $\,>\,\circ \,>\,$과 같습니다.

Matrix representation

집합 X와 Y에 걸쳐 이항 관계는 부울 반-링(Boolean semiring) (덧셈은 OR이고 곱셈은 AND에 해당)에서 엔트리를 갖는 X와 Y에 의해 인덱싱된 논리적 행렬(logical matrices)에 의해 대수적으로 표현될 수 있으며, 여기서 행렬 덧셈(matrix addition)은 관계의 합관계에 해당하고 행렬 곱셈(matrix multiplication)은 (X와 Y에 걸쳐 관계와 Y와 Z에 걸쳐 관계의) 관계의 합성에 해당하고, 아다마르 곱(Hadamard product)은 관계의 교관계에 해당하고, 영 행렬(zero matrix)은 빈 관계에 해당하고, 일의 행렬(matrix of ones)은 보편적 관계에 해당합니다. 동종 관계 (X = Y일 때)는 행렬 반-링(matrix semiring) (사실, 부울 반-링에 걸쳐 행렬 반-대수(matrix semialgebra))을 형성하며, 여기서 항등 행렬(identity matrix)은 단위 관계에 해당합니다.

Sets versus classes

"와 같음", "의 부분집합", 및 "의 구성원"과 같은 특정 수학적 "관계"는 위에서 정의된 것처럼 이항 관계로 이해될 수 없는데, 왜냐하면 그들 도메인과 코도메인이 보통의 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 시스템에서 집합으로 취할 수 없기 때문입니다. 공리 집합 이론의. 예를 들어, "상등"의 일반적인 개념을 이항 관계 $\,=$로 모델링하기 위해, 도메인과 코도메인을 "모든 집합의 클래스"로 취하며, 이는 보통의 집합 이론에서 집합이 아닙니다.

대부분의 수학적 맥락에서 상등, 구성원, 및 부분-집합의 관계에 대한 참조는 문맥에서 일부 집합으로 암묵적으로 제한되는 것으로 이해될 수 있기 때문에 무해합니다. 이 문제에 대한 보통의 해결 방법은 모든 관심 대상을 포함하는 "충분하게 큰" 집합 A를 선택하고, = 대신 =_A 제한으로 연구하는 것입니다. 유사하게, 관계 $\,\subseteq \,$의 "부분-집합"은 도메인과 코도메인 P(A) (특정 집합 A의 거듭제곱 집합)를 갖도록 제한되어야 합니다: 결과 집합 관계는 $\,\subseteq _{A}\,$로 표시될 수 있습니다. 역시, "의 구성원" 관계는 집합인 이항 관계 $\,\in _{A}\,$를 얻기 위해 도메인 A와 코도메인 P(A)를 갖도록 제한되어야 합니다. Bertrand Russell은 $\,\in \,$가 모든 집합에 걸쳐 정의된다고 가정하면 소박한 집합 이론(naive set theory)에서 모순으로 이어진다는 것을 보여주었습니다 (Russell's paradox 참조).

이 문제에 대한 또 다른 해결책은 NBG 또는 Morse–Kelley set theory과 같은 적절한 클래스와 함께 집합 이론을 사용하고, 도메인과 코도메인 (및 따라서 그래프)이 적절한 클래스(proper classes)가 되도록 하는 것입니다: 그러한 이론에서, 상등, 구성원, 및 부분-집합은 특별한 주석 없이 이항 관계입니다. (통상적으로 적절한 클래스는 순서화된 튜플의 구성원일 수 없으므로 순서화된 트리플 (X, Y, G)의 개념을 약간 수정해야 합니다; 또는 물론 이 문맥에서 그래프와 이항 관계를 식별할 수 있습니다.) 이 정의와 함께 예를 들어 모든 각 집합과 그것의 거듭제곱 집합에 걸쳐 이항 관계를 정의할 수 있습니다.

Homogeneous relation

Main article: Homogeneous relation

동종 관계(homogeneous relation)는 집합 $X$와 자체에 걸쳐 이항 관계입니다. 즉, 그것은 데카르트 곱 $X\times X$의 부분-집합입니다. 그것은 단순히 $X$에 걸쳐 (이항) 관계라고도 불립니다.

