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Set (mathematics)

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Original article: w:Set (mathematics)
This article is about what mathematicians call "intuitive" or "naive" set theory. For a more detailed account, see Naive set theory. For a rigorous modern axiomatic treatment of sets, see Set theory.
A set of polygons in an Euler diagram

수학에서, 집합은 그 자체의 권리에서 대상(object)으로 여겨지는, 구별(distinct)되는 대상의 모음입니다.[1][2] 집합에서 대상의 배열은 중요하지 않습니다. 예를 들어, 숫자 2, 4, 및 6은 개별적으로 고려될 때 구별되는 대상이지만, 그들은 집합적으로 고려될 때 {2, 4, 6}으로 쓰이는 크기 3의 단일 집합을 형성하며, 이것은 역시 {2, 6, 4}으로 쓸 수 있습니다.[3]

집합의 개념은 수학에서 가장 근본적인 것 중 하나입니다.[4] 19세기 말에 개발된,[5] 집합 이론(set theory)은 이제 수학의 편재된 부분이고, 거의 모든 수학은 도출될 수 있는 기초로 사용될 수 있습니다.[4]

Etymology

독일어 단어 Menge는, 영어로 "set"으로 표현되며, 그의 연구 무한의 역설(Paradoxes of the Infinite)에서 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)에 의해 만들어졌습니다.[6][7][8]

Definition

Passage with a translation of the original set definition of Georg Cantor. The German word Menge for set is translated with aggregate here.

집합은 구별되는 대상의 잘-정의된 모음입니다.[1][2] 집합을 구성하는 (집합의 원소(elements) 또는 구성원(members)으로 역시 알려진)[9] 대상은 어떤 것: 숫자, 사람, 알파벳 문자, 다른 집합 등이 될 수 있습니다.[10] 집합 이론의 창시자 중 한 사람, 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 그의 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre의 시작 부분에서 집합의 다음과 같은 정의를 제공했습니다:[11]

집합은 우리의 지각[독일어:Anschauung] 또는 우리의 생각의 명확하고 구별되는 대상—집합의 원소라고 불리는—을 함께 모아둔 것입니다.

집합은 전통적으로 대문자(capital letters)로 표시됩니다.[12][13] 집합 A와 B가 서로 같은 것은 그들이 정확하게 같은 원소를 가진 것은 필요충분(iff) 조건입니다.[14]

기술적인 이유에 대해, 칸토어의 정의가 부적절한 것으로 나타났습니다: 오늘날, 더 엄격함이 요구되는 문맥에서, 우리는 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)을 사용할 수 있으며, 이것에서 "집합"의 개념은 원시 개념(primitive notion)으로 취급되고 집합의 속성은 공리(axiom)의 모음에 의해 정의됩니다.[15] 가장 기본적인 속성은 집합은 원소를 가질 수 있다는 것이고, 두 집합이 서로 같은 것과 각 집합의 모든 각 원소가 다른 집합의 원소인 것은 필요충분 조건이라는 것입니다; 이 속성은 집합의 확장성(extensionality of sets)이라고 불립니다.[16]

Set notation

Main article: Set notation

집합을 설명하는 것, 또는 구성원을 지정하는 것의 공통적인 두 방법: 목록 표기법과 집합 구성 표기법(set builder notation)이 있습니다.[17][18] 이들은 각각 집합의 외부적 및 내부적 정의(extensional and intensional definitions)의 예제입니다.[19]

Roster notation

집합을 정의하는 것의 목록 표기법(Roster notation) (또는 열거 표기법(enumeration notation)) 방법은 집합의 각 구성원을 목록화하는 것으로 구성됩니다.[17][20][21] 보다 구체적으로, 목록 표기법 (외부적 정의(extensional definition)의 예제)에서,[19] 집합은 중괄호(curly bracket)에 구성원의 목록을 감쌈으로써 표시됩니다.

A = {4, 2, 1, 3}
B = {blue, white, red}.

