Limits of integration

Original article: w:Limits of integration

미적분(calculus)과 수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 닫히고 경계진 구간 위에 정의된 리만 적분-가능 함수 $f$의 다음 적분(integral)의 적분의 한계(limits of integration, 또는 적분의 경계(bounds of integration))는

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

$a$는 아래쪽 한계(lower limit)라고 불리고 $b$는 위쪽 한계(upper limit)라고 불리는 실수 $a$와 $b$입니다. 경계진 영역은 $a$와 $b$ 내부의 넓이로 볼 수 있습니다.

예를 들어, 함수 $f(x)=x^{3}$는 구간 $[2,4]$ 위에 정의됩니다:

$\int _{2}^{4}x^{3}\,dx$

여기서 적분의 한계는 $2$와 $4$입니다.

Integration by Substitution (U-Substitution)

치환에 의한 적분(Integration by substitution)에서, 적분의 한계는 적분되는 새로운 함수로 인해 변경될 것입니다. 유도되는 함수와 함께, $a$와 $b$는 $f(u)$에 대해 풀립니다. 일반적으로,

$\int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx$

여기서 $u=g(x)$이고 $du=g'(x)\ dx$입니다. 따라서, $a$와 $b$는 $u$의 관점에서 풀릴 것입니다; 아래쪽 한계는 $g(a)$이고 위쪽 한계는 $g(b)$입니다.

예를 들어,

$\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)du$

여기서 $u=x^{2}$이고 $du=2xdx$입니다. 따라서, $f(0)=0^{2}=0$이고 $f(2)=2^{2}=4$입니다. 그러므로, 새로운 적분의 한계는 $0$과 $4$입니다.

같은 것은 다른 치환에 대해 적용됩니다.

Improper integrals

적분의 한계는 역시 부적절한 적분(improper integrals)에 대해 정의될 수 있으며, 이때 다음 둘의 적분의 한계는 다시 $a$와 $b$입니다:

$\lim _{z\rightarrow a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx$

및

$\lim _{z\rightarrow b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx$

부적절한 적분(improper integral)에 대해,

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$

또는

$\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx$

적분의 한계는 각각 $a$와 ∞, 또는 −∞와 $b$입니다.

Definite Integrals

만약 $c\in (a,b)$이면,

$\int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx$.

See also

• Integral
• Riemann integration
• Definite integral