Lemniscate

대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 렘니스케이트(lemniscate)는 숫자-팔 또는 $\infty$ -모양의 여러 곡선(curves) 중 하나입니다.^[1]^[2] 그 단어는 "리본으로 장식된"을 의미하는 라틴어 "lēmniscātus", "리본"을 의미하는 그리스어 λημνίσκος에서 파생되거나,^[2]^[3]^[4]^[5] 대안적으로 리본이 만들어지는 양모를 참조할 수 있습니다.^[1]

렘니스케이트라고 불리는 곡선은 3개의 사-차 평면 곡선: hippopede 또는 lemniscate of Booth, lemniscate of Bernoulli, 및 lemniscate of Gerono을 포함합니다. 렘니스케이트 (특히 히포피드)에 대한 연구는 고대 그리스 수학으로 거슬러 올라가지만, 이러한 유형의 곡선에 대한 "렘니스케이트"라는 용어는 17세기 후반 Jacob Bernoulli의 연구에서 비롯되었습니다.

History and examples

Lemniscate of Booth

숫자-팔 모양을 갖는 곡선의 고려 사항은 기원후 5세기에 살았던 그리스 신플라톤주의(Neoplatonist) 철학자이자 수학자, 프로크로스(Proclus)로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 프로크로스는 토러스의 축에 평행한 평면에 의해 토러스(torus)의 교차-단면(cross-sections)을 고려했습니다. 그가 관찰한 것처럼, 대부분의 그러한 단면에 대해 교차 단면은 하나 또는 두 개의 달걀형으로 구성됩니다; 어쨌든, 그 평면이 토러스의 내부 표면에 접(tangent)할 때, 교차-단면은 숫자-팔 모양을 취하며, 프로크로스는 이를 말 족쇄(horse fetter ) (말의 두 발을 함께 고정하는 장치), 또는 그리스어로 "히포페데"라고 불렀습니다.^[6] 이 곡선에 대해 "부스의 렘니스케이트"라는 이름은 19세기 수학자 제임스 부스(James Booth)에 의해 그것의 연구로 거슬러 올라갑니다.^[1]

렘니스케이트는 매개변수 d가 음수 (또는 렘니스케이트가 외부적으로 접하는 원의 쌍이 될 때 특수한 경우에 대해 영)일 때 사차 다항식 $(x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}$ 의 영 집합, 대수적 곡선으로 정의될 수 있습니다. d의 양수 값에 대해 대신 부스의 달걀형(oval of Booth)을 얻습니다.

Lemniscate of Bernoulli

1680년에. 카시니(Cassini)는 현재 카시니 달걀형(Cassini oval)이라고 불리는 곡선의 가족을 연구했으며, 다음과 같이 정의됩니다: 모든 점의 자취(locus), 두 고정된 점에서 그 거리의 곱, 그 곡선의 초점들은 상수입니다. 매우 특정한 상황 아래에서 (점 사이의 절반-거리가 상수의 제곱근과 같을 때) 이것은 렘니스케이트를 발생시킵니다.

1694년에, 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 이전에 라이프니츠에 의해 제기되어 왔던 "등시선(isochrones)"의 문제와 연결에서 현재 베르누이의 렘니스케이트(lemniscate of Bernoulli, 위 그림 참조)로 알려진 카시니 달걀형의 렘니스케이트 경우를 연구했습니다. 히포피드와 마찬가지로, 그것은 대수적 곡선, 다항식 $(x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})$ 의 영 집합입니다. 베르누이의 형제 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)도 같은 해에 같은 곡선을 연구했고, 렘니스케이트라는 이름을 붙였습니다.^[7] 그것은 역시 두 초점에서 거리의 곱이 내부-초점(interfocal) 거리의 절반의 제곱과 같은 점의 자취로 기하학적으로 정의될 수도 있습니다.^[8] 그것은 $d=-c$ 를 갖는 히포피드 (부스의 렘니스케이트)의 특수한 경우이고, 내부 구멍과 원형 교차-단면이 서로 같은 지름을 가지는 토러스의 교차-단면으로 형성될 수 있습니다.^[1] 렘니스케이트 타원 함수(lemniscatic elliptic functions)는 베르누이의 렘니스케이트에 대한 삼각 함수의 아날로그이고, 렘니스케이트 상수(lemniscate constants)는 이 렘니스케이트의 호 길이(arc length)를 평가할 때 발생합니다.

