Closure (topology)

토폴로지(topology)에서, 토폴로지적 공간(topological space)에서 점들의 부분집합 $S$ 의 클로저(closure)는 $S$ 의 모든 극한 점(limit points)과 함께 $S$ 에서 모든 점(points)으로 구성됩니다. $S$ 의 클로저는 동등하게 $S$ 와 그 경계(boundary)의 합집합(union)으로 정의될 수 있고, 역시 $S$ 를 포함하는 모든 닫힌 집합(closed sets)의 교집합(intersection)으로 정의될 수 있습니다. 직관적으로, 클로저는 $S$ 에 있거나 $S$ "근처"에 있는 모든 점으로 생각될 수 있습니다. $S$ 의 클로저에 있는 점은 $S$ 의 클로저의 점(point of closure)입니다. 클로저의 개념은 여러 면에서 내부(interior)의 개념과 이중적(dual)입니다.

Definitions

Point of closure

유클리드 공간(Euclidean space)의 부분집합 $S$ 에 대해, $x$ 는 만약 $x$ 에 중심을 둔 모든 각 열린 공(open ball)이 $S$ 의 한 점을 포함하면 (이 점은 $x$ 자체일 수 있음), $S$ 의 클로저의 점입니다.

이 정의는 메트릭 공간 $X$ 의 임의의 부분집합 $S$ 로 일반화됩니다. 완전하게 표현된, 메트릭 $d$ 를 갖는 메트릭 공간(metric space) $X$ 에 대해, $x$ 는 만약 모든 각 $r>0$ 에 대해, 거리 $d(x,s)<r$ (다시 말하지만, $x=s$ 가 허용됨)를 만족하는 일부 $s\in S$ 가 존재하면 $S$ 의 클로저의 점입니다. 이것을 표현하기 위한 또 다른 방법은 $x$ 가 만약 거리 $d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0$ 이면 $S$ 의 클로저의 점이라고 말하는 것입니다.

이 정의는 토폴로지적 공간(topological spaces)을 "열린 공" 또는 "이웃(neighbourhood)"을 갖는 "공"으로 대체함으로써 일반화합니다. $S$ 를 토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합으로 놓습니다. 그런-다음 $x$ 는 만약 $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 한 점을 포함하면 $S$ 의 클로저의 점(point of closure) 또는 밀착 점(adherent point)입니다.^[1] 이 정의는 이웃이 열린 것을 요구하는지 여부에 의존하지 않음을 주목하십시오.

Limit point

클로저의 점의 정의는 집합의 극한 점(limit point of a set)의 정의와 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 정의 사이의 차이는 미묘하지만 중요합니다 – 즉, 극한 점의 정의에서, 문제에서 점 $x$ 의 모든 각 이웃은 $x$ 자체가 아닌 집합의 한 점을 포함해야 합니다. 집합 $S$ 의 모든 극한 점의 집합은 $S$ 의 유도된 집합(derived set)이라고 불립니다.

따라서, 모든 각 극한 점이 클로저의 점이지만, 클로저의 모든 각 점은 극한 점은 아닙니다. 극한 점이 아닌 클로저의 점은 고립된 점(isolated point)입니다. 다시 말해서, 점 $x$ 는 만약 그것이 $S$ 의 원소이고 $x$ 자체가 아닌 $S$ 다른 점을 포함하지 않는 $x$ 의 이웃이 있으면 $S$ 의 고립된 점입니다.^[2]

주어진 집합 $S$ 와 점 $x$ 에 대해, $x$ 가 $S$ 의 클로저의 점인 것과 $x$ 가 $S$ 의 원소인 것 또는 $x$ 가 $S$ 의 극한 점인 것 (또는 둘 다인 것)은 필요충분 조건입니다.