많은 원소를 갖는 집합에 대해, 구성원의 열거는 축약될 수 있습니다.[22][23] 예를 들어, 처음 천 개 양의 정수의 집합은 목록 표기법에서 다음으로 지정될 수 있습니다:

{1, 2, 3, ..., 1000},

여기서 the 생략부호(ellipsis) ("...")는 시연된 패턴에 따라 목록이 계속됨을 나타냅니다.[22]

목록 표기법에서, 반복적으로 구성원을 목록화하는 것은 집합을 바꾸지 않습니다. 예를 들어, 집합 {11, 6, 6}은 집합 {11, 6}과 동일합니다.[24][not in citation given] 게다가, 집합의 원소가 목록화된 것에서 순서는 관련이 없으므로 (수열(sequence) 또는 튜플(tuple)과 달리), {6, 11}는 여전히 다시 같은 집합입니다.[24]

Set-builder notation

Main article: Set-builder notation

집합-구성 표기법(set-builder notation)에서,[25] 집합은 더 큰 집합의 부분-집합으로 지정되며, 여기서 부분-집합은 원소를 포함하는 명제 또는 조건에 의해 결정됩니다.[25] 예를 들어, 집합 F는 다음처럼 지정될 수 있습니다:

이 표기법에서, 수직 막대(vertical bar) ("|")는 "만족하는(such that)"을 의미하고, 서술적 묘사는 "F는, n이 0부터 19까지 영역에서 포함한 정수를 만족하는, 모든 숫자 n의 집합입니다"로 해석될 수 있습니다. 때때로 콜론(colon) (":")이 수직 막대 대신에 사용됩니다.[26]

집합-구성 표기법은 내부적 정의(intensional definition)의 예제입니다.[19]

Other ways of defining sets

또 다른 방법은 규칙 또는 의미론적 설명을 사용하는 것입니다:[27]:

A는 그의 구성워니 첫 번째 네 양의 정수(integer)인 집합입니다.
B는 프랑스 국기(French flag)의 색깔의 집합입니다.

이것은 내부적 정의(intensional definition)의 또 다른 예제입니다.[19]

Membership

Main article: Element (mathematics)

만약 B가 집합이고 x가 B의 대상 중 하나이며, 이것은 x ∈ B로 표시되고, "x는 B의 원소", "x는 B에 속함", 또는 "x는 B 안에 있음"으로 읽습니다.[28] 만약 y가 B의 구성원이 아니면, 이것은 y ∉ B로 쓰이고, "y는 B의 원소가 아님", 또는 "y는 B 안에 없음"으로 읽습니다.[29]

예를 들어, A = {1, 2, 3, 4}, B = {blue, white, red}, 및 F = {n | n is an integer, and 0 ≤ n ≤ 19}에 관한,

4 ∈ A 및 12 ∈ F; 그리고
20 ∉ F 및 green ∉ B.

Subsets

Main article: Subset

만약 집합 A의 모든 각 원소가 B 안에 역시 있으며, A는 A ⊆ B라고 쓰인 B의 부분-집합이라고 말합니다 (A는 B에 포함됩니다로 발음합니다).[30] 동등하게, 우리는 B ⊇ A로 쓸 수 있고, B는 A의 초월-집합, B는 A를 포함, 또는 B는 A를 담고 있음으로 읽습니다.[31] ⊆에 의해 설립된 집합들 사이의 관계(relationship)는 포함(inclusion) 또는 봉쇄(containment)라고 불립니다. 두 집합이 만약 서로를 포함하면 같습니다: A ⊆ B와 B ⊆ A는 A = B와 같습니다.[25]

만약 A가 B의 부분-집합이지만, B와 같지 않으면, A는 B의 적절한 부분-집합(proper subset)으로 불리고, A ⊊ B, 또는 간단히 A ⊂ B[30] (A는 B의 적절한 부분-집합입니다), 또는 B ⊋ A (B는 A의 적절한 상위-집합입니다, B ⊃ A)로 씁니다.

표현 A ⊂ B 및 B ⊃ A는 다른 저자들에 의해 다르게 사용됩니다; 일부 저자는 그들을 A ⊆ B[32][29] (각각 B ⊇ A)와 같은 것을 의미하는 것으로 사용하지만, 다른 저자들은 그들을 A ⊊ B[30] (각각 B ⊋ A)와 같은 것을 의미하는 것으로 사용합니다.

