Least-upper-bound property

수학(mathematics)에서, 가장-갖은-위쪽-경계 속성(least-upper-bound property) (때때로 완비성(completeness) 또는 상한 속성(supremum property) 또는 l.u.b. 속성이라고 불림)은 실수(real number)의 기본 속성입니다.^[1] 보다 일반적으로, 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) $X$ 는 만약 위쪽 경계(upper bound)를 갖는 $X$ 의 모든 각 비-빈 부분집합(subset)이 $X$ 에서 가장 작은 위쪽 경계 (상한)을 가지면 가장-작은-위쪽-경계 속성을 가집니다. 모든 각 (부분적으로) 순서화된 집합이 가장-작은 위쪽 경계 속성을 갖는 것은 아닙니다. 예를 들어, 자연 차수를 갖는 모든 유리수(rational number)의 집합 $\mathbb {Q}$ 는 가장-작은 왼쪽 경계 속성을 가지지 않습니다.

가장-작은-위쪽-경계 속성은 실수에 대해 완비성 공리(completeness axiom)의 하나의 형식이고, 때때로 데데킨트 완비성(Dedekind completeness)으로 참조됩니다.^[2] 그것은 사잇값 정리(intermediate value theorem), 볼차노–바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem), 극단 값 정리(extreme value theorem), 및 하인네–보렐 정리(Heine–Borel theorem)와 같은 실수 해석학(real analysis)의 많은 기본 결과를 증명하기 위해 사용될 수 있습니다. 그것은 보통 실수의 합성 구성에서 공리로 취해지고 (가장-작은 위쪽 경계 공리(least upper bound axiom)를 참조), 역시 데데킨트 자름(Dedekind cut)을 사용한 실수의 구성과 친밀하게 관련이 있습니다.

순서 이론(order theory)에서, 이 속성은 임의의 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)에 대해 완비성(completeness)의 개념으로 일반화될 수 있습니다. 조밀(dense)하고 가장-작은 위쪽 경계 속성을 갖는 선형적으로 순서화된 집합(linearly ordered set)은 선형 연속체(linear continuum)라고 불립니다.

Statement of the property

Statement for real numbers

$S$ 를 실수(real number)의 비-빈 집합으로 놓습니다.

실수 $x$ 는 만약 모든 $s \in S$ 에 대해 $x \geq s$ 이면 $S$ 에 대해 위쪽 경계라고 불립니다.
실수 $x$ 는 만약 $x$ 가 $S$ 에 대해 위쪽 경계이고 $S$ 의 모든 각 위쪽 경계 $y$ 에 대해 $x \leq y$ 이면 $S$ 에 대해 가장-작은 위쪽 경계 (또는 상한(supremum))입니다.

가장-작은-위쪽-경계 속성은 위쪽 경계를 가지는 실수의 임의의 비-빈 집합은 실수에서 가장-작은 위쪽 경계를 가져야 함을 말합니다.

Generalization to ordered sets

보다 일반적으로, 우리는 "실수"를 " $X$ 의 원소"에 의해 대체됨과 함께, 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) $X$ 의 임의의 부분집합(subset)에 대해 위쪽 경계와 가장-작은 위쪽 경계를 정의할 수 있습니다. 이 경우에서, 우리는 $X$ 가 만약 위쪽 경계를 갖는 $X$ 의 모든 각 비-빈 부분집합이 $X$ 에서 가장-작은 위쪽 경계를 가지면 가장-작은-위쪽-경계 속성을 가진다고 말합니다.

예를 들어, 유리수(rational number)의 집합 $Q$ 는 보통의 순서 아래에서 가장-작은-위쪽-경계 속성을 가지지 않습니다. 예를 들어, 다음 집합은

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)

$Q$ 에서 위쪽 경계를 가지지만, $Q$ 에서 가장-작은 위쪽 경계를 가지지 않습니다 (왜냐하면 이의 제곱근은 무리수(irrational)이기 때문입니다). 데데킨트 자름(Dedekind cut)을 사용한 실수의 구성(construction of the real numbers)은 유리수의 특정 부분집합의 가장-작은 위쪽 경계로 무리수를 정의함으로써 이 실패의 장점을 취합니다.

Proof

Logical status

가장-작은-위쪽-경계 속성은 코시 수열(Cauchy sequence)의 수렴 또는 중첩된 구간 정리(nested intervals theorem)와 같은 완비성 공리(completeness axiom)의 다른 형식과 동등합니다. 그 속성의 논리적 상태는 사용된 실수의 구성(construction of the real numbers)에 따라 다릅니다: 합성 접근 방식(synthetic approach)에서, 그 속성은 보통 실수에 대해 공리로 취합니다 (가장-작은 위쪽 경계 공리(least upper bound axiom)를 참조); 구성적인 접근에서, 그 속성은 구성으로부터 직접적으로 또는 일부 다른 형식의 완비성의 결과로 하나의 정리(theorem)로 입증되어야 한다.