Closure of a set

토폴로지적 공간 $(X,\tau )$ 의 부분공간의 클로저(closure)는, $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}S$ 에 의해 표시되거나 (만약 $\tau$ 가 이해되면) 가능하게 $\operatorname {cl} _{X}S$ 에 의해 표시되며, 여기서 $X$ 와 $\tau$ 가 문맥에서 분명하면 그것은 역시 $\operatorname {cl} S,$ ${\overline {S}},$ 또는 $S{}^{-}$ 에 의해 표시될 수 있으며 (게다가, $\operatorname {cl}$ 이 때때로 $\operatorname {Cl}$ 로 대문자로 쓰이며), 다음 동등한 정의의 임의의 것을 사용하여 정의될 수 있습니다:

$\operatorname {cl} S$ 는 $S$ 의 클로저의 모든 점들의 집합입니다.
$\operatorname {cl} S$ 는 그것의 모든 극한 점과 함께 집합 $S$ 입니다.^[3]
$\operatorname {cl} S$ 는 $S$ 를 포함하는 모든 닫힌 집합(closed sets)의 교집합입니다.
$\operatorname {cl} S$ 는 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합입니다.
$\operatorname {cl} S$ 는 $S$ 와 그것의 경계(boundary) $\partial (S)$ 의 합집합입니다.
$\operatorname {cl} S$ 는 $(X,\tau )$ 에서 $x$ 로 수렴하는 $S$ 에서 (평가된) 네트(net)가 존재하는 모든 $x\in X$ 의 집합입니다.

집합의 클로저는 다음 속성을 가집니다.^[4]

$\operatorname {cl} S$ 는 $S$ 의 닫힌(closed) 초월집합입니다.
집합 $S$ 가 닫힌 것과 $S=\operatorname {cl} S$ 인 것은 필요충분 조건입니다.
만약 $S\subseteq T$ 이면 $\operatorname {cl} S$ 는 $\operatorname {cl} T$ 의 부분집합입니다.
만약 $A$ 가 닫힌 집합이면, $A$ 가 $S$ 를 포함하는 것과 $A$ 가 $\operatorname {cl} S$ 를 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

때때로 위의 두 번째 또는 세 번째 속성은 토폴로지적 클로저의 정의(definition)로 취해지며, 다른 유형의 클로저에 적용될 때 여전히 의미가 있습니다 (아래를 참조).^[5]

첫 번째-셀-수-있는 공간 (예를 들어, 메트릭 공간)에서, $\operatorname {cl} S$ 가 $S$ 에서 점의 모든 수렴하는 수열(sequences)의 모든 극한(limits)의 집합입니다. 일반적인 토폴로지적 공간에 대해, 이 명제는 "수열"을 "네트(net)" 또는 "필터"로 바꾸면 참으로 남습니다 (토폴로지에서 필터(filters in topology)에 대한 기사에서 설명되어 있습니다).

이러한 속성은 "클로저", "초월집합", "교집합", "포함/포함하는", "가장 작은" 및 "닫힌"이 "내부", "부분집합", "합집합", "~에 포함된", "가장 큰", 및 "열린"으로 대체되면 역시 만족시킵니다. 이 문제에 대한 자세한 내용에 대해, 아래의 클로저 연산자(closure operator)를 참조하십시오.

Examples

3 차원에서 구를 생각해 보십시오. 암시적으로, 이 구에 의해 생성된 두 개의 관심 영역이 있습니다; 구 자체와 그 내부 (열린 3-공이라고 함). 3-공의 내부와 표면 사이를 구별할 수 있어 유용하므로, 우리는 우리는 열린 3-공과 닫힌 3-공 – 3-공의 클로저 사이를 구별합니다. 열린 3-공의 클로저는 열린 3-공 더하기 그 표면입니다.

토폴로지적 공간(topological space)에서:

임의의 공간에서, $\varnothing =\operatorname {cl} \varnothing .$
임의의 공간 $X$ 에서, $X=\operatorname {cl} X.$

$\mathbb {R}$ 과 $\mathbb {C}$ 를 제공하는 표준 (메트릭) 토폴로지(standard (metric) topology):

만약 $X$ 가 실수(real numbers)의 유클리드 공간 $\mathbb {R}$ 이면, $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]$ 입니다.
만약 $X$ 가 유클리드 공간 $\mathbb {R}$ 이면 유리수(rational numbers)의 집합 $\mathbb {Q}$ 의 클로저는 전체 공간 $\mathbb {R}$ 입니다. 우리는 $\mathbb {Q}$ 가 $\mathbb {R}$ 에서 조밀한(dense) 것이라고 말합니다.
만약 $X$ 가 복소 평면(complex plane) $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ 이면, $\operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}$ 입니다.
만약 $S$ 가 유클리드 공간 $X$ 의 유한(finite) 부분집합이면, $\operatorname {cl} _{X}S=S$ 입니다. (일반 토폴로지적 공간에 대해, 이 속성은 T₁ 공리(T₁ axiom)와 동등합니다.)