A is a subset of B

예제:

  • 모든 사람의 집합은 모든 포유류의 집합의 적절한 부분-집합입니다.
  • {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

빈 집합(empty set) (또는 공 집합)으로 불리는, 구성원이 없는 고유한 집합이 있으며,[33] 이것은 기호 ∅에 의해 표시됩니다 (다른 표기법이 사용됩니다; 빈 집합(empty set)을 참조하십시오). 빈 집합은 모든 각 집합의 부분-집합이고,[34] 모든 각 집합은 자체의 부분-집합입니다:[35]

  • ∅ ⊆ A.
  • A ⊆ A.

Partitions

Main article: Partition of a set

집합 S의 분할은 S에서 모든 각 원소 x가 이들 부분-집합의 정확히 하나에 있는 것을 만족하는 S의 비-빈 부분-집합의 집합입니다. 즉, 그 부분-집합은 쌍별 서로소(pairwise disjoint)이고 (분할의 임의의 두 집합은 공통으로 원소를 포함하지 않음을 의미함), 분할의 모든 부분-집합의 합집합(union)은 S입니다.[36][37]

Power sets

Main article: Power set

집합 S의 거듭-제곱 집합은 S의 모든 부분-집합의 집합입니다.[25] 거듭-제곱 집합은 S 자체와 빈 집합을 포함하는데, 왜냐하면 이들은 둘 다 S의 부분-집합이기 때문입니다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}의 거듭-제곱 집합은 {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}입니다. 집합 S의 거듭-제곱 집합은 보통 P(S)로 쓰입니다.[25][38]

n 원소를 갖는 유한 집합의 거듭제곱 집합은 2n 원소를 가집니다.[39] 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}은 세 원소를 포함하고, 위에서 보여준 거듭제곱 집합은 23 = 8 원소를 포함합니다.

무한 (셀-수-있는(countable) 또는 셀-수-없는(uncountable)) 집합의 거듭-제곱 집합은 항상 셀-수-없는 것입니다. 게다가, 집합의 거듭-제곱 집합은 S의 모든 각 원소를 정확히 하나의 P(S) 원소와 쌍을 이룰 방법이 없다는 의미에서 원래 집합보다 항상 엄격하게 "더 큰" 것입니다. (S에서 P(S) 위로의 위로의 맵핑 또는 전사(surjection)는 결코 없습니다.)[40]

Cardinality

Main article: Cardinality

|S|로 표시되는 집합 S의 카디널리티는 S의 구성원의 숫자입니다.[41] 예를 들어, 만약 B = {blue, white, red}이면 |B| = 3입니다. 목록 표기법에서 반복되는 구성원은 세지 않으므로,[42][43] 따라서 역시 |{blue, white, red, blue, white}| = 3입니다.

빈 집합의 카디널리티는 영입니다.[44]

일부 집합은 무한(infinite) 카디널리티를 가집니다. 자연수(natural number)의 집합 N은, 예를 들어, 무한입니다.[25] 일부 무한 카디널리티는 다른 것보다 더 큽니다. 예를 들어 실수(real number)의 집합은 자연수의 집합보다 더 큰 카디널리티를 가집니다.[45] 어쨌든, 직선의 카디널리티 (말하자면, 직선 위의 점들의 숫자)는 해당 라인의 임의의 선분(segment), 전체 평면(plane) 및 실제로는 임의의 유한 차원(finite-dimensional) 유클리드 공간(Euclidean space)의 카디널리티와 같음을 알 수 있습니다.[46]

Special sets

The natural numbers ℕ are contained in the integers ℤ, which are contained in the rational numbers ℚ, which are contained in the real numbers ℝ, which are contained in the complex numbers ℂ

수학적으로 큰 중요성을 지니고 그것들을 식별하기 위해 특별한 이름과 표기법적 관례를 얻었을 정도로 그러한 규칙성과 함께 언급되는 일부 집합 또는 종류가 있습니다. 이들 중 하나는 { } 또는 ∅로 표시된 빈 집합(empty set)입니다.[47] 정확히 하나의 원소 x를 가진 집합은 단위 집합, 또는 한원소, {x}입니다.[14]

이들의 대부분은 칠판 굵은-글씨(blackboard bold) 또는 굵은 글씨를 사용하여 표시됩니다.[48]

숫자의 특별한 집합은 다음을 포함합니다:

위의 각 숫자의 집합은 무한 숫자의 원소를 있으고, 각각은 그것 아래에 나열된 집합의 적절한 부분-집합으로 여길 수 있습니다. 소수는 숫자 이론(number theory) 및 관련된 분야 밖에 다른 것보다 덜 자주 사용됩니다.