집합 $X$에 걸쳐 동종 관계 $R$은 루프를 허용하는 방향화된 단순 그래프로 식별될 수 있으며, 여기서 $X$는 꼭짓점의 집합이고 $R$은 가장자리의 집합입니다 (꼭짓점 $x$에서 꼭짓점 $y$로의 가장자리가 있는 것과 xRy인 것은 필요충분 조건입니다). 집합 $X$에 걸쳐 모든 동종 관계 ${\mathcal {B}}(X)$의 집합은 전환 관계(converse relation)에 대한 관계의 매핑의 인볼루션(involution)으로 증대된 부울 대수(Boolean algebra)인 거듭제곱 집합(power set) $2^{X\times X}$입니다. 관계의 합성(composition of relations)을 ${\mathcal {B}}(X)$ 위의 이항 연산(binary operation)으로 고려하여, 그것은 인볼루션을 갖는 반-그룹을 형성합니다.

집합 $X$에 걸쳐 동종 관계 $R$이 가질 수 있는 몇 가지 중요한 속성은 다음과 같습니다:

• 반사적(Reflexive): 모든 $x\in X$에 대해, xRx입니다. 예를 들어, $\,\geq \,$는 반사적 관계이지만 >는 아닙니다.
• 비-반사적(Irreflexive): 모든 $x\in X$에 대해, xRx가 아닙니다. 예를 들어, $\,>\,$는 비-반사적 관계이지만, $\,\geq \,$는 아닙니다.
• 대칭적(Symmetric): 모든 $x,y\in X$에 대해, 만약 xRy이면 yRx입니다. 예를 들어, "의 혈연 관계이다"는 대칭적 관계입니다.
• 반-대칭적(Antisymmetric): 모든 $x,y\in X$에 대해, 만약 xRy이고 yRx이면 $x=y$이다. 예를 들어, $\,\geq \,$는 반-대칭적 관계입니다.
• 비-대칭적(Asymmetric): 모든 $x,y\in X$에 대해, 만약 xRy이면 yRx가 아닙니다. 관계가 비-대칭적인 것과 그것이 반-대칭적 및 비-반사적 둘 다인 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, >는 비-대칭적 관계이지만, $\,\geq \,$는 아닙니다.
• 전이적(Transitive): 모든 $x,y,z\in X$에 대해, 만약 xRy이고 yRz이면 xRz입니다. 전이적 관계가 비-반사적인 것과 그것이 비-대칭적인 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, "의 조상이다"는 전이 관계이지만, "의 부모이다"는 아닙니다.
• 연결된(Connected): 모든 $x,y\in X$에 대해, 만약 $x\neq y$이면 xRy 또는 yRx입니다.
• 강하게 연결된(Strongly connected): 모든 $x,y\in X$에 대해, xRy 또는 yRx입니다.

부분 순서(partial order)는 반사적, 반-대칭적이고, 전이적인 관계입니다. 엄격한 부분 순서(strict partial order)는 비-반사적, 반-대칭적이고, 전이적인 관계입니다. 전체 순서(total order)는 반사적, 반-대칭적, 전이적이고, 연결된 관계입니다. 엄격한 전체 순서(strict total order)는 비-반사적, 반-대칭적, 전이적이고, 연결된 관계입니다. 동치 관계(equivalence relation)는 반사적, 대칭적이고, 전이적인 관계입니다. 예를 들어, "x는 y를 나눈다"는 자연수 $\mathbb {N}$ 위에 부분적이지만, 전체 순서는 아니고, "x < y"는 $\mathbb {N}$ 위에 엄격한 전체 순서이고, "x는 y에 평행하다"는 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 모든 직선의 집합 위에 동치 관계입니다.

이항 관계 위에 연산(Operations on binary relations) 섹션에 정의된 모든 연산은 동종 관계에도 적용됩니다. 그 외에도, 집합 X에 걸쳐 동종 관계는 다음과 같은 클로저 연산의 대상이 될 수 있습니다:

반사적 클로저(Reflexive closure)

R을 포함하는 X에 걸쳐 가장 작은 반사적 관계,

전이적 클로저

R을 포함하는 X에 걸쳐 가장 작은 전이적 관계,

동치 클로저

R을 포함하는 X에 걸쳐 가장 작은 동치 관계(equivalence relation).

Heterogeneous relation

수학(mathematics)에서, 이종 관계(heterogeneous relation)는 이항 관계, 데카르트 곱(Cartesian product) $A\times B$의 부분-집합(subset)이며, 여기서 A와 B는 별개의 집합일 수 있습니다. 접두사 hetero는 그리스어 ἕτερος (heteros, "other, another, different")에서 온 것입니다.