실수의 집합에서, 우리는 표준 토폴로지가 아닌 다른 토폴로지를 넣을 수 있습니다.

만약 $X=\mathbb {R}$ 가 낮은 극한 토폴로지(lower limit topology)를 부여하면, $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1)$ 입니다.
만약 $X=\mathbb {R}$ 위에 모든 각 집합이 닫힌 (열린) 것인 이산 토폴로지(discrete topology)를 고려하면, $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1)$ 입니다.
만약 $X=\mathbb {R}$ 위에 오직 닫힌 (열린) 집합이 빈 집합과 $\mathbb {R}$ 자체인 자명한 토폴로지(trivial topology)를 고려하면, $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R}$ 입니다.

이들 예제는 집합의 클로저가 놓여있는 공간의 토폴로지에 따라 다르다는 것을 보여줍니다. 마지막 두 예제는 다음과 같은 특수한 경우입니다.

임의의 이산 공간(discrete space)에서, 모든 각 집합이 닫힌 (및 역시 열린) 것이기 때문에, 모든 각 집합은 그것의 클로저와 같습니다.
임의의 비-이산 공간(indiscrete space) $X$ 에서, 오직 닫힌 집합은 닫힌 집합과 $X$ 자체이기 때문에, 우리는 빈 집합의 클로저가 빈 집합이고, $X$ 의 모든 각 비-빈 부분집합 $A$ 에 대해, $\operatorname {cl} _{X}A=X$ 입니다. 다시 말해서, 비-이산 공간의 모든 각 비-빈 부분집합은 조밀한(dense) 것입니다.

집합의 클로저는 역시 우리가 클로저를 취하는 공간에 따라 다릅니다. 예를 들어, $X$ 가 유클리드 공간 $\mathbb {R}$ 에 의해 유도된 보통의 상대 토폴로지(relative topology)를 갖는 유리수의 집합이고, $S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\}$ 이면, $S$ 는 $\mathbb {Q}$ 에서 열린 것과 닫힌 것 둘 다인데 왜냐하면 $S$ 도 그것의 여집합도 ${\sqrt {2}}$ 를 포함할 수 없기 때문이며, $S$ 의 아래쪽 경계일 수 있지만 $S$ 에 있을 수 없는데 왜냐하면 ${\sqrt {2}}$ 는 무리수이기 때문입니다. 따라서, $S$ 는 경계 원소를 $\mathbb {Q}$ 에 있지 않음으로 인해 잘-정의된 클로저를 가지지 않습니다. 어쨌든, 대신 $X$ 를 실수 집합으로 정의하고 같은 방법에서 구간을 정의하면, 해당 구간의 클로저는 잘 정의되고 ${\sqrt {2}}$ 보다 크거나 같은 모든 실수의 집합일 것입니다.

Closure operator

집합 $X$ 에 대한 클로저 연산자(closure operator)는 $X$ 의 거듭제곱 집합(power set), ${\mathcal {P}}(X)$ 를 자체로의 매핑(mapping)이며 쿠라토프스키 클로저 공리(Kuratowski closure axioms)를 만족시킵니다. 토폴로지적 공간(topological space) $(X,\tau )$ 가 주어지면, 토폴로지적 클로서는 $S\subseteq X$ 를 $\operatorname {cl} _{X}S$ 로 보냄으로써 정의되는 함수 $\operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)$ 를 유도하며, 여기서 표기법 ${\overline {S}}$ 또는 $S^{-}$ 가 대신 사용될 수 있습니다. 반대로, $\mathbb {c}$ 가 집합 $X$ 에 대한 클로저 연산자이면, 토폴로지적 공간은 닫힌 집합(closed sets)을 $\mathbb {c} (S)=S$ 를 만족시키는 정확하게 그것들 부분집합 $S\subseteq X$ 인 것으로 정의함으로써 얻습니다 (따라서 이들 부분집합의 $X$ 에서 여집합은 토폴로지의 열린 집합(open sets)을 형성합니다).^[6]

클로저 연산자 $\operatorname {cl} _{X}$ 는 다음이라는 의미에서 $\operatorname {int} _{X}$ 에 의해 표시되는 내부(interior) 연산자의 이중(dual)입니다:

\operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),

그리고 역시

\operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).

그러므로, 클로저 연산자의 추상 이론과 쿠라토프스키 클로저 공리는 $X$ 에서 집합을 그것들의 여집합(complements)으로 대체함으로써 내부 연산자의 언어로 쉽게 번역될 수 있습니다.