Proof using Cauchy sequences

실수의 모든 각 코시 수열이 수렴한다는 가정을 사용하여 가장-작은-위쪽-경계 속성을 입증하는 것이 가능합니다. $S$ 를 실수의 비-빈(nonempty) 집합으로 놓습니다. 만약 $S$ 가 정확하게 하나의 원소를 가지면, 그것의 유일한 원소는 가장-작은 위쪽 경계입니다. 따라서 하나보다 많은 원소를 갖는 $S$ 를 고려하고 $S$ 가 위쪽 경계 $B 1$ 을 가진다고 가정합니다. $S$ 는 비-빈이고 하나보다 많은 원소를 가지기 때문에, $S$ 에 대해 위쪽 경계가 아닌 실수 $A 1$ 이 존재합니다. 수열 $A 1, A 2, A 3, ...$ 과 $B 1, B 2, B 3, ...$ 을 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다:

$(A n + B n) ⁄ 2$ 가 $S$ 에 대해 위쪽 경계인지 확인합니다.
만약 그렇다면, $A n +1 = A n$ 라고 놓고 $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ 라고 놓습니다.
그렇지 않으면 $s >(A n + B n) ⁄ 2$ 가 되도록 $S$ 에서 원소 $s$ 가 있어야 합니다. $A n +1 = s$ 라고 놓고 $B n +1 = B n$ 라고 놓습니다.

그런-다음 $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ 이고 $n \to \infty$ 일 때 $| A n - B n | \to 0$ 입니다. 두 수열 모두는 코시이고 $S$ 에 대해 가장-작은 위쪽 경계가 되어야 하는 같은 극한 $L$ 을 가짐을 따릅니다.

Applications

$R$ 의 가장-작은-위쪽-경계 속성은 실수 해석학(real analysis)에서 많은 주요 기본 정리를 증명하기 위해 사용될 수 있습니다.

Intermediate value theorem

$f : [a, b] \to R$ 를 연속 함수(continuous function)라고 놓고, $f (a) < 0$ 와 $f (b) > 0$ 를 가정합니다. 이 경우에서, 사잇값 정리(intermediate value theorem)는 $f$ 가 구간 $[a, b]$ 에서 근(root)을 가져야 함을 말합니다. 이 정리는 다음 집합을 고려함으로써 입증될 수 있습니다:

S = {s \in [a, b] : f (x) < 0 for all x \leq s}

.

즉, $S$ 는 $f$ 아래에서 음의 값을 취하는 $[a, b]$ 의 초기 세그먼트입니다. 그런-다음 $b$ 는 $S$ 에 대해 위쪽 경계이고, 가장-작은 위쪽 경계는 $f$ 의 근이어야 합니다.

Bolzano–Weierstrass theorem

$R$ 에 대해 볼차노–바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)는 닫힌 구간 $[a, b]$ 에서 실수의 모든 각 수열(sequence) $x n$ 은 수렴 부분수열(subsequence)을 가져야 함을 말합니다. 이 정리는 다음 집합을 고려함으로써 입증될 수 있습니다:

S = {s \in [a, b] : s \leq x n for infinitely many n}

분명하게, $a\in S$ 이고, $S$ 는 빈 것이 아닙니다. 게다가, $b$ 는 $S$ 에 대해 위쪽 경계이므로, $S$ 는 가장-작은 위쪽 경계 $c$ 를 가집니다. 그런-다음 $c$ 는 수열 $x n$ 의 극한 점(limit point)이 되어야 하고, $x n$ 가 $c$ 에 수렴하는 부분수열을 가짐을 따릅니다.

Extreme value theorem

$f : [a, b] \to R$ 를 연속 함수(continuous function)라고 놓고 $M = sup f ([a, b])$ 라고 놓으며, 여기서 $f ([a, b])$ 가 위쪽 경계를 가지지 않으면 $M = \infty$ 입니다. 극단 값 정리(extreme value theorem)는 $M$ 이 유한이고 일부 $c \in [a, b]$ 에 대해 $f (c) = M$ 임을 말합니다. 이것은 다음 집합을 고려함으로써 입증될 수 있습니다:

S = {s \in [a, b] : sup f ([s, b]) = M}

.

$M$ 의 정의에 의해, $a \in S$ 이고, 그것 자체의 정의에 의해, $S$ 는 $b$ 에 의해 경계집니다. 만약 $c$ 가 $S$ 의 가장-작은 위쪽 경계이면, 그것은 $f (c) = M$ 이라는 연속성에서 따릅니다.

Heine–Borel theorem

$[a, b]$ 를 $R$ 에서 닫힌 구간으로 놓고, ${U α$ }를 $[a, b]$ 를 덮는(covers) 열린 집합(open set)의 모음으로 놓습니다. 그런-다음 하이네–보렐 정리(Heine–Borel theorem)는 ${U α$ }의 일부 유한 부분모음이 마찬가지로 $[a, b]$ 를 덮는다고 말합니다. 이 명제는 다음 집합을 고려함으로써 입증될 수 있습니다:

S = {s \in [a, b] : [a, s] can be covered by finitely many U α}

.

집합 $S$ 는 분명하게 $a$ 를 포함하고, 구성에 의해 $b$ 로 경계집니다. 가장-작은-위쪽-경계 속성에 의해, $S$ 가 가장-작은 위쪽 경계 $c \in [a, b]$ 를 가집니다. 따라서, $c$ 는 일부 열린 집합 $U α$ 의 자체 원소이고, $c < b$ 에 대해 $[a, c + δ]$ 가 일부 충분하게 작은 $δ > 0$ 에 대해 유한하게 많은 $U α$ 에 의해 덮혀질 수 있음을 따릅니다. 이것은 $c + δ \in S$ 이고 $c$ 가 $S$ 에 대해 위쪽 경계가 아님을 입증합니다. 결과적으로, $c = b$ 입니다.

History

가장-작은-위쪽-경계 속성의 중요성은 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)에 의한 그의 1817년 논문 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege에서 처음 인식되었습니다.^[3]

Notes

^ Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
^ Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)
^ Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "A Pedagogical History of Compactness". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

References

Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (Third ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.

Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4 ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3 ed.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 9780486434797.

[1] Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)

[2] Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)

[Sundström-3] Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "A Pedagogical History of Compactness". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

[1]

[2]

[3]