양수 및 음수 집합은 때때로 각각 위첨자 더하기 및 빼기 부호로 표시됩니다. 예를 들어, ℚ+는 양의 유리수의 집합을 나타냅니다.

Basic operations

Main article: Algebra of sets

주어진 집합에서 새로운 집합을 구성하는 것에 대해 몇 가지 기본 연산이 있습니다.

Unions

The union of A and B, denoted A ∪ B
Main article: Union (set theory)

두 집합은 함께 "더해질" 수 있습니다. A와 B의 합집합(union)은, A ∪ B에 의해 표시되며, A 또는 B 중 하나의 구성원인 모든 것의 집합입니다.

예제:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

합집합의 일부 기본 속성:

  • A ∪ B = B ∪ A.
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
  • A ⊆ (A ∪ B).
  • A ∪ A = A.
  • A ∪ ∅ = A.
  • A ⊆ B인 것과 A ∪ B = B인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

Intersections

Main article: Intersection (set theory)

새로운 집합은 두 집힙이 "공통"으로 가지는 구성원을 결정함으로써 역시 구성될 수 있습니다. A와 B의 교집합(intersection)은, A ∩ B에 의해 표시되며, A와 B 둘 다의 구성원인 모든 것의 집합입니다. 만약 A ∩ B = ∅이면, A와 B는 서로소(disjoint)라고 말합니다.

The intersection of A and B, denoted A ∩ B.

예제:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

교집합의 일부 기본 속성:

  • A ∩ B = B ∩ A.
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
  • A ∩ B ⊆ A.
  • A ∩ A = A.
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • A ⊆ B인 것과 A ∩ B = A인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

Complements

The relative complement
of B in A
The complement of A in U
The symmetric difference of A and B
Main article: Complement (set theory)

두 집합은 "빼기"가 역시 가능합니다. A에서 B의 상대적인 여집합(relative complement) (A와 B의 집합-이론적 차이라고 역시 불림)은, A \ B (또는 A − B)에 의해 표시되며, A의 구성원이지만 B의 구성원은 아닌 모든 원소의 집합입니다. 집합 {1, 2, 3}로부터 원소 green을 제거하는 것과 같은, 집합 안에 없는 집합의 구성원을 "빼는" 것이 유효합니다; 그렇게 하더라도 효과는 없습니다.

특정 설정에서, 논의 아래에서 모든 집합은 주어진 전체 집합(universal set) U의 부분-집합으로 여겨집니다. 그러한 경우에서, U \ A는 A의 절대 여집합 또는 간단히 여집합으로 불리고, A′에 의해 표시됩니다.

  • A′ = U \ A

예제:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
  • 만약 U가 정수의 집합, E가 짝수 정수의 집합이고, O가 홀수 정수의 집합이면, U \ E = E′ = O입니다.

여집합의 일부 기본 속성:

  • A ≠ B에 대해, A \ B ≠ B \ A.
  • A ∪ A′ = U.
  • A ∩ A′ = ∅.
  • (A′)′ = A.
  • ∅ \ A = ∅.
  • A \ ∅ = A.
  • A \ A = ∅.
  • A \ U = ∅.
  • A \ A′ = A 및 A′ \ A = A′.
  • U′ = ∅ 및 ∅′ = U.
  • A \ B = A ∩ B′.
  • 만약 A ⊆ B이면 A \ B = ∅입니다.

여집합의 확장은 집합 A, B에 대해 다음으로 정의된 대칭 차이(symmetric difference)입니다:

예를 들어, {7, 8, 9, 10} 및 {9, 10, 11, 12}의 대칭 차이는 집합 {7, 8, 11, 12}입니다. 임의의 집합의 거듭-제곱 집합은 (중립 원소로 빈 집합과 함께) 링의 덧셈일 때 대칭 차이 및 링의 곱셈일 때 교집합을 갖는 부울 링(Boolean ring)이 됩니다.