일반적으로, 클로저 연산자는 교집합과 교환하지 않습니다. 어쨌든, 완비 메트릭 공간(complete metric space)에서는 다음 결과가 유지됩니다:

Theorem^[7] (C. Ursescu) — $S_{1},S_{2},\ldots$ 를 완비 메트릭 공간 $X$ 의 부분집합의 수열로 놓습니다.

만약 각 $S_{i}$ 가 $X$ 에서 닫혀 있으면 $\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$
만약 각 $S_{i}$ 가 $X$ 에서 열려 있으면 $\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$

Facts about closures

부분집합 $S$ 가 $X$ 에서 닫혀(closed) 있는 것과 $\operatorname {cl} _{X}S=S$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 특히:

빈 집합(empty set)의 클로저는 빈 집합입니다;
$X$ 자체의 클로저는 $X$ 입니다.
집합의 교집합(intersection)의 클로저는 항상 집합의 클로저의 교집합의 부분집합(subset)입니다 (그러나 같을 필요는 없습니다).
유한하게(finitely) 많은 집합의 합집합(union)에서, 합집합의 클로저와 클로저의 합집합은 같습니다; 영 집합의 합집합은 빈 집합이고, 따라서 이 명제는 빈 집합의 클로저에 대한 앞의 명제를 특별한 경우로 포함합니다.
무한하게 많은 집합의 합집합의 클로저는 클로저의 합집합과 같을 필요는 없지만, 그것은 항상 클로저 합집합의 초월집합(superset)입니다.

만약 $S\subseteq T\subseteq X$ 이고 $T$ 가 $X$ 의 부분공간(subspace)이면 ( $T$ 가 $X$ 가 그것 위에 유도하는 부분공간 토폴로지(subspace topology)를 부여함을 의미함), $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ 와 $T$ 에서 계산된 $S$ 의 클로저는 $T$ 와 $X$ 에서 계산된 $S$ 의 클로저의 교집합과 같습니다: $\operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.$

Proof

$\operatorname {cl} _{X}S$ 가 $X$ 의 닫힌 부분집합이기 때문에, 교집합 $T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 은 $T$ 의 닫힌 부분집합이며 (부분공간 토폴로지의 정의에 의해), 이는 $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 임을 의미합니다 ( $\operatorname {cl} _{T}S$ 가 $S$ 를 포함하는 $T$ 의 가장 작은 닫힌 부분집합이기 때문입니다). $\operatorname {cl} _{T}S$ 가 $T$ 의 닫힌 부분집합이기 때문에, 부분공간 토폴로지의 정의에서, $C$ 가 $X$ 에서 닫혀 있고 $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap C$ 임을 만족하는 일부 집합 $C\subseteq X$ 가 존재해야 합니다. $S\subseteq \operatorname {cl} _{T}S\subseteq C$ 이고 $C$ 가 $X$ 에서 닫혀 있기 때문에, $\operatorname {cl} _{X}S$ 의 최소성은 $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq C$ 임을 의미합니다. 양쪽 변을 $T$ 와 교집합하면 $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=\operatorname {cl} _{T}S$ 임을 보입니다. $\blacksquare$

$S\subseteq T$ 가 $T$ 의 조밀한 부분집합인 것과 $T$ 가 $\operatorname {cl} _{X}S$ 의 부분집합인 것은 필요충분 조건임을 따릅니다. $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 가 $\operatorname {cl} _{X}S$ 의 적절한 부분집합이 될 수 있습니다; 예를 들어, $X=\mathbb {R} ,$ $S=(0,1),$ 및 $T=(0,\infty )$ 를 취하십시오.

만약 $S,T\subseteq X$ 이지만 $S$ 가 $T$ 의 부분집합일 필요가 없으면, 오직 다음은 $\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 항상 보장되며, 여기서 비록 제한이 엄격할 수 있지만 (예를 들어 $X=\mathbb {R}$ 와 보통의 토폴로지, $T=(-\infty ,0],$ 및 $S=(0,\infty )$ 를 생각해 보십시오^{[proof 1]}), 만약 $T$ 가 $X$ 의 열린 부분집합에 발생하면 상등 $\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 은 유지될 것입니다 ( $S$ 와 $T$ 사이의 관계에 상관 없습니다).