이종 관계는 $A=B$인 집합에서 동종 관계의 정사각형-대칭을 가지지 않음을 시사하는 직사각형 관계(rectangular relation)라고 불려 왔습니다. 동종 관계를 넘어 이항 관계의 발전에 대해 논평하면서, 연구자들은 "...처음부터 관계를 이종적(heterogeneous)이거나 직사각형(rectangular), 즉, 통상적인 경우는 그것들이 서로 다른 집합 사이인 것으로 취급하는 이론의 변형이 진화해 왔습니다"라고 썼습니다.

Calculus of relations

대수적 논리(algebraic logic)의 발전은 이항 관계의 사용을 촉진했습니다. 관계의 계산(calculus of relations)은 관계의 합성(composition of relations)과 전환 관계(converse relations)의 사용에 의해 확장된 집합의 대수(algebra of sets)를 포함합니다. aRb가 aSb를 암시함을 의미하는 포함 $R\subseteq S$는 관계의 격자(lattice)에서 장면을 설정합니다. 그러나 $P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P)$이므로, 포함 기호는 불필요합니다. 그럼에도 불구하고, 슈뢰더 규칙(Schröder rules)에 따른 연산자의 조작과 관계의 합성은 $A\times B$의 거듭제곱 집합(power set)에서 작동하는 계산법을 제공합니다.

동종 관계와 달리, 관계의 합성(composition of relations) 연산은 부분 함수(partial function)일 뿐입니다. 합성된 관계의 도메인에 치역을 일치시킬 필요성은 이종 관계에 대한 연구가 이 카테고리의 사상(morphisms)이 관계라는 점을 제외하고 집합의 카테고리(category of sets)에서와 마찬가지로 카테고리 이론(category theory)의 한 장이라는 제안으로 이어져 왔습니다. 카테고리 Rel의 대상이 집합이고, 관계-사상은 카테고리에서 필요에 따라 구성됩니다.

Induced concept lattice

이항 관계는 그것들의 유도된 개념 격자(concept lattices)를 통해 설명되어 습니다: 개념(concept) C ⊂ R은 다음 두 속성을 만족시킵니다:

(1) C의 논리적 행렬은 논리적 벡터의 밖의 곱(outer product) $C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j}$이며, 여기서 $u,v$는 논리적 벡터입니다.

(2) C는 최대이며, 다른 밖의 곱에 포함되지 않습니다. 따라서 C는 확대할 수 없는 직사각형으로 설명됩니다.

주어진 관계 $R\subseteq X\times Y$에 대해, 접합과 만남에 의해 확장된, 개념의 집합은 준순서(preorder)을 형성하는 포함 $\sqsubseteq$를 갖는 "유도된 개념의 격자"를 형성합니다.

MacNeille completion theorem (1937) (임의의 부분 순서가 완비 격자(complete lattice)에 삽입될 수 있다는 것)은 2013년 조사 기사 "개념 격자에 대한 관계의 분해(Decomposition of relations on concept lattices)"에서 인용되었습니다. 그 분해는

$R\ =\ f\ E\ g^{\textsf {T}}$는, 여기서 f와 g는 함수(functions), 매핑(mappings) 또는 이 문맥에서 왼쪽-전체, 단일-겹합 관계라고 불립니다. "유도된 개념 격자는 관계 R의 최소 분해 (f, g, E)에 속하는 부분 순서 E의 절단 완비와 동형적입니다."

특정 경우가 아래에서 고려됩니다: E 전체 순서는 퍼얼스 유형에 해당하고, E 항등원은 집합에 대한 동치 관계(equivalence relation)의 일반화인 이-함수형(difunctional)에 해당합니다.

관계는 관계를 덮는 데 필요한 개념의 숫자를 세는 샤인 랭크(Schein rank)에 의해 순위-매겨질 수 있습니다. 개념과의 관계의 구조적 분석은 데이터 채광(data mining)에 대해 접근 방식을 제공합니다.

Particular relations

• Proposition: 만약 R이 직렬 관계(serial relation)이고 R^T가 그것의 전치이면, $I\subseteq R^{\textsf {T}}R$입니다. 여기서 $I$는 m × m 항등 관계입니다.
• Proposition: 만약 R이 전사 관계(surjective relation)이면, $I\subseteq RR^{\textsf {T}}$입니다. 여기서 $I$는 $n\times n$ 항등 관계입니다.

Difunctional

이-함수형 관계의 아이디어는 동치 관계(equivalence relation) 개념의 일반화로서 속성을 구별함으로써 대상을 분할하는 것입니다. 이것이 수행될 수 있는 한 가지 방법은 지시자(indicators)의 중재하는 집합 $Z=\{x,y,z,\ldots \}$를 사용하는 것입니다. 분할 관계 $R=FG^{\textsf {T}}$는 단일-결합(univalent) 관계 $F\subseteq A\times Z$와 $G\subseteq B\times Z$를 사용하는 관계의 합성(composition of relations)입니다. Jacques Riguet는 합성 F G^T가 공통적으로 부분 함수(partial functions)라고 불리는 단일-결합 관계를 포함하기 때문에 이들 관계를 이-함수형(difunctional)이라고 이름-지었습니다.

