Irreducible element

추상 대수학(abstract algebra)에서, 정수 도메인(integral domain)에서 비-영 비-단위(unit) 원소는, 만약 그것이 두 개의 비-단위의 곱이 아니면, 기약(irreducible)이라고 말합니다.

Relationship with prime elements

기약 원소는 소수 원소(prime element)와 혼동해서는 안됩니다. (교환 링(commutative ring) $R$ 에서 비-영 비-단위 원소 $a$ 는 만약, $R$ 에서 어떤 $b$ 와 $c$ 에 대해 $a|bc$ 일 때마다, $a|b$ 또는 $a|c$ 이면 소수라고 불립니다.) 정수 도메인(integral domain)에서, 모든 각 소수 원소는 기약이지만,^[1]^[2] 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다. 전환은 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain) (또는 보다 일반적으로, GCD 도메인)에 대해 참입니다.^[2]

게다가, 소수 원소에 의해 생성된 아이디얼은 소수 아이디얼(prime ideal)이지만, 일반적으로 소수 원소에 의해 생성된 아이디얼은 기약 아이디얼(irreducible ideal)이라는 것은 참이 아닙니다. 어쨌든, 만약 $D$ 가 GCD 도메인이고 $x$ 가 $D$ 의 기약 원소이면, 위에서 언급된 것처럼 $x$ 는 소수이고, 따라서 $x$ 에 의해 생성된 아이디얼은 $D$ 의 소수 아이디얼입니다.^[3]

Example

이차 정수 링(quadratic integer ring) $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 에서, 숫자 3은 기약이라는 것은 노름 인수를 사용하여 표시될 수 있습니다. 어쨌든, 그것은 이 링에서 소수 원소가 아닌데, 왜냐하면, 예를 들어, 다음이지만,

3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,

3은 두 인수의 하나로 나누어지지 않기 때문입니다.^[4]

References

^ Consider $p$ a prime element of $R$ and suppose $p=ab.$ Then $p|ab\Rightarrow p|a$ or $p|b.$ Say $p|a\Rightarrow a=pc,$ then we have $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ Because $R$ is an integral domain we have $cb=1.$ So $b$ is a unit and $p$ is irreducible.
^ ^a ^b Sharpe (1987) p.54
^ "Archived copy". Archived from the original on 2010-06-20. Retrieved 2009-03-18.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein (1976), Introduction to Number Theory, p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9

Sharpe, David (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.

[1] Consider $p$ a prime element of $R$ and suppose $p=ab.$ Then $p|ab\Rightarrow p|a$ or $p|b.$ Say $p|a\Rightarrow a=pc,$ then we have $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ Because $R$ is an integral domain we have $cb=1.$ So $b$ is a unit and $p$ is irreducible.

[Sha54-2] Sharpe (1987) p.54

[3] "Archived copy". Archived from the original on 2010-06-20. Retrieved 2009-03-18.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

[4] William W. Adams and Larry Joel Goldstein (1976), Introduction to Number Theory, p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9

[1]

[2]

[3]

[4]

Relationship with prime elements

Example

See also

References