Linearity of differentiation

Original article: w:Linearity of differentiation

미적분학(calculus)에서, 함수(function)의 임의의 선형 조합(linear combination)의 도함수(derivative)는 함수의 도함수의 같은 선형 조합과 같습니다; 이 속성은 미분화의 선형성(linearity of differentiation), 선형성의 규칙(rule of linearity), 또는 미분화에 대해 중첩 규칙(superposition rule)으로 알려져 있습니다. 그것은 단일 규칙에서 둘의 더 간단한 미분화의 규칙: 합 규칙(sum rule) (두 함수의 합의 도함수는 도함수의 합입니다)와 상수 인수 규칙(constant factor rule) (함수의 상수 배수의 도함수는 도함수의 상수 배수와 같습니다)을 캡슐화하는 도함수의 기본 속성입니다. 따라서 미분화가 선형(linear)이거나, 미분 연산자(differential operator)가 선형(linear) 연산자라고 말할 수 있습니다.

Statement and derivation

f와 g를 함수라고 놓고, 여기서 α와 β는 상수입니다. 이제 다음을 생각해 보십시오:

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).$

미분화에서 함 규칙(sum rule in differentiation)에 의해, 이것은 다음이고,

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),$

미분화에서 상수 인수 규칙(constant factor rule in differentiation)에 의해, 이것은 다음으로 줄어듭니다:

$\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).$

그러므로,

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).$

괄호(bracket)를 생략하면, 이것은 종종 다음으로 쓰입니다:

$(\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.$