Proof

$S,T\subseteq X$ 라고 놓고 $T$ 가 $X$ 에서 열려 있다고 가정합니다. $C:=\operatorname {cl} _{T}(T\cap S)$ 라고 놓으며, 이는 $T\cap \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)$ 과 같습니다 ( $T\cap S\subseteq T\subseteq X$ 이기 때문입니다). 여집합 $T\setminus C$ 은 $T$ 에서 열려 있으며, 여기서 $T$ 가 $X$ 에서 열려 있다는 것은 이제 $T\setminus C$ 가 역시 $X$ 에서 열려 있다는 것을 의미합니다. 따라서 $X\setminus (T\setminus C)=(X\setminus T)\cup C$ 는 $X$ 의 닫힌 부분집합이며, 여기서 $(X\setminus T)\cup C$ 는 $S$ 를 부분집합으로 포함합니다 (만약 $s\in S$ 가 $T$ 안에 있으면 $s\in T\cap S\subseteq \operatorname {cl} _{T}(T\cap S)=C$ )이기 때문이며, 이는 $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq (X\setminus T)\cup C$ 임을 의미합니다. 양쪽 변을 $T$ 와 교집합하는 것은 $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=C$ 임을 입증합니다. 반대 방향 포함은 $C\subseteq \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ 로부터 따릅니다. $\blacksquare$

결과로써, 만약 ${\mathcal {U}}$ 가 $X$ 의 임의의 열린 덮개(open cover)이고 $S\subseteq X$ 가 임의의 부분집합이면: $\operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)$ 이는 모든 각 $U\in {\mathcal {U}}$ 에 대해 $\operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S$ 이기 때문입니다 (여기서 모든 각 $U\in {\mathcal {U}}$ 는 $X$ 에 의해 그것 위헤 부분공간 토폴로지를 부여합니다). 이 상등은 특히 $X$ 가 매니폴드(manifold)이고 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$ 에서 집합이 좌표 차트(coordinate charts)의 도메인일 때 유용합니다. 말로, 이 결과는 임의의 부분집합 $S\subseteq X$ 의 $X$ 에서 클로저가 $X$ 의 임의의 열린 덮개의 집합에서 "지역적으로" 계산되고 그런-다음 함께 합해질 수 있습니다. 이 방법에서, 이 결과는 부분집합 $S\subseteq X$ 가 닫혀 있는 것과 그것이 " $X$ 에서 지역적으로 닫혀 있음(locally closed)"이 필요충분 조건이라는 잘-알려진 사실의 동류로 볼 수 있으며, 만약 ${\mathcal {U}}$ 가 $X$ 의 임의의 열린 덮개(open cover)이면 $S$ 가 $X$ 에서 닫혀 있음과 $S\cap U$ 가 모든 각 $U\in {\mathcal {U}}$ 에 대해 $U$ 에서 닫혀 있음이 필요충분 조건임을 의미합니다.

Functions and closure

Continuity

토폴로지적 공간 사이에 함수 $f:X\to Y$ 가 연속(continuous)인 것과 코도메인의 모든 각 닫힌 부분집합의 이전-이미지(preimage)가 그 도메인에서 닫혀 있는 것은 필요충분 조건입니다; 분명하게, 이것은 $f^{-1}(C)$ 는 $C$ 가 $Y$ 의 닫힌 부분집합일 때마다 $X$ 에서 닫혀 있음을 의미합니다.

클로저 연산자의 관점에서, $f:X\to Y$ 가 연속인 것과 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해 다음인 것은 필요충분 조건입니다: $f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$ 즉 말하자면, 부분집합 $A\subseteq X$ 의 클로저에 속하는 임의의 원소 $x\in X$ 가 주어지면, $f(x)$ 는 반드시 $Y$ 에서 $f(A)$ 의 클로저에 속합니다. 만약 우리가 점 $x$ 가 $x\in \operatorname {cl} _{X}A$ 이면 부분집합 $A\subseteq X$ 에 가까운 것으로 선언하면, 이 용어는 연속성의 다른 표현 설명을 허용합니다: $f$ 가 연속인 것과 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해, $f$ 가 $A$ 에 가까운 점을 $f(A)$ 에 가까운 점으로 매핑합니다. 따라서 연속 함수는 정확하게 점과 집합 사이에 "근접성" 관계를 (전진 방향에서) 보존하는 그들 함수입니다: 함수가 연속인 것과 점이 집합에 가까울 때마다 해당 점의 이미지가 해당 집합의 이미지로 가까운 것은 필요충분 조건입니다. 유사하게, $f$ 가 고정된 주어진 점 $x\in X$ 에서 연속인 것과 $x$ 가 부분집합 $A\subseteq X$ 에 가까울 때마다, $f(x)$ 가 $f(A)$ 에 가까운 것은 필요충분 조건입니다.