Lemniscate of Gerono

제로노의 렘니스케이트(lemniscate of Gerono) 또는 하위헌스의 렘니스케이트인 또 다른 렘니스케이트는 사차 다항식 $y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})$ 의 영 집합입니다.^[10]^[11] 구와 원통을 교차함으로써 형성된 삼-차원 곡선, 비비아니의 곡선(Viviani's curve)은 역시 숫자-팔 모양을 하고 있고 평면 투영으로 제로노의 렘니스케이트를 가집니다.

Others

다른 숫자-팔 모양 대수적 곡선은 다음을 포함합니다:

데빌의 곡선(Devil's curve), 사차 방정식 $y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$ 에 의해 형성된 곡선이며 이것에서 하나의 연결된 구성 요소가 숫자-팔 모양을 가집니다.^[12]
와트의 곡선(Watt's curve), 기계적 결합에 의해 형성된 숫자-팔 모양 곡선. 와트의 곡선은 차수-육 다항 방정식 $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0$ 의 영 집합이고 베르누이의 렘니스케이트를 특수한 경우로 가집니다.

References

^ ^a ^b ^c ^d Schappacher, Norbert (1997), "Some milestones of lemniscatomy", Algebraic Geometry (Ankara, 1995), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 193, New York: Dekker, pp. 257–290, MR 1483331.
^ ^a ^b Erickson, Martin J. (2011), "1.1 Lemniscate", Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, pp. 1–3, ISBN 9780883855768.
^ Harper, Douglas. "lemniscus". Online Etymology Dictionary.
^ Template:L&S
^ λημνίσκος. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project.
^ ἱπποπέδη in Liddell and Scott.
^ Bos, H. J. M. (1974), "The lemniscate of Bernoulli", For Dirk Struik, Boston Stud. Philos. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, pp. 3–14, ISBN 9789027703934, MR 0774250.
^ Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem", Milan Journal of Mathematics, 78 (2): 643–682, doi:10.1007/s00032-010-0124-5, MR 2781856, S2CID 1448521.
^ Köller, Jürgen. "Acht-Kurve". www.mathematische-basteleien.de. Retrieved 2017-11-26.
^ Basset, Alfred Barnard (1901), "The Lemniscate of Gerono", An elementary treatise on cubic and quartic curves, Deighton, Bell, pp. 171–172.
^ Chandrasekhar, S (2003), Newton's Principia for the common reader, Oxford University Press, p. 133, ISBN 9780198526759.
^ Darling, David (2004), "devil's curve", The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, pp. 91–92, ISBN 9780471667001.

External links

"Lemniscates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[lemniscatomy-1] Schappacher, Norbert (1997), "Some milestones of lemniscatomy", Algebraic Geometry (Ankara, 1995), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 193, New York: Dekker, pp. 257–290, MR 1483331.

[erickson-2] Erickson, Martin J. (2011), "1.1 Lemniscate", Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, pp. 1–3, ISBN 9780883855768.

[3] Harper, Douglas. "lemniscus". Online Etymology Dictionary.

[4] Template:L&S

[5] λημνίσκος. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project.

[6] ἱπποπέδη in Liddell and Scott.

[bos-7] Bos, H. J. M. (1974), "The lemniscate of Bernoulli", For Dirk Struik, Boston Stud. Philos. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, pp. 3–14, ISBN 9789027703934, MR 0774250.

[8] Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem", Milan Journal of Mathematics, 78 (2): 643–682, doi:10.1007/s00032-010-0124-5, MR 2781856, S2CID 1448521.

[9] Köller, Jürgen. "Acht-Kurve". www.mathematische-basteleien.de. Retrieved 2017-11-26.

[10] Basset, Alfred Barnard (1901), "The Lemniscate of Gerono", An elementary treatise on cubic and quartic curves, Deighton, Bell, pp. 171–172.

[11] Chandrasekhar, S (2003), Newton's Principia for the common reader, Oxford University Press, p. 133, ISBN 9780198526759.

[12] Darling, David (2004), "devil's curve", The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, pp. 91–92, ISBN 9780471667001.

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