Isolated point

Original article: w:Isolated point

"0" is an isolated point of A = {0} ∪ [1, 2]

수학(mathematics)에서, 점(point) x는 만약 x가 S의 원소이지만 S의 임의의 다른 점을 포함하지 않는 x의 이웃(neighborhood)이 존재하면 (토폴로지적 공간(topological space) X에서) 부분집합 S의 고립된 점(isolated point)이라고 불립니다. 이것은 한원소 {x}는 (X의 부분공간(subspace)으로 고려되는) 토폴로지적 공간 S에서 열린 집합이라고 말하는 것과 동등합니다. 만약 공간 X가 유클리드 공간(Euclidean space) (또는 임의의 다른 메트릭 공간(metric space))이면, x는 만약 S의 다른 점을 포함하지 않는 x 주위로 열린 공(open ball)이 존재하면 S의 고립된 점입니다. (수열과 극한의 개념을 도입하여, 우리는 S의 원소 x가 S의 고립된 점인 것과 그것이 S의 극한 점(limit point)이 아닌 것이 필요충분 조건임을 동등하게 말할 수 있습니다.)

Discrete set

오직 고립된 점으로 만들어진 집합은 이산 집합(discrete set)이라고 불립니다 (역시 이산 공간(discrete space)을 참조하십시오). 유클리드 공간의 이산 부분집합 S는 셀-수-있어야(countable) 하는데, 왜냐하면 각 점의 분리와 실수(reals)에서 유리수(rationals)가 조밀(dense)하다는 사실은 S의 점이 유리 좌표, 오직 셀-수-있게 많이 있는 것을 가진 점 집합으로 매핑될 수 있음을 의미하기 때문입니다. 어쨌든, 모든 각 셀 수 있는 집합이 이산은 아니며, 그것의 보통 유클리드 메트릭 아래에서 유리수가 정식의 예제입니다.

고립된 점을 갖지 않는 집합은 그-자체로-조밀(dense-in-itself)이라고 말합니다 (점의 모든 각 이웃은 그 집합의 다른 점이 포함합니다). 고립된 점을 갖지 않는 닫힌 집합(closed set)은 완전 집합(perfect set)이라고 불립니다 (그것은 모든 그것의 극한 점을 가지고 그 중 어떤 것도 그것으로부터 고립되지 않습니다).

고립된 점의 숫자는 토폴로지적 불변(topological invariant)입니다. 즉, 만약 두 토폴로지적 공간(topological spaces) $X$와 $Y$가 위상-동형(homeomorphic)이면, 각각에서 고립된 점의 숫자는 같습니다.

Standard examples

다음 예제에서 토폴로지적 공간(Topological space)은 표준 토폴로지를 갖는 실수 직선(real line)의 부분공간(subspaces)으로 여겨집니다.

• 집합 $S=\{0\}\cup [1,2]$에 대해, 점 0은 고립된 점입니다.
• 집합 $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}$에 대해, 점 1/k의 각각은 고립된 점이지만, 0은 고립된 점이 아닌데 왜냐하면 S에서 다른 점이 원하는 만큼 0에 가깝게 있기 때문입니다.
• 자연수(natural number)의 집합 ${\mathbb {N} }=\{0,1,2,\ldots \}$은 이산 집합입니다.
• 모스 보조정리(Morse lemma)는 어떤 함수의 비-퇴화 임계 점(non-degenerate critical point)이 고립된 것이라고 말합니다.

A counter-intuitive example

그들의 이진(binary) 표현 $x_{i}$의 모든 각 자릿수 다음 조건을 충족함을 만족하는 실수 구간 $(0,1)$에서 점 $x$의 집합 $F$을 생각해 보십시오:

• $x_{i}=0$ 또는 $x_{i}=1$입니다.
• 오직 유한하게 많은 인덱스 $i$에 대해 $x_{i}=1$입니다.
• 만약 $m$이 $x_{m}=1$을 만족하는 가장 큰 인덱스를 나타내면, $x_{m-1}=0$입니다.
• 만약 $x_{i}=1$이고 $i<m$이면, 다음 두 조건 중 정확히 하나가 유지됩니다: $x_{i-1}=1$, $x_{i+1}=1$. 비공식적으로, 이 조건은 1에 같은 $x$의 이진 표현의 모든 각 자릿수가 맨 끝에 ...010...를 제외하고 쌍 ... 0110 ...에 속함을 의미합니다.

이제, $F$는 그것의 클로저(closure)가 셀-수-없는 집합(uncountable set)이라는 반-직관적인 속성을 가진 고립된 점으로 전적으로 구성된 명시적 집합입니다.

같은 속성을 갖는 또 다른 집합 $F$는 다음과 같이 얻어질 수 있습니다. $C$를 중간-1/3 칸토어 집합(Cantor set)으로 놓고, $I_{1},I_{2},I_{3},\ldots$를 $[0,1]-C$의 성분(component) 구간으로 놓고, $F$를 각 $I_{k}$에서 한 점으로 구성된 집합이라고 놓습니다. 각 $I_{k}$는 $F$의 오직 하나의 점을 포함하므로, $F$의 모든 각 점은 고립된 점입니다. 어쨌든, 만약 $p$가 칸토어 집합에서 임의의 점이면, $p$의 모든 각 이웃은 적어도 하나의 $I_{k}$를 포함하고, 따라서 $F$의 적어도 하나의 점을 포함합니다. 그것은 칸토어 집합의 각 점이 $F$의 클로저에 놓이고, 따라서 $F$가 셀 수 없는 클로저를 가짐을 따릅니다.

See also

• Acnode
• Adherent point
• Limit point

References

• Gomez-Ramirez, Danny (2007), "An explicit set of isolated points in R with uncountable closure", Matemáticas: Enseñanza universitaria, 15, Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Colombia: 145–147

External links

• Weisstein, Eric W. "Isolated Point". MathWorld.