1950년에, Rigeut는 그러한 관계가 다음을 포함을 만족시킴을 보여주었습니다:

$$R\ R^{\textsf {T}}\ R\ \subseteq \ R$$

오토마타 이론(automata theory)에서, 직사각형 관계(rectangular relation)라는 용어는 역시 이-함수형 관계를 나타내기 위해 사용되어 왔습니다. 이 용어는 논리적 행렬(logical matrix)로 표현될 때 이-함수형 관계의 열과 행이 (비-대칭적) 주요 대각선 위에 일의 직사각형 블록을 갖는 블록 행렬(block matrix)로 배열될 수 있다는 사실을 상기시킵니다. 더 공식적으로, $X\times Y$ 위에 관계 $R$이 이-함수형인 것과 그것이 데카르트 곱 $A_{i}\times B_{i}$의 합집합으로 쓸 수 있는 것은 필요충분 조건이며, 여기서 $A_{i}$는 $X$의 부분-집합의 분할이고 $B_{i}$는 마찬가지로 $Y$의 부분-집합의 분할입니다.

{y: xRy} = xR 표기법을 사용하여, 이-함수형 관계는 역시 x₁R과 x₂R이 비-빈 교집합을 가지는 곳일 때마다, 이들 두 집합이 일치함을 만족하는 관계 R로 특성화될 수 있습니다; 공식적으로 $x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing$는 $x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing$을 의미합니다.

1997년에 연구자들은 "데이터베이스 관리에서 이-함수형 종속성을 기반으로 한 이항 분해의 유용성"을 발견했습니다. 게다가, 이-함수형 관계는 이-시뮬레이션(bisimulations) 연구에서 기본입니다.

동종 관계의 맥락에서, 부분 동치 관계(partial equivalence relation)는 이-함수형입니다.

Ferrers type

집합 위에 엄격한 순서(strict order)는 순서 이론(order theory)에서 발생하는 동종 관계입니다. 1951년 Jacques Riguet는 일반적으로 이항 관계로 순서화를 확장하기 위해 퍼얼스 다이어그램(Ferrers diagram)이라고 하는 정수의 분할(partition)의 순서화를 채택했습니다.

일반 이항 관계의 해당하는 논리적 행렬은 일의 수열로 끝나는 행을 가집니다. 따라서 퍼얼스 다이어그램의 점은 일로 변경되고 행렬에서 오른쪽에 정렬됩니다.

퍼얼스 유형 관계 R에 필요한 대수적 명제는 다음과 같습니다:$$R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R\subseteq R.$$

만약 관계 $R,\ {\bar {R}},\ R^{\textsf {T}}$ 중 임의의 하나가 퍼얼스 유형이면, 그것들의 모두가 그렇습니다.

Contact

B가 A의 거듭제곱 집합(power set), A의 모든 부분-집합(subsets)의 집합이라고 가정합니다. 그런-다음 관계 g는 만약 그것이 다음 세 가지 속성을 만족시키면 접촉 관계(contact relation)입니다:

1. ${\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.$
2. $Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.$
3. ${\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.$

집합 구성원(set membership) 관계 ε = "의 원소이다"는 이들 속성을 만족시키므로 ε은 접촉 관계입니다. 일반적인 접촉 관계의 개념은 1970년 Georg Aumann에 의해 소개되었습니다.

관계의 계산의 관점에서, 접촉 관계에 대해 충분 조건은 다음을 포함합니다: $$C^{\textsf {T}}{\bar {C}}\ \subseteq \ \ni {\bar {C}}\ \ \equiv \ C\ {\overline {\ni {\bar {C}}}}\ \subseteq \ C,$$ 여기서 $\ni$는 집합 구성원 ($\,\in \,$)의 전환입니다.

Preorder R\R

모든 각 관계 R은 왼쪽 잔여(left residual)인 준순서(preorder) $R\backslash R$을 생성합니다. 전환(converse)과 여(complements)의 관점에서, $R\backslash R\ \equiv \ {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}$입니다. $R^{\textsf {T}}{\bar {R}}$의 대각선을 형성하면, $R^{\text{T}}$의 대응하는 행과 ${\bar {R}}$의 열은 반대 논리적 값을 가지므로, 대각선은 모두 영입니다. 그런-다음

$R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\ \implies \ I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}\ =\ R\backslash R,$ so that $R\backslash R$ is a reflexive relation.