Closed maps

함수 $f:X\to Y$ 가 (강하게) 근접 맵(closed map)인 것과 $C$ 가 $X$ 의 닫힌 부분집합일 때마다 $f(C)$ 가 $Y$ 의 닫힌 부분집합이라는 것은 필요충분 조건입니다. 클로저 연산자의 관점에서, $f:X\to Y$ 가 (강하게) 닫힌 맵인 것과 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해 $\operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 동등하게, $f:X\to Y$ 가 (강하게) 닫힌 맵인 것과 모든 각 닫힌 부분집합 $C\subseteq X$ 에 대해 $\operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

Categorical interpretation

우리는 다음과 같이 보편적 화살표의 측면에서 클로저 연산자를 우아하게 정의할 수 있습니다.

집합 $X$ 의 거듭제곱집합(powerset)은 $A$ 가 $B$ 의 부분집합일 때마다 대상이 부분집합이고 사상이 포함 맵(inclusion maps) $A\to B$ 인 부분 순서(partial order) 카테고리(category) $P$ 로 실현될 수 있습니다. 게다가, $X$ 위에 토폴로지 $T$ 는 포함 함수자 $I:T\to P$ 를 갖는 $P$ 의 부분카테고리(subcategory)입니다. 고정된 부분집합 $A\subseteq X$ 를 포함하는 닫힌 부분집합의 집합은 반점 카테고리(comma category) $(A\downarrow I)$ 로 식별될 수 있습니다. 이 카테고리는 — 역시 부분 순서이며 — 초기 대상 $\operatorname {cl} A$ 을 가집니다. 따라서 포함 $A\to \operatorname {cl} A$ 에 의해 제공되는 $A$ 에서 $I$ 로의 보편적 화살표가 있습니다.

유사하게, $X\setminus A$ 를 포함하는 모든 각 닫힌 집합은 $A$ 에 포함된 열린 집합에 해당하기 때문에, 우리는 카테고리 $(I\downarrow X\setminus A)$ 를 끝 대상(terminal object) $\operatorname {int} (A),$ $A$ 의 내부(interior)를 갖는 $A$ 에 포함된 열린 부분집합의 집합으로 해석할 수 있습니다.

클로저의 모든 속성은 이 정의와 위 카테고리의 몇 가지 속성에서 유도될 수 있습니다. 더욱이, 이 정의는 토폴로지적 클로저와 다른 유형의 클로저 (예를 들어 대수적 클로저(algebraic closure)) 사이를 정확하게 유추를 만드는데, 왜냐하면 모두가 보편적 화살표(universal arrows)의 예이기 때문입니다.

Notes

^ From $T:=(-\infty ,0]$ and $S:=(0,\infty )$ it follows that $S\cap T=\varnothing$ and $\operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),$ which implies $\varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.$

References

^ Schubert 1968, p. 20
^ Kuratowski 1966, p. 75
^ Hocking & Young 1988, p. 4
^ Croom 1989, p. 104
^ Gemignani 1990, p. 55, Pervin 1965, p. 40 and Baker 1991, p. 38 use the second property as the definition.
^ Pervin 1965, p. 41
^ Zălinescu 2002, p. 33.

Bibliography

Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3
Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology, Dover, ISBN 0-486-65676-4
Kuratowski, K. (1966), Topology, vol. I, Academic Press
Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press
Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon
Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

External links

"Closure of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[8] From $T:=(-\infty ,0]$ and $S:=(0,\infty )$ it follows that $S\cap T=\varnothing$ and $\operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),$ which implies $\varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.$

[1] Schubert 1968, p. 20

[2] Kuratowski 1966, p. 75

[3] Hocking & Young 1988, p. 4

[4] Croom 1989, p. 104

[5] Gemignani 1990, p. 55, Pervin 1965, p. 40 and Baker 1991, p. 38 use the second property as the definition.

[6] Pervin 1965, p. 41

[FOOTNOTEZălinescu200233-7] Zălinescu 2002, p. 33.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[proof 1]