Cartesian product

Main article: Cartesian product

새로운 집합은 한 집합의 모든 각 원소를 또 다른 집합의 모든 각 원소에 결합함으로써 구성될 수 있습니다. 두 집합 A와 B의 데카르트 곱(Cartesian product)은, A × B에 의해 표시되며, a가 A의 구성원이고 b가 B의 구성원을 만족하는 순서화 쌍(ordered pairs) (a, b)의 집합입니다.

예제:

  • {1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
  • {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

데카르트 곱의 일부 기본 속성:

  • A × ∅ = ∅.
  • A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
  • (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

A와 B를 유한 집합으로 놓습니다; 그런-다음 데카르트 곱의 카디널리티(cardinality)는 카디널리티의 곱입니다:

  • | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Applications

집합 이론은 사실상 모든 수학이 도출될 수 있는 기초로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 그룹(groups), 필드(fields) 및 링(rings)과 같은 추상 대수(abstract algebra)에서 구조(structures)는 하나 이상의 연산 아래에 닫힌(closed) 집합입니다.

소박한 집합 이론의 주요 응용 중 하나는 관계(relations)를 구성하는 것입니다. 도메인(domain) A에서 코도메인(codomain) B로의 관계는 데카르트 곱 A × B의 부분-집합입니다. 예를 들어, 같은 이름의 놀이(game)에서 모양의 집합 S = { 바위, 종이, 가위 }를 고려하면, S에서 S로의 "이김(beats)" 관계는 B = { (가위, 종이), (종이, 바위), (바위, 가위) }입니다; 따라서 만약 쌍 (x, y)가 B의 구성원이면 x는 게임에서 y를 이깁니다. 또 다른 예제는 모든 쌍 (x, x2)의 집합 F이며, 여기서 x는 실수입니다. 이 관계는 R × R의 부분-집합인데, 모든 제곱의 집합은 모든 실수의 집합의 부분-집합이기 때문입니다. R에서 모든 각 x에 대해, 하나, 및 유일한 하나, 쌍 (x,...)는 F에서 발견되므로, 그것은 함수(function)라고 불립니다. 함수 표기법에서, 이 관계는 F(x) = x2으로 쓸 수 있습니다.

Axiomatic set theory

Main article: Axiomatic set theory

비록 단지 임의의 잘-정의된(well-defined) 모음으로 집합을 정의하는 소박한 집합 이론(naive set theory)이 초기에는 잘 받아들여졌을지라도, 그것은 곧 여러 장애물에 부딪쳤습니다. 이 정의는 여러 역설(several paradoxes)을 낳았으며, 가장 주목할만한 것은 다음입니다:

그 이유는 문구 잘-정의된이 그다지 잘-정의되어 있지 않기 때문입니다. 거의 모든 수학이 집합 이론으로 다시-정의되고 있기 때문에 이들 역설의 집합 이론을 자유롭게 하는 것이 중요했습니다. 이들 역설을 피하기 위한 시도에서, 집합 이론은 일-차 논리(first-order logic)를 기반으로 공리화되었고, 따라서 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)이 탄생했습니다.

대부분의 목적에 대해, 어쨌든, 소박한 집합 이론(naive set theory)은 여전히 유용합니다.

Principle of inclusion and exclusion

Main article: Inclusion–exclusion principle
The inclusion-exclusion principle can be used to calculate the size of the union of sets: the size of the union is the size of the two sets, minus the size of their intersection.

포함-제외 원리는, 만약 각 집합의 크기와 그들의 교집합의 크기를 알려져 있으면, 두 집합의 합집합에서 원소의 숫자를 세기 위해 사용될 수 있는 셈 기법입니다. 그것은 기호적으로 다음으로 표현될 수 있습니다:

그 원리의 보다 일반적인 형식은 집합의 임의의 유한 합집합의 카디널리티를 찾기 위해 사용될 수 있습니다:

De Morgan's laws

오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan)은 집합에 대한 두 법칙(two laws)을 말했습니다.

만약 A와 B가 임의의 두 집합이면,

  • (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

A와 B의 합집합의 여집합은 A의 여집합과 B의 여집합을 교집합한 것과 같습니다.

  • (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

A와 B의 교집합의 여집합은 A의 여집합과 B의 여집합을 합집합한 것과 같습니다.

See also

Notes

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