전이성(transitivity)을 보이기 위해, $(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R$임을 요구합니다. $X=R\backslash R$이 $RX\subseteq R$를 만족하는 가장 큰 관계임을 상기하십시오. 그런-다음

$R(R\backslash R)\subseteq R$

$R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R$ (repeat)

$\equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}$ (Schröder's rule)

$\equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}$ (complementation)

$\equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.$ (definition)

U의 거듭제곱 집합(power set) 위에 포함(inclusion) 관계 Ω는 U의 부분-집합 위에 구성원 관계(membership relation) $\,\in \,$으로부터 이 방법에서 다음과 같이 얻을 수 있습니다:

$\Omega \ =\ {\overline {\ni {\bar {\in }}}}\ =\ \in \backslash \in .$

Fringe of a relation

관계 R이 주어졌을 때, 관계 R이 주어졌을 때, 그것의 변두리(fringe)라고 불리는 부분-관계는 다음과 같이 정의됩니다: $$\operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.$$

R이 항등 관계, 이-함수형, 또는 블록 대각 관계일 때, fringe(R) = R입니다. 그렇지 않으면, 변두리 연산자는 그것의 논리적 행렬의 관점에서 설명된 경계 부분-관계를 선택합니다: fringe(R)은 만약 R이 오른쪽 상단 삼각형 선형 순서(linear order) 또는 엄격 순서(strict order)이면 측면 대각선입니다. Fringe(R)는 만약 R이 비-반사적 ($R\subseteq {\bar {I}}$)이거나 오른쪽 상단 블록 삼각형이면 블록 변두리입니다. Fringe(R)은 R이 퍼얼스 유형일 때 경계 직사각형의 수열입니다.

다른 한편으로, R이 조밀(dense), 선형, 엄격한 순서일 때 Fringe(R) = ∅입니다.

Mathematical heaps

Main article: Heap (mathematics)

두 집합 A와 B가 주어지면, 그들 사이의 이항 관계 ${\mathcal {B}}(A,B)$의 집합은 삼항 연산(ternary operation) $[a,\ b,\ c]\ =\ ab^{\textsf {T}}c$를 갖출 수 있으며, 여기서 $b^{\textsf {T}}$는 $b$의 전환 관계(converse relation)를 나타냅니다. 1953년에 Viktor Wagner는 이 삼항 연산의 속성을 semiheap, heap, 및 일반화된 heap을 정의하기 위해 사용했습니다. 이종 관계와 동종 관계의 대조는 다음 정의에 의해 강조됩니다:

Wagner의 연구에서 한 편에는 힙, 반-힙, 및 일반화된 힙과 다른 편에는 그룹, 반-그룹, 및 일반화된 그룹 사이에 쾌적한 대칭이 있습니다. 본질적으로, 서로 다른 집합 A와 B 사이의 이항 관계 (및 부분 일-대-일 매핑)를 고려할 때마다 다양한 유형의 반-힙이 나타나는 반면 A = B일 때 다양한 유형의 반-그룹이 나타납니다.

— Christopher Hollings, "Mathematics across the Iron Curtain: a history of the algebraic theory of semigroups"

See also

• Abstract rewriting system
• Additive relation, a many-valued homomorphism between modules
• Allegory (category theory)
• Category of relations, a category having sets as objects and binary relations as morphisms
• Confluence (term rewriting), discusses several unusual but fundamental properties of binary relations
• Correspondence (algebraic geometry), a binary relation defined by algebraic equations
• Hasse diagram, a graphic means to display an order relation
• Incidence structure, a heterogeneous relation between set of points and lines
• Logic of relatives, a theory of relations by Charles Sanders Peirce
• Order theory, investigates properties of order relations

Bibliography

• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (2012). "Chapter 3: Heterogeneous relations". Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-77968-8.
• Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive
• Codd, Edgar Frank (1990). The Relational Model for Database Management: Version 2 (PDF). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0201141924. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0.
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander (2000). Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs. Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-015248-7.
• Peirce, Charles Sanders (1873). "Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic". Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences. 9 (2): 317–178. Bibcode:1873MAAAS...9..317P. doi:10.2307/25058006. hdl:2027/hvd.32044019561034. JSTOR 25058006. Retrieved 2020-05-05.
• Schmidt, Gunther (2010). Relational Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.

External links

• Media related to Binary relations at Wikimedia Commons